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山东省实验中学2026届高三第四次诊断性考试数学试题
一、单选题
1．已知全集，集合，则集合元素的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“曲线为椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数为奇函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．我国古代著作《庄子氏·天下篇》引用过一句话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 其含义是:一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为，数列 的前 项和为，则使得不等式 成立的正整数 的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知随机变量所有可能的取值为，若，则（ ）
A．存在 B．任意
C．存在 D．任意
二、多选题
9．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知正四面体的棱长为2，点分别为的中点，则（ ）
A． B．直线与所成角的余弦值为
C． D．该正四面体的内切球体积为
11．已知函数的定义域为，则（ ）
A． B．存在，使得
C． D．
三、填空题
12．若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为_____．
13．小李的银行卡的六位密码由组成，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为_____．
14．已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，若，则的离心率为_____．
四、解答题
15．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．
(1)证明：；
(2)若点是中点，求点到平面的距离．
16．随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．
(1)为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据．完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；
选择新能源汽车 选择传统汽车 总计
40岁以下 70
40岁及以上 60 100
总计 200
(2)某新能源汽车公司根据市场调研得到若干组数据，用最小二乘法得到该产品利润（单位：亿元）与研发投入（单位：亿元）的线性回归方程，且产品利润的方差为，研发投入的方差为．求与间的样本相关系数，并据此判断产品利润与研发投入的线性相关性强弱．
附：（ⅰ）在线性回归方程中，，；
（ⅱ）样本相关系数，若，可认为与线性相关程度较强；
（ⅲ），其中．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17．在中，内角的对边分别为，且．
(1)若，求的值；
(2)若均为锐角，求的最小值．
18．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对恒成立，求的取值范围；
(3)当且时，证明：．
19．已知动圆过点，且与相切，记该动圆的圆心轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)若，直线与交于两点（点在点的右侧），直线与交于两点，在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为．
（ⅰ）证明：三点共线；
（ⅱ）若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值．
考答案
1．C
【详解】由题集合，
所以，
所以集合元素的个数是4.
2．D
【详解】由题意可得： ，
而
故.
3．B
【详解】若曲线为椭圆，则，解得或，
由于或是的真子集，
故“”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件，
4．C
【详解】由函数 为奇函数，可得，
当时，可得，则，且，
由，可得，可得，
经检验，时，为奇函数，故.
5．B
【详解】由题意可知：，故，
若，则，
由于故使得不等式 成立的正整数 的最小值为5，
故选：B
6．A
【详解】由，
所以
，
所以.
7．D
【详解】由圆，即得
圆的圆心为，半径，取的中点D，则，如图：
因为的面积为2，
所以，解得，
所以，
所以为等腰直角三角形，所以，
所以，
所以当取得最大值时，取得最大值，，
所以的最大值为.
8．D
【详解】由题意知，，，即，，，所以.
由知，，
因为，，所以，故A错误.
当时，，故B错误.
将代入得，
又，由二次函数的性质可知，
由上知，
(或)
所以，即，故C错误.
令，
则的值域等价于函数的值域，
由二次函数的性质知的值域为，故D正确.
9．AC
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
得到.
因为函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，
所以，.
当时，；当时，；当时，.
故AC正确，BD错误.
10．ABD
【详解】对于A中，因为点分别为的中点，所以，
取的中点，分别连接，
因为，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，所以A正确；
对于B，取的中点，连接，因为为的中点，所以，
所以异面直线与所成角，即为直线与所成角所成的角，
因为正四面体的棱长为，可得，
在中，可得，
所以异面直线与所成角的余弦值为，所以B正确；
对于 C，设向量，则，且，
则，
因为，，
所以，
所以C错误；
对于D，设正四面体的底面正的中心为，连接，
在等边中，可得，
在直角中，可得，
即正四面体的高为，
所以正四面体的体积为，
又由正四面体的表面积为，
设正四面体的内切球的半径为，
根据等体积法，可得，即，解得，
所以内切球的体积为，所以D正确.
11．ACD
【详解】对于A，令可得，
因为，所以，A正确；
对于B，令，
由可知
，
即.
若，则，
，即恒成立，与矛盾，B不正确；
对于C，令，可得，所以，
所以，.
由B可知，且，
对任意实数，都有，由于，所以，
所以，C正确；
对于D，由，可得，即，
.
不等式等价于，即，
设函数，，
令，则，
因为为增函数，且，所以为增函数，
则，所以为增函数，即，D正确.
12．
【详解】因为，所以，
又在处的切线与直线垂直，
所以，解得
13．
【详解】如果六位密码中相邻，则先排，
再利用插空法可得不同的密码个数为，
如果六位密码中不相邻，则先排，此时有个空挡，
这5个空挡中有3个空挡可以插入，故此时不同的密码个数为，
故不同密码的个数为.
14．/
【详解】由题意可知，与渐近线垂直，则直线的斜率为，
设，则，所以，，
因为，所以，，
在中利用正弦定理得，
所以，
，
由双曲线定义知，，即，即，
所以的离心率为.
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，，故，故.
因为平面平面，平面平面，
平面，故平面，而平面，
故.
（2）由（1）可得平面，而，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为，
故，所以，故，
而，设平面的法向量为，
则即，取，
故到平面的距离为.
16．(1)
选择新能源汽车 选择传统汽车 总计
40岁以下 70 100
40岁及以上 60 100
总计 200
，认为选择新能源汽车与年龄有关
(2)，产品利润与研发投入的线性相关性很强
【详解】（1）根据题意补全列联表：
选择新能源汽车 选择传统汽车 总计
40岁以下 70 100
40岁及以上 60 100
总计 200
假设：选择新能源汽车与年龄无关，代入卡方公式计算可得：
，
因为，依据的独立性检验，
拒绝零假设，认为选择新能源汽车与年龄有关.
（2）因为回归系数，样本相关系数，
所以样本相关系数 ，
已知，，，
代入样本相关系数得： ，
非常接近1，因此产品利润与研发投入的线性相关性很强.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，所以，
因为，所以，两边平方可得，
即，由，可得，解得或，
因为，故,所以.
（2）因为，所以,
即，
整理得，
两边同除以，得.
即，且，
，
当且仅当时，即.
所以的最小值为.
18．(1)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由，得，.
若，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
当时，
令，得或.
若时， ，
当，则，单调递减，
当，则，单调递增，
当，则，单调递减；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
（2）对恒成立，即，
由（1）知，当时，在上单调递增，
所以，
则，解得，所以；
当时， 在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
当时，，，
又的增速比快，所以，不满足，
综上，的取值范围是；
（3）由（1）得，当时，，在上单调递增，
所以，即，
当时，整理，得，
令（，且），
得，
两边同时取自然对数，得，
则，
即当且时，..
19．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）的最大值36
【详解】（1）已知圆过点，且与相切，
所以圆心到点的距离与点到直线的距离相等，
根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹为抛物线，且点为焦点，直线为准线，
设抛物线方程为，则，所以.
所以曲线的方程为.
（2）（ⅰ）设线段的中点为，
因为，所以可设，
因为，
所以三点共线，同理，三点共线，所以三点共线．
（ⅱ）设，的中点为，的中点为，
将代入得，
所以，解得，
所以，，所以，
同理，，所以，（均在定直线上），
因为，所以与面积相等，与面积相等；
所以等于四边形的面积，
设，直线：，即，
整理得，直线：，又，所以，
同理，直线：，又，所以，
所以
，
所以四边形面积
，
当且仅当，即，等号成立，
所以四边形面积的最大值为36，即的最大值为36.

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