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浙江省杭州市上城区2025年中考二模数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 下列各数：-4，0，，，其中最大的数是（　　）
A．-3 B．0 C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P（-1，3）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列四组数据中方差最大的一组是（　　）
A．3，3，3，3，3 B．2， 3，3，3，4
C．1，2， 3，4， 5 D．0，0，3，6，6
6．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是中国古代的数学专著，其第七章的一道题译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有人，可列方程是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，与交于点，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，交于点，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．已知点，，是反比例函数（k为常数）图象上的三点，若，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，点E、F是边长为1的正方形的边上的点，将正方形沿折叠，使得点B的对应点在边上，的对应边交于点G，记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：每小题3分，共18分．
11．2025年杭州市参加中考人数约为41000人，将41000用科学记数法表示为　 　。
12．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是　 　．
13．如图，是在上的点，，，则的长为　 　．（结果保留）
14． 将公式y=变形成用y表示x，则x=　 　。
15．春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约的青岛旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据：
轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
若该轿车满油为，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有及以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开　 　公里就必须去加油．
16．如图，线段绕点A逆时针旋转得到线段，，已知，连接线段并延长，与的平分线交于点E，若，，则线段的长为　 　．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．解方程：
（1）；
（2）。
19．某校组织全校1000名学生进行“西湖经典诗词诵背”活动．为了解本次系列活动的效果，学校团委在活动之初，随机抽取40名学生调查“西湖经典诗词诵背”情况，根据调查结果绘制了如下统计图：
活动结束后，再次调查这40名学生“西湖经典诗词诵背”情况，绘制了如下统计图：
中位数 众数 平均数
活动前“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 4 4.35
活动后“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 6 6
请根据调查的信息分析：
（1）估计活动结束后该校学生能诵背7首（含7首）以上的人数；
（2） ， ；
（3）选择适当的统计量，至少从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校“西湖经典诗词诵背”系列活动的效果．
20．如图，在中，，边上的垂直平分线分别交于点D和点E，连结．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
21．单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作于点D．当摆球运动至点C时，过点C作于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）．
（1）若，，求的长；
（2）若，，，求的长．（，，，，，，结果精确到0.1cm）
22．已知：如图，在中，，D，E分别为，中点，连结并延长，使．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）记，．
①求（用含，的代数式表示）；
②若，求证：．
23．已知二次函数（b，c为常数），
（1）若，，求此二次函数的顶点坐标；
（2）若此函数图象与x轴只有一个交点，且过点，求函数表达式；
（3）若此函数的对称轴为直线，且当时，函数取到最大值为1，求c的取值范围．
24．如图，在中，，D是中点，E是上的动点（不与端点B，C重合），连接与交于点F，过E，F，D三点的圆与交于点G（不与B，D重合），连接．
（1）若，，求的度数；
（2）若，求的值；
（3）求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的大小比较；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是，
故答案为：C.
【分析】正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】应先判断出所求点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【解答】因为点P（-1，3)的横坐标是负数，纵坐标是正数，所以点P在平面直角坐标系的第二象限．
故选B．
【点评】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A.，是这个几何体的主视图；
B.，是这个几何体的左视图；
C.，是这个几何体的俯视图；
D.，不是这个几何体的视图．
故选：B．
【分析】根据由左向右观察物体的视图叫做左视图．从该几何体的左侧看，一共两列，左边高度为二，右边高度为一，逐项判断解答即可．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】
本题综合考查幂运算的多个核心知识点，包括合并同类项法则“同类项的系数相加，字母和指数不变”、同底数幂的除法“”、积的乘方“”．解题的关键是熟练掌握各类运算的法则，对每个选项逐一验证，通过排除法确定正确答案.
5．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：A、平均数是3，方差是0；
B、平均数数是3，方差为；
C、平均数数是3，方差为；
D、平均数数是3，方差为；
∴方程最大的一组是D，
故答案为：D.
【分析】根据方差的计算，再比较方差的结果即可求解.
6．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴，，
当时，，
而一定成立，
所以选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
【分析】
本题考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（减）同一个数（式），不等号方向不变；（2）不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变；（3）不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变．解题的核心是熟练掌握不等式的三条基本性质，对每个选项逐一分析判断，同时注意特殊情况的验证，确保结论的普适性.
7．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x人，由题意得，
故答案为：A．
【分析】设有x人，根据题意列出方程即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知平分，，
，
，
，
故选：B．
【分析】
本题是尺规作图与三角形角度计算的综合题，核心考点包括角平分线的尺规作图性质“角平分线将角分为两个相等的角”、等腰三角形的等边对等角、三角形内角和定理“三角形内角和为180度”、三角形外角性质“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和”. 解题的关键是先从作图痕迹中提取有效信息：AF是的角平分线，且CA=CH，再结合三角形内角和求出相关角度，最后利用三角形内角和或外角性质计算目标角度.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：，
反比例函数经过第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小；
A、若且，则，所以，故此选项错误，不符合题意；
B、若，无法判断与的符号是否相同，所以无法判断和的大小关系，故此选项错误，不符合题意；
C、若且，则，所以，故此选项正确，符合题意；
D、若，无法判断与的符号是否相同，所以无法判断和的大小关系，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题考查反比例函数的图象与性质：的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小. 解题的核心是先根据比例系数的符号确定函数图象所在的象限，以及每个象限内的增减性，再结合自变量的取值范围与符号，逐一分析每个选项的正确性.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由正方形的性质可得，
由折叠的性质可得，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
本题是正方形折叠的综合题，核心考点包括折叠的性质“折叠前后对应边相等、对应角相等”、勾股定理“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”以及相似三角形的性质与判定“两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例”.
借助折叠的特性，找出相等的线段，再结合正方形边长为1的条件，设，则. 随后在直角三角形中，运用勾股定理构建关于m的方程，解出m与x的关系. 接着，通过证明三角形与三角形相似，利用相似三角形的比例性质，推导出DG的表达式. 最后，根据正方形边长AG+DG=1，将AG设为y，整理等式后即可判断哪个代数式的值保持不变.
11．【答案】4.1×104
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：41000=4.1×104.
故答案为：4.1×104.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．
故答案为：
【分析】
本题核心考查两步独立事件的概率计算，树状图法是解决这类问题的经典工具，能够系统、完整地枚举所有可能的结果，避免遗漏或重复. 熟练掌握概率的基本公式，明确“概率=目标事件的结果数与所有等可能结果的总数之比”，是快速解题的核心. 通过绘制树状图，我们可以清晰的看到两次选择共有25种等可能结果，其中先发出“商”音、再发出“羽”音的结果仅1种，代入公式即可求出对应概率.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵所对的圆周角是，所对的圆心角是，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】
本题考查圆的相关计算，核心考点包括圆周角定理和弧长公式. 解题的关键是先根据圆周角定理，由圆周角的度数求出对应圆心角的度数，再将圆心角度数、半径代入弧长公式，计算出的长度.
14．【答案】
【知识点】解二元一次方程；解分式方程
【解析】【解答】解：由原式，
两边同乘x得：yx=1-x
移项得：yx+x=1
提取公因式x：x(y+1)=1
解得：
故答案为：.
【分析】将y当作已知数来求解即可.
15．【答案】
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据题意，设行驶的路程与油箱剩余油量的函数解析式为，
当时，，
∴，
解得，，
∴，
当是，，
解得，，
∴小明家的轿车至多开公里就必须去加油，
故答案为： ．
【分析】
本题是一次函数在实际生活中的典型应用，核心考查一次函数的建模与求解. 解题关键是先通过表格中的数据，用待定系数法求出行驶路程与油箱剩余油量的一次函数关系，再结合“油箱至少保留5L油才能正常行驶”的限制条件，代入函数式求解对应的最大行驶路程. 熟练掌握待定系数法和一次函数的实际意义，是解决这类问题的核心.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；一元二次方程的应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，，
，
平分，
，
又，
，
，，
，
，
四边形的内角和为，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，即，
解得：，（舍去负值），
．
故答案为：．
【分析】
本题涉及图形的旋转性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质. 利用旋转的性质得AD=AC=AB. 首先，根据角平分线的定义，结合旋转得到的等边关系，证明，从而得到等关键角的关系. 接着，利用三角形内角和定理以及四边形内角和为360度的性质，结合已知的，计算出和的度数，进而推出AC=CE. 最后，通过设未知数AE=a，表示出相关线段长度，证明，利用相似三角形的比例关系构建方程，求解出AE的长度.
17．【答案】解：（1）原式
；
解：（2）原式
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根
【解析】【分析】本题综合考察实数运算与整式化简，涵盖零指数幂、负整数指数幂、算数平方根、完全平方公式等多个基础知识点.
（1）先分别计算零指数幂、负整数指数幂和算术平方根，再进行加减运算；
（2）先利用完全平方公式展开，利用单项式乘多项式法则计算，再去括号、合并同类项.
18．【答案】（1）解：3x-3-2x=-6
3x-2x=-6+3
x=-3
（2）解：x2+3(x+1)=(x+1)x
x2+3x+3=x2+x
2x=-3
X=-
经检验x+1≠0，x≠0，x=是方程的解
【知识点】解含括号的一元一次方程；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)去括号、移项、合并同类项等步骤解一元次方程；
(2)通过通分转化为整式方程，去括号、移项、合并同类项，分式方程去分母后需验证解.
19．【答案】（1）解：人，
答：估计活动结束后有275人能背诵7首及其以上.
（2）3，
（3）解：活动后，从平均数分析，样本的人均诵背数量增加了1首多；众数从3到6，说明效果明显，中位数从4提升到了6，说明大部分人都在进步，活动取得了较好的效果．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（2）由条形统计图可得会背3首的人数最多，
∴，
，
故答案为：3，；
【分析】
本题是统计知识的综合应用题，核心围绕条形统计图展开，融合了用样本估计总体、众数、中位数等多个统计核心知识点. 解题的核心前提是读懂条形统计图，准确提取活动前后的各组频数，再结合统计量的定义完成计算与分析.
（1）关键是先计算样本中能背诵7首（含7首）以上的学生占比，再用“用样本估计总体”的思想，乘以全校总人数，估算出全校符合条件的学生数量；
（2）根据众数的定义，找出活动前出现次数最多的数值得到m，再利用加权平均数公式，代入活动后各组的背诵数量与对应人数，计算出活动后的平均背诵量；
（3）从平均数、中位数、众数三个不同维度，对比活动前后的统计量变化，从“整体水平”“中间水平”“多数水平”三个角度，全面评价本次“西湖经典诗词背诵”系列活动的实际效果.
（1）解：人，
答：估计活动结束后有275人能背诵7首及其以上；
（2）解：由条形统计图可得会背3首的人数最多，
∴，
，
故答案为：3，；
（3）解：活动后，从平均数分析，样本的人均诵背数量增加了1首多；众数从3到6，说明效果明显，中位数从4提升到了6，说明大部分人都在进步，活动取得了较好的效果．
20．【答案】（1）证明：，D为中点，
，
，
，
为的中垂线，
，
，
．
（2）解：为的中垂线，，，，
，
∴由勾股定理得：
，
，
，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质以及相似三角形的判定与性质.
（1）首先利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半这一性质，得到AD=CD，进而推出. 再根据线段垂直平分线的性质，得到BE=CE，即，从而完成证明；
（2）先根据线段垂直平分线的性质和勾股定理，求出. 通过证明，利用相似三角形对应边成比例的性质，求出AC的长度，最后用AC减去CE，得到AE的长度.
（1）证明：，D为中点，
，
，
，
为的中垂线，
，
，
．
（2）解：为的中垂线，，
，，
，
∴由勾股定理得：
，
，
，
，
，
．
21．【答案】（1）解：设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
.
（2）解：摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，于点D．
当摆球运动至点C时，于点E，
，
在中，，，
，，
，
，
．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题是解直角三角形的实际应用题，核心考查勾股定理和锐角三角函数的应用．
（1）关键是设未知数，即设，则，在直角三角形OBD中，根据勾股定理，代入数值即可列出方程求解x，进而得到OB的长度；
（2）已知和的度数，以及ED的长度，利用余弦函数的定义，分别将OD和OE用OB（即OA）表示出来，再根据ED=OE-OD的数量关系，代入已知数据，通过近似计算求出OA的长度.
（1）解：设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
；
（2）解：摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，于点D．
当摆球运动至点C时，于点E，
，
在中，，，
，，
，
，
．
22．【答案】（1）证明：为中点，
，
，
四边形为平行四边形，
在中，，D为中点，
，
，
为矩形.
（2）①解：四边形为矩形
，，，
，
又，
，
；
②证明：，
，
，
又，
，
，
，即，
．
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题是等腰三角形与矩形的综合证明题，核心考点包括矩形的判定与性质、等腰三角形的三线合一、相似三角形的判定与性质.
（1）首先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，结合已知的中点条件与线段相等关系，判定四边形ADBF为平行四边形；然后结合等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC，D为BC中点，推得，再利用“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”，完成矩形的判定；
（2）①由矩形的性质得到AE=DE，，DF=2DE，进而推出；再结合三角形外角定理，用与表示出；最后根据三角形内角和定理，用180度减去与，即可得到的表达式；
② 已知，结合①的结论推出，即；再结合公共角，判定 ；最后根据相似三角形的对应边成比例，结合DF=2DE的关系，对比例式进行变形，即可推导出最终的等式结论.
（1）证明：为中点，
，
，
四边形为平行四边形，
在中，，D为中点，
，
，
为矩形；
（2）①解：四边形为矩形
，，，
，
又，
，
；
②证明：，
，
，
又，
，
，
，即，
．
23．【答案】（1）解：由题意得，二次函数解析式为，∴二次函数顶点坐标为.
（2）解：∵此函数图象与x轴只有一个交点，且过点，∴，
解得或，
∴二次函数解析式为或.
（3）解：∵二次函数的对称轴为直线，∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∵，
∴二次函数开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
当，即时，
∵当时，函数取到最大值为1，
∴，
∴；
当时，时取到最大值，把代入函数得：，，
时，．
综上所述，．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的顶点式，顶点坐标为（）、二次函数与x轴的交点，以及对称轴与最值等核心考点.
（1）关键是将一般式化为顶点式，直接得到顶点坐标；
（2）结合判别式和待定系数法求解解析式；
（3）需要根据对称轴和函数的增减性，分情况讨论最大值的位置，从而求解参数c的取值范围.
（1）解：由题意得，二次函数解析式为，
∴二次函数顶点坐标为；
（2）解：∵此函数图象与x轴只有一个交点，且过点，
∴，
解得或，
∴二次函数解析式为或；
（3）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∵，
∴二次函数开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
当，即时，
∵当时，函数取到最大值为1，
∴，
∴；
当时，时取到最大值，把代入函数得：，，
时，．
综上所述，．
24．【答案】（1）解：是斜边上的中点，
，
，
，
，
四边形内接于圆，
.
（2）如图，过E作交于点H，
，，
，
，
，
，
.
（3）如图，过B作，交延长线于点M，在上作，
，，
∴，
，
，
，，
又，，
，
，，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
本题是圆与直角三角形的综合题，融合了圆内接四边形、直接三角形斜边中线、相似、全等多个核心知识点.（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得到CD=BD，推出等腰三角形的底角；再结合CE=CF的条件，利用等腰三角形内角和计算出的度数；利用圆内接四边形的对角互补（或外角等于内对角），将与建立等量关系，直接得出的度数；
（2）过点E作交BD于点H，利用平行线分线段成比例定理，结合已知的 ，先得到；再结合D为AB中点的条件，推导出；最后再次利用平行线分线段成比例定理，得到，从而求出比值；
（3）过点B作，交AE的延长线于点M，先利用平行线分线段成比例定理证明AF=FM；再在BD上截取BH=BM，构造与，利用SAS证明，得到EH=EM；最后结合圆内接四边形的性质与等腰三角形的判定，证明EH=EG， 将线段和EG+EF转化为，从而推导出.
（1）解：是斜边上的中点，
，
，
，
，
四边形内接于圆，
；
（2）如图，过E作交于点H，
，，
，
，
，
，
；
（3）如图，过B作，交延长线于点M，在上作，
，，
∴，
，
，
，，
又，，
，
，，
，
．
1 / 1浙江省杭州市上城区2025年中考二模数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 下列各数：-4，0，，，其中最大的数是（　　）
A．-3 B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】实数的大小比较；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数是，
故答案为：C.
【分析】正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.
2．在平面直角坐标系中，点P（-1，3）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】应先判断出所求点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【解答】因为点P（-1，3)的横坐标是负数，纵坐标是正数，所以点P在平面直角坐标系的第二象限．
故选B．
【点评】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
3．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A.，是这个几何体的主视图；
B.，是这个几何体的左视图；
C.，是这个几何体的俯视图；
D.，不是这个几何体的视图．
故选：B．
【分析】根据由左向右观察物体的视图叫做左视图．从该几何体的左侧看，一共两列，左边高度为二，右边高度为一，逐项判断解答即可．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】
本题综合考查幂运算的多个核心知识点，包括合并同类项法则“同类项的系数相加，字母和指数不变”、同底数幂的除法“”、积的乘方“”．解题的关键是熟练掌握各类运算的法则，对每个选项逐一验证，通过排除法确定正确答案.
5．下列四组数据中方差最大的一组是（　　）
A．3，3，3，3，3 B．2， 3，3，3，4
C．1，2， 3，4， 5 D．0，0，3，6，6
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：A、平均数是3，方差是0；
B、平均数数是3，方差为；
C、平均数数是3，方差为；
D、平均数数是3，方差为；
∴方程最大的一组是D，
故答案为：D.
【分析】根据方差的计算，再比较方差的结果即可求解.
6．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴，，
当时，，
而一定成立，
所以选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
【分析】
本题考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（减）同一个数（式），不等号方向不变；（2）不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变；（3）不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变．解题的核心是熟练掌握不等式的三条基本性质，对每个选项逐一分析判断，同时注意特殊情况的验证，确保结论的普适性.
7．《九章算术》是中国古代的数学专著，其第七章的一道题译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有人，可列方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x人，由题意得，
故答案为：A．
【分析】设有x人，根据题意列出方程即可。
8．如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，与交于点，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，交于点，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知平分，，
，
，
，
故选：B．
【分析】
本题是尺规作图与三角形角度计算的综合题，核心考点包括角平分线的尺规作图性质“角平分线将角分为两个相等的角”、等腰三角形的等边对等角、三角形内角和定理“三角形内角和为180度”、三角形外角性质“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和”. 解题的关键是先从作图痕迹中提取有效信息：AF是的角平分线，且CA=CH，再结合三角形内角和求出相关角度，最后利用三角形内角和或外角性质计算目标角度.
9．已知点，，是反比例函数（k为常数）图象上的三点，若，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：，
反比例函数经过第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小；
A、若且，则，所以，故此选项错误，不符合题意；
B、若，无法判断与的符号是否相同，所以无法判断和的大小关系，故此选项错误，不符合题意；
C、若且，则，所以，故此选项正确，符合题意；
D、若，无法判断与的符号是否相同，所以无法判断和的大小关系，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题考查反比例函数的图象与性质：的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小. 解题的核心是先根据比例系数的符号确定函数图象所在的象限，以及每个象限内的增减性，再结合自变量的取值范围与符号，逐一分析每个选项的正确性.
10．如图，点E、F是边长为1的正方形的边上的点，将正方形沿折叠，使得点B的对应点在边上，的对应边交于点G，记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由正方形的性质可得，
由折叠的性质可得，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
本题是正方形折叠的综合题，核心考点包括折叠的性质“折叠前后对应边相等、对应角相等”、勾股定理“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”以及相似三角形的性质与判定“两角分别相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例”.
借助折叠的特性，找出相等的线段，再结合正方形边长为1的条件，设，则. 随后在直角三角形中，运用勾股定理构建关于m的方程，解出m与x的关系. 接着，通过证明三角形与三角形相似，利用相似三角形的比例性质，推导出DG的表达式. 最后，根据正方形边长AG+DG=1，将AG设为y，整理等式后即可判断哪个代数式的值保持不变.
二、填空题：每小题3分，共18分．
11．2025年杭州市参加中考人数约为41000人，将41000用科学记数法表示为　 　。
【答案】4.1×104
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：41000=4.1×104.
故答案为：4.1×104.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
12．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．
故答案为：
【分析】
本题核心考查两步独立事件的概率计算，树状图法是解决这类问题的经典工具，能够系统、完整地枚举所有可能的结果，避免遗漏或重复. 熟练掌握概率的基本公式，明确“概率=目标事件的结果数与所有等可能结果的总数之比”，是快速解题的核心. 通过绘制树状图，我们可以清晰的看到两次选择共有25种等可能结果，其中先发出“商”音、再发出“羽”音的结果仅1种，代入公式即可求出对应概率.
13．如图，是在上的点，，，则的长为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵所对的圆周角是，所对的圆心角是，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】
本题考查圆的相关计算，核心考点包括圆周角定理和弧长公式. 解题的关键是先根据圆周角定理，由圆周角的度数求出对应圆心角的度数，再将圆心角度数、半径代入弧长公式，计算出的长度.
14． 将公式y=变形成用y表示x，则x=　 　。
【答案】
【知识点】解二元一次方程；解分式方程
【解析】【解答】解：由原式，
两边同乘x得：yx=1-x
移项得：yx+x=1
提取公因式x：x(y+1)=1
解得：
故答案为：.
【分析】将y当作已知数来求解即可.
15．春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约的青岛旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据：
轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
若该轿车满油为，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有及以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开　 　公里就必须去加油．
【答案】
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：根据题意，设行驶的路程与油箱剩余油量的函数解析式为，
当时，，
∴，
解得，，
∴，
当是，，
解得，，
∴小明家的轿车至多开公里就必须去加油，
故答案为： ．
【分析】
本题是一次函数在实际生活中的典型应用，核心考查一次函数的建模与求解. 解题关键是先通过表格中的数据，用待定系数法求出行驶路程与油箱剩余油量的一次函数关系，再结合“油箱至少保留5L油才能正常行驶”的限制条件，代入函数式求解对应的最大行驶路程. 熟练掌握待定系数法和一次函数的实际意义，是解决这类问题的核心.
16．如图，线段绕点A逆时针旋转得到线段，，已知，连接线段并延长，与的平分线交于点E，若，，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；一元二次方程的应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，，
，
平分，
，
又，
，
，，
，
，
四边形的内角和为，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，即，
解得：，（舍去负值），
．
故答案为：．
【分析】
本题涉及图形的旋转性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质. 利用旋转的性质得AD=AC=AB. 首先，根据角平分线的定义，结合旋转得到的等边关系，证明，从而得到等关键角的关系. 接着，利用三角形内角和定理以及四边形内角和为360度的性质，结合已知的，计算出和的度数，进而推出AC=CE. 最后，通过设未知数AE=a，表示出相关线段长度，证明，利用相似三角形的比例关系构建方程，求解出AE的长度.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】解：（1）原式
；
解：（2）原式
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根
【解析】【分析】本题综合考察实数运算与整式化简，涵盖零指数幂、负整数指数幂、算数平方根、完全平方公式等多个基础知识点.
（1）先分别计算零指数幂、负整数指数幂和算术平方根，再进行加减运算；
（2）先利用完全平方公式展开，利用单项式乘多项式法则计算，再去括号、合并同类项.
18．解方程：
（1）；
（2）。
【答案】（1）解：3x-3-2x=-6
3x-2x=-6+3
x=-3
（2）解：x2+3(x+1)=(x+1)x
x2+3x+3=x2+x
2x=-3
X=-
经检验x+1≠0，x≠0，x=是方程的解
【知识点】解含括号的一元一次方程；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)去括号、移项、合并同类项等步骤解一元次方程；
(2)通过通分转化为整式方程，去括号、移项、合并同类项，分式方程去分母后需验证解.
19．某校组织全校1000名学生进行“西湖经典诗词诵背”活动．为了解本次系列活动的效果，学校团委在活动之初，随机抽取40名学生调查“西湖经典诗词诵背”情况，根据调查结果绘制了如下统计图：
活动结束后，再次调查这40名学生“西湖经典诗词诵背”情况，绘制了如下统计图：
中位数 众数 平均数
活动前“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 4 4.35
活动后“西湖经典诗词诵背”数量（单位：首） 6 6
请根据调查的信息分析：
（1）估计活动结束后该校学生能诵背7首（含7首）以上的人数；
（2） ， ；
（3）选择适当的统计量，至少从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校“西湖经典诗词诵背”系列活动的效果．
【答案】（1）解：人，
答：估计活动结束后有275人能背诵7首及其以上.
（2）3，
（3）解：活动后，从平均数分析，样本的人均诵背数量增加了1首多；众数从3到6，说明效果明显，中位数从4提升到了6，说明大部分人都在进步，活动取得了较好的效果．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（2）由条形统计图可得会背3首的人数最多，
∴，
，
故答案为：3，；
【分析】
本题是统计知识的综合应用题，核心围绕条形统计图展开，融合了用样本估计总体、众数、中位数等多个统计核心知识点. 解题的核心前提是读懂条形统计图，准确提取活动前后的各组频数，再结合统计量的定义完成计算与分析.
（1）关键是先计算样本中能背诵7首（含7首）以上的学生占比，再用“用样本估计总体”的思想，乘以全校总人数，估算出全校符合条件的学生数量；
（2）根据众数的定义，找出活动前出现次数最多的数值得到m，再利用加权平均数公式，代入活动后各组的背诵数量与对应人数，计算出活动后的平均背诵量；
（3）从平均数、中位数、众数三个不同维度，对比活动前后的统计量变化，从“整体水平”“中间水平”“多数水平”三个角度，全面评价本次“西湖经典诗词背诵”系列活动的实际效果.
（1）解：人，
答：估计活动结束后有275人能背诵7首及其以上；
（2）解：由条形统计图可得会背3首的人数最多，
∴，
，
故答案为：3，；
（3）解：活动后，从平均数分析，样本的人均诵背数量增加了1首多；众数从3到6，说明效果明显，中位数从4提升到了6，说明大部分人都在进步，活动取得了较好的效果．
20．如图，在中，，边上的垂直平分线分别交于点D和点E，连结．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：，D为中点，
，
，
，
为的中垂线，
，
，
．
（2）解：为的中垂线，，，，
，
∴由勾股定理得：
，
，
，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质以及相似三角形的判定与性质.
（1）首先利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半这一性质，得到AD=CD，进而推出. 再根据线段垂直平分线的性质，得到BE=CE，即，从而完成证明；
（2）先根据线段垂直平分线的性质和勾股定理，求出. 通过证明，利用相似三角形对应边成比例的性质，求出AC的长度，最后用AC减去CE，得到AE的长度.
（1）证明：，D为中点，
，
，
，
为的中垂线，
，
，
．
（2）解：为的中垂线，，
，，
，
∴由勾股定理得：
，
，
，
，
，
．
21．单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作于点D．当摆球运动至点C时，过点C作于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）．
（1）若，，求的长；
（2）若，，，求的长．（，，，，，，结果精确到0.1cm）
【答案】（1）解：设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
.
（2）解：摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，于点D．
当摆球运动至点C时，于点E，
，
在中，，，
，，
，
，
．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题是解直角三角形的实际应用题，核心考查勾股定理和锐角三角函数的应用．
（1）关键是设未知数，即设，则，在直角三角形OBD中，根据勾股定理，代入数值即可列出方程求解x，进而得到OB的长度；
（2）已知和的度数，以及ED的长度，利用余弦函数的定义，分别将OD和OE用OB（即OA）表示出来，再根据ED=OE-OD的数量关系，代入已知数据，通过近似计算求出OA的长度.
（1）解：设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
；
（2）解：摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，于点D．
当摆球运动至点C时，于点E，
，
在中，，，
，，
，
，
．
22．已知：如图，在中，，D，E分别为，中点，连结并延长，使．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）记，．
①求（用含，的代数式表示）；
②若，求证：．
【答案】（1）证明：为中点，
，
，
四边形为平行四边形，
在中，，D为中点，
，
，
为矩形.
（2）①解：四边形为矩形
，，，
，
又，
，
；
②证明：，
，
，
又，
，
，
，即，
．
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题是等腰三角形与矩形的综合证明题，核心考点包括矩形的判定与性质、等腰三角形的三线合一、相似三角形的判定与性质.
（1）首先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，结合已知的中点条件与线段相等关系，判定四边形ADBF为平行四边形；然后结合等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC，D为BC中点，推得，再利用“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”，完成矩形的判定；
（2）①由矩形的性质得到AE=DE，，DF=2DE，进而推出；再结合三角形外角定理，用与表示出；最后根据三角形内角和定理，用180度减去与，即可得到的表达式；
② 已知，结合①的结论推出，即；再结合公共角，判定 ；最后根据相似三角形的对应边成比例，结合DF=2DE的关系，对比例式进行变形，即可推导出最终的等式结论.
（1）证明：为中点，
，
，
四边形为平行四边形，
在中，，D为中点，
，
，
为矩形；
（2）①解：四边形为矩形
，，，
，
又，
，
；
②证明：，
，
，
又，
，
，
，即，
．
23．已知二次函数（b，c为常数），
（1）若，，求此二次函数的顶点坐标；
（2）若此函数图象与x轴只有一个交点，且过点，求函数表达式；
（3）若此函数的对称轴为直线，且当时，函数取到最大值为1，求c的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，二次函数解析式为，∴二次函数顶点坐标为.
（2）解：∵此函数图象与x轴只有一个交点，且过点，∴，
解得或，
∴二次函数解析式为或.
（3）解：∵二次函数的对称轴为直线，∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∵，
∴二次函数开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
当，即时，
∵当时，函数取到最大值为1，
∴，
∴；
当时，时取到最大值，把代入函数得：，，
时，．
综上所述，．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的顶点式，顶点坐标为（）、二次函数与x轴的交点，以及对称轴与最值等核心考点.
（1）关键是将一般式化为顶点式，直接得到顶点坐标；
（2）结合判别式和待定系数法求解解析式；
（3）需要根据对称轴和函数的增减性，分情况讨论最大值的位置，从而求解参数c的取值范围.
（1）解：由题意得，二次函数解析式为，
∴二次函数顶点坐标为；
（2）解：∵此函数图象与x轴只有一个交点，且过点，
∴，
解得或，
∴二次函数解析式为或；
（3）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∵，
∴二次函数开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
当，即时，
∵当时，函数取到最大值为1，
∴，
∴；
当时，时取到最大值，把代入函数得：，，
时，．
综上所述，．
24．如图，在中，，D是中点，E是上的动点（不与端点B，C重合），连接与交于点F，过E，F，D三点的圆与交于点G（不与B，D重合），连接．
（1）若，，求的度数；
（2）若，求的值；
（3）求证：．
【答案】（1）解：是斜边上的中点，
，
，
，
，
四边形内接于圆，
.
（2）如图，过E作交于点H，
，，
，
，
，
，
.
（3）如图，过B作，交延长线于点M，在上作，
，，
∴，
，
，
，，
又，，
，
，，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
本题是圆与直角三角形的综合题，融合了圆内接四边形、直接三角形斜边中线、相似、全等多个核心知识点.（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得到CD=BD，推出等腰三角形的底角；再结合CE=CF的条件，利用等腰三角形内角和计算出的度数；利用圆内接四边形的对角互补（或外角等于内对角），将与建立等量关系，直接得出的度数；
（2）过点E作交BD于点H，利用平行线分线段成比例定理，结合已知的 ，先得到；再结合D为AB中点的条件，推导出；最后再次利用平行线分线段成比例定理，得到，从而求出比值；
（3）过点B作，交AE的延长线于点M，先利用平行线分线段成比例定理证明AF=FM；再在BD上截取BH=BM，构造与，利用SAS证明，得到EH=EM；最后结合圆内接四边形的性质与等腰三角形的判定，证明EH=EG， 将线段和EG+EF转化为，从而推导出.
（1）解：是斜边上的中点，
，
，
，
，
四边形内接于圆，
；
（2）如图，过E作交于点H，
，，
，
，
，
，
；
（3）如图，过B作，交延长线于点M，在上作，
，，
∴，
，
，
，，
又，，
，
，，
，
．
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