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浙江省台州市黄岩区2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列人工智能的图标中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【分析】
本题考查中心对称图形的识别，核心考点是中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形. 解题的关键是严格按照定义，判断每个图形绕某一点旋转180度后能否与自身重合，通过逐一排除错误选项，确定正确答案.
2．二次根式有意义的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，解得：．
故选：D．
【分析】
本题考查二次根式有意义的核心条件，二次根式的被开方数必须为非负数，这是解决这类取值范围问题的根本依据. 解题时，只需根据这一性质列出不等式，求解即可得到自变量的取值范围.
3．截至2025年4月23日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破15720000000元，数据15720000000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 15720000000=1.572×1010，
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的表示形式即可得出答案.
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．下列运算正确的是（　　）
A．4 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故选：D．
【分析】
本题聚焦整式运算的核心法则，涵盖合并同类项、同底数幂乘法，幂的乘方、单项式乘单项式四大基础考点. 解题核心在于精准掌握每一类运算的底层逻辑：合并同类项需遵循“系数相加减，字母与指数不变”；同底数幂相乘遵循“底数不变，指数相加”；幂的乘方遵循“底数不变，指数相乘”；单项式乘单项式则需“系数相乘，同底数幂分别相乘”. 通过对四个选项逐一依据对应法则化简验证，即可快速筛选出运算正确的选项.
5．若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.∵ ，若令a=2，b=1，则，故A错误，不符合题意；
B.∵ ，
∴，故B错误，不符合题意；
C.∵ ，
∴，故C正确，符合题意；
D.∵. ，
∴且c≠0，故D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质判断即可得出正确答案.
不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变；
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变.
6．如图，的对角线相交于点，点是的中点，连结．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵的对角线相交于点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
此题综合考查平行四边形的核心性质与三角形中位线定理的应用. 解题的关键突破口在于：首先根据平行四边形对角线互相平分的性质，得到；再结合点E是AB中点的条件，判定是的中位线；由中位线定理可知，最后根据“两直线平行，同位角相等”的平行线性质，即可推出的度数.
7．十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票表达对中国新年的祝福．甲同学把“龙”、“蛇”、“虎”3张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学随机抽到的2张邮票恰好是“龙”和“蛇”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：如下图所示，
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中抽到的2张邮票恰好是“龙”和“蛇”的有种情况，
抽到的2张邮票恰好是“龙”和“蛇”的概率是．
故选：B．
【分析】
本题围绕古典概型的概率计算展开，核心考点是树状图法枚举所有等可能事件. 解题关键在于：先通过树状图完整列出从3张邮票中随机抽取2张的所有等可能情况，再从中筛选出恰好抽到“龙”和“蛇”的情况数，最后根据概率公式，计算出目标事件的概率.
8．中国古代数学著作《增删算法统宗》记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，则每尺绫、每尺绢各值多少分？已知1钱等于10分，设1尺绫值分，1尺绢值分，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设1尺绫值分，1尺绢值分，根据题意得：
，
故答案为：B。
【分析】设1尺绫值分，1尺绢值分，根据“绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分”，列出方程组： 然后再解方程即可。
9．如图，已知的半径长是分别切于点，连结并延长交于点，连结．若四边形是菱形，则的长是（　　）
A．5 B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；切线的性质；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
切于点，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】
本题是圆与菱形的综合几何题，核心考点涵盖切线性质、菱形性质与特殊直角三角形的边长规律. 解题的关键步骤为：首先连接，，利用切线性质得到，即；再结合菱形的性质，推导出，进而由圆周角定理得到，最后推出；最后根据“30度角所对的直角边等于斜边的一半”，求出，结合圆的直径，即可得到BD的总长．
10．已知点在反比例函数的图象上，若，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，
函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，
，
A、若，则或，
当时，，
选项结论错误，不符合题意；
B、若，则或，
当时，，
选项结论错误，不符合题意；
C、若，则，不能确定和的符号，
∴或，
选项结论错误，不符合题意；
D、若，则，
∴，
选项结论正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查反比例函数的图象与性质，核心考点是时函数的象限分布与单调性. 解题的关键在于：明确该函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，的值随的增大而减小；再结合的大小关系，对每个选项分“全正、全负、一正一负”三种情况逐一分析，验证结论是否一定成立.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x2-16= 　 　.
【答案】（x-4）（x+4）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
【分析】由平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=（x-4）（x+4）.
12．甲、乙两位同学近4次中考数学模拟考试成绩的平均分相同，方差如下：，，则甲、乙两位同学4次模拟考成绩更稳定的是　 　．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：，，
，
甲、乙两位同学4次模考成绩更稳定的是甲．
故答案为：甲．
【分析】
本题围绕方差的实际意义展开，核心考点是用方差判断数据的稳定性. 关键在于掌握方差的本质：方差是衡量一组数据相对于平均值离散程度的统计量，方差越大，说明数据的波动幅度越大，成绩的稳定性越差；反之，方差越小，数据越集中，稳定性越好. 通过对比甲乙两位同学的方差大小，即可判断出成绩更稳定的一方.
13．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由旋转得，，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题综合考查直角三角形，图形旋转与等腰三角形的性质，核心考点是旋转前后图形的全等性. 解题的关键在于：首先在直角三角形ABC中，由、，求出；再根据旋转的性质，得到旋转前后对应边，即为等腰三角形；最后由等腰三角形“等边对等角”的性质即可求出的度数．
14．已知一次函数（为常数，）的图象如图所示，当时，的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得：一次函数与轴的交点为，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式的关联，核心考点是数形结合思想的应用. 解题的关键在于：先从函数图象中读取一次函数与x轴的交点坐标；再明确的几何意义是函数图象位于x轴下方的部分，结合函数的单调性，即可直接确定x的取值范围.
15．如图，在和中，，平分．若，，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，分别延长相交于点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
故答案为：4．
【分析】
本题是全等三角形与勾股定理的综合计算题，核心考点是全等三角形的判定与等面积法的应用. 解题的关键步骤为：首先延长交于点E，证明，得到，，再用勾股定理求出的长度，最后在中利用等面积法，建立关于的等式，求解出AC的长度．
16．如图，已知正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，当正方形的顶点是的中点时，矩形与正方形的面积相等，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于点，交于点，
设，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
矩形与正方形的面积相等，
，
，
，
，
，（舍，
，
则的长为；
故答案为：．
【分析】
本题综合考查正方形、矩形的性质与全等三角形的应用，核心考点是方程思想在几何计算中的运用. 解题的关键在于：过点作，构造全等三角形，用未知数表示出相关线段的长度，即，；再根据“矩形ABNM与正方形FGCE的面积相等”这一条件，列出关于AM的一元二次方程，，求解后结合实际意义筛选出符合条件的解.
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．计算：．
【答案】解：原式

【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】熟练掌握各类运算的核心性质，按运算顺序分步化简，再合并同类二次根式. 本题围绕实数的混合运算展开，核心考查零指数幂、二次根式与绝对值的运算规则. 解题的核心在于：先根据零指数幂的定义计算，再对进行二次根式化简，同时处理绝对值符号，最后将各项结果合并同类二次根式，即可得到最终答案.
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题围绕分式的化简求值展开，核心是掌握分式混合运算的运算顺序与法则，先对括号内的部分通分计算，再将除法运算转化为乘法运算，结合因式分解进行约分，得到最简形式后，再代入给定的数值结算结果．
19．在中，，点为边上的一点，．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：，
，
.
（2）解：且，
，
在中，，
．
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题以直角三角形为载体，全面考查解直角三角形的核心知识.
（1）借助正切函数的定义，结合已知边长求解AB的长度；
（2）根据线段关系求出求出，再在直角三角形ABD中用勾股定理算出，最后根据正弦函数的定义，求出的值，整个过程需熟练掌握直角三角形中边角关系的应用.
（1）解：，
，
，
（2）解：且，
，
在中，，
．
20．为全面评估八年级学生的排球垫球水平，某校体育教师在体育课中随机抽取了部分八年级学生进行专项测试．测试要求学生完成1分钟排球垫球，教师通过统计学生垫球个数，整理数据并绘制了频数分布表及频数分布直方图．现请你结合图表信息回答下列问题：
垫球个数频数分布表
分组 频数 频率
第一组 4
第二组（） 12
第三组
第四组 8
第五组（） 8
（1）频数分布表中___________，___________，并补全频数分布直方图；
（2）所抽取的学生垫球个数的中位数会落在第___________组；
（3）该校八年级学生共有600人，请估计该校八年级垫球个数在40个及以上的学生人数．
【答案】（1），18；图见详解
（2）三
（3）解：（人），
答：估计该校八年级垫球个数在 40 个及以上的学生人数为 96 人．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）（人），
，
，
频数分布直方图为：
故答案为：；
（2），
中位数是第25个数和第26个数的平均数，
所抽取的学生垫球个数的中位数会落在第三组，
故答案为：三；
【分析】
本题围绕统计图表的综合应用展开，考查了频数（率）分布表、频数（率）分布直方图、以及中位数、用样本估计总体等核心统计知识.
（1）首先利用“样本容量=频数/频率”这一核心公式，结合第一组的已知数据计算出抽取的总人数；再根据“频率=频数/样本容量”求出第二组的频率a；最后用样本容量减去其余各组的频数，得到第三组的频数b，从而补全频数分布表，再根据各组频数绘制完整的频数分布直方图；
（2）明确中位数的定义，即把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，处于中间位置的数（或中间两个数的平均数），再结合各组频数判断中位数所在的组；
（3）运用用样本估计总体的思想，利用样本中垫球个数在40 个及以上的频率，去估计全校八年级学生中对应情况的人数.
（1）解：（人），
，
，
频数分布直方图为：
故答案为：；
（2）解：，
中位数是第25个数和第26个数的平均数，
所抽取的学生垫球个数的中位数会落在第三组，
故答案为：三；
（3）解：（人），
答：估计该校八年级垫球个数在 40 个及以上的学生人数为 96 人．
21．如图1，甲、乙两个容器内都装了一定量的水，现将甲容器中的水匀速倒入乙容器中．如图2，线段、线段分别表示容器中水的深度（厘米）与倒入时间（分钟）的函数图象．
（1）请说出点的纵坐标表示的实际意义；
（2）求经过多长时间，甲、乙两个容器中水的深度相等．
【答案】（1）解：点的纵坐标表示的实际意义是乙容器中原有的水的深度是；
（2）解：设直线的解析式为：，
把代入上式得，
解得
；
设直线的解析式为：，
把代入上式得，
解得
；
当时，，解得
分钟时，两容器内水的深度相等．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题是一次函数在实际生活中的典型应用，核心考查对函数图象的理解与一次函数的综合运算.
（1）直接从图象中读取点C的纵坐标，明确其代表的的实际含义；
（2）利用待定系数法，分别求出表示甲乙容器水深的线段的一次函数解析式，再联立两个解析式求解交点，交点对应的横坐标即为两容器水深相等的时间，解题的关键在于准确建立函数模型并求解交点.
（1）解：点的纵坐标表示的实际意义是乙容器中原有的水的深度是；
（2）解：设直线的解析式为：，
把代入上式得，
解得
；
设直线的解析式为：，
把代入上式得，
解得
；
当时，，解得
分钟时，两容器内水的深度相等．
22．在等腰中，，点是的中点，要求用尺规作图的方法在上找一点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）①做法正确的同学有___________；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
【答案】（1）①甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知平分，
，
，
，
又点为的中点，
；
方法二：由图可知平分，
，
为边上的中线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
；
丙的做法证明如下：
方法一：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
又点为的中点，
；
方法二：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
．
（2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E，
则．
其他做法酌情给分
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】
解：（1）①做法正确的同学有甲、丙；
【分析】
本题是尺规作图与几何证明的综合题，融合了等腰三角形的性质、直接三角形斜边中线定理、三角形中位线定理等多个核心知识点.
（1）需结合作图痕迹，分析甲乙丙三位同学的做法是否符合的要求，再选择正确做法，利用等腰三角形性质、直角三角形斜边中线定理或中位线定理完成证明；
（2）需根据几何原理，设计不同于三位同学的尺规作图方案，解题的关键是熟练掌握相关几何定理，能将作图痕迹与几何性质对应起来.
（1）解：①做法正确的同学有甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知平分，
，
，
，
又点为的中点，
；
方法二：由图可知平分，
，
为边上的中线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
；
丙的做法证明如下：
方法一：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
又点为的中点，
；
方法二：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
．
（2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E，
则．
其他做法酌情给分
23．已知二次函数（是常数）的图象经过．
（1）当时，求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象经过，
①在（1）的条件下，当时，，求的值；
②若，恒有，求的取值范围．
【答案】（1）解：，
点坐标为，
二次函数的图象经过，
，
解得，
二次函数的表达式是.
（2）解：①当时，，，
，
，
②
抛物线开口向上，
，恒有，
∴点M到对称轴的距离大于点 N到对称轴的距离，
，
，
，
.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式的方法，利用二次函数的对称性分析点的位置关系，结合函数单调性比较函数值大小.
（1）通过待定系数法，将已知点的坐标代入函数式，求解参数得到二次函数表达式；
（2）利用二次函数上点的坐标特征，结合的条件建立方程，求解后，再代入计算；②结合二次函数开口向上的性质，分析时，恒有，结合对称轴公式建立不等式，求解m的取值范围，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性与单调性.
（1）解：，
点坐标为，
二次函数的图象经过，
，
解得，
二次函数的表达式是；
（2）解：①当时，，
，
，
，
②
抛物线开口向上，
，恒有，
∴点M到对称轴的距离大于点 N到对称轴的距离，
，
，
，
24．如图1，是的直径，点是圆上一点（，除外），点，在上，满足的延长线分别交于点．记，
（1）若，求的度数；
（2）连结，求证：；
（3）如图2，连结并延长，交于点，若，
①求的值；
②请直接写出的值
【答案】（1）解：是的直径，
，
，
，
，，
，，
.
（2）证明：是的直径，
，
，
，
，，
，，
．
连结，，
则，
，
，
.
（3）解：①四边形是圆内接四边形，
，，
，
，
，
设，，则，
，，
，
；
②连接、，过作于点，
由①得，，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
由等面积可得，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角与圆周角的关系，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的定义.（1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°. 已知∠CAB=30°，可算出∠ABC=60°. 再根据AD=AC，BE=BC，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，求出∠ADC=75°，∠BEC=60°，最后通过三角形内角和计算出∠FCG=45°；
（2）先由(1)的方法，可推得∠FCG恒为45°. 连接OF、OG，根据圆周角定理，圆心角∠FOG=2∠FCG=90°，因此是等腰直角三角形，可得FG=√2OG. 又因为AB是直径，AB=2OG，代入即可证得AB=√2FG；
（3） ① 由圆内接四边形的性质，可证，得到相似比 . 再根据，设BF=a，FH=3a，则BH=4a，利用相似比求出HG和HA的长度，进而算出 ；
② 连接BG，AF，过F作FM⊥AB于点M，先证 是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出AB的长度. 接着证明 ，结合等面积法求出相关线段的长度，最后根据三角函数的定义，算出.
（1）解：是的直径，
，
，
，
，，
，，
；
（2）证明：是的直径，
，
，
，
，，
，，
．
连结，，
则，
，
，
；
（3）解：①四边形是圆内接四边形，
，，
，
，
，
设，，则，
，，
，
；
②连接、，过作于点，
由①得，，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
由等面积可得，
，
，
，
．
1 / 1浙江省台州市黄岩区2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列人工智能的图标中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．二次根式有意义的条件是（　　）
A． B． C． D．
3．截至2025年4月23日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房突破15720000000元，数据15720000000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．4 B． C． D．2
5．若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，的对角线相交于点，点是的中点，连结．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票表达对中国新年的祝福．甲同学把“龙”、“蛇”、“虎”3张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学随机抽到的2张邮票恰好是“龙”和“蛇”的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．中国古代数学著作《增删算法统宗》记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，则每尺绫、每尺绢各值多少分？已知1钱等于10分，设1尺绫值分，1尺绢值分，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，已知的半径长是分别切于点，连结并延长交于点，连结．若四边形是菱形，则的长是（　　）
A．5 B． C．6 D．
10．已知点在反比例函数的图象上，若，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x2-16= 　 　.
12．甲、乙两位同学近4次中考数学模拟考试成绩的平均分相同，方差如下：，，则甲、乙两位同学4次模拟考成绩更稳定的是　 　．（填“甲”或“乙”）
13．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，使得点恰好落在上，则的度数为　 　．
14．已知一次函数（为常数，）的图象如图所示，当时，的取值范围是　 　．
15．如图，在和中，，平分．若，，则的长为　 　．
16．如图，已知正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，当正方形的顶点是的中点时，矩形与正方形的面积相等，则的长为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．在中，，点为边上的一点，．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
20．为全面评估八年级学生的排球垫球水平，某校体育教师在体育课中随机抽取了部分八年级学生进行专项测试．测试要求学生完成1分钟排球垫球，教师通过统计学生垫球个数，整理数据并绘制了频数分布表及频数分布直方图．现请你结合图表信息回答下列问题：
垫球个数频数分布表
分组 频数 频率
第一组 4
第二组（） 12
第三组
第四组 8
第五组（） 8
（1）频数分布表中___________，___________，并补全频数分布直方图；
（2）所抽取的学生垫球个数的中位数会落在第___________组；
（3）该校八年级学生共有600人，请估计该校八年级垫球个数在40个及以上的学生人数．
21．如图1，甲、乙两个容器内都装了一定量的水，现将甲容器中的水匀速倒入乙容器中．如图2，线段、线段分别表示容器中水的深度（厘米）与倒入时间（分钟）的函数图象．
（1）请说出点的纵坐标表示的实际意义；
（2）求经过多长时间，甲、乙两个容器中水的深度相等．
22．在等腰中，，点是的中点，要求用尺规作图的方法在上找一点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）①做法正确的同学有___________；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
23．已知二次函数（是常数）的图象经过．
（1）当时，求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象经过，
①在（1）的条件下，当时，，求的值；
②若，恒有，求的取值范围．
24．如图1，是的直径，点是圆上一点（，除外），点，在上，满足的延长线分别交于点．记，
（1）若，求的度数；
（2）连结，求证：；
（3）如图2，连结并延长，交于点，若，
①求的值；
②请直接写出的值
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【分析】
本题考查中心对称图形的识别，核心考点是中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形. 解题的关键是严格按照定义，判断每个图形绕某一点旋转180度后能否与自身重合，通过逐一排除错误选项，确定正确答案.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，解得：．
故选：D．
【分析】
本题考查二次根式有意义的核心条件，二次根式的被开方数必须为非负数，这是解决这类取值范围问题的根本依据. 解题时，只需根据这一性质列出不等式，求解即可得到自变量的取值范围.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 15720000000=1.572×1010，
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的表示形式即可得出答案.
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确．
故选：D．
【分析】
本题聚焦整式运算的核心法则，涵盖合并同类项、同底数幂乘法，幂的乘方、单项式乘单项式四大基础考点. 解题核心在于精准掌握每一类运算的底层逻辑：合并同类项需遵循“系数相加减，字母与指数不变”；同底数幂相乘遵循“底数不变，指数相加”；幂的乘方遵循“底数不变，指数相乘”；单项式乘单项式则需“系数相乘，同底数幂分别相乘”. 通过对四个选项逐一依据对应法则化简验证，即可快速筛选出运算正确的选项.
5．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.∵ ，若令a=2，b=1，则，故A错误，不符合题意；
B.∵ ，
∴，故B错误，不符合题意；
C.∵ ，
∴，故C正确，符合题意；
D.∵. ，
∴且c≠0，故D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质判断即可得出正确答案.
不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变；
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵的对角线相交于点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
此题综合考查平行四边形的核心性质与三角形中位线定理的应用. 解题的关键突破口在于：首先根据平行四边形对角线互相平分的性质，得到；再结合点E是AB中点的条件，判定是的中位线；由中位线定理可知，最后根据“两直线平行，同位角相等”的平行线性质，即可推出的度数.
7．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：如下图所示，
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中抽到的2张邮票恰好是“龙”和“蛇”的有种情况，
抽到的2张邮票恰好是“龙”和“蛇”的概率是．
故选：B．
【分析】
本题围绕古典概型的概率计算展开，核心考点是树状图法枚举所有等可能事件. 解题关键在于：先通过树状图完整列出从3张邮票中随机抽取2张的所有等可能情况，再从中筛选出恰好抽到“龙”和“蛇”的情况数，最后根据概率公式，计算出目标事件的概率.
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设1尺绫值分，1尺绢值分，根据题意得：
，
故答案为：B。
【分析】设1尺绫值分，1尺绢值分，根据“绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分”，列出方程组： 然后再解方程即可。
9．【答案】C
【知识点】菱形的性质；切线的性质；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
切于点，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】
本题是圆与菱形的综合几何题，核心考点涵盖切线性质、菱形性质与特殊直角三角形的边长规律. 解题的关键步骤为：首先连接，，利用切线性质得到，即；再结合菱形的性质，推导出，进而由圆周角定理得到，最后推出；最后根据“30度角所对的直角边等于斜边的一半”，求出，结合圆的直径，即可得到BD的总长．
10．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：反比例函数，
函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，
，
A、若，则或，
当时，，
选项结论错误，不符合题意；
B、若，则或，
当时，，
选项结论错误，不符合题意；
C、若，则，不能确定和的符号，
∴或，
选项结论错误，不符合题意；
D、若，则，
∴，
选项结论正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查反比例函数的图象与性质，核心考点是时函数的象限分布与单调性. 解题的关键在于：明确该函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，的值随的增大而减小；再结合的大小关系，对每个选项分“全正、全负、一正一负”三种情况逐一分析，验证结论是否一定成立.
11．【答案】（x-4）（x+4）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
【分析】由平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”可得原式=（x-4）（x+4）.
12．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：，，
，
甲、乙两位同学4次模考成绩更稳定的是甲．
故答案为：甲．
【分析】
本题围绕方差的实际意义展开，核心考点是用方差判断数据的稳定性. 关键在于掌握方差的本质：方差是衡量一组数据相对于平均值离散程度的统计量，方差越大，说明数据的波动幅度越大，成绩的稳定性越差；反之，方差越小，数据越集中，稳定性越好. 通过对比甲乙两位同学的方差大小，即可判断出成绩更稳定的一方.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
由旋转得，，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题综合考查直角三角形，图形旋转与等腰三角形的性质，核心考点是旋转前后图形的全等性. 解题的关键在于：首先在直角三角形ABC中，由、，求出；再根据旋转的性质，得到旋转前后对应边，即为等腰三角形；最后由等腰三角形“等边对等角”的性质即可求出的度数．
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得：一次函数与轴的交点为，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式的关联，核心考点是数形结合思想的应用. 解题的关键在于：先从函数图象中读取一次函数与x轴的交点坐标；再明确的几何意义是函数图象位于x轴下方的部分，结合函数的单调性，即可直接确定x的取值范围.
15．【答案】4
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：如图，分别延长相交于点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
故答案为：4．
【分析】
本题是全等三角形与勾股定理的综合计算题，核心考点是全等三角形的判定与等面积法的应用. 解题的关键步骤为：首先延长交于点E，证明，得到，，再用勾股定理求出的长度，最后在中利用等面积法，建立关于的等式，求解出AC的长度．
16．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于点，交于点，
设，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
矩形与正方形的面积相等，
，
，
，
，
，（舍，
，
则的长为；
故答案为：．
【分析】
本题综合考查正方形、矩形的性质与全等三角形的应用，核心考点是方程思想在几何计算中的运用. 解题的关键在于：过点作，构造全等三角形，用未知数表示出相关线段的长度，即，；再根据“矩形ABNM与正方形FGCE的面积相等”这一条件，列出关于AM的一元二次方程，，求解后结合实际意义筛选出符合条件的解.
17．【答案】解：原式

【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】熟练掌握各类运算的核心性质，按运算顺序分步化简，再合并同类二次根式. 本题围绕实数的混合运算展开，核心考查零指数幂、二次根式与绝对值的运算规则. 解题的核心在于：先根据零指数幂的定义计算，再对进行二次根式化简，同时处理绝对值符号，最后将各项结果合并同类二次根式，即可得到最终答案.
18．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题围绕分式的化简求值展开，核心是掌握分式混合运算的运算顺序与法则，先对括号内的部分通分计算，再将除法运算转化为乘法运算，结合因式分解进行约分，得到最简形式后，再代入给定的数值结算结果．
19．【答案】（1）解：，
，
.
（2）解：且，
，
在中，，
．
【知识点】解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题以直角三角形为载体，全面考查解直角三角形的核心知识.
（1）借助正切函数的定义，结合已知边长求解AB的长度；
（2）根据线段关系求出求出，再在直角三角形ABD中用勾股定理算出，最后根据正弦函数的定义，求出的值，整个过程需熟练掌握直角三角形中边角关系的应用.
（1）解：，
，
，
（2）解：且，
，
在中，，
．
20．【答案】（1），18；图见详解
（2）三
（3）解：（人），
答：估计该校八年级垫球个数在 40 个及以上的学生人数为 96 人．
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）（人），
，
，
频数分布直方图为：
故答案为：；
（2），
中位数是第25个数和第26个数的平均数，
所抽取的学生垫球个数的中位数会落在第三组，
故答案为：三；
【分析】
本题围绕统计图表的综合应用展开，考查了频数（率）分布表、频数（率）分布直方图、以及中位数、用样本估计总体等核心统计知识.
（1）首先利用“样本容量=频数/频率”这一核心公式，结合第一组的已知数据计算出抽取的总人数；再根据“频率=频数/样本容量”求出第二组的频率a；最后用样本容量减去其余各组的频数，得到第三组的频数b，从而补全频数分布表，再根据各组频数绘制完整的频数分布直方图；
（2）明确中位数的定义，即把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，处于中间位置的数（或中间两个数的平均数），再结合各组频数判断中位数所在的组；
（3）运用用样本估计总体的思想，利用样本中垫球个数在40 个及以上的频率，去估计全校八年级学生中对应情况的人数.
（1）解：（人），
，
，
频数分布直方图为：
故答案为：；
（2）解：，
中位数是第25个数和第26个数的平均数，
所抽取的学生垫球个数的中位数会落在第三组，
故答案为：三；
（3）解：（人），
答：估计该校八年级垫球个数在 40 个及以上的学生人数为 96 人．
21．【答案】（1）解：点的纵坐标表示的实际意义是乙容器中原有的水的深度是；
（2）解：设直线的解析式为：，
把代入上式得，
解得
；
设直线的解析式为：，
把代入上式得，
解得
；
当时，，解得
分钟时，两容器内水的深度相等．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题是一次函数在实际生活中的典型应用，核心考查对函数图象的理解与一次函数的综合运算.
（1）直接从图象中读取点C的纵坐标，明确其代表的的实际含义；
（2）利用待定系数法，分别求出表示甲乙容器水深的线段的一次函数解析式，再联立两个解析式求解交点，交点对应的横坐标即为两容器水深相等的时间，解题的关键在于准确建立函数模型并求解交点.
（1）解：点的纵坐标表示的实际意义是乙容器中原有的水的深度是；
（2）解：设直线的解析式为：，
把代入上式得，
解得
；
设直线的解析式为：，
把代入上式得，
解得
；
当时，，解得
分钟时，两容器内水的深度相等．
22．【答案】（1）①甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知平分，
，
，
，
又点为的中点，
；
方法二：由图可知平分，
，
为边上的中线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
；
丙的做法证明如下：
方法一：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
又点为的中点，
；
方法二：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
．
（2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E，
则．
其他做法酌情给分
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】
解：（1）①做法正确的同学有甲、丙；
【分析】
本题是尺规作图与几何证明的综合题，融合了等腰三角形的性质、直接三角形斜边中线定理、三角形中位线定理等多个核心知识点.
（1）需结合作图痕迹，分析甲乙丙三位同学的做法是否符合的要求，再选择正确做法，利用等腰三角形性质、直角三角形斜边中线定理或中位线定理完成证明；
（2）需根据几何原理，设计不同于三位同学的尺规作图方案，解题的关键是熟练掌握相关几何定理，能将作图痕迹与几何性质对应起来.
（1）解：①做法正确的同学有甲、丙；
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知平分，
，
，
，
又点为的中点，
；
方法二：由图可知平分，
，
为边上的中线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
；
丙的做法证明如下：
方法一：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
又点为的中点，
；
方法二：连结由图可知，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，即点为的中点，
又点为的中点，
是的中位线，
，
．
（2）解：如图，以点D为圆心为直径画圆，交于点E，
则．
其他做法酌情给分
23．【答案】（1）解：，
点坐标为，
二次函数的图象经过，
，
解得，
二次函数的表达式是.
（2）解：①当时，，，
，
，
②
抛物线开口向上，
，恒有，
∴点M到对称轴的距离大于点 N到对称轴的距离，
，
，
，
.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式的方法，利用二次函数的对称性分析点的位置关系，结合函数单调性比较函数值大小.
（1）通过待定系数法，将已知点的坐标代入函数式，求解参数得到二次函数表达式；
（2）利用二次函数上点的坐标特征，结合的条件建立方程，求解后，再代入计算；②结合二次函数开口向上的性质，分析时，恒有，结合对称轴公式建立不等式，求解m的取值范围，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性与单调性.
（1）解：，
点坐标为，
二次函数的图象经过，
，
解得，
二次函数的表达式是；
（2）解：①当时，，
，
，
，
②
抛物线开口向上，
，恒有，
∴点M到对称轴的距离大于点 N到对称轴的距离，
，
，
，
24．【答案】（1）解：是的直径，
，
，
，
，，
，，
.
（2）证明：是的直径，
，
，
，
，，
，，
．
连结，，
则，
，
，
.
（3）解：①四边形是圆内接四边形，
，，
，
，
，
设，，则，
，，
，
；
②连接、，过作于点，
由①得，，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
由等面积可得，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角与圆周角的关系，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的定义.（1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°. 已知∠CAB=30°，可算出∠ABC=60°. 再根据AD=AC，BE=BC，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，求出∠ADC=75°，∠BEC=60°，最后通过三角形内角和计算出∠FCG=45°；
（2）先由(1)的方法，可推得∠FCG恒为45°. 连接OF、OG，根据圆周角定理，圆心角∠FOG=2∠FCG=90°，因此是等腰直角三角形，可得FG=√2OG. 又因为AB是直径，AB=2OG，代入即可证得AB=√2FG；
（3） ① 由圆内接四边形的性质，可证，得到相似比 . 再根据，设BF=a，FH=3a，则BH=4a，利用相似比求出HG和HA的长度，进而算出 ；
② 连接BG，AF，过F作FM⊥AB于点M，先证 是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出AB的长度. 接着证明 ，结合等面积法求出相关线段的长度，最后根据三角函数的定义，算出.
（1）解：是的直径，
，
，
，
，，
，，
；
（2）证明：是的直径，
，
，
，
，，
，，
．
连结，，
则，
，
，
；
（3）解：①四边形是圆内接四边形，
，，
，
，
，
设，，则，
，，
，
；
②连接、，过作于点，
由①得，，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
由等面积可得，
，
，
，
．
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