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北京市东城区2025—2026学年度第二学期高三综合练习（二）
高 三 数 学 2026.5
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集，，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（3）已知，则
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知函数与的图象关于轴对称，则
（A） （B）
（C） （D）
（5）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，轴，垂足为. 若，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）某学校操场的每条跑道由 两段直道和两段半圆形弯道 组成（如图1）. 运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点作为起跑点，沿直线加速后从点切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切. 以半圆的圆心为原点，建立平面直角坐标系（如图2）. 若，，则直线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知非零实数满足，则下列各式中为定值的是
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知均为正实数，则“”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知函数的部分图象如图所示，若，则，可以为
（A），
（B），
（C），
（D），
（10）已知平面向量为不全相等的单位向量，. 设平面向量为非零向量，令，，，则
（A）当时， （B）当时，
（C）存在，使得 （D）当时，
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）二项式的展开式中，含项的系数为_______．
（12） 已知为等比数列，，. 若，则_______；若，则的前4项和为_______．
（13）已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_______．
（14）在三棱锥中，，，.
(i)若，，则三棱锥的体积为_______；
(ii)若该三棱锥的某两条侧棱的长度之和为，则三棱锥体积的最大值为_______．
（15）已知无穷数列与都不是常数列．给出下列四个结论：
① 设等差数列，的公差分别为，若的项均为的项，则；
② 设等比数列，的公比分别为，若的项均为的项，则；
③ 设等差数列,的公差分别为，且，若的项均为
的项，又均为的项，则；
④ 设等比数列，的公比分别为，且，若的项均为
的项，则.
其中正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
在中，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的面积.
（17）（本小题14分）
如图，几何体中，平面平面，， ，，，，为的中点，点在直线两侧.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）已知，再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得几何体存在，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：；
条件②：；
条件③：点到平面的距离为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题13分）
门店 产品 1 2 3 4 5 6 7 8
某连锁企业为了解两款产品和的收益情况，从所有门店中随机抽取8个门店，记录并整理这些门店同一季度的产品的收益（单位：万元），如下表：
用频率估计概率.
（Ⅰ）从该企业所有门店中随机抽取1家，估计这个门店产品收益高于产品收益的概率；
（Ⅱ）从表中的8个门店中，随机抽取3家，记为这3个门中产品收益高于产品收益的门店个数，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ） 这8家门店中，设门店的产品，的收益分别为，，记，,，数据的方差为，数据的方差记为，数据的方差为，写出
，，的大小关系.（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点，. 设直线分别与直线交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，直线交椭圆于另一点，求证：三点共线.
（20）（本小题15分）
已知函数，.当时，曲线在点处的切
线为，曲线在点处的切线为，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求证：与的交点位于轴右侧；
（Ⅲ）已知，设与轴交于点，与轴交于点. 若存在(为自然对数
的底)，使得，求的最大值.
（21）（本小题15分）
已知集合，. 将中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列. 若序列中的项满足或，则称该项具有性质.
（Ⅰ）已知，，，为序列，写出，，，的值；
（Ⅱ）求证：序列中存在具有性质的项；
（Ⅲ）求证：序列中具有性质的项的个数不少于10.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
北京市东城区2025-2026学年度第二学期高三综合练习（二）
数学参考答案及评分标准 2026.5
一、选择题（共 10小题，每小题 4分，共 40分）
（ 1）B （ 2） D （ 3 ） C （ 4）A （ 5） B
（ 6）A （ 7） C （ 8）D （ 9）C （10）D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） （12）
（13）（答案不唯一） （14）24
（15）①③④
三、解答题（共 6小题，共 85 分）
（16）（共13分）
解：
（Ⅰ）因为，
由正弦定理，得，
所以，即.
因为，，所以，.
从而.
因为，所以. ……………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在中，，，所以，.
所以.
由正弦定理及，得.
所以的面积. ………………13分
（17）（共14分）
解：
（Ⅰ）因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面.
取的中点，连接.
因为，所以.
因为，所以.
因为为的中点，所以.
所以三点共线，则.
所以平面. ……………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，所以.
又因为，，
所以如图建立空间直角坐标系.
选择条件②：
连接，
由（Ⅰ）得平面，平面，
所以.
所以.
所以，，.
因此，.
设平面的法向量为，则即.
令得，，.于是.
平面的法向量为.
设平面与平面夹角为，则
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为. ……………………………14分
选择条件③：
由（Ⅰ）知平面，所以点到平面的距离为.
以下同选条件②. …………………………………………………………………14分
（18）（共13分）
解：
（Ⅰ）由题意，8个门店中，产品收益高于产品收益的门店有3个.
所以所求概率估计为. ………………………………………………………3分
（Ⅱ）所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
故的分布列为
0 1 2 3
故的数学期望. …………………10分
（Ⅲ）. …………………………………………………………………13分
（19）（共15分）
解：
（Ⅰ）由题意得解得，.
故椭圆C的方程为． ………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.
直线，令，解得，
故点的坐标为.
直线，令，解得，
故点的坐标为.
直线，
由得.
设，则，即，，
故点的坐标为.
当时，直线的斜率，
.
所以.
当时，直线的方程为，，在直线上.
综上，,,三点共线. ………………………………………………………15分
（20）（共15分）
解：
（Ⅰ）由，.
得，.
所以的斜率，的斜率.
因为，所以，
即. …………………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得的方程为，的方程为.
，交点横坐标满足.
所以，
由于，
故只需证明.
因为，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
所以的最小值为.
因为，所以.
所以.
所以与的交点位于轴右侧. …………………………………………10分
（Ⅲ）由的方程为，
所以，
因为，所以.
所以；
由的方程为，
所以.
当时，.
因为，
所以.
所以.
设.
则,
所以在上单调递减.
又，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以的最大值为.
所以的最大值为. ……………………………………………………15分
（21）（共15分）
解：
（Ⅰ），，，； ………………………………………………4分
（Ⅱ）以序列中的项为坐标的点记作，
连接这9个点共形成8条单位线段.
每条单位线段水平或者竖直.
因此8条单位线段中至少有4条同为水平或同为竖直.
不妨设至少有4条水平单位线段.
由于9个点排成3行，
而每一行至多含2条水平单位线段，
故至少有一行含2条水平单位线段.
这样该行3个点必被依次经过，
于是中间那个点的前后两个相邻点都与它在同一行，
因此该点对应的项具有性质.
故中必存在具有性质的项. ……………………………………………………9分
（Ⅲ）在序列对应的线段中，水平线段与竖直线段交替出现.
设水平线段数为，竖直线段数为，
因为单位线段总数为120，
所以序列中具有性质的项的个数为.
要证，只需证.
因为每一行有11个点，
每个水平线段至少包含两个点，
因此第行的水平线段数满足，即.
所以.
同理.
于是，
故序列中具有性质的项的个数不少于10. ………………………………15分
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