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浙江省浙里初中2026升学联考数学仿真卷数学卷（三）
1． 实数3， 0， -3，中， 最小的数是 (　　)
A．3 B．0 C．- 3 D．
【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数为．
故答案为：C.
【分析】根据负数小于0，正数大于0比较大小解答即可.
2．如图，由5个大小相同的正方体搭建的几何体，其俯视图为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是从上面看到的图形，从上面看到的图形是
，
故选：B．
【分析】根据俯视图是从上向下看到的几何图形解答即可．
3．2026年我国新一代人工智能算力规模达到5842000000000000次/秒，将该数用科学记数法表示为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．下列式子运算正确的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、、不是同类项，不能合并，错误；
D、，正确；
故选：D．
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项法则逐项判断解答即可.
5．已知反比例函数 的图象过点 (2，-4)，则下列说法正确的是 (　　)
A．k=8 B．函数图象位于第一、三象限
C．图象必过 (-2， 4) D．y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入，得，故A错误，
∴反比例函数的解析式为，
∵，
∴函数图象在第二、四象限，故B错误，
当时，，
∴图象过点，故C正确，
对于选项D：举例点和，
在的同时，有，与随的增大而增大矛盾，故D错误．
故答案为：C.
【分析】先求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的图象与性质逐项判断解答即可．
6．如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知图片AB长为3dm，若点光源O到胶片的距离OE长为6dm，点光源O与屏幕的距离OF的长为18dm，则影像CD长为 (　　) dm
A．36 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据平行线可得，然后根据对应边上高的比等于相似比解答即可．
7．我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何 ”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1 枚放到黄金这边(互换1枚)，这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少 设黄金一枚重x两，白银一枚重y两，根据题意，下列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设黄金一枚重x两，白银一枚重y两，列方程组为．
故答案为：A.
【分析】 黄金一枚重x两，白银一枚重y两，根据题意列方程组解答即可 ．
8．图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是(　　)
A．该品牌手机9到12月共销售手机500万台
B．10月A型号手机销售了20万台
C．四个月 A型号手机的销量逐月增高
D．四个月中12月份A型号手机的销量最高
【答案】C
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：对于选项A：9到12月共销售手机：（万台），故A正确，不符合题意；
对于选项B：10月A型号手机销售：（万台），故B正确，不符合题意；
对于选项C：9月A型号手机销量：（万台），11月A型号手机销量：（万台），12月A型号手机销量：（万台），
∵，
∴A型号手机11月份的销量低于10月份，故C错误，符合题意；
对于选项D：∵，
∴四个月中，12月份A型号手机的销量最高，故D正确，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】结合两个统计图得到相关信息计算，逐项判断解答即可．
9．如图，平行四边形ABCD，E为线段AD中点，G为BC延长线上一点，连结AG分别交BE、CD于点H，点F，已知△AHE， △ABH的面积分别为1和3，则△FCG的面积为(　　)
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，的面积分别为和，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为线段中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，根据平行四边形的性质得到，根据面积比等于相似比的平方得到，即可求出△BGH和△ABG的面积，根据平行即可得到，根据面积比等于相似比的平方解答即可．
10．如图1， △ABC中， ∠A=30°，点P从A点出发沿折线A—C—B运动，点Q从点A 出发沿线段AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点 P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设P 点运动时间为x(s)， △APQ的面积为y(cm2)．如图2是y关于x的函数图象，下列选项正确的是(　　)
A．m=4 B．BC=12
C．y的最大值为2.75 D．点(5， )在该函数图象上
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误；
当时，，说明此时点P与点B重合，
∴，故B错误；
当点P在线段上时，分别过点C、P作，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积最大，最大值为，故C错误；
∴，
∴当时，，故D正确．
【分析】由题意可分当点P在线段上或点P在线段上两种情况，过点P作高，根据正弦的定义求出高的长，利用三角形的面积公式求出y与x的函数关系式，然后逐项判断解答即可．
11．因式分解：2x2-8=　 　
【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2（x+2）（x-2），
故答案为2（x+2）（x-2）.
【分析】根据因式分解的方法——提公因式法和公式法分解即可得出答案.
12．不等式组 的解集为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
13．抽奖箱中有5张福卡：2张“马到成功”、1张“万事如意”、2张“平安喜乐”，随机抽取两张，抽到两张一样的福卡的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：将2张“马到成功”分别记为，，1张“万事如意”记为，2张“平安喜乐”记为，，
随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，，共种，
其中抽到两张一样的福卡的结果有，，共种，
根据概率公式，其中为所有等可能结果数，为所求事件包含的结果数，可得：．
故答案为：.
【分析】利用直接列举法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
14．如图， AB是圆O的直径，点C是圆上的一点， AD⊥AB，且AC=AD，连结CD交圆O于点E，连结AE，若∠D=25°，则∠AEC=　 　．
【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；圆周角定理；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，如下图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵切圆O于点A，
∴，
∴，
∴．
故答案为：50°.
【分析】连接，根据等边对等角结得到∠C=25°，利用圆周角定理得到，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由然后根据切线的性质求出，再根据三角形的外角解答即可．
15．2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线AB上升至最高点A 后下落，再沿直线AC精准落在地面C点，且AB=AC．测得最高点A 距地面高度为2.4米，起跳点B 与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线AB 与地面BC的夹角为θ．则tanθ=　 　，机器人起跳路线AB的长度为　 　米．
【答案】；
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由题意得：米，米，，，
∵，
∴米，
∴，米．
【分析】根据三线合一求出BD长，然后根据正切的定义和勾股定理解答即可．
16．如图，菱形ABCD， AB=4， ∠DAB=60°，将菱形ABCD关于 AB对称，得到菱形ABC'D'，在对角线AC， AC’上有两个动点E， F， AE=C'F，连结CF， EC’交于点 P，连结AP，则 AP 的最小值为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，
∵四边形是菱形，
∴，，，
由轴对称的性质可得，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴优弧圆心角的度数为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值．
故答案为：4.
【分析】连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，根据菱形的性质可得是等边三角形即可得到，然后根据SAS得到，即可得到，进而可得．根据圆周角定理得到，即可得到是等边三角形，进而可得．根据，因此当、、三点共线时，取得最小值，据此解答即可．
17． 化简求值： (2a+3b)(2a-3b)-(a-2b)2，其中a=3， b=-2．
【答案】解：原式
当a=3， b=-2，
原式
=-49
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项化简，再代入a，b的值解答即可.
18．解分式方程：
【答案】解：3=-x-5(1-x)，
3=-x-5+5x，
4x=8，
x=2，
经检验得，x=2是原方程的解．
∴原方程的解为x=2.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(1-x)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值并检验解答即可.
19．如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，以D为圆心，DE为半径作圆，交对角线BD于点F，交边BC于点G，连结EG．
（1）求证：△EBG为等腰直角三角形；
（2）若AB=2，求 的值．
【答案】（1）证明：连结DG，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB=BC=CD， ∠A=∠C=∠ABC=90°，
∵DE=DG，
∴Rt△AED≌Rt△CGD，
∴AE=CG，
∴BE=BG，
∴△EBG为等腰直角三角形．
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．

【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用HL得到，即可得到，进而可得，证明结论即可；
（2）根据正方形的性质，利用勾股定理求出和的长，由计算出利用线段的和差求出，然后计算比值解答即可．
20．2026马年春节联欢晚会中，语言类节目有小品《奶奶的最爱》《又来了》《包你满意》，喜剧短剧《血压计》《你准喜欢》共5个．某校九年级共有400名学生，随机抽取30名学生，调查他们春晚中最喜欢的语言类节目(每人限选一个)，调查结果见下图：
（1）若选择《奶奶的最爱》的 6名学生的年龄(单位：岁)分别为：12，13， 13， 13， 14， 15，求这 6名学生年龄的众数与中位数；
（2）根据统计信息，估计该校九年级学生中最喜欢小品《你准喜欢》的总人数；
（3）根据统计信息，小王同学说：“今年春晚的这5个语言类节目中最受学生欢迎的一定是《你准喜欢》”，你觉得小王的说法对吗 请结合统计相关知识说明理由．
【答案】（1）解：∵这组数中，13出现3次，出现的次数最多，
∴众数为13岁，
∵这6个数的第3个数为13，第4个数为13，
∴中位数为（岁）；
（2）解：由统计图可知，最喜欢小品《你准喜欢》的占比为，
（人），
答：九年级学生中最喜欢小品《你准喜欢》的总人数约为人．
（3）解：小王说法错误，统计信息是从九年级中随机抽取30名学生的喜好，样本容量较小，与真实的结果有一定误差，不能代表全体学生．（言之有理即可）
【知识点】抽样调查的可靠性；扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）先用整体1减去喜欢其它小品的人数占比得出最喜欢小品《你准喜欢》的占比 乘以九年级的学生总数解答即可；
（3）根据抽样调查的特点解答即可．
21．阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品(图1)，给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于360°(图2)．
问题解决：
（1）请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由；
（2）若只用一种正n边形进行密铺，且n≥3，密铺的个数为k，且k为正整数，请推导n与k满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形．
【答案】（1）解：∵正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°，
∴可以密铺．
（2）解：
正三角形、正方形、正六边形
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（2）∵k，n为正整数，
∴n-2=1， 2， 4，
∴n=3， 4， 6，
∴正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺．
故答案为：正三角形、正方形、正六边形.
【分析】（1）计算出正方形和等边三角形的内角，计算可得两块正方形和三块正三角形可以密铺解答即可；
（2）结合正多边形内角公式可得，整理可得，根据k，n为正整数求出n的值解答即可．
22． 如图， AB 切圆O于点 C，过直径DG上一点 E 作 AE⊥DB，AE交 CD于点 F， AC交 DG的延长线于点 B．
（1）求证： AF=AC；
（2）若E为OD 中点， 求弧CG的长度．
【答案】（1）证明：连结OC，
∵AB 切圆O于点 C，
∴OC⊥AB，
∵OD=OC，
∴∠D=∠OCD，
∵AE⊥BD，
∴∠DFE=∠DCA，
∵∠DFE=∠AFC，
∴∠AFC=∠FCA，即AF=AC．
（2）解：如图，设圆的半径为，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵为中点，
∴，
∵，
∴，解得，
∴弧的长度为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据垂直可得，根据等边对等角可得，即可得到，进而可得，利用等角对等边证明即可；
（2）设圆的半径为，根据正切可得，解直角三角求出，．根据题意可得，求出r的值，然后根据扇形的弧长公式计算即可．
23．已知抛物线
（1）若a=1，求图象与x轴的交点坐标；
（2）若 是抛物线上不同的两点，且点 也在抛物线上，求m的值；
（3）在(1)的条件下，作一条垂直于x轴的直线x=n，交抛物线于点 P，交直线y=x-1于点Q，当线段PQ随n的增大而增大时，求字母n的取值范围．
【答案】（1）解：当a=1时，
当y=0时，
∴图象与x轴的交点为(2， 0) ， (1， 0) ．
（2）解：∵A与B关于对称轴对称，
将 代入

（3）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
①当时，，
∴，
∵，
∴图象开口向上，
又∵，
∴当时，线段随的增大而减小，不符合题意；
②当时，，
∴，
∵，
∴图象开口向下，
∴当时，线段随的增大而增大；当时，线段随的增大而减小，
又∵，
∴；
③当时，，
∴，图象开口向上，
∴当时，线段随的增大而增大，符合题意；
综上所述，的取值范围为或．

【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将代入，再令，解方程求出x的值，即可得到与x轴交点的坐标；
（2）根据点和点关于抛物线的对称轴对称即可得到，然后把点C 的坐标代入解析式计算即可；
（3）将代入二次函数与一次函数的解析式得到点和点的坐标，即可得到．分三类讨论：当时，；当时，；当时，根据二次函数的增减性判断解答即可．
24． 在等边△ABC中， AB=4， D是BC边上的中点， E， F分别是线段AC， AD上任意一点，连结 EF，将线段EF绕点E顺时针旋转120°得到线段EG，连接FG、AG，EF的延长线交射线AB于点M．
（1）如图1，当点E与点C重合，若CF为∠ACB的平分线， FG交AC于点 P，求AP的长；
（2）如图2，若N为线段AC上一点，且∠AGN=∠AEG， AF=AN，求证：
（3）如图3，设∠AEF=α，求证：
【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是边上的中点，
∴，，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
又∵点与点重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在射线上取点，使得，作于点，
∵是等边三角形，D是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
在中， ，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴平分，
∵，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．

【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可得到，根据角平分线的定义和等角对等边得到，进而求出AF与AD的比值，根据旋转可得，即可得到，进而可得，根据对应边成比例解答即可；
（2）在射线上取点，使得，作于点，即可得到， 在中 根据余弦的定义得到，即可得到．根据SAS得到，根据对应边、对应角相等得到，，再根据AAS得到，即可得到，因此根据线段的和差证明即可；
（3）过点分别作、的垂线，垂足为、，根据三角形的内角和得到，根据角平分线的性质得到，然后根据正弦求出FJ和FK的值，然后根据FJ=FK列等式计算即可．
1 / 1浙江省浙里初中2026升学联考数学仿真卷数学卷（三）
1． 实数3， 0， -3，中， 最小的数是 (　　)
A．3 B．0 C．- 3 D．
2．如图，由5个大小相同的正方体搭建的几何体，其俯视图为 (　　)
A． B．
C． D．
3．2026年我国新一代人工智能算力规模达到5842000000000000次/秒，将该数用科学记数法表示为(　　)
A． B．
C． D．
4．下列式子运算正确的是 (　　)
A． B． C． D．
5．已知反比例函数 的图象过点 (2，-4)，则下列说法正确的是 (　　)
A．k=8 B．函数图象位于第一、三象限
C．图象必过 (-2， 4) D．y随x的增大而增大
6．如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD．已知图片AB长为3dm，若点光源O到胶片的距离OE长为6dm，点光源O与屏幕的距离OF的长为18dm，则影像CD长为 (　　) dm
A．36 B．12 C．9 D．6
7．我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何 ”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1 枚放到黄金这边(互换1枚)，这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少 设黄金一枚重x两，白银一枚重y两，根据题意，下列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
8．图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是(　　)
A．该品牌手机9到12月共销售手机500万台
B．10月A型号手机销售了20万台
C．四个月 A型号手机的销量逐月增高
D．四个月中12月份A型号手机的销量最高
9．如图，平行四边形ABCD，E为线段AD中点，G为BC延长线上一点，连结AG分别交BE、CD于点H，点F，已知△AHE， △ABH的面积分别为1和3，则△FCG的面积为(　　)
A．1 B． C． D．2
10．如图1， △ABC中， ∠A=30°，点P从A点出发沿折线A—C—B运动，点Q从点A 出发沿线段AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点 P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设P 点运动时间为x(s)， △APQ的面积为y(cm2)．如图2是y关于x的函数图象，下列选项正确的是(　　)
A．m=4 B．BC=12
C．y的最大值为2.75 D．点(5， )在该函数图象上
11．因式分解：2x2-8=　 　
12．不等式组 的解集为　 　．
13．抽奖箱中有5张福卡：2张“马到成功”、1张“万事如意”、2张“平安喜乐”，随机抽取两张，抽到两张一样的福卡的概率是　 　．
14．如图， AB是圆O的直径，点C是圆上的一点， AD⊥AB，且AC=AD，连结CD交圆O于点E，连结AE，若∠D=25°，则∠AEC=　 　．
15．2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线AB上升至最高点A 后下落，再沿直线AC精准落在地面C点，且AB=AC．测得最高点A 距地面高度为2.4米，起跳点B 与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线AB 与地面BC的夹角为θ．则tanθ=　 　，机器人起跳路线AB的长度为　 　米．
16．如图，菱形ABCD， AB=4， ∠DAB=60°，将菱形ABCD关于 AB对称，得到菱形ABC'D'，在对角线AC， AC’上有两个动点E， F， AE=C'F，连结CF， EC’交于点 P，连结AP，则 AP 的最小值为　 　．
17． 化简求值： (2a+3b)(2a-3b)-(a-2b)2，其中a=3， b=-2．
18．解分式方程：
19．如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，以D为圆心，DE为半径作圆，交对角线BD于点F，交边BC于点G，连结EG．
（1）求证：△EBG为等腰直角三角形；
（2）若AB=2，求 的值．
20．2026马年春节联欢晚会中，语言类节目有小品《奶奶的最爱》《又来了》《包你满意》，喜剧短剧《血压计》《你准喜欢》共5个．某校九年级共有400名学生，随机抽取30名学生，调查他们春晚中最喜欢的语言类节目(每人限选一个)，调查结果见下图：
（1）若选择《奶奶的最爱》的 6名学生的年龄(单位：岁)分别为：12，13， 13， 13， 14， 15，求这 6名学生年龄的众数与中位数；
（2）根据统计信息，估计该校九年级学生中最喜欢小品《你准喜欢》的总人数；
（3）根据统计信息，小王同学说：“今年春晚的这5个语言类节目中最受学生欢迎的一定是《你准喜欢》”，你觉得小王的说法对吗 请结合统计相关知识说明理由．
21．阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品(图1)，给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于360°(图2)．
问题解决：
（1）请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由；
（2）若只用一种正n边形进行密铺，且n≥3，密铺的个数为k，且k为正整数，请推导n与k满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形．
22． 如图， AB 切圆O于点 C，过直径DG上一点 E 作 AE⊥DB，AE交 CD于点 F， AC交 DG的延长线于点 B．
（1）求证： AF=AC；
（2）若E为OD 中点， 求弧CG的长度．
23．已知抛物线
（1）若a=1，求图象与x轴的交点坐标；
（2）若 是抛物线上不同的两点，且点 也在抛物线上，求m的值；
（3）在(1)的条件下，作一条垂直于x轴的直线x=n，交抛物线于点 P，交直线y=x-1于点Q，当线段PQ随n的增大而增大时，求字母n的取值范围．
24． 在等边△ABC中， AB=4， D是BC边上的中点， E， F分别是线段AC， AD上任意一点，连结 EF，将线段EF绕点E顺时针旋转120°得到线段EG，连接FG、AG，EF的延长线交射线AB于点M．
（1）如图1，当点E与点C重合，若CF为∠ACB的平分线， FG交AC于点 P，求AP的长；
（2）如图2，若N为线段AC上一点，且∠AGN=∠AEG， AF=AN，求证：
（3）如图3，设∠AEF=α，求证：
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数为．
故答案为：C.
【分析】根据负数小于0，正数大于0比较大小解答即可.
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是从上面看到的图形，从上面看到的图形是
，
故选：B．
【分析】根据俯视图是从上向下看到的几何图形解答即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、、不是同类项，不能合并，错误；
D、，正确；
故选：D．
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项法则逐项判断解答即可.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点代入，得，故A错误，
∴反比例函数的解析式为，
∵，
∴函数图象在第二、四象限，故B错误，
当时，，
∴图象过点，故C正确，
对于选项D：举例点和，
在的同时，有，与随的增大而增大矛盾，故D错误．
故答案为：C.
【分析】先求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的图象与性质逐项判断解答即可．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据平行线可得，然后根据对应边上高的比等于相似比解答即可．
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设黄金一枚重x两，白银一枚重y两，列方程组为．
故答案为：A.
【分析】 黄金一枚重x两，白银一枚重y两，根据题意列方程组解答即可 ．
8．【答案】C
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】解：对于选项A：9到12月共销售手机：（万台），故A正确，不符合题意；
对于选项B：10月A型号手机销售：（万台），故B正确，不符合题意；
对于选项C：9月A型号手机销量：（万台），11月A型号手机销量：（万台），12月A型号手机销量：（万台），
∵，
∴A型号手机11月份的销量低于10月份，故C错误，符合题意；
对于选项D：∵，
∴四个月中，12月份A型号手机的销量最高，故D正确，不符合题意．
故答案为：C.
【分析】结合两个统计图得到相关信息计算，逐项判断解答即可．
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，的面积分别为和，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为线段中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，根据平行四边形的性质得到，根据面积比等于相似比的平方得到，即可求出△BGH和△ABG的面积，根据平行即可得到，根据面积比等于相似比的平方解答即可．
10．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误；
当时，，说明此时点P与点B重合，
∴，故B错误；
当点P在线段上时，分别过点C、P作，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积最大，最大值为，故C错误；
∴，
∴当时，，故D正确．
【分析】由题意可分当点P在线段上或点P在线段上两种情况，过点P作高，根据正弦的定义求出高的长，利用三角形的面积公式求出y与x的函数关系式，然后逐项判断解答即可．
11．【答案】2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2（x+2）（x-2），
故答案为2（x+2）（x-2）.
【分析】根据因式分解的方法——提公因式法和公式法分解即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
故答案为：．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
13．【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：将2张“马到成功”分别记为，，1张“万事如意”记为，2张“平安喜乐”记为，，
随机抽取两张，所有等可能的结果为：，，，，，，，，，，共种，
其中抽到两张一样的福卡的结果有，，共种，
根据概率公式，其中为所有等可能结果数，为所求事件包含的结果数，可得：．
故答案为：.
【分析】利用直接列举法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
14．【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；圆周角定理；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，如下图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵切圆O于点A，
∴，
∴，
∴．
故答案为：50°.
【分析】连接，根据等边对等角结得到∠C=25°，利用圆周角定理得到，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由然后根据切线的性质求出，再根据三角形的外角解答即可．
15．【答案】；
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由题意得：米，米，，，
∵，
∴米，
∴，米．
【分析】根据三线合一求出BD长，然后根据正切的定义和勾股定理解答即可．
16．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，
∵四边形是菱形，
∴，，，
由轴对称的性质可得，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴优弧圆心角的度数为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值．
故答案为：4.
【分析】连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，根据菱形的性质可得是等边三角形即可得到，然后根据SAS得到，即可得到，进而可得．根据圆周角定理得到，即可得到是等边三角形，进而可得．根据，因此当、、三点共线时，取得最小值，据此解答即可．
17．【答案】解：原式
当a=3， b=-2，
原式
=-49
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项化简，再代入a，b的值解答即可.
18．【答案】解：3=-x-5(1-x)，
3=-x-5+5x，
4x=8，
x=2，
经检验得，x=2是原方程的解．
∴原方程的解为x=2.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(1-x)化为整式方程，然后解整式方程求出x的值并检验解答即可.
19．【答案】（1）证明：连结DG，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB=BC=CD， ∠A=∠C=∠ABC=90°，
∵DE=DG，
∴Rt△AED≌Rt△CGD，
∴AE=CG，
∴BE=BG，
∴△EBG为等腰直角三角形．
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．

【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用HL得到，即可得到，进而可得，证明结论即可；
（2）根据正方形的性质，利用勾股定理求出和的长，由计算出利用线段的和差求出，然后计算比值解答即可．
20．【答案】（1）解：∵这组数中，13出现3次，出现的次数最多，
∴众数为13岁，
∵这6个数的第3个数为13，第4个数为13，
∴中位数为（岁）；
（2）解：由统计图可知，最喜欢小品《你准喜欢》的占比为，
（人），
答：九年级学生中最喜欢小品《你准喜欢》的总人数约为人．
（3）解：小王说法错误，统计信息是从九年级中随机抽取30名学生的喜好，样本容量较小，与真实的结果有一定误差，不能代表全体学生．（言之有理即可）
【知识点】抽样调查的可靠性；扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可；
（2）先用整体1减去喜欢其它小品的人数占比得出最喜欢小品《你准喜欢》的占比 乘以九年级的学生总数解答即可；
（3）根据抽样调查的特点解答即可．
21．【答案】（1）解：∵正方形的每个内角为90°，正三角形的每个内角为60°，
∴可以密铺．
（2）解：
正三角形、正方形、正六边形
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（2）∵k，n为正整数，
∴n-2=1， 2， 4，
∴n=3， 4， 6，
∴正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺．
故答案为：正三角形、正方形、正六边形.
【分析】（1）计算出正方形和等边三角形的内角，计算可得两块正方形和三块正三角形可以密铺解答即可；
（2）结合正多边形内角公式可得，整理可得，根据k，n为正整数求出n的值解答即可．
22．【答案】（1）证明：连结OC，
∵AB 切圆O于点 C，
∴OC⊥AB，
∵OD=OC，
∴∠D=∠OCD，
∵AE⊥BD，
∴∠DFE=∠DCA，
∵∠DFE=∠AFC，
∴∠AFC=∠FCA，即AF=AC．
（2）解：如图，设圆的半径为，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵为中点，
∴，
∵，
∴，解得，
∴弧的长度为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据垂直可得，根据等边对等角可得，即可得到，进而可得，利用等角对等边证明即可；
（2）设圆的半径为，根据正切可得，解直角三角求出，．根据题意可得，求出r的值，然后根据扇形的弧长公式计算即可．
23．【答案】（1）解：当a=1时，
当y=0时，
∴图象与x轴的交点为(2， 0) ， (1， 0) ．
（2）解：∵A与B关于对称轴对称，
将 代入

（3）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
①当时，，
∴，
∵，
∴图象开口向上，
又∵，
∴当时，线段随的增大而减小，不符合题意；
②当时，，
∴，
∵，
∴图象开口向下，
∴当时，线段随的增大而增大；当时，线段随的增大而减小，
又∵，
∴；
③当时，，
∴，图象开口向上，
∴当时，线段随的增大而增大，符合题意；
综上所述，的取值范围为或．

【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将代入，再令，解方程求出x的值，即可得到与x轴交点的坐标；
（2）根据点和点关于抛物线的对称轴对称即可得到，然后把点C 的坐标代入解析式计算即可；
（3）将代入二次函数与一次函数的解析式得到点和点的坐标，即可得到．分三类讨论：当时，；当时，；当时，根据二次函数的增减性判断解答即可．
24．【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是边上的中点，
∴，，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
又∵点与点重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在射线上取点，使得，作于点，
∵是等边三角形，D是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
在中， ，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴平分，
∵，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．

【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可得到，根据角平分线的定义和等角对等边得到，进而求出AF与AD的比值，根据旋转可得，即可得到，进而可得，根据对应边成比例解答即可；
（2）在射线上取点，使得，作于点，即可得到， 在中 根据余弦的定义得到，即可得到．根据SAS得到，根据对应边、对应角相等得到，，再根据AAS得到，即可得到，因此根据线段的和差证明即可；
（3）过点分别作、的垂线，垂足为、，根据三角形的内角和得到，根据角平分线的性质得到，然后根据正弦求出FJ和FK的值，然后根据FJ=FK列等式计算即可．
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