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昌平区2026年高三年级第二次统一练习
数 学 试 卷 2026. 5
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）在复平面内，复数对应的点的坐标为
（A） （B）
（C） （D）
（3）在的展开式中，所有二项式系数的和为，则的系数为
（A） （B）
（C） （D）
（4）设，则下列不等式一定成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知函数，则是
（A）偶函数，且在上是增函数 （B）奇函数，且在上是增函数
（C）偶函数，且在上是减函数 （D）奇函数，且在上是减函数
（6）设函数（是常数，）. 若在区间上单调递减，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且与准线交于点. 若点为线段的中点，，则的值为
（A） （B）
（C） （D）
（8）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为
（A） （B）
（C） （D）
（9）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知数列满足，则
（A）当为常数列时，
（B）对于任意，为递减数列
（C）当时，为递增数列，且对于任意正整数，成立
（D）当时，为递减数列，且存在正整数，使得成立

第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共 25 分。
（11）双曲线的实轴长为_________ .
（12）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为___________ .
（13）已知向量满足，，且，则与夹角的大小为 _________；
__________.
（14）已知圆，则圆的半径为_______；若直线上存在点，使得过点向圆引的两条切线互相垂直，则的取值范围为_________ .
（15）设函数，给出下列四个结论：
①当时，恰有2个零点；
②存在正数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有2个零点；
④存在负数，使得恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是_________________ .
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
在△中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△存在且唯一确定，求a的值．
条件①：△的面积为，；
条件②：，；
条件③：AB边上的高为，．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（17）（本小题13分）
如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为的正方形，为的中点，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.
（18）（本小题14分）
为了培养学生的AI应用能力和创新思维，提高学生的科学素养，某学校开展了人工智能课程.为了解该校学生对相关人工智能课程的兴趣程度，对学生进行了简单随机抽样，获得数据如下表：
非常感兴趣 一般感兴趣 不感兴趣 合计
小学 20人 40人 40人 100人
初中 50人 30人 20人 100人
合计 70人 70人 60人 200人
假设小学生和初中生每人对人工智能课程的兴趣程度互不影响. 用频率估计概率.
（Ⅰ）从该校初中生中随机抽取3名同学，估计这3名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”
的概率；
（Ⅱ）规定：每名“非常感兴趣”的学生记5分，每名“一般感兴趣”的学生记3分，每名“不感兴趣”的学生记1分. 根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，按照学生人数比例先从样本中的小学生中抽取了10人，再从这10人中随机抽取2人．记为这2人的得分之和，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记样本中的小学生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；样本中的初中生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；的方差为．写出的大小关系．（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围.
（20）（本小题15分）
已知函数，.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）若在上单调递增，求的取值范围；
（Ⅲ）若有两个不同的极值点，求证：.
（21）（本小题15分）
对于非空集合，定义变换，中元素的个数分别记为，，.
（Ⅰ）设集合，直接写出，，的值；
（Ⅱ）设集合, 中所有元素的和记为，求数列的通项公式；
（Ⅲ）设集合与同时满足下列两个性质：
①，且；
②且，其中.
求的最大值.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
昌平区2026年高三年级第二次统一练习
数学试卷参考答案及评分标准 2026.5
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）A （3）B （4）D （5）D
（6）B （7）C （8）A （9）A （10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13）
（14） （15）①③④ 　　　　
（第（13）、（14）题第一空３分，第二空２分；第（15）题答对一个给3分，答对二个给4分，答对三个给5分，错答得0分。）
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）由正弦定理及， ……1分
得. ……2分
整理得 ……3分
因为，
所以.
所以. ………………4分
因为在中，，
所以. ………………5分
因为，
所以. ………………6分
（Ⅱ）选条件①：的面积为，.
由（Ⅰ）知，又由题知， ……………7分
所以. ……………8分
因为，
所以，. ………………10分
由余弦定理得， ……12分
所以 ………………13分
选条件③：AB边上的高为，．
因为，，
所以. ………………8分
因为,
所以. ……11分
因为AB边上的高为，
所以. …………12分
所以. …………13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）在五面体中，底面是正方形，
所以. ………1分
因为平面，平面，
所以平面. ………2分
因为平面，平面平面，
所以. ………3分
因为为中点，，
所以.
所以四边形是平行四边形.
所以. ………4分
因为平面，平面，
所以平面. ………5分
（Ⅱ）取的中点，作，.
因为为正方形，
所以.
因为，
所以.
因为，，
所以. ………7分
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面. ………8分
所以.即两两互相垂直.
如图建立空间直角坐标系，则
.
因此，平面的法向量. ………10分
设平面的法向量为. 则
即
令，则. 于是. ………11分
设平面与平面夹角为，则
. ………13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）根据题中数据可知，100名初中生中有50名学生“非常感兴趣”， ………1分
所以从该校初中生中随机抽取名同学对课程“非常感兴趣”的概率估计为.
………2分
设这名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”为事件，则事件的概率可估计为. ………5分
（Ⅱ）根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，从样本中的小学生中抽取了人，则“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的人数分别为. ……6分
所以的可能取值为. ……7分
则； ；
； ；
. ………9分
所以随机变量的分布列为
故期望. …11分
（Ⅲ）. ………14分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意可得右顶点，上顶点，设左焦点.
因为 ，
所以，即. ……………2分
因为，
所以.
椭圆的方程为，离心率为. ……………6分
（Ⅱ）由题可知.
当直线斜率不存在时，，
所以 ……7分
当直线斜率存在时，设斜率为，
则直线的方程为. ……8分
由可得.
.
设. 则
……………10分
因为， ……………11分
所以
………12分
……………13分
因为，所以.
所以 ……………14分
综上所述，的取值范围为 ……………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）因为，
所以. ……………1分
所以. ……………2分
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以. ……………3分
所以. ……………4分
（Ⅱ）.
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立.
即在上恒成立. ……………5分
设.
则. ……………6分
令，解得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增. ……………7分
.
所以的最小值为. ……………8分
所以的取值范围为. ……………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当时，函数有两个不同的极值点，不妨设.
所以是方程的两个解. 即
，. ……………10分
所以.
设，则.
所以，即.
所以. ……………11分
所以.
所以. ……………12分
所以要证，只需证：对任意，.
设，
则，.
因为当时，，
所以在上单调递增. ……………13分
因为，
所以.
所以在上单调递增. ……………14分
所以.
所以.
即成立.
所以. ……………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）；；. ……3分
（Ⅱ）由,得.
，
若，则.
①当时,；同理，当时, .即与同时成立.
②当与都不成立时，必有或两者之一成立.
不妨设 则.
所以且.
所以且.
所以.
所以所求数列的通项公式为
. ………… 9分
（Ⅲ）设集合，，其中，，
则.
所以.①
.②
式①与式②中均有个不同的数，这些数都是集合中的元素.
因为，所以中有且仅有个不同元素.
所以式①与式②中的数对应相等，即.
所以.
所以数列是公差为，项数为的等差数列.
同理，数列是公差为，项数为的等差数列.
所以数列与是两个公差相等（公差），项数为的等差数列.
设，，其中.
则，
则，且.
因为，所以.
①当时，设，，
.
所以，，且或.
所以，解得.
当时，，，.
经检验符合题意.
②当时，因为，
所以，.
所以.
综上，的最大值为. ……15分
2

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