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房山区2026年高三年级第二次综合练习
数 学 2026.5
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集，集合，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知复数满足，则的共轭复数
（A） （B）
（C） （D）
（3）在的展开式中，的系数为
（A） （B）
（C） （D）
（4）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是
（A） （B）
（C） （D）
（5）宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏．塔群依山而建，共行，总数恰为座，自上而下每行的塔数构成数列．已知的前项和，从第项到第项构成等差数列，，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（7）在中，“”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值为
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（10）设，数列满足，，，则
（A）当时， （B）当时，
（C）当时， （D）当时，
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）抛物线的准线方程为 ．
（12）在中，，则=_______；若，为钝角，则边的一个取值为 ．
我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．某仿古粮仓设计要求
圆柱底面直径与高之和为12，若不计壁厚，则该粮仓容积的最大值为 ．
已知矩形中，，．若点为中点，则 ；
若点满足（），则的取值范围是 ．
设集合，，
给出下列四个结论：
① 且 ；
② 且 ；
③ 若，则且；
④ 若且，则．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ） 从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使得函数存在，求的单调
递增区间．
条件①：函数的最大值为；
条件②：函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为；
条件③：函数满足．
注：如果选择的条件不符合要求,第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（17）（本小题13分）
4月23日是世界读书日．某市调研小学生阅读状况，得到男生、女生最喜爱的一种阅读内容的频率分布如下图：
假设不同学生的选择相互独立．用频率估计概率．
（Ⅰ）从该市小学生中随机抽取名男生，估计他最喜爱的阅读内容为科学类（包括自然科学和社会科学）的概率；
（Ⅱ） 从该市小学生中随机抽取名男生和名女生，记这人中最喜爱的阅读内容为漫画的人数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从该市小学生中随机抽取名男生，用“”表示他最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示他最喜爱的阅读内容不是科学类；从该市小学生中随机抽取名女生，用“”表示她最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示她最喜爱的阅读内容不是科学类．判断方差与的大小．（结论不要求证明）
（18）（本小题14分）
如图，三棱柱中，，，平面平面．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值；
（Ⅲ）设点为线段上任意一点（且不与点，重合），
求证：直线与平面相交．
(19)（本小题15分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于点， ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程与离心率；
（Ⅱ）若直线与圆交于点，，直线，与椭圆的另一个交点分别为点，，求证：对任意，直线过定点．
（20）（本小题15分）
已知函数,．
（Ⅰ）若曲线与直线相切，求切点的坐标和实数的值；
（Ⅱ）若对任意实数，都存在实数，使得，求的取值范围；
（Ⅲ） 对给定的，任意，直线与曲线，的交点
分别为，求的最小值．
（21）（本小题15分）
由个实数组成的有序数组称为维向量．维向量，，当且仅当时，．对任意，定义：；．
设集合为偶数．
令集合存在，使得，．
（Ⅰ）写出集合的所有元素；
（Ⅱ）判断与是否属于集合，
并说明理由；
（Ⅲ）若，求证：“”的充要条件为
“为偶数，且”．
房山区2026年高三年级第二次综合练习
数学 参考答案
选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）B （3）A （4）C （5）B
（6）B （7）C （8）A （9）D （10）A
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （答案不唯一）
（13） （14）
（15）② ③
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为，
所以由，得．
（Ⅱ）
．
选①②：
因为的最大值为，所以，解得或．
又因为，所以．所以．
因为函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，所以，所以．
所以．又因为，所以．
所以．
由,解得．
所以的单调递增区间为．
选②③：
因为满足，
所以．
即恒成立，所以．所以．
因为函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为，所以，所以．
因为，所以，
因为，所以．
所以．
由．解得．
所以的单调递增区间为．
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）记事件为“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为自然科学”，
记事件为“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为社会科学”，
由图可知，，．
记事件为“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为科学类”，
则．
（Ⅱ）的取值范围为．
“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为漫画”的概率为，
“从该市小学生中随机抽取名女生，她最喜爱的阅读内容为漫画”的概率为．
；
；
；
．
所以的分布列为：
数学期望．
法二：．
（Ⅲ）．
（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为平面平面，面面，，面，
所以平面．
又因为平面，所以．
（Ⅱ）取的中点．又因为，
所以．
又因为平面平面，所以平面．
如图建立坐标系．则轴．
则，，，
，，，
，．
因为平面，所以平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，则 所以
令，得．
设平面与平面的夹角为，则．
（Ⅲ）设，则．
由（Ⅱ）知平面的法向量为．
因为，
所以直线与平面相交．
（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意得,，所以 ．
所以椭圆的标准方程为 ．
因为，所以离心率．
（Ⅱ）由 得，或．
不妨设，，因为，所以，．
设直线的方程为，则，．
由 得．
所以．所以．
所以．
设点，则．
同理．所以．
所以，，三点共线．
所以对任意，直线过定点．
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）设切点，则，．
由，得切线斜率．
由 得．
所以切点的坐标为，．
（Ⅱ）设，
则，．
当时，，，的单调递增区间为．
对任意实数，都存在实数，使得，
当时，
由解得．的单调递增区间为．
由解得．的单调递减区间为．
所以在上，．
存在，对任意，，不符合题意．
所以的取值范围为．
（Ⅲ）因为与，的交点分别为，
所以可设，，则，．
所以．
由（Ⅱ）知当时，在上单调递增，在上单调递减．
所以在区间上，．
因为，所以．
所以．
所以，当且仅当时取等号．
所以当，即时，的最小值为．
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）集合的所有元素：
， ，
， ，
， ，
， ．
（Ⅱ），．
因为，
所以．
记，
假设存在，，使得，则
，
，
，
．
相加，得
．
因为为偶数，等式左右两端奇偶性相反，矛盾．
所以．
（Ⅲ）必要性
因为，所以存在使得．
所以．
所以．
又因为为偶数，，所以为偶数．
因为，同理．
所以．
充分性：
因为为偶数，且，，
设，．
因为，
且，
所以．
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