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湖南省邵阳市2026年4月中考适应性考试数学试题卷
1．若一个数的相反数是-2026，则这个数是（　　）
A．2026 B．- 2026 C． D．
2． 下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．生活处处离不开石油，汽油、塑料、化纤衣物、部分医用材料等都源自石油化工.普通人日均消耗石油 2.3升，约 4 瓶矿泉水.2026 年初，我国战略石油储备为173 000 000 吨，可满足全国人民约 130天的石油消费需求.数据“173 000 000”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下图是由一个圆柱和一个圆锥组成的几何体，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．的算术平方根为（　　）
A．±2 B．8 C．±4 D．2
7． 如图，在△ABC中，已知点 D， E分别是边AB， BC的中点，连接DE.若AC=20，则DE=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8． 某校为备战中考体育排球项目，统计了九年级甲班10名男同学在一次排球垫球测试中的成绩（单位：个)，数据如下： 35， 30， 40， 41， 39， 39， 38， 35， 39， 30. 关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．众数是39 B．中位数是38
C．平均数是35.5 D．方差是0
9． 在平面直角坐标系中，点（1，2)关于y轴的对称点的坐标为（　　）
A．（1， - 2) B．（-1， 2)
C．（-1， - 2) D．（2， 1)
10． 如图，已知直线y=2x+4与反比例函数 的图象交于A，B两点，与两坐标轴分别交于 C，D两点.若AB=2BC，则k的值为（　　）
A． B．3 C．- 3 D．
11．因式分解：x2-1=　 　.
12．分式方程 的解为　 　.
13． 若关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，其中 a 为实数，则 　 　.
14． 已知某扇形的半径为 6厘米，弧长为 4π厘米，则该扇形的面积是　 　平方厘米（结果保留π).
15． 如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边 BC上截取线段 BE，使 BE=BA，分别以点 A， E为圆心，以大于 AE的长为半径画弧，两弧在平行四边形ABCD 内交于点 F，连接BF 并延长交边 AD 于点 G.若AG=3， GD=1，则平行四边形 ABCD 的周长是　 　.
16． 如图，在等腰直角三角形ABC中， ∠A=90°， BC=4 点D为边BC的中点，点E，F分别为边AB， AC上的动点，且DE⊥DF，则△AEF的面积的最大值为　 　.
17． 计算：
18．先化简，再求值： 其中x=2.
19． 如图，在菱形ABCD中，点E， F分别是边AB， BC上的一点，且AE=CF， AF与CE交于点O.
（1）求证： △ABF≌△CBE；
（2）若∠B=130°， ∠BAF=12°，求∠AOE的度数.
20．某商场计划在五一期间采购A，B两款礼盒回馈顾客，已知购买 1盒A款礼盒和 1盒B款礼盒共需 150元；购买 2盒A款礼盒与 1盒B款礼盒共需 230元.
（1）求A款礼盒和 B款礼盒的单价；
（2）若该商场计划采购A，B两款礼盒共25盒，且总费用不超过 1900元，则最多可以采购A款礼盒多少盒
21．为推广邵阳市“书香宝庆·校长喊你来阅读”活动，某校开展“书香润校园，阅读伴成长”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：文学经典类，B：科普读物类，C：历史社科类，D：其他类). 该校某数学兴趣小组随机抽取部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图图（一)，图（二)，如图所示.
图（一) 图（二)
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该校此次被调查的学生总人数为　 　人，其中最喜欢阅读 C“历史社科类”书籍的学生人数为　 　人；
（2）在图（二)中，A“文学经典类”所对应的圆心角度数是　 　度；
（3）若该校有 3 000名学生，请你估计最喜欢阅读B“科普读物类”书籍的学生人数约为　 　人；
（4）该数学兴趣小组中，甲、乙两名同学从这四类书籍中任选一类进行阅读，请用列表法或者树状图法求此两人恰好选择同一类别书籍的概率.
22．近年来，国产人形机器人技术飞速发展，多款机器人登上2026年春晚舞台，引来无数观众的赞叹.某数学实践小组根据某个机器人 N的动作示意图，开展数学探究活动.
图（一) 图（二) 图（三) 图（四)
（1）图（一)为机器人 N的某一姿势示意图，其下肢伸展结构可近似抽象为等腰三角形ABC，如图（二).已知机器人 N的大腿上端点 A到地面水平线l的距离约为 42厘米，机器人N的两脚着地点B，C之间的距离约为 112厘米，请估计机器人N的腿长AB.
（2）图（三)为机器人N的另一姿势示意图，其右侧伸展结构可近似抽象为△DEF，如图（四).已知点 E 为机器人 N的右脚着地点，点D 为机器人 N的头顶最高点，点 F 为机器人 N的机身连接点，直线EG 为地面水平线. 若 EF=AB， ∠DEF=30°，∠EDF=45°， ∠FEG=50°，请估计此时机器人 N的头顶 D 点到地面水平线EG的距离（结果保留整数，参考数据：
23． 如图（一)， 已知MN为⊙O的直径， 弦AB交MN于点C（点C与点O不重合)，连接MA， MB， ∠AMN=∠BMN.
图（一) 图（二) 图（三)
（1）求证： MA=MB；
（2）如图（二)， 在线段 MC 上取点 D， 使得 CD=CN， 延长 AD 交 MB 于点 E，求证： AE⊥MB；
（3）如图（三)， 在（2）的条件下， 延长AE 交⊙O 于点 F， 连接BF， 在直径 MN上取点G， 使得∠NGF+∠AFB=90°. 若MG=14， BC=15， 求⊙O的半径.
24．某学生在学习二次函数时发现：二次函数图象上的任意点到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等，请同学们利用已学知识回答下列问题：
（1）证明：函数 （a为常数，且a>0)上任意一点 H 到点 F（0，a)的距离与到直线 y=-a的距离相等；
（2）将函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移 个单位得到抛物线 L.若点 点 P 是 L上的一个动点，试求 PM+PN 的最小值；
（3）在（2）的条件下，设L与x轴相交于A，B（点B在点A的右边)两点，顶点为点C，点D为L的对称轴上的一点且AD平分∠BAC，点E 是线段AC上的动点（点E与A， C不重合)，连接DE，将△DEC 沿 DE 折叠得到△DEC'，记△DEC'与△ACD的重叠部分为△DEG.若△DEG为直角三角形，请求出所有满足条件的点G的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：相反数为的数是．
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；绕一点旋转180°后与自身重合的图形是中心对称图形”进行判断即可．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，即选项A错误；
B．，即选项B错误；
C．，即选项C正确；
D．，即选项D错误．
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法、积的乘方运算法则逐项判断即可．
5．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体由一个圆柱和一个圆锥组成，从上面看，得到两个同心圆，
所以它的俯视图是：
.
故答案为：B.
【分析】根据俯视图是从上往下看到的几何图形解答即可．
6．【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，4的算术平方根为2．
故答案为：D.
【分析】先求出，再求出对应的算术平方根即可．
7．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
8．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列得：，
∵出现次数最多，共次，
∴众数为，选项A正确；
∵个数据的中位数是第个和第个数据的平均数，第个为，第个为
∴中位数为，选项B错误；
∵数据总和为
∴平均数为，选项C错误；
∵数据不完全相等，因此方差不可能为，选项D错误．
故答案为：A.
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义解答即可．
9．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：B.
【分析】根据关于轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
10．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点两垂线型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
设，
，点，
，即，
解得：，
又点在上，
的坐标为，
由在上，得，
故答案为：A.
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，设，即可得到，求出点C的坐标，即可得到，代入数值求出的值，进而求出求出点的坐标，代入反比例函数解析式求得的值即可．
11．【答案】（x+1）（x-1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-1=（x+1）（x-1）
故答案为：（x+1）（x-1）
【分析】观察此多项式没有公因式，只含两项，且符合平方差公式的结构特点，因此利用平方差公式分解因式。
12．【答案】x=6
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
经检验，当时，，
所以是原分式方程的解．
故答案为：x=6.
【分析】先将分式两边同时乘以(x+2)化为整式方程，解整式方程求出x的值并检验解答即可．
13．【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
整理得，
．
故答案为：1.
【分析】根据题意得到根的判别式为0，求出的值，然后整体代入计算即可．
14．【答案】12π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：12π.
【分析】利用扇形面积公式计算得到结果.
15．【答案】14
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图可知平分，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
故答案为：14.
【分析】根据尺规作图可得平分，再根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，然后计算四边形ABCD的周长即可．
16．【答案】2
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵为等腰直角三角形，，点为边的中点，
∴，，
∵，
∴，，即：，
在与中，，
∴，
∴．
即：．
∵，
∴当时，的最小值，
故：的最大值．
故答案为2：.
【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质，利用ASA得到，即可得到DE=DF，当时，的面积最小，即的面积最大，据此计算即可．
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算量指数次幂、负整数指数次幂、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后运算加减解答即可.
18．【答案】解：原式
= x+1.
当x=2时，原式=3.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先运算括号内分式的通分，然后因式分解约分化简，最后把x的值代入计算即可．
19．【答案】（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，AE=CF，
所以AB=CB，AB-AE=CB-CF，
即BE=BF.
在△ABF和△CBE中，
AB=CB，∠ABF=∠CBE，BF=BE，
所以△ABF≌△CBE.
（2）解：由(1)知∠BCE=∠BAF=12°，
所以
所以∠AOE=38°-∠OAE=26°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到，即可得到，然后根据SAS得到两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，根据三角形内角和定理求出，然后根据三角形的外角解答即可．
20．【答案】（1）解：设A 款礼盒单价为x元/盒，B款礼盒的单价为y元/盒，根据题意得：
则
答：A款礼盒单价为80元/盒，B款礼盒的单价为70元/盒.
（2）解：设采购A款礼盒a盒，则B款礼盒(25-a)盒，根据题意得：
80a+70(25-a)≤1900，
解得：a≤15，
答：最多可以采购A款礼盒15盒.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设款礼盒单价为元／盒，款礼盒的单价为元／盒，根据“ 购买 1盒A款礼盒和 1盒B款礼盒共需 150元；购买 2盒A款礼盒与 1盒B款礼盒共需 230元 ”列出方程即可解决问题；
（2）设采购款礼盒盒，根据“ 采购A，B两款礼盒共25盒，且总费用不超过 1900元 ”列不等式即可解决问题．
21．【答案】（1）80；20
（2）108
（3）1050
（4）解：用“列表法”表示所有可能结果：
书籍类别甲乙 A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
所有可能结果有16个，它们出现的可能性相等，两人选择同一类别书籍的结果有4个，因此：P(两人选择同一类别书籍)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人），（人）．
故答案为：80；20；
（2）解：．
故答案为：108°.
（3）解：（人）．
故答案为：1050.
【分析】（1）由D的人数除以D组人数的占比得到调查人数，再用调查人数减去A、B、D组的学生数得到喜欢阅读的学生数即可；
（2）用乘以A类的学生数占比求出圆心角即可；
（3）用乘以喜欢B类的学生占比解答即可；
（4）列表得到所有等可能性的结果数， 再找到两人选择同一类书籍的结果数，利用概率公式计算即可．
22．【答案】（1）解：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点 M.
因为△ABC为等腰三角形，BC=112 cm，
所以 BM=56 cm，
在Rt△ABM中，AM=42 cm，
答：机器人N的腿AB的长度约为70 cm.
（2）解：如图，过点F作FH⊥DE，垂足为点H.过点D作DO⊥EG，垂足为点 O.在Rt△HEF中，
在Rt△DHF中，∠HDF=45°，则DH=HF=35 cm.
所以
在 Rt△DEO中，
答：此时机器人N的头顶D点到地面水平线EG的距离约为94 cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为点．根据三线合一可得，在中根据勾股定理求出AB长解答即可．
（2）过点作于点，过点作于点，在中，根据等腰直角三角形的性质求得，再在根据正弦的定义解答即可．
23．【答案】（1）证明：如图，连接AN，BN，因为MN为直径，
所以∠MAN=∠MBN=90°.
因为∠AMN=∠BMN，
所以∠ANM=∠BNM.
所以AM=BM.
（2）证明：因为AM=BM，∠AMN=∠BMN，
所以AB⊥DN.
又因为CD=CN，
所以AD=AN.
所以∠NAB=∠DAB.
因为∠BMN=∠BAN，∠BMN+∠ABM=90°，
所以∠BAD+∠ABM=90°.
所以AE⊥MB.
（3）解：如图，连接NF，MF，过点 F 作 FH⊥MN于点 H，
因为∠AFB=∠AMB，∠AMB+∠MAF=90°，∠FGN+∠AFB=90°，
所以∠FGN=∠MAF=∠FNG.
所以 FG=FN.
所以 NH=HG.
又因为∠AMB=2∠BMN=2∠BAN=∠NAF，
所以NF=AB=2BC=30.
设⊙O的半径为r，
∵，，
∴，
所以900=2r(r-7)，
解得r=25，所以⊙O的半径长为25.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角得到∠MAN=∠MBN=90°，利用等角的余角相等得到∠ANM=∠BNM，然后根据角平分线的性质解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出，即可得到可得∠BAD+∠ABM=90°，证明结论；
（3）连接，过点作于点，推理得到．设的半径为，根据两角对应相等得到；利用对应边成比例解答即可．
24．【答案】（1）证明：在 上任取点
则 又a>0，
所以
因为点H到y=-a的距离
即 上任意点H到定点 F 的距离与到定直线y=-a的距离相等
（2）解：由(1)知函数 的图象上的任意点到点 的距离与到直线 的距离相等，
因为L是由 的图象向右平移1个单位，再向下平移 个单位得到，
所以L上任意点 P到点 的距离与到直线 的距离相等，
过点 做直线 的垂线段，垂线段的长为 PM+PN的最小值.
所以
（3）解：因为△DEG为直角三角形， 则A(-2，0)，B(4，0)，C(1，-3 ).分三种情形讨论：
第一种情况：∠DGE=90°；
①如图(一)，DG⊥AC，AB=6，AC=
取点M(1，0)，则在△AMC中，∠AMC=90°，
AM=3，MC=3 ，AC=6，
所以∠CAM=60°.
又AD平分∠CAB，
所以∠DAB=30°，
所以
所以
所以DA=DC.
所以点G为AC的中点，即
②如图(二)，当点E在CA上从点 C到点A的运动中，∠EDC=90°时，
则EG⊥AD，
在 Rt△EDC中， 故ED=2，EC=4.
此时AE=2=ED，
所以∠ADE=30°=∠EC'D，又∠C'ED=∠GED，
所以△EGD∽△EDC'，
所以∠EGD=∠EDC'=90°，故EG⊥DG，
所以DG=GA，故G为AD 的中点，则
第二种情况：如图(三)， ，此时G，C'与A重合，即G(-2，0)；
第三种情况：不难知，当点 E 为 AC 的中点时， 取最大值，最大值为( 故 不存在.
综上所述，满足题意的点 G的坐标为
注：解答题有其他解法酌情给分.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）在上任取点，计算出点HF与点H到y=-a的距离，证明结论；
（2）根据平移得到抛物线上的点到点、直线的距离相等，根据垂线段最短求出最小值即可；
（3）当，取点M(1，0)，求出∠CAM=60°，然后根据角平分线的定义求出∠DAB=30°，解30°的直角三角形求出点G的坐标即可；当点E在CA上从点 C到点A的运动得到△EGD∽△EDC'，即可得到∠EGD=∠EDC'=90°，求出点G的坐标；当，得到G，C'与A重合，解答即可；当，根据 的最大值为解答即可．
1 / 1湖南省邵阳市2026年4月中考适应性考试数学试题卷
1．若一个数的相反数是-2026，则这个数是（　　）
A．2026 B．- 2026 C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：相反数为的数是．
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
2． 下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；绕一点旋转180°后与自身重合的图形是中心对称图形”进行判断即可．
3．生活处处离不开石油，汽油、塑料、化纤衣物、部分医用材料等都源自石油化工.普通人日均消耗石油 2.3升，约 4 瓶矿泉水.2026 年初，我国战略石油储备为173 000 000 吨，可满足全国人民约 130天的石油消费需求.数据“173 000 000”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，即选项A错误；
B．，即选项B错误；
C．，即选项C正确；
D．，即选项D错误．
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法、积的乘方运算法则逐项判断即可．
5．下图是由一个圆柱和一个圆锥组成的几何体，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体由一个圆柱和一个圆锥组成，从上面看，得到两个同心圆，
所以它的俯视图是：
.
故答案为：B.
【分析】根据俯视图是从上往下看到的几何图形解答即可．
6．的算术平方根为（　　）
A．±2 B．8 C．±4 D．2
【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，4的算术平方根为2．
故答案为：D.
【分析】先求出，再求出对应的算术平方根即可．
7． 如图，在△ABC中，已知点 D， E分别是边AB， BC的中点，连接DE.若AC=20，则DE=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．
8． 某校为备战中考体育排球项目，统计了九年级甲班10名男同学在一次排球垫球测试中的成绩（单位：个)，数据如下： 35， 30， 40， 41， 39， 39， 38， 35， 39， 30. 关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．众数是39 B．中位数是38
C．平均数是35.5 D．方差是0
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列得：，
∵出现次数最多，共次，
∴众数为，选项A正确；
∵个数据的中位数是第个和第个数据的平均数，第个为，第个为
∴中位数为，选项B错误；
∵数据总和为
∴平均数为，选项C错误；
∵数据不完全相等，因此方差不可能为，选项D错误．
故答案为：A.
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义解答即可．
9． 在平面直角坐标系中，点（1，2)关于y轴的对称点的坐标为（　　）
A．（1， - 2) B．（-1， 2)
C．（-1， - 2) D．（2， 1)
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：B.
【分析】根据关于轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
10． 如图，已知直线y=2x+4与反比例函数 的图象交于A，B两点，与两坐标轴分别交于 C，D两点.若AB=2BC，则k的值为（　　）
A． B．3 C．- 3 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点两垂线型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
设，
，点，
，即，
解得：，
又点在上，
的坐标为，
由在上，得，
故答案为：A.
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，设，即可得到，求出点C的坐标，即可得到，代入数值求出的值，进而求出求出点的坐标，代入反比例函数解析式求得的值即可．
11．因式分解：x2-1=　 　.
【答案】（x+1）（x-1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-1=（x+1）（x-1）
故答案为：（x+1）（x-1）
【分析】观察此多项式没有公因式，只含两项，且符合平方差公式的结构特点，因此利用平方差公式分解因式。
12．分式方程 的解为　 　.
【答案】x=6
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
经检验，当时，，
所以是原分式方程的解．
故答案为：x=6.
【分析】先将分式两边同时乘以(x+2)化为整式方程，解整式方程求出x的值并检验解答即可．
13． 若关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，其中 a 为实数，则 　 　.
【答案】1
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
整理得，
．
故答案为：1.
【分析】根据题意得到根的判别式为0，求出的值，然后整体代入计算即可．
14． 已知某扇形的半径为 6厘米，弧长为 4π厘米，则该扇形的面积是　 　平方厘米（结果保留π).
【答案】12π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：.
故答案为：12π.
【分析】利用扇形面积公式计算得到结果.
15． 如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边 BC上截取线段 BE，使 BE=BA，分别以点 A， E为圆心，以大于 AE的长为半径画弧，两弧在平行四边形ABCD 内交于点 F，连接BF 并延长交边 AD 于点 G.若AG=3， GD=1，则平行四边形 ABCD 的周长是　 　.
【答案】14
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图可知平分，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
故答案为：14.
【分析】根据尺规作图可得平分，再根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，然后计算四边形ABCD的周长即可．
16． 如图，在等腰直角三角形ABC中， ∠A=90°， BC=4 点D为边BC的中点，点E，F分别为边AB， AC上的动点，且DE⊥DF，则△AEF的面积的最大值为　 　.
【答案】2
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵为等腰直角三角形，，点为边的中点，
∴，，
∵，
∴，，即：，
在与中，，
∴，
∴．
即：．
∵，
∴当时，的最小值，
故：的最大值．
故答案为2：.
【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质，利用ASA得到，即可得到DE=DF，当时，的面积最小，即的面积最大，据此计算即可．
17． 计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算量指数次幂、负整数指数次幂、绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后运算加减解答即可.
18．先化简，再求值： 其中x=2.
【答案】解：原式
= x+1.
当x=2时，原式=3.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先运算括号内分式的通分，然后因式分解约分化简，最后把x的值代入计算即可．
19． 如图，在菱形ABCD中，点E， F分别是边AB， BC上的一点，且AE=CF， AF与CE交于点O.
（1）求证： △ABF≌△CBE；
（2）若∠B=130°， ∠BAF=12°，求∠AOE的度数.
【答案】（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，AE=CF，
所以AB=CB，AB-AE=CB-CF，
即BE=BF.
在△ABF和△CBE中，
AB=CB，∠ABF=∠CBE，BF=BE，
所以△ABF≌△CBE.
（2）解：由(1)知∠BCE=∠BAF=12°，
所以
所以∠AOE=38°-∠OAE=26°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得到，即可得到，然后根据SAS得到两三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，根据三角形内角和定理求出，然后根据三角形的外角解答即可．
20．某商场计划在五一期间采购A，B两款礼盒回馈顾客，已知购买 1盒A款礼盒和 1盒B款礼盒共需 150元；购买 2盒A款礼盒与 1盒B款礼盒共需 230元.
（1）求A款礼盒和 B款礼盒的单价；
（2）若该商场计划采购A，B两款礼盒共25盒，且总费用不超过 1900元，则最多可以采购A款礼盒多少盒
【答案】（1）解：设A 款礼盒单价为x元/盒，B款礼盒的单价为y元/盒，根据题意得：
则
答：A款礼盒单价为80元/盒，B款礼盒的单价为70元/盒.
（2）解：设采购A款礼盒a盒，则B款礼盒(25-a)盒，根据题意得：
80a+70(25-a)≤1900，
解得：a≤15，
答：最多可以采购A款礼盒15盒.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设款礼盒单价为元／盒，款礼盒的单价为元／盒，根据“ 购买 1盒A款礼盒和 1盒B款礼盒共需 150元；购买 2盒A款礼盒与 1盒B款礼盒共需 230元 ”列出方程即可解决问题；
（2）设采购款礼盒盒，根据“ 采购A，B两款礼盒共25盒，且总费用不超过 1900元 ”列不等式即可解决问题．
21．为推广邵阳市“书香宝庆·校长喊你来阅读”活动，某校开展“书香润校园，阅读伴成长”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：文学经典类，B：科普读物类，C：历史社科类，D：其他类). 该校某数学兴趣小组随机抽取部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图图（一)，图（二)，如图所示.
图（一) 图（二)
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该校此次被调查的学生总人数为　 　人，其中最喜欢阅读 C“历史社科类”书籍的学生人数为　 　人；
（2）在图（二)中，A“文学经典类”所对应的圆心角度数是　 　度；
（3）若该校有 3 000名学生，请你估计最喜欢阅读B“科普读物类”书籍的学生人数约为　 　人；
（4）该数学兴趣小组中，甲、乙两名同学从这四类书籍中任选一类进行阅读，请用列表法或者树状图法求此两人恰好选择同一类别书籍的概率.
【答案】（1）80；20
（2）108
（3）1050
（4）解：用“列表法”表示所有可能结果：
书籍类别甲乙 A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
所有可能结果有16个，它们出现的可能性相等，两人选择同一类别书籍的结果有4个，因此：P(两人选择同一类别书籍)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人），（人）．
故答案为：80；20；
（2）解：．
故答案为：108°.
（3）解：（人）．
故答案为：1050.
【分析】（1）由D的人数除以D组人数的占比得到调查人数，再用调查人数减去A、B、D组的学生数得到喜欢阅读的学生数即可；
（2）用乘以A类的学生数占比求出圆心角即可；
（3）用乘以喜欢B类的学生占比解答即可；
（4）列表得到所有等可能性的结果数， 再找到两人选择同一类书籍的结果数，利用概率公式计算即可．
22．近年来，国产人形机器人技术飞速发展，多款机器人登上2026年春晚舞台，引来无数观众的赞叹.某数学实践小组根据某个机器人 N的动作示意图，开展数学探究活动.
图（一) 图（二) 图（三) 图（四)
（1）图（一)为机器人 N的某一姿势示意图，其下肢伸展结构可近似抽象为等腰三角形ABC，如图（二).已知机器人 N的大腿上端点 A到地面水平线l的距离约为 42厘米，机器人N的两脚着地点B，C之间的距离约为 112厘米，请估计机器人N的腿长AB.
（2）图（三)为机器人N的另一姿势示意图，其右侧伸展结构可近似抽象为△DEF，如图（四).已知点 E 为机器人 N的右脚着地点，点D 为机器人 N的头顶最高点，点 F 为机器人 N的机身连接点，直线EG 为地面水平线. 若 EF=AB， ∠DEF=30°，∠EDF=45°， ∠FEG=50°，请估计此时机器人 N的头顶 D 点到地面水平线EG的距离（结果保留整数，参考数据：
【答案】（1）解：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点 M.
因为△ABC为等腰三角形，BC=112 cm，
所以 BM=56 cm，
在Rt△ABM中，AM=42 cm，
答：机器人N的腿AB的长度约为70 cm.
（2）解：如图，过点F作FH⊥DE，垂足为点H.过点D作DO⊥EG，垂足为点 O.在Rt△HEF中，
在Rt△DHF中，∠HDF=45°，则DH=HF=35 cm.
所以
在 Rt△DEO中，
答：此时机器人N的头顶D点到地面水平线EG的距离约为94 cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作，垂足为点．根据三线合一可得，在中根据勾股定理求出AB长解答即可．
（2）过点作于点，过点作于点，在中，根据等腰直角三角形的性质求得，再在根据正弦的定义解答即可．
23． 如图（一)， 已知MN为⊙O的直径， 弦AB交MN于点C（点C与点O不重合)，连接MA， MB， ∠AMN=∠BMN.
图（一) 图（二) 图（三)
（1）求证： MA=MB；
（2）如图（二)， 在线段 MC 上取点 D， 使得 CD=CN， 延长 AD 交 MB 于点 E，求证： AE⊥MB；
（3）如图（三)， 在（2）的条件下， 延长AE 交⊙O 于点 F， 连接BF， 在直径 MN上取点G， 使得∠NGF+∠AFB=90°. 若MG=14， BC=15， 求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：如图，连接AN，BN，因为MN为直径，
所以∠MAN=∠MBN=90°.
因为∠AMN=∠BMN，
所以∠ANM=∠BNM.
所以AM=BM.
（2）证明：因为AM=BM，∠AMN=∠BMN，
所以AB⊥DN.
又因为CD=CN，
所以AD=AN.
所以∠NAB=∠DAB.
因为∠BMN=∠BAN，∠BMN+∠ABM=90°，
所以∠BAD+∠ABM=90°.
所以AE⊥MB.
（3）解：如图，连接NF，MF，过点 F 作 FH⊥MN于点 H，
因为∠AFB=∠AMB，∠AMB+∠MAF=90°，∠FGN+∠AFB=90°，
所以∠FGN=∠MAF=∠FNG.
所以 FG=FN.
所以 NH=HG.
又因为∠AMB=2∠BMN=2∠BAN=∠NAF，
所以NF=AB=2BC=30.
设⊙O的半径为r，
∵，，
∴，
所以900=2r(r-7)，
解得r=25，所以⊙O的半径长为25.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角得到∠MAN=∠MBN=90°，利用等角的余角相等得到∠ANM=∠BNM，然后根据角平分线的性质解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出，即可得到可得∠BAD+∠ABM=90°，证明结论；
（3）连接，过点作于点，推理得到．设的半径为，根据两角对应相等得到；利用对应边成比例解答即可．
24．某学生在学习二次函数时发现：二次函数图象上的任意点到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等，请同学们利用已学知识回答下列问题：
（1）证明：函数 （a为常数，且a>0)上任意一点 H 到点 F（0，a)的距离与到直线 y=-a的距离相等；
（2）将函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移 个单位得到抛物线 L.若点 点 P 是 L上的一个动点，试求 PM+PN 的最小值；
（3）在（2）的条件下，设L与x轴相交于A，B（点B在点A的右边)两点，顶点为点C，点D为L的对称轴上的一点且AD平分∠BAC，点E 是线段AC上的动点（点E与A， C不重合)，连接DE，将△DEC 沿 DE 折叠得到△DEC'，记△DEC'与△ACD的重叠部分为△DEG.若△DEG为直角三角形，请求出所有满足条件的点G的坐标.
【答案】（1）证明：在 上任取点
则 又a>0，
所以
因为点H到y=-a的距离
即 上任意点H到定点 F 的距离与到定直线y=-a的距离相等
（2）解：由(1)知函数 的图象上的任意点到点 的距离与到直线 的距离相等，
因为L是由 的图象向右平移1个单位，再向下平移 个单位得到，
所以L上任意点 P到点 的距离与到直线 的距离相等，
过点 做直线 的垂线段，垂线段的长为 PM+PN的最小值.
所以
（3）解：因为△DEG为直角三角形， 则A(-2，0)，B(4，0)，C(1，-3 ).分三种情形讨论：
第一种情况：∠DGE=90°；
①如图(一)，DG⊥AC，AB=6，AC=
取点M(1，0)，则在△AMC中，∠AMC=90°，
AM=3，MC=3 ，AC=6，
所以∠CAM=60°.
又AD平分∠CAB，
所以∠DAB=30°，
所以
所以
所以DA=DC.
所以点G为AC的中点，即
②如图(二)，当点E在CA上从点 C到点A的运动中，∠EDC=90°时，
则EG⊥AD，
在 Rt△EDC中， 故ED=2，EC=4.
此时AE=2=ED，
所以∠ADE=30°=∠EC'D，又∠C'ED=∠GED，
所以△EGD∽△EDC'，
所以∠EGD=∠EDC'=90°，故EG⊥DG，
所以DG=GA，故G为AD 的中点，则
第二种情况：如图(三)， ，此时G，C'与A重合，即G(-2，0)；
第三种情况：不难知，当点 E 为 AC 的中点时， 取最大值，最大值为( 故 不存在.
综上所述，满足题意的点 G的坐标为
注：解答题有其他解法酌情给分.
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）在上任取点，计算出点HF与点H到y=-a的距离，证明结论；
（2）根据平移得到抛物线上的点到点、直线的距离相等，根据垂线段最短求出最小值即可；
（3）当，取点M(1，0)，求出∠CAM=60°，然后根据角平分线的定义求出∠DAB=30°，解30°的直角三角形求出点G的坐标即可；当点E在CA上从点 C到点A的运动得到△EGD∽△EDC'，即可得到∠EGD=∠EDC'=90°，求出点G的坐标；当，得到G，C'与A重合，解答即可；当，根据 的最大值为解答即可．
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