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2025-2026学年第二学期八年级数学期中素养评价
　　　　　　　　　　 （满分：120分）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知4、5、是某三角形三边的长，则计算的正确结果是（ ）
A． B．8 C． D．
3．如图1是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图2的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（如图3，纸条不重叠），正方形美术作品的面积为（ ）

A． B． C． D．
4．一个不完整的算式“”，先在①处填上一种运算符号（在“”“”“”或“”中选择），再在括号内的②处填上一个实数，使其运算结果为有理数，其中不符合要求的一组搭配是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将长方形纸片对折后展开，折痕为，点为上一点，将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长是（ ）
第5题图 第6题图
A．8 B． C．6 D．
6．我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为，则图中线段的长为（ ）
A． B． C． D．
7．下列线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．如图1的玻璃莲花托盏，出土于甘肃省定西市漳县徐家坪，由普蓝色玻璃制成，半透明，造型优美，色彩艳丽，工艺精湛，是迄今为止中国出土最完整的一套元代玻璃托盏．如图2是玻璃莲花托盏茶托边沿的平面示意图，可抽象为正八边形，则的度数为（ ）
第8题图 第9题图 第10题图
A． B． C． D．
9．如图，为测量池塘边，两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得，的中点分别是，，且，则，两点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．若，则的值是______．
12．若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______．
13．现有最简二次根式和，若它们是同类二次根式，则的值是_______．
14．若最简二次根式与可以合并，则的值是______．
15．如图，在Rt中，．点D，E分别为边上的动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则面积的最大值为_______________．
第15题图 第16题图 第17题图 第18题图
16．如图， ABC中，，以为斜边向 ABC内部作等腰直角，过直角顶点作于于，则线段的长度为___________．．
17．如图，在边长为5的菱形中，对角线交于点O，，E，F分别是的中点，P是上的动点，则的最小值为______．
18．如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）计算：
(1)； (2)
20．（本题6分）已知实数，，满足，，试求：
(1)，，的值； (2)的值．
21．（本题6分）先化简，当x，y满足时求上式的值．
22．（本题6分）已知为直角三角形的两条边长，且，求这个直角三角形的第三边长．
23．（本题6分）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知．
(1)求当x等于何值时，
(2)当时，求的长．
(3)利用图形求代数式的最小值．
24．（本题8分）我们知道，长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，即长方形中，，．如图，在长方形中，，点为上一点，把沿折叠，点恰好落在的点处，求的长．
25．（本题8分）【阅读材料】
我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，∵，
∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为2．
【模仿探究】
请利用以上结果解决下面的问题：
（1）当时，求的最小值，并求出此时a的值；
（2）当时，求的最小值，并求出此时a的值；
【应用意识】
（3）如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为平方米，斜边需要用栅栏围上，求栅栏的最小值．
26．（本题8分）已知点F是等边 ABC的边延长线上一点，以为边，作菱形，使菱形 与等边 ABC在的同侧，且，连结．
(1)如图①，若，请计算的面积；
(2)如图②，若点G是的中点，连接．试探究与的位置和数量关系，并说明理由．
27．（本题10分）平移是一种基本的几何图形变换，利用平移可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．如图1，在四边形中，，若，求的值．
小明发现，平移至，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
(1)【求解体验】
请根据小明的思路求的值．
(2)【尝试应用】
如图3，在矩形和中，连结交于点G，连接．若，求的度数；
(3)【拓展延伸】
如图4，在（2）的条件下，连结，若，求 BDF的面积．参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B D B D C C B
11．
12．
13．4
14．
15．
16．
17．
18．15
19．（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
20．1）解：∵，且，，，
故，，，
即，，，
解得，．
（2）解：将，代入，原式．
21．解：原式
；
∵，
∴，
∴，，
∴原式．
22．解：由题意得：，，
解得：，
，即，
为直角三角形的两条边长，
当为直角三角形的两条直角边时，第三边长为，
当为直角边，为斜边时，第三边长为，
综上所述，这个直角三角形的第三边长或．
23．（1）根据题意，，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
（2）根据题意，，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
故．
（3）根据得，
构造．如图所示，
当A，C，E三点共线时，最小，
延长到点F，过点A作于点F，
则四边形是矩形，
故．
故．
24．解：∵折叠，点恰好落在线段上的点处
∴，，，，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得
∴
∴，
∴．
25．解：（1）当时，
∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为．
（2）当时，
∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为．
（3）设，则，则
∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为．
∴
26．（1）解：如图1，
∵ ABC是等边三角形，
∴，
∵，
菱形中，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，
∴，
∴；
（2）；
理由如下：如图2，延长与交于M，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∵等边 ABC中，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
27．（1）解：如下图，由平移的性质可得四边形ADEC是一个平行四边形，
∴DE=AC=3，AD=CE，
∴AD+BC=BE．
∵DE//AC，AC⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴AD+BC=BE=；
（2）解：连结AC、CE．
∵矩形ABCD，ABEF为平行四边形，
∴DC∥AB∥EF且DC=AB=EF，
∴DFEC为平行四边形，
∴DF=CE．
∵ABCD为矩形，
∴AC=DB．
∵AE=DF=DB，
∴AE=CE=AC，
即△ACE是一个等边三角形．
∵DF//CE，
∴∠FGE=∠AEC=60°；
（3）解：设AC与BD相交于点Q．
∵矩形ABCD中，AB=AD，
∴ABCD为正方形，AC与BD互相垂直平分．
∵EA=EC，BA=BC，
∴BE是线段AC的中垂线．
又∵BD也是线段AC的中垂线，
∴E、B、D三点共线．
∵AF∥BE，
∴∠FAE=∠AEB=∠AEC =30°，
∴∠AFG=∠FGE —∠FAE =30°．
∵FG=2，
∴BE=AF= ．
在Rt△AEQ中，设AQ=x，
则QE=x+，AE=AC=2x，
∴，
解得，（负的舍去）．
∵AF//DE，
∴==．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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