资源简介

广东省潮州市2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷
一、单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1．某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（　　）米/秒
A．10 B．8 C．6 D．4
2．设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（　　）
A． B． C．6 D．14
3．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为，则（　　）
A．0.25 B．0.3 C．0.35 D．0.4
4．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（　　）
A． B． C． D．
5．从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（　　）
A．140种 B．44种 C．70种 D．252种
6．同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（　　）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（　　）
A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
B．若随机变量ξ，η满足，则
C．“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件
D．若随机变量X服从两点分布，，则
8．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．对于的展开式，下列说法正确的是（　　）
A．展开式共有6项
B．展开式的各项系数之和为
C．展开式的第2项是
D．展开式的各二项式系数之和为32
10．设函数的导函数为，则（　　）
A． B．是函数的极值点
C．存在两个零点 D．在上单调递增
11．如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．三棱锥的体积为
C．点B到直线的距离为
D．平面截正方体的截面的面积为5
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知等差数列中，，则　 　．
13．某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则　 　.
14．已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为　 　.
四、解答题（本大题共5小题，满分77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知 在 时有极值0．
（1）求常数 ， 的值；
（2）求 在区间 上的最值．
16．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，E为中点，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
18．已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；
（2）从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值．
附：若，取，．
19．已知函数.
（1）若，求的值；
（2）已知数列满足，且.
（i）证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
（ii）设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值.
参考数据：，，.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】瞬时变化率；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由，得，则物体在秒时的瞬时速度米/秒.
故答案为：B.
【分析】本题考查导数的物理意义，核心是利用 “位移函数的导数为速度函数” 的性质，先求位移函数的导数，再代入时间t=1计算瞬时速度。
2．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为曲线在处的切线方程为，
所以，，
所以．
故答案为：D.
【分析】本题考查导数的几何意义，核心是利用“曲线在某点处的切线斜率等于该点的导数值”，以及“切点在切线上”这两个性质，分别求出f'(2)和f(2)，再求和。
3．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由表中数据，计算得：，，
又线性回归方程过样本中心点，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】本题考查线性回归方程的性质，核心是利用“线性回归方程必过样本中心点”这一性质，先计算样本中心点的坐标，再代入方程求解。
4．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线的离心率为，
可得，即，即，解得，
则，即渐近线方程是.
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的性质求解即可.
5．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：利用间接法可得男女生都要有的选法种数为.
故答案为：C.
【分析】本题考查组合数的计算与间接法的应用，核心是先计算从所有同学中选 3 人的总组合数，再减去全是男生、全是女生的组合数，得到男女生都有的选法数。
6．【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：用表示甲骰子向上的点数，表示乙骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示，
则所有可能情况有，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，共个结果.
其中包含共个基本事件，
包含共个基本事件，
所以，，所以.
故答案为：C
【分析】本题考查条件概率的计算，核心是先通过列举法确定事件和事件包含的基本事件数，再利用条件概率公式求解。
7．【答案】A
【知识点】变量相关关系；独立性检验的应用；互斥事件与对立事件；两点分布
【解析】【解答】解：A，，故可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故A正确．
B，若随机变量ξ，η满足，则，故B错误；
C，事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥，故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，故C错误；
D，随机变量X服从两点分布，设，由 解得：，显然不是方程的解，故D错误．
故答案为：A.
【分析】A：根据卡方独立性检验的判定规则，对比计算的值与临界值，判断变量关联及犯错误概率。
B：利用方差的性质（若，则），计算并判断等式是否成立。
C：根据互斥、对立事件的定义，分析两者的充分必要关系。
D：设两点分布中，利用两点分布方差公式列方程，求解并判断是否为。
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：不等式可化为，
设，则原不等式可化为，
对函数求导，得，
因为，所以，
所以函数是实数集上的增函数，
所以．
故不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】本题考查利用导数研究函数单调性解不等式，核心是通过构造新函数，将原不等式转化为，再利用导数判断的单调性，进而求解不等式。
9．【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：A：由可知的展开式共有6项，故A正确；
B：令，则，故B正确；
C：展开式中的第2项是，故C错误；
D：展开式的二项式系数和为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：根据二项式展开式的项数规律（展开式有项），判断的展开式项数。
B：令代入展开式，计算各项系数之和，验证是否为-32。
C：利用二项式展开式的通项公式，求出第2项的表达式，判断是否为。
D：根据二项式系数和的公式（），计算的二项式系数和，验证是否为32。
10．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：BD：因为，所以，
所以函数在R上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确；
A：将代入得，故A正确；
C：令，得，在中，，
所以恒成立，则只有一个零点，即，故C错误.
故答案为：AD.
【分析】A：先求函数的导函数，将代入计算的值，判断是否为0。
B：根据导函数的符号特征，结合极值点的定义（导函数变号的点），判断是否为极值点。
C：令，解方程并结合二次方程判别式，判断函数零点的个数。
D：分析导函数在上的符号，确定函数的单调性。
11．【答案】A,B,C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的线性运算的坐标表示；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
A：则，，，，，，，
∴，，，
∴，故A正确；
B：∵三棱锥的体积，故B正确；
C：∵，，∴，
∴点B到直线的距离为，故C正确；
D：记的中点为F，连接，，则，∴，，
∴，∴，，∴A，E，，F四点共面，
即平行四边形为平面截正方体的截面.
由勾股定理易得，∴平行四边形是菱形.
又，∴，，
∴，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】A：建立空间直角坐标系，通过向量坐标运算验证是否成立。
B：利用等体积法将三棱锥的体积转换为易求的三棱锥体积，代入棱长计算验证是否为。
C：用向量法求点到直线的距离，先算向量模长与数量积，再代入距离公式验证是否为。
D：确定平面截正方体的截面形状，计算截面面积并判断是否为5。
12．【答案】6
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：在等差数列中，.
又∵，∴.
故答案为：6.
【分析】本题考查等差数列的性质，核心是利用“等差数列中，若，则”这一性质，结合已知条件直接求解。
13．【答案】
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】解：由题意得，摸出红球个数服从超几何分布，所以.
故答案为：.
【分析】本题考查超几何分布的概率计算，核心是利用超几何分布的概率公式，结合组合数计算摸出 2 个红球的概率。
14．【答案】-3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：
令，得，切点为，
令，得，切点为.
切线方程为代入，可得则
令，则，
当时，，当时，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴即b的最大值为-3.
故答案为：-3.
【分析】本题考查导数的几何意义与利用导数求函数最值，核心是先根据切线斜率求出两函数的切点坐标，结合公切线条件建立b与a的关系式，再构造函数通过导数求b的最大值。
15．【答案】（1）解： ，
由题知：
联立（1）、（2）有 （舍）或 ．
当 时 在定义域上单调递增，故舍去；
所以 ， ，经检验，符合题意
（2）解：当 ， 时，
故方程 有根 或
由 ，
得 或
由 得 ，
函数 的单调增区间为： ， ，减区间为： ．
函数在 取得极大值，在 取得极小值；
经计算 ， ， ， ，
所以函数的最小值为0，最大值为4．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性求出函数的极值，再利用函数 在 时有极值0，从而求出a，b的值。
（2）利用（1）求出的a，b的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数在给定区间的最值。
16．【答案】（1）解：抛物线的焦点为，直线的方程为．
设，，由得，
则，故．
所以．
由题设知，解得（舍去）或，
因此的方程为．
（2）解：由（1）得，则的中点坐标为，
所以的垂直平分线的方程为，即．
设所求圆的圆心坐标为，则圆的半径为，
则，解得或，
因此所求圆的方程为或．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】(1) 先确定抛物线焦点坐标，设出直线方程并与抛物线联立，利用韦达定理和抛物线焦点弦长公式求出斜率k，进而得到直线方程；
(2) 先求AB中点坐标与垂直平分线方程，设出圆心坐标，结合圆与抛物线准线相切的条件列方程，求解圆心与半径后写出圆的方程。
（1）抛物线的焦点为，直线的方程为．
设，，由得，
则，故．
所以．
由题设知，解得（舍去）或，
因此的方程为．
（2）由（1）得，则的中点坐标为，
所以的垂直平分线的方程为，即．
设所求圆的圆心坐标为，则圆的半径为，
则，解得或，
因此所求圆的方程为或．
17．【答案】（1）证明：∵，E是的中点，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面.
∵平面，∴.
∵平面，平面，∴.
又，，平面，∴平面.
（2）解：∵平面，，∴平面.
∵，平面，∴，.
∵平面，，平面，∴，.
故以D为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，
则，即.
令，则，故平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则.
∵，∴，
即直线与平面所成角的大小为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 先由等腰三角形性质得，结合面面垂直性质证平面，得；再由线面垂直性质得，最后根据线面垂直判定定理证平面；
(2) 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，利用线面角的向量公式计算角度。
（1）（1）∵，E是的中点，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面.
∵平面，∴.
∵平面，平面，∴.
又，，平面，∴平面.
（2）∵平面，，∴平面.
∵，平面，∴，.
∵平面，，平面，∴，.
故以D为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，
则，即.
令，则，故平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则.
∵，∴，
即直线与平面所成角的大小为.
18．【答案】（1）解：记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D．
因为，所以，
，
．
所以
，
所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09．
（2）解：从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则，
所以．
由，解得．
所以当时，；
当时，；所以最大．
因此当时，最大．
【知识点】二项分布；正态分布的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先根据正态分布的性质求出电压三种状态的概率，再利用全概率公式计算零件为不合格品的概率；
(2) 先确定不合格品数服从二项分布，写出概率的表达式，通过相邻项的比值分析的单调性，进而求出最大值对应的。
（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D．
因为，所以，
，
．
所以
，
所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09．
（2）从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则，
所以．
由，解得．
所以当时，；
当时，；所以最大．
因此当时，最大．
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，由题意可得，
若，则单调递增，当时，，不符合题意；
若，则，令，解得，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时为最小值，
若，则有，不满足题意，
若，则，故；
（2）解：（i）因为，
所以，即，
又，故是以首项为，公比为的等比数列，
故，得，
经检验时同样成立，故；
（ii）由，且，可得，
则即，
而，
又，
由（1）可得，则，当且仅当等号成立，
故，
故
，
故 ，所以，则，故最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，由题意可得，分和讨论，当时，易知单调递增，不符合题意；当时，求导，利用导数研究函数的单调性，求最值，即可得参数的值；
（2）（i）将两边取倒数，变形可得，结合等比数列的定义及通项公式求解即可；
（ii）由，且，可得，问题转化为，由（1）可得，当且仅当等号成立，即可得到，再利用放缩法以及等比数列求和公式计算即可.
（1）函数的定义域为，
由题意可得.
若，则单调递增，当时，，不符合题意；
若，则，令，解得，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时为最小值，
若，则有，不满足题意，
若，则，故.
（2）（i）因为，
所以，即，
又，故是以首项为，公比为的等比数列，
故，得，
经检验时同样成立，故.
（ii）由，且，可得，
则即，
而，
又，
由（1）可得，则，当且仅当等号成立，
故，
故
，
故 ，所以，则，故最小值为.
1 / 1广东省潮州市2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷
一、单项选择题（本题共8道小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）
1．某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（　　）米/秒
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】瞬时变化率；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由，得，则物体在秒时的瞬时速度米/秒.
故答案为：B.
【分析】本题考查导数的物理意义，核心是利用 “位移函数的导数为速度函数” 的性质，先求位移函数的导数，再代入时间t=1计算瞬时速度。
2．设函数的定义域为，若曲线在处的切线方程为，则（　　）
A． B． C．6 D．14
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为曲线在处的切线方程为，
所以，，
所以．
故答案为：D.
【分析】本题考查导数的几何意义，核心是利用“曲线在某点处的切线斜率等于该点的导数值”，以及“切点在切线上”这两个性质，分别求出f'(2)和f(2)，再求和。
3．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为，则（　　）
A．0.25 B．0.3 C．0.35 D．0.4
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由表中数据，计算得：，，
又线性回归方程过样本中心点，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】本题考查线性回归方程的性质，核心是利用“线性回归方程必过样本中心点”这一性质，先计算样本中心点的坐标，再代入方程求解。
4．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线的离心率为，
可得，即，即，解得，
则，即渐近线方程是.
故答案为：D.
【分析】根据双曲线的性质求解即可.
5．从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（　　）
A．140种 B．44种 C．70种 D．252种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：利用间接法可得男女生都要有的选法种数为.
故答案为：C.
【分析】本题考查组合数的计算与间接法的应用，核心是先计算从所有同学中选 3 人的总组合数，再减去全是男生、全是女生的组合数，得到男女生都有的选法数。
6．同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件“甲骰子正面向上的点数大于3”，事件“甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：用表示甲骰子向上的点数，表示乙骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示，
则所有可能情况有，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，共个结果.
其中包含共个基本事件，
包含共个基本事件，
所以，，所以.
故答案为：C
【分析】本题考查条件概率的计算，核心是先通过列举法确定事件和事件包含的基本事件数，再利用条件概率公式求解。
7．下列说法正确的是（　　）
A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
B．若随机变量ξ，η满足，则
C．“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件
D．若随机变量X服从两点分布，，则
【答案】A
【知识点】变量相关关系；独立性检验的应用；互斥事件与对立事件；两点分布
【解析】【解答】解：A，，故可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故A正确．
B，若随机变量ξ，η满足，则，故B错误；
C，事件A，B互斥不能推出事件A，B对立，但事件A，B对立，则一定有事件A，B互斥，故“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的必要不充分条件，故C错误；
D，随机变量X服从两点分布，设，由 解得：，显然不是方程的解，故D错误．
故答案为：A.
【分析】A：根据卡方独立性检验的判定规则，对比计算的值与临界值，判断变量关联及犯错误概率。
B：利用方差的性质（若，则），计算并判断等式是否成立。
C：根据互斥、对立事件的定义，分析两者的充分必要关系。
D：设两点分布中，利用两点分布方差公式列方程，求解并判断是否为。
8．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：不等式可化为，
设，则原不等式可化为，
对函数求导，得，
因为，所以，
所以函数是实数集上的增函数，
所以．
故不等式的解集为.
故答案为：B.
【分析】本题考查利用导数研究函数单调性解不等式，核心是通过构造新函数，将原不等式转化为，再利用导数判断的单调性，进而求解不等式。
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．对于的展开式，下列说法正确的是（　　）
A．展开式共有6项
B．展开式的各项系数之和为
C．展开式的第2项是
D．展开式的各二项式系数之和为32
【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：A：由可知的展开式共有6项，故A正确；
B：令，则，故B正确；
C：展开式中的第2项是，故C错误；
D：展开式的二项式系数和为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】A：根据二项式展开式的项数规律（展开式有项），判断的展开式项数。
B：令代入展开式，计算各项系数之和，验证是否为-32。
C：利用二项式展开式的通项公式，求出第2项的表达式，判断是否为。
D：根据二项式系数和的公式（），计算的二项式系数和，验证是否为32。
10．设函数的导函数为，则（　　）
A． B．是函数的极值点
C．存在两个零点 D．在上单调递增
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：BD：因为，所以，
所以函数在R上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确；
A：将代入得，故A正确；
C：令，得，在中，，
所以恒成立，则只有一个零点，即，故C错误.
故答案为：AD.
【分析】A：先求函数的导函数，将代入计算的值，判断是否为0。
B：根据导函数的符号特征，结合极值点的定义（导函数变号的点），判断是否为极值点。
C：令，解方程并结合二次方程判别式，判断函数零点的个数。
D：分析导函数在上的符号，确定函数的单调性。
11．如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．三棱锥的体积为
C．点B到直线的距离为
D．平面截正方体的截面的面积为5
【答案】A,B,C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的线性运算的坐标表示；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
A：则，，，，，，，
∴，，，
∴，故A正确；
B：∵三棱锥的体积，故B正确；
C：∵，，∴，
∴点B到直线的距离为，故C正确；
D：记的中点为F，连接，，则，∴，，
∴，∴，，∴A，E，，F四点共面，
即平行四边形为平面截正方体的截面.
由勾股定理易得，∴平行四边形是菱形.
又，∴，，
∴，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】A：建立空间直角坐标系，通过向量坐标运算验证是否成立。
B：利用等体积法将三棱锥的体积转换为易求的三棱锥体积，代入棱长计算验证是否为。
C：用向量法求点到直线的距离，先算向量模长与数量积，再代入距离公式验证是否为。
D：确定平面截正方体的截面形状，计算截面面积并判断是否为5。
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知等差数列中，，则　 　．
【答案】6
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：在等差数列中，.
又∵，∴.
故答案为：6.
【分析】本题考查等差数列的性质，核心是利用“等差数列中，若，则”这一性质，结合已知条件直接求解。
13．某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为，则　 　.
【答案】
【知识点】超几何分布
【解析】【解答】解：由题意得，摸出红球个数服从超几何分布，所以.
故答案为：.
【分析】本题考查超几何分布的概率计算，核心是利用超几何分布的概率公式，结合组合数计算摸出 2 个红球的概率。
14．已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为　 　.
【答案】-3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：
令，得，切点为，
令，得，切点为.
切线方程为代入，可得则
令，则，
当时，，当时，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴即b的最大值为-3.
故答案为：-3.
【分析】本题考查导数的几何意义与利用导数求函数最值，核心是先根据切线斜率求出两函数的切点坐标，结合公切线条件建立b与a的关系式，再构造函数通过导数求b的最大值。
四、解答题（本大题共5小题，满分77分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知 在 时有极值0．
（1）求常数 ， 的值；
（2）求 在区间 上的最值．
【答案】（1）解： ，
由题知：
联立（1）、（2）有 （舍）或 ．
当 时 在定义域上单调递增，故舍去；
所以 ， ，经检验，符合题意
（2）解：当 ， 时，
故方程 有根 或
由 ，
得 或
由 得 ，
函数 的单调增区间为： ， ，减区间为： ．
函数在 取得极大值，在 取得极小值；
经计算 ， ， ， ，
所以函数的最小值为0，最大值为4．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性求出函数的极值，再利用函数 在 时有极值0，从而求出a，b的值。
（2）利用（1）求出的a，b的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数在给定区间的最值。
16．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
【答案】（1）解：抛物线的焦点为，直线的方程为．
设，，由得，
则，故．
所以．
由题设知，解得（舍去）或，
因此的方程为．
（2）解：由（1）得，则的中点坐标为，
所以的垂直平分线的方程为，即．
设所求圆的圆心坐标为，则圆的半径为，
则，解得或，
因此所求圆的方程为或．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】(1) 先确定抛物线焦点坐标，设出直线方程并与抛物线联立，利用韦达定理和抛物线焦点弦长公式求出斜率k，进而得到直线方程；
(2) 先求AB中点坐标与垂直平分线方程，设出圆心坐标，结合圆与抛物线准线相切的条件列方程，求解圆心与半径后写出圆的方程。
（1）抛物线的焦点为，直线的方程为．
设，，由得，
则，故．
所以．
由题设知，解得（舍去）或，
因此的方程为．
（2）由（1）得，则的中点坐标为，
所以的垂直平分线的方程为，即．
设所求圆的圆心坐标为，则圆的半径为，
则，解得或，
因此所求圆的方程为或．
17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，E为中点，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明：∵，E是的中点，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面.
∵平面，∴.
∵平面，平面，∴.
又，，平面，∴平面.
（2）解：∵平面，，∴平面.
∵，平面，∴，.
∵平面，，平面，∴，.
故以D为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，
则，即.
令，则，故平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则.
∵，∴，
即直线与平面所成角的大小为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 先由等腰三角形性质得，结合面面垂直性质证平面，得；再由线面垂直性质得，最后根据线面垂直判定定理证平面；
(2) 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，利用线面角的向量公式计算角度。
（1）（1）∵，E是的中点，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面.
∵平面，∴.
∵平面，平面，∴.
又，，平面，∴平面.
（2）∵平面，，∴平面.
∵，平面，∴，.
∵平面，，平面，∴，.
故以D为坐标原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，
则，即.
令，则，故平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则.
∵，∴，
即直线与平面所成角的大小为.
18．已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；
（2）从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值．
附：若，取，．
【答案】（1）解：记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D．
因为，所以，
，
．
所以
，
所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09．
（2）解：从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则，
所以．
由，解得．
所以当时，；
当时，；所以最大．
因此当时，最大．
【知识点】二项分布；正态分布的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先根据正态分布的性质求出电压三种状态的概率，再利用全概率公式计算零件为不合格品的概率；
(2) 先确定不合格品数服从二项分布，写出概率的表达式，通过相邻项的比值分析的单调性，进而求出最大值对应的。
（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D．
因为，所以，
，
．
所以
，
所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09．
（2）从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则，
所以．
由，解得．
所以当时，；
当时，；所以最大．
因此当时，最大．
19．已知函数.
（1）若，求的值；
（2）已知数列满足，且.
（i）证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
（ii）设的前项积为，为整数，若对任意的正整数都有，求的最小值.
参考数据：，，.
【答案】（1）解：函数的定义域为，由题意可得，
若，则单调递增，当时，，不符合题意；
若，则，令，解得，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时为最小值，
若，则有，不满足题意，
若，则，故；
（2）解：（i）因为，
所以，即，
又，故是以首项为，公比为的等比数列，
故，得，
经检验时同样成立，故；
（ii）由，且，可得，
则即，
而，
又，
由（1）可得，则，当且仅当等号成立，
故，
故
，
故 ，所以，则，故最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等比数列概念与表示；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，由题意可得，分和讨论，当时，易知单调递增，不符合题意；当时，求导，利用导数研究函数的单调性，求最值，即可得参数的值；
（2）（i）将两边取倒数，变形可得，结合等比数列的定义及通项公式求解即可；
（ii）由，且，可得，问题转化为，由（1）可得，当且仅当等号成立，即可得到，再利用放缩法以及等比数列求和公式计算即可.
（1）函数的定义域为，
由题意可得.
若，则单调递增，当时，，不符合题意；
若，则，令，解得，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
此时为最小值，
若，则有，不满足题意，
若，则，故.
（2）（i）因为，
所以，即，
又，故是以首项为，公比为的等比数列，
故，得，
经检验时同样成立，故.
（ii）由，且，可得，
则即，
而，
又，
由（1）可得，则，当且仅当等号成立，
故，
故
，
故 ，所以，则，故最小值为.
1 / 1

展开更多......

收起↑