资源简介

广东省江门市2024-2025学年高一下学期调研测试（二）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（　　）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（　　）．
A． B． C． D．
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（　　）．
A． B．或 C． D．或
4．已知，则（　　）．
A． B．2 C．3 D．5
5．如图，在中，，点E是的中点．设，，则（　　）．
A． B．
C． D．
6．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题中正确的是（　　）．
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
7．已知，，向量在向量上的投影向量为，则（　　）．
A．12 B．4 C． D．
8．某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）．
A．函数的最小正周期是
B．函数的解析式为
C．函数的单调递减区间是
D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，则（　　）．
A． B．
C．与所成的角为 D．平面
11．数学家威廉·邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观、精巧的图示就能完整传达数学定理的证明．如图，为矩形，则（　　）．
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数（i为虚数单位），则　 　．
13．若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为　 　．
14．十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出一个几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中，所求的点称为费马点．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．若点P为的费马点，则　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算．
15．已知，，，，O为坐标原点．
（1）求向量与的夹角；
（2）求的面积．
16．如图，在三棱锥中，，底面，M，N分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求角A；
（2）若的外接圆的面积为，求面积的最大值．
18．已知函数的最小值为．
（1）求m的值；
（2）当时，函数的取值范围是，求n的取值范围；
（3）当时，求方程所有实数根的和．
19．如图，在等腰直角三角形中，，M是半圆弧上异于A，B的动点，平面平面．设O，N分别为，的中点，，三棱锥体积的最大值为．
（1）证明：平面；
（2）当时，求二面角的正切值；
（3）求点N到平面的距离（用表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由可得：，
所以对应的点在第一象限.
故答案为：A.
【分析】本题考查复数的四则运算与复数的几何意义，核心是先通过复数的除法运算化简求出复数z，再根据复数的实部和虚部确定其在复平面内对应点的坐标，进而判断所在象限。
2．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：易知正方体内切球的半径是正方体棱长的一半，所以内切球半径为1，则表面积为；
故答案为：B.
【分析】本题考查正方体内切球的性质与球的表面积公式，核心是利用 “正方体内切球的直径等于正方体的棱长” 求出内切球半径，再代入球的表面积公式计算结果。
3．【答案】D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，解得，
因为，所以，
所以或.
故答案为：D
【分析】本题考查正弦定理的应用与三角形内角的取值范围分析，核心是利用正弦定理求出sinB的值，再结合角A的大小确定角B的取值范围，进而得到角B的可能值。
4．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
即，解得，
所以，
故答案为：D.
【分析】本题考查弦化切技巧与两角和的正切公式的应用，核心是先将已知分式型三角等式转化为关于的方程，求出后，代入两角和的正切公式计算。
5．【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】本题考查平面向量的线性运算，核心是利用向量的加减法法则、中点性质以及线段的比例关系，将逐步转化为用和表示的形式。
6．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A，若，，，不一定垂直，可能平行或者异面，故A错误；
B，若，，，不一定平行，也可能异面，故B错误；
C，若，，则，又因为，则，故C正确；
D，若，，，则不一定垂直，也可能平行，故D错误，
故答案为：C.
【分析】A：根据面面垂直的性质，分析分别在两个垂直平面内的直线、的位置关系，判断是否一定垂直。
B：依据面面平行的性质，分析分别在两个平行平面内的直线、的位置关系，判断是否一定平行。
C：利用线面垂直的传递性（且则），结合面面平行的判定定理，判断与是否平行。
D：根据线面平行的性质，分析、且时，平面与的位置关系，判断是否一定垂直。
7．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由数量积的定义可知，
则；
故答案为：C.
【分析】本题考查向量的投影向量与向量模长的计算，核心是先利用投影向量的定义求出，再结合向量模长的平方等于向量自身的平方，通过数量积公式计算。
8．【答案】D
【知识点】余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题可得示意图：平面，，，，
设山顶高于海面的距离为，
由题意，，
在中，，，
由余弦定理得，
即，即，
解得或（舍去），
所以该山顶高于海面米.
故答案为：D.
【分析】本题考查解三角形的实际应用，核心是通过设山顶高度为h，利用仰角求出AC、BC的长度，再结合方位角得到∠CAB的度数，最后用余弦定理列方程求解h。
9．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A：由图可知，函数最大值为，可得，可知，解得，A正确；
B：可知，因为，解得，可得，函数图象过点，
则，可得，因为，所以，可得；B错误；
C：函数单间区间为，解得，C正确；
D：函数的图象向右平移个单位长度得到；根据诱导公式可知，D错误；
故答案为：AC.
【分析】A：根据函数图象的周期特征（相邻零点/最值点的水平距离），计算最小正周期，判断是否为。
B：结合图象确定、的值，代入图象上的点求，验证解析式是否为。
C：利用正弦函数的单调性，解不等式求出的单调递减区间，判断是否与题干一致。
D：根据函数图象平移的“左加右减”规则，求出平移后的解析式，验证是否为。
10．【答案】B,C,D
【知识点】异面直线所成的角；异面直线的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：将正方体的展开图还原，如图，
A，由，得，
则，而，因此，A错误；
B，由，得，
则，而，因此，B正确；
C，连接，因为，得，
则，故与所成的角为，
设正方体边长为，故，所以，
因此与所成的角为，C正确；
D，连接，因为平面，平面，故，
又因为，，平面，平面，
故平面，平面，故，
同理可得，因为，平面，
平面，故平面，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A：将展开图还原为正方体，分析MN与CD的位置关系，判断是否平行。
B：利用正方体的棱面垂直关系，结合线线平行的传递性，验证AB与EF是否垂直。
C：找到EF与MN的异面直线所成角的对应线段，计算角度是否为60 。
D：通过线面垂直的判定定理，验证AM是否垂直于平面BEF内的两条相交直线。
11．【答案】A,B,D
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
如图所示，，
在中，，由，可得，A正确；
同理，得，B正确；
易知，得，
则，C错误；
易知，，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】A：利用三角函数的诱导公式，结合直角三角形的边角关系，计算的表达式，判断是否为。
B：同理，通过诱导公式与直角三角形边角关系，推导的表达式，验证是否为。
C：根据矩形边长关系，结合三角恒等变换，计算的表达式，判断是否为。
D：利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合正切函数定义，验证面积比是否为。
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：已知复数，则.
故答案为：.
【分析】本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念与复数模的计算，核心是先求出共轭复数，再计算的结果，最后利用复数模的公式求解。
13．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，
则圆锥的体积为，
圆柱的体积为，
球的体积为，
圆锥、圆柱、球的体积比为，
故答案为：.
【分析】本题考查圆锥、圆柱、球的体积公式应用，核心是设球的半径为R，根据题意表示出圆锥和圆柱的底面半径与高，再分别代入体积公式计算，最后求三者的体积比。
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意，
所以，
而，所以，所以，
由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知，，，，
，
.
由等号左右两边同时乘以可得：
，
.
故答案为：.
【分析】本题考查解三角形与费马点的性质、向量数量积的计算，核心是先通过三角恒等变换和余弦定理求出角A与边bc的值，再利用费马点 “与三个顶点连线两两成120 ” 的性质，结合向量数量积公式计算最终结果。
15．【答案】（1）解：由题意，因为，
所以，解得，
所以，
所以向量与的夹角的余弦值为，
故向量与的夹角为
（2）解：因为，与的夹角为，
所以的面积为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 先根据向量平行的坐标条件求出的值，再利用向量夹角的余弦公式计算与的夹角余弦值，结合夹角范围确定夹角大小；
(2) 先求出和的模长，再利用三角形面积公式（为夹角）计算的面积。
（1）由题意，因为，
所以，解得，
所以，
所以向量与的夹角的余弦值为，
故向量与的夹角为；
（2）因为，与的夹角为，
所以的面积为.
16．【答案】（1）证明：因为M，N分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）证明：因为，所以，
因为底面，底面，所以，
，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1) 利用三角形中位线定理证明，再结合线面平行的判定定理，证得平面；
(2) 先由线面垂直的性质和已知垂直条件，证得平面，再根据面面垂直的判定定理，证明平面平面。
（1）因为M，N分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，所以，
因为底面，底面，所以，
，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面．
17．【答案】（1）解：因为，由余弦定理得，
所以，由正弦定理得，
因为且，所以，
又因为，所以.
（2）解：若的外接圆的面积为，设外接圆半径为，则，解得，
由正弦定理得，
又因为，即，
所以，当且仅当时，等号成立，
，
所以面积的最大值为.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 先利用余弦定理将转化为，再结合正弦定理实现边角互化，化简后求出的值，进而确定角；
(2) 先由外接圆面积求出半径，再利用正弦定理得边的长度，结合余弦定理和基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式求面积的最大值。
（1）因为，由余弦定理得，
所以，由正弦定理得，
因为且，所以，
又因为，所以.
（2）若的外接圆的面积为，设外接圆半径为，则，解得，
由正弦定理得，
又因为，即，
所以，当且仅当时，等号成立，
，
所以面积的最大值为.
18．【答案】（1）解：由题意，
因为函数的最小值为，所以，解得；
（2）解：由（1）可知，
当时，，
因为当时，函数的取值范围是，
所以，解得，
所以n的取值范围为；
（3）解：因为或，
在同一平面直角坐标系中画出函数、以及的图象，如图所示，
令，可得；令，可得.
所以当时，方程所有实数根的和为.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的图象；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 利用三角恒等变换将化简为正弦型函数，根据正弦函数的最值性质列方程求解；
(2) 结合的范围求出的范围，根据函数取值范围确定的取值，进而解出的范围；
(3) 将方程因式分解，求出的解，再结合和正弦函数的对称性，计算所有实数根的和。
（1）由题意，
因为函数的最小值为，所以，解得；
（2）由（1）可知，
当时，，
因为当时，函数的取值范围是，
所以，解得，
所以n的取值范围为；
（3）因为或，
在同一平面直角坐标系中画出函数、以及的图象，如图所示，
令，可得；令，可得.
所以当时，方程所有实数根的和为.
19．【答案】（1）证明：由为等腰直角三角形，且，且，分别为，的中点，连接，，
则，又平面平面，且平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为为直径所对的圆周角，所以，即，
又，所以，因，平面，
所以平面.
（2）解：连接，
由题意可知当时，三棱锥体积取到最大，
此时，解得，
由（1）知平面，平面，所以，
又，所以即为二面角，
因，所以，，
所以，
故二面角的正切值为.
（3）解：连接，如图，
由（1）知平面，平面，所以，
所以，，，
所以，
在中，，所以
设点到平面的距离为，
则，即，即，
解得，
故点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 先由面面垂直的性质证平面，得，再结合中位线性质证，利用线面垂直的判定定理证平面；
(2) 由(1)知为二面角的平面角，结合三棱锥体积最大值求出、的长度，进而求正切值；
(3) 利用等体积法，结合三角形面积公式与线面垂直的性质，推导出点到平面的距离。
（1）由为等腰直角三角形，且，且，分别为，的中点，连接，，
则，又平面平面，且平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为为直径所对的圆周角，所以，即，
又，所以，因，平面，
所以平面.
（2）连接，由题意可知当时，三棱锥体积取到最大，
此时，解得，
由（1）知平面，平面，所以，
又，所以即为二面角，
因，所以，，
所以，
故二面角的正切值为.
（3）连接，如图，由（1）知平面，平面，所以，
所以，，，
所以，
在中，，所以
设点到平面的距离为，
则，即，即，
解得，
故点到平面的距离为.
1 / 1广东省江门市2024-2025学年高一下学期调研测试（二）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（　　）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：由可得：，
所以对应的点在第一象限.
故答案为：A.
【分析】本题考查复数的四则运算与复数的几何意义，核心是先通过复数的除法运算化简求出复数z，再根据复数的实部和虚部确定其在复平面内对应点的坐标，进而判断所在象限。
2．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：易知正方体内切球的半径是正方体棱长的一半，所以内切球半径为1，则表面积为；
故答案为：B.
【分析】本题考查正方体内切球的性质与球的表面积公式，核心是利用 “正方体内切球的直径等于正方体的棱长” 求出内切球半径，再代入球的表面积公式计算结果。
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（　　）．
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，解得，
因为，所以，
所以或.
故答案为：D
【分析】本题考查正弦定理的应用与三角形内角的取值范围分析，核心是利用正弦定理求出sinB的值，再结合角A的大小确定角B的取值范围，进而得到角B的可能值。
4．已知，则（　　）．
A． B．2 C．3 D．5
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
即，解得，
所以，
故答案为：D.
【分析】本题考查弦化切技巧与两角和的正切公式的应用，核心是先将已知分式型三角等式转化为关于的方程，求出后，代入两角和的正切公式计算。
5．如图，在中，，点E是的中点．设，，则（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】本题考查平面向量的线性运算，核心是利用向量的加减法法则、中点性质以及线段的比例关系，将逐步转化为用和表示的形式。
6．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题中正确的是（　　）．
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A，若，，，不一定垂直，可能平行或者异面，故A错误；
B，若，，，不一定平行，也可能异面，故B错误；
C，若，，则，又因为，则，故C正确；
D，若，，，则不一定垂直，也可能平行，故D错误，
故答案为：C.
【分析】A：根据面面垂直的性质，分析分别在两个垂直平面内的直线、的位置关系，判断是否一定垂直。
B：依据面面平行的性质，分析分别在两个平行平面内的直线、的位置关系，判断是否一定平行。
C：利用线面垂直的传递性（且则），结合面面平行的判定定理，判断与是否平行。
D：根据线面平行的性质，分析、且时，平面与的位置关系，判断是否一定垂直。
7．已知，，向量在向量上的投影向量为，则（　　）．
A．12 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由数量积的定义可知，
则；
故答案为：C.
【分析】本题考查向量的投影向量与向量模长的计算，核心是先利用投影向量的定义求出，再结合向量模长的平方等于向量自身的平方，通过数量积公式计算。
8．某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题可得示意图：平面，，，，
设山顶高于海面的距离为，
由题意，，
在中，，，
由余弦定理得，
即，即，
解得或（舍去），
所以该山顶高于海面米.
故答案为：D.
【分析】本题考查解三角形的实际应用，核心是通过设山顶高度为h，利用仰角求出AC、BC的长度，再结合方位角得到∠CAB的度数，最后用余弦定理列方程求解h。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）．
A．函数的最小正周期是
B．函数的解析式为
C．函数的单调递减区间是
D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：A：由图可知，函数最大值为，可得，可知，解得，A正确；
B：可知，因为，解得，可得，函数图象过点，
则，可得，因为，所以，可得；B错误；
C：函数单间区间为，解得，C正确；
D：函数的图象向右平移个单位长度得到；根据诱导公式可知，D错误；
故答案为：AC.
【分析】A：根据函数图象的周期特征（相邻零点/最值点的水平距离），计算最小正周期，判断是否为。
B：结合图象确定、的值，代入图象上的点求，验证解析式是否为。
C：利用正弦函数的单调性，解不等式求出的单调递减区间，判断是否与题干一致。
D：根据函数图象平移的“左加右减”规则，求出平移后的解析式，验证是否为。
10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，则（　　）．
A． B．
C．与所成的角为 D．平面
【答案】B,C,D
【知识点】异面直线所成的角；异面直线的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：将正方体的展开图还原，如图，
A，由，得，
则，而，因此，A错误；
B，由，得，
则，而，因此，B正确；
C，连接，因为，得，
则，故与所成的角为，
设正方体边长为，故，所以，
因此与所成的角为，C正确；
D，连接，因为平面，平面，故，
又因为，，平面，平面，
故平面，平面，故，
同理可得，因为，平面，
平面，故平面，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】A：将展开图还原为正方体，分析MN与CD的位置关系，判断是否平行。
B：利用正方体的棱面垂直关系，结合线线平行的传递性，验证AB与EF是否垂直。
C：找到EF与MN的异面直线所成角的对应线段，计算角度是否为60 。
D：通过线面垂直的判定定理，验证AM是否垂直于平面BEF内的两条相交直线。
11．数学家威廉·邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观、精巧的图示就能完整传达数学定理的证明．如图，为矩形，则（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：
如图所示，，
在中，，由，可得，A正确；
同理，得，B正确；
易知，得，
则，C错误；
易知，，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】A：利用三角函数的诱导公式，结合直角三角形的边角关系，计算的表达式，判断是否为。
B：同理，通过诱导公式与直角三角形边角关系，推导的表达式，验证是否为。
C：根据矩形边长关系，结合三角恒等变换，计算的表达式，判断是否为。
D：利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合正切函数定义，验证面积比是否为。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数（i为虚数单位），则　 　．
【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：已知复数，则.
故答案为：.
【分析】本题考查复数的四则运算、共轭复数的概念与复数模的计算，核心是先求出共轭复数，再计算的结果，最后利用复数模的公式求解。
13．若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为　 　．
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设球的半径为，
则圆锥的体积为，
圆柱的体积为，
球的体积为，
圆锥、圆柱、球的体积比为，
故答案为：.
【分析】本题考查圆锥、圆柱、球的体积公式应用，核心是设球的半径为R，根据题意表示出圆锥和圆柱的底面半径与高，再分别代入体积公式计算，最后求三者的体积比。
14．十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出一个几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中，所求的点称为费马点．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．若点P为的费马点，则　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；简单的三角恒等变换；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意，
所以，
而，所以，所以，
由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120°，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知，，，，
，
.
由等号左右两边同时乘以可得：
，
.
故答案为：.
【分析】本题考查解三角形与费马点的性质、向量数量积的计算，核心是先通过三角恒等变换和余弦定理求出角A与边bc的值，再利用费马点 “与三个顶点连线两两成120 ” 的性质，结合向量数量积公式计算最终结果。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算．
15．已知，，，，O为坐标原点．
（1）求向量与的夹角；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：由题意，因为，
所以，解得，
所以，
所以向量与的夹角的余弦值为，
故向量与的夹角为
（2）解：因为，与的夹角为，
所以的面积为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 先根据向量平行的坐标条件求出的值，再利用向量夹角的余弦公式计算与的夹角余弦值，结合夹角范围确定夹角大小；
(2) 先求出和的模长，再利用三角形面积公式（为夹角）计算的面积。
（1）由题意，因为，
所以，解得，
所以，
所以向量与的夹角的余弦值为，
故向量与的夹角为；
（2）因为，与的夹角为，
所以的面积为.
16．如图，在三棱锥中，，底面，M，N分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）证明：因为M，N分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）证明：因为，所以，
因为底面，底面，所以，
，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】(1) 利用三角形中位线定理证明，再结合线面平行的判定定理，证得平面；
(2) 先由线面垂直的性质和已知垂直条件，证得平面，再根据面面垂直的判定定理，证明平面平面。
（1）因为M，N分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，所以，
因为底面，底面，所以，
，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面．
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求角A；
（2）若的外接圆的面积为，求面积的最大值．
【答案】（1）解：因为，由余弦定理得，
所以，由正弦定理得，
因为且，所以，
又因为，所以.
（2）解：若的外接圆的面积为，设外接圆半径为，则，解得，
由正弦定理得，
又因为，即，
所以，当且仅当时，等号成立，
，
所以面积的最大值为.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 先利用余弦定理将转化为，再结合正弦定理实现边角互化，化简后求出的值，进而确定角；
(2) 先由外接圆面积求出半径，再利用正弦定理得边的长度，结合余弦定理和基本不等式求出的最大值，最后根据三角形面积公式求面积的最大值。
（1）因为，由余弦定理得，
所以，由正弦定理得，
因为且，所以，
又因为，所以.
（2）若的外接圆的面积为，设外接圆半径为，则，解得，
由正弦定理得，
又因为，即，
所以，当且仅当时，等号成立，
，
所以面积的最大值为.
18．已知函数的最小值为．
（1）求m的值；
（2）当时，函数的取值范围是，求n的取值范围；
（3）当时，求方程所有实数根的和．
【答案】（1）解：由题意，
因为函数的最小值为，所以，解得；
（2）解：由（1）可知，
当时，，
因为当时，函数的取值范围是，
所以，解得，
所以n的取值范围为；
（3）解：因为或，
在同一平面直角坐标系中画出函数、以及的图象，如图所示，
令，可得；令，可得.
所以当时，方程所有实数根的和为.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的图象；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 利用三角恒等变换将化简为正弦型函数，根据正弦函数的最值性质列方程求解；
(2) 结合的范围求出的范围，根据函数取值范围确定的取值，进而解出的范围；
(3) 将方程因式分解，求出的解，再结合和正弦函数的对称性，计算所有实数根的和。
（1）由题意，
因为函数的最小值为，所以，解得；
（2）由（1）可知，
当时，，
因为当时，函数的取值范围是，
所以，解得，
所以n的取值范围为；
（3）因为或，
在同一平面直角坐标系中画出函数、以及的图象，如图所示，
令，可得；令，可得.
所以当时，方程所有实数根的和为.
19．如图，在等腰直角三角形中，，M是半圆弧上异于A，B的动点，平面平面．设O，N分别为，的中点，，三棱锥体积的最大值为．
（1）证明：平面；
（2）当时，求二面角的正切值；
（3）求点N到平面的距离（用表示）．
【答案】（1）证明：由为等腰直角三角形，且，且，分别为，的中点，连接，，
则，又平面平面，且平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为为直径所对的圆周角，所以，即，
又，所以，因，平面，
所以平面.
（2）解：连接，
由题意可知当时，三棱锥体积取到最大，
此时，解得，
由（1）知平面，平面，所以，
又，所以即为二面角，
因，所以，，
所以，
故二面角的正切值为.
（3）解：连接，如图，
由（1）知平面，平面，所以，
所以，，，
所以，
在中，，所以
设点到平面的距离为，
则，即，即，
解得，
故点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的性质；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 先由面面垂直的性质证平面，得，再结合中位线性质证，利用线面垂直的判定定理证平面；
(2) 由(1)知为二面角的平面角，结合三棱锥体积最大值求出、的长度，进而求正切值；
(3) 利用等体积法，结合三角形面积公式与线面垂直的性质，推导出点到平面的距离。
（1）由为等腰直角三角形，且，且，分别为，的中点，连接，，
则，又平面平面，且平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为为直径所对的圆周角，所以，即，
又，所以，因，平面，
所以平面.
（2）连接，由题意可知当时，三棱锥体积取到最大，
此时，解得，
由（1）知平面，平面，所以，
又，所以即为二面角，
因，所以，，
所以，
故二面角的正切值为.
（3）连接，如图，由（1）知平面，平面，所以，
所以，，，
所以，
在中，，所以
设点到平面的距离为，
则，即，即，
解得，
故点到平面的距离为.
1 / 1

展开更多......

收起↑