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广东深圳实验学校高中部2025-2026学年第二学期期中考试高一数学
一、单选题
1．已知，，则（ ）
A．15 B． C．2 D．3
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ）
A．2 B． C． D．
5．如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（ ）
A．8 B．16 C． D．
6．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．如图，为了测量两个信号塔塔尖之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点与（在同一铅垂平面内）．已知在点处测得点的仰角为，点的仰角为，在点处测得点的仰角为，点的仰角为米，则（ ）米
A． B． C． D．
8．已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．
B．的实部为
C．
D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数
10．如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最小值是
11．已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的最大值为
三、填空题
12．已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________.
13．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的边长为___________．
14．如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是___________．
四、解答题
15．在棱长为1的正方体中，分别为，的中点.
(1)求五面体的体积；
(2)若在线段上，平面，求的长度.
16．是所在平面内一点，分别为的外心和重心，且．
(1)用，来表示和；
(2)若的面积为3，求的面积；
(3)若，求的值．
17．已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求角的值．
(2)若的面积为，求线段长度的最小值．
18．几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由.
19．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，，B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.
(1)当时，
①求三角形的面积.
②若，求m、n.
(2)若，求的最小值.
参考答案
1．C
2．D
3．B
4．B
5．B
6．A
7．D
8．B
9．AC
10．ABD
11．ABC
12．/
13．
14．222
15．（1）解：如图所示，将五面体拆成三棱锥和四棱锥，
在三棱锥中，可得，
又由正方体中，平面，，且为的中点，
所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为，
在四棱锥中，可得，
又由正方体中，平面，且为的中点，
所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为，
所以五面体的体积.
（2）解：设，，则平面平面，
又因为平面，且平面，所以，
在矩形中，由，可得，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以 ，
所以.
16．（1）由已知，
为重心，所以.
.
（2）由（1），所以，
所以.
（3）为的外心，设中点，则，
.
17．（1）因为，
所以.
因为，
所以，
所以，
所以，
即，
即.
因为，所以，
所以.
（2）由（1）得，
因为的面积为，即，
所以.
因为，
所以，
所以
．
当且仅当，即时，等号成立，
所以线段长度的最小值为.
18．（1）记为的中点，连接，如图1，
因为分别为的中点，故，
因为平面平面
所以平面，
又因为为正三角形，所以 ，，
又为等腰三角形，，所以,
所以，即，
所以，又平面平面
所以平面，又，平面，
故平面平面，
又因为平面，故平面.
（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2，
因为平面，平面，平面平面，
所以，此时四点共面，
由（1）可知，，得，
故，又因为，所以，
则有，故.
19．（1）当时，由条件知，，，
所以，，
所以
，
①三角形的面积为.
②方法一（坐标法）：作交于点M，
由①知，同理，
所以，
，
所以，
以所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，
因为，所以，
所以，.
方法二（向量法）：因为，，，，
所以，，
作于点M，则，，
所以，
，
所以，.
由①知，同理，
所以，
，
所以，
所以，.
（2）设与相交于点Q，则且，
所以，
又，所以，
所以，
所以，过点C作直线的平行线l，作垂直l于点F，交于点E，
则，设，，
由余弦定理知，
又在中由等面积法知，
所以，所以，
又正三角形的高为，所以，
所以，
即
，
当且仅当，即，即时，取得最小值为.

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