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浙江宁波十校2026届高三下学期3月联考数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由，
可得，
又因为，且，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次不等式求解方法，从而得出集合，再根据元素与集合的关系和交集运算法则、补集的运算法则，从而得出集合.
2．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，
，，
，
则“”是“”的必要条件，
当，假设当时，，此时，
则，
所以“”是“”的不充分条件，
综上所述： “”是“”的必要不充分条件．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和“狄利克雷函数”定义，再利用充分条件、必要条件判断方法，从而找出正确的选项.
3．设是与的等差中项，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；等差中项
【解析】【解答】解：因为是与的等差中项，
所以，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和等差中项公式以及对数的运算法则，从而得出的值.
4．已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；数列的求和
【解析】【解答】解：由题意，得：，
解得或，
当时，为偶函数，不合题意；
当时，为非奇非偶函数，符合题意，
则，
所以．
故答案为：D.
【分析】由幂函数定义得出，解方程结合函数的奇偶性得出m的值，从而得出函数 的解析式，进而得出数列的通项公式，再利用裂项相消法和代入法，从而得出的值.
5．若关于的方程在上恰有3个根，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：如图，作出的函数图象，其中，是函数的对称轴，
当与有三个交点时，
则，，
所以，，
则.
故答案为：A.
【分析】利用余弦型函数图象的对称性和函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，从而得出的值.
6．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（　　）
A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为摸到白球和红球的概率均为 ，
则回答A问题“是”的学生人数为人，
所以，回答B问题“是”的学生人数为人，
则男大学生吸烟人数的比例约为．
故答案为：C.
【分析】利用频数等于频率乘以样本容量的关系式和古典概率公式，从而估计出该地区男大学生吸烟的比例.
7．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：对于A，由三点共线，存在，使得，
由三点共线，存在，使得，
联立系数相等，则，
解得：，，
则，故选项A错误；
对于B，因为，
又因为
若，则 ，
显然系数不相等，故选项B错误；
对于C，因为，且在上，
则设，
所以，
又因为，所以，
解得，故选项C错误；
对于D，因为，
所以，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】利用三点共线和已知条件以及平面向量基本定理，则判断出选项A；利用向量共线定理判断出选项B；利用向量共线定理和平面向量基本定理，则判断出选项C；利用已知条件和平面向量基本定理判断出选项D，从而找出正确的选项.
8．已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，
过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
则，
如图，
因为点A为线段的中点，
所以，点A到抛物线C的准线的距离为，
在中，由余弦定理，得，
所以，
又因为，所以（当且仅当时，等号成立），
则，
所以的最小值为．
故答案为：C.
【分析】利用中位线定理和抛物线的定义，从而得出点A到抛物线C的准线的距离，再利用余弦定理和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值．
9．下列说法中正确的是（　　）
A．一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为4
B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1
C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过
D．若随机变量服从正态分布，且，则
【答案】B,D
【知识点】独立性检验的应用；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于选项A：因为第百分位数位置为，
所以取5，第百分位数是第5个数5，故A错误；
对于选项B：因为样本相关系数的绝对值越接近1，代表两个随机变量的线性相关程度越强，故B正确；
对于选项C：在独立性检验中，在的显著水平下，无法判断与有关联，故C错误；
对于选项D：因为正态分布关于均值对称，则，
又因为，则，
由对称性可知，
，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】利用百分位数的定义判断出选项A；利用相关系数和线性相关程度的关系，则判断出选项B；利用独立性检验的方法判断出选项C；利用正态分布对应的概率密度函数图象的对称性求概率的方法结合互斥事件加法求概率公式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．设复数满足，则（　　）
A．
B．存在复数，使得为纯虚数
C．存在，关于的方程有解
D．若复数满足，则的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：设，
则，
所以，
则在复平面内点到点与点的距离之和为，
所以，点的轨迹为椭圆，
由，，则椭圆方程为.
对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，要使得为纯虚数，
所以且，则，
解得，
因为有解，所以，存在复数，使得为纯虚数，故B正确；
对于C：因为，
所以，，则，
解得，则存在，使得关于的方程有解，故C正确；
对于D：由复数满足，
得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
则椭圆上的点到该圆圆心的距离为：
，
则的最小值为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用复数的运算法则和复数求模公式，则判断出选项A；利用复数的运算法则和纯虚数判断方法，则判断出选项B；利用方程求复数解的方法和共轭复数的性质，则判断出选项C；利用复数的运算法则和复数求模公式以及几何法求最值的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．已知实数，，互不相等，且满足，，，下列说法正确的有（　　）
A． B．
C． D．对任意，均为整数
【答案】A,B,D
【知识点】数列的求和；类比推理
【解析】【解答】解：因为且，，
所以，故A正确；
因为，故B正确；
设，，
则，，，
因为
所以，
则，故C错误；
因为，，所以，
可得，，
依次类推可得：对任意，均为整数，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合，，从而求解判断出选项A和选项B；设，再利用递推关系可得，再利用恒成立问题求解方法，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
12．一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了　 　cm．
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设水面升高了cm，
由题意知，
解得：.
故答案为：.
【分析】利用上升的水的体积等于实心铁球的体积，再利用圆柱的体积公式和球的体积公式以及等体积法，从而得出水面升高的长度.
13．已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；向量在几何中的应用；圆的标准方程
【解析】【解答】解：由圆的性质可知，
当时，是圆的直径，
所以，
则，
因为右边等号成立的条件是和同向，且此时最大，此时，
又因为左边等号成立的条件是和反向，且此时最小，此时，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先由圆的性质确定是圆的直径，再结合平面向量的线性运算和向量的模的三角形不等式以及几何法求最值的方法，从而得出的取值范围.
14．已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为　 　．
【答案】6
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，
其概率为，，
所以，期望
=.
故答案为：6.
【分析】由题意得到随机变量的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而求出对应的概率，再由随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
15．已知数列中，，．
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明：因为，，
所以，
又因为，
又因为，
所以，
代入上式，得：，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）解：由（1）可得：
则
.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用递推公式变形结合等比数列的定义，从而证出数列是等比数列.
（2）根据（1）中等比数列的通项公式结合，从而求出数列的通项公式，再根据等差数列前n项和公式和等比数列的前项和公式，利用分组求和法，从而得出数列的前项和．
（1）因为，，所以，
再由，
因为，所以，代入上式得：，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得：，
则
16．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．
（1）求；
（2）点在边上，连接，且，记和的内切圆半径分别为，，求的值．
【答案】（1）解：因为，
所以，且，
则，可得，
所以.
（2）解：由（1）可知：且，，
由余弦定理，
可得，
则，所以，
则且，
可得，
在中，则，
解得；
在中，则，
解得，
所以.
【知识点】余弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式可得，再结合三角形中角的取值范围和不等式的性质，从而结合正弦型函数的图象，进而得出角A的值.
（2）利用（1）和余弦定理可得的值，再利用勾股定理和中点的性质，从而得出角B的值和、的长，再利用三角形等面积法得出和的值，进而得出的值.
（1）因为，即，
且，则，
可得，所以.
（2）由（1）可知：，且，，
由余弦定理可得，即，
则，则，
且，可得，
在中，则，解得；
在中，则，解得；
所以.
17．如图，四棱锥中，底面，，平面，，．
（1）证明：；
（2）若点到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面平面，
所以，
又因为底面，平面，
所以，
因为，，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）解：由（1）可知，，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示坐标系，
过点作，交于点，
因为底面，平面，
所以，
又因为，
所以平面，
因为点到平面的距离为，
所以，
在中，，
由，可得；
设，则，
所以，
解得，
则为的中点且，
所以．
可得，，，，，
所以，．
设是平面的法向量，
则，
所以，
取，则，，
所以是平面的一个法向量，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理得出线线平行，再利用线面垂直的定义可知，由线面垂直判定定理证出平面，再结合线面垂直定义证出.
（2）过点B作，利用线线垂直证出平面，再由（1）和已知条件可得的长，从而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面ACP的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值．
（1）因为平面，平面，平面平面，
所以
因为底面，平面，所以，
因为，，所以，
又因为，平面，
所以平面，因为平面，
所以．
（2）由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示坐标系．
过点作，交于点，因为底面，平面，所以，
因为，所以平面，又点到平面的距离为，所以，
在中，，由可得；
设，则，即，解得；
因此为的中点，，所以．
可得，，，，，
所以，．
设是平面的法向量，
则，
即，取，则，，
所以是平面的一个法向量．
因为平面，所以是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．已知椭圆的焦距为2，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，直线过点（直线不与轴重合），交椭圆于，两点．直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，连接交轴于．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求点到直线距离的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，易知：，，，
所以，，
则椭圆.
（2）（ⅰ）解：若直线斜率不存在，
由对称性可知，此时直线斜率均不存在，
设，，，
由，可得，
所以，，
记，则直线，
由，可得，
所以
则，代入直线，
可得，
同理可得：，
则
，
所以.
（ⅱ）解：设，
则，．
因为，，三点共线，
所以，
则，
化简可得：，
因此，即，
则，
当A，C重合时，，
则或（舍去），
不妨取，此时，
即，此时到AB的距离为；
同理可得，当B，D重合时，到AB的距离也为，
则点到直线距离的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合焦距的定义和椭圆的离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而列方程组求解得出a，b，c的值，进而得出椭圆标准方程.
（2）（ⅰ）设直线，再将直线方程与椭圆方程联立，设，，联立直线方程和椭圆的方程，从而得出两点的坐标，再利用两点求斜率公式和韦达定理，从而化简得出的值.
（ⅱ）根据，，三点共线结合向量共线的坐标表示，从而得出坐标关系式，进而化简求出点T的坐标，再利用点到直线的距离公式，从而得出点到直线距离的取值范围.
（1）由题意易知：，，，故，，
因此椭圆；
（2）（ⅰ）若直线斜率不存在，则由对称性可知，此时直线斜率均不存在，
故设，设，，
由，可得，
所以，，
记，则直线，
由，可得，
所以，
故，
代入直线，可得，
同理：，
因此
，
故有；
（ⅱ）设，则，．
由于，，三点共线，
故，
进而，
化简可得：，因此，即，
则，
当A，C重合时，，或（舍去），
不妨取，此时，即，
此时到AB的距离为；
同理，当B，D重合时，到AB的距离也为；
故点到直线距离的取值范围为.
19．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有两个极值点，，且，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：．
【答案】（1）解：当时，，
则，
求导得，则，
切线方程为，即．
（2）（ⅰ）解：因为有两个极值点，，
所以有两个变号零点，等价于方程有两个不同的解，
设，则，
令，，则，
令，得；令，得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，且，
，
则的取值范围为．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）得，．
，
欲证，
只需证，
构造，，
则，
令，则，
当时，，则在上单调递增，且，
在时恒成立，
，当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，则，
设方程的两根为，，不妨设，
由，得，
由韦达定理，得，
，
，且是方程的两根，
是的两根，
则，
，
，命题得证．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（2）（ⅰ）利用导数极值点的求解方法和函数零点与方程的根的等价关系，从而得出方程有两个不同的解，设，则，令，，再利用导数的正负判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法得出实数a的取值范围.
（ⅱ）由(i)和分析法，从而构造函数，，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据不等式恒成立问题求解方法以及韦达定理，从而证出不等式成立．
（1）时，，则，
求导得，则，
切线方程为，即．
（2）（ⅰ）由于有两个极值点，，
故有两个变号零点，等价于方程有两个不同的解；
设，则，令，，则，
令得，令得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，且，
，即的取值范围为．
（ⅱ）由（ⅰ）得，．
，
欲证，只需证，
构造，，则，
令，则，当时，，
即在上单调递增，且，
在时恒成立，
，
当时，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，故，
设方程的两根为，，不妨，
则由得，
由韦达定理得，
，
，且是方程的两根，是的两根，
则，
，
，命题得证．
1 / 1浙江宁波十校2026届高三下学期3月联考数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设是与的等差中项，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
4．已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（　　）
A． B． C． D．
5．若关于的方程在上恰有3个根，则（　　）
A． B． C． D．
6．某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有150人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（　　）
A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3
7．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（　　）
A． B．
C． D．
8．已知直线与焦点为的抛物线相交于，两点，且，线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
9．下列说法中正确的是（　　）
A．一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为4
B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1
C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过
D．若随机变量服从正态分布，且，则
10．设复数满足，则（　　）
A．
B．存在复数，使得为纯虚数
C．存在，关于的方程有解
D．若复数满足，则的最小值为
11．已知实数，，互不相等，且满足，，，下列说法正确的有（　　）
A． B．
C． D．对任意，均为整数
12．一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了　 　cm．
13．已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是　 　．
14．已知盒子中共有8个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，且红球、黄球、黑球的个数分别为2，2，4，随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为　 　．
15．已知数列中，，．
（1）令，求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
16．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．
（1）求；
（2）点在边上，连接，且，记和的内切圆半径分别为，，求的值．
17．如图，四棱锥中，底面，，平面，，．
（1）证明：；
（2）若点到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知椭圆的焦距为2，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，直线过点（直线不与轴重合），交椭圆于，两点．直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点，连接交轴于．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求点到直线距离的取值范围．
19．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有两个极值点，，且，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：由，
可得，
又因为，且，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次不等式求解方法，从而得出集合，再根据元素与集合的关系和交集运算法则、补集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，
，，
，
则“”是“”的必要条件，
当，假设当时，，此时，
则，
所以“”是“”的不充分条件，
综上所述： “”是“”的必要不充分条件．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和“狄利克雷函数”定义，再利用充分条件、必要条件判断方法，从而找出正确的选项.
3．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；等差中项
【解析】【解答】解：因为是与的等差中项，
所以，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和等差中项公式以及对数的运算法则，从而得出的值.
4．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；数列的求和
【解析】【解答】解：由题意，得：，
解得或，
当时，为偶函数，不合题意；
当时，为非奇非偶函数，符合题意，
则，
所以．
故答案为：D.
【分析】由幂函数定义得出，解方程结合函数的奇偶性得出m的值，从而得出函数 的解析式，进而得出数列的通项公式，再利用裂项相消法和代入法，从而得出的值.
5．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：如图，作出的函数图象，其中，是函数的对称轴，
当与有三个交点时，
则，，
所以，，
则.
故答案为：A.
【分析】利用余弦型函数图象的对称性和函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，从而得出的值.
6．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为摸到白球和红球的概率均为 ，
则回答A问题“是”的学生人数为人，
所以，回答B问题“是”的学生人数为人，
则男大学生吸烟人数的比例约为．
故答案为：C.
【分析】利用频数等于频率乘以样本容量的关系式和古典概率公式，从而估计出该地区男大学生吸烟的比例.
7．【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：对于A，由三点共线，存在，使得，
由三点共线，存在，使得，
联立系数相等，则，
解得：，，
则，故选项A错误；
对于B，因为，
又因为
若，则 ，
显然系数不相等，故选项B错误；
对于C，因为，且在上，
则设，
所以，
又因为，所以，
解得，故选项C错误；
对于D，因为，
所以，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】利用三点共线和已知条件以及平面向量基本定理，则判断出选项A；利用向量共线定理判断出选项B；利用向量共线定理和平面向量基本定理，则判断出选项C；利用已知条件和平面向量基本定理判断出选项D，从而找出正确的选项.
8．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，
过点M，N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
则，
如图，
因为点A为线段的中点，
所以，点A到抛物线C的准线的距离为，
在中，由余弦定理，得，
所以，
又因为，所以（当且仅当时，等号成立），
则，
所以的最小值为．
故答案为：C.
【分析】利用中位线定理和抛物线的定义，从而得出点A到抛物线C的准线的距离，再利用余弦定理和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值．
9．【答案】B,D
【知识点】独立性检验的应用；样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于选项A：因为第百分位数位置为，
所以取5，第百分位数是第5个数5，故A错误；
对于选项B：因为样本相关系数的绝对值越接近1，代表两个随机变量的线性相关程度越强，故B正确；
对于选项C：在独立性检验中，在的显著水平下，无法判断与有关联，故C错误；
对于选项D：因为正态分布关于均值对称，则，
又因为，则，
由对称性可知，
，故D正确．
故答案为：BD.
【分析】利用百分位数的定义判断出选项A；利用相关系数和线性相关程度的关系，则判断出选项B；利用独立性检验的方法判断出选项C；利用正态分布对应的概率密度函数图象的对称性求概率的方法结合互斥事件加法求概率公式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,C
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：设，
则，
所以，
则在复平面内点到点与点的距离之和为，
所以，点的轨迹为椭圆，
由，，则椭圆方程为.
对于A：因为，故A正确；
对于B：因为，要使得为纯虚数，
所以且，则，
解得，
因为有解，所以，存在复数，使得为纯虚数，故B正确；
对于C：因为，
所以，，则，
解得，则存在，使得关于的方程有解，故C正确；
对于D：由复数满足，
得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
则椭圆上的点到该圆圆心的距离为：
，
则的最小值为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用复数的运算法则和复数求模公式，则判断出选项A；利用复数的运算法则和纯虚数判断方法，则判断出选项B；利用方程求复数解的方法和共轭复数的性质，则判断出选项C；利用复数的运算法则和复数求模公式以及几何法求最值的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】数列的求和；类比推理
【解析】【解答】解：因为且，，
所以，故A正确；
因为，故B正确；
设，，
则，，，
因为
所以，
则，故C错误；
因为，，所以，
可得，，
依次类推可得：对任意，均为整数，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合，，从而求解判断出选项A和选项B；设，再利用递推关系可得，再利用恒成立问题求解方法，则判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设水面升高了cm，
由题意知，
解得：.
故答案为：.
【分析】利用上升的水的体积等于实心铁球的体积，再利用圆柱的体积公式和球的体积公式以及等体积法，从而得出水面升高的长度.
13．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；向量在几何中的应用；圆的标准方程
【解析】【解答】解：由圆的性质可知，
当时，是圆的直径，
所以，
则，
因为右边等号成立的条件是和同向，且此时最大，此时，
又因为左边等号成立的条件是和反向，且此时最小，此时，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】先由圆的性质确定是圆的直径，再结合平面向量的线性运算和向量的模的三角形不等式以及几何法求最值的方法，从而得出的取值范围.
14．【答案】6
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意，可得随机变量的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，
其概率为，，
所以，期望
=.
故答案为：6.
【分析】由题意得到随机变量的可能取值，再利用组合数公式和古典概率公式，从而求出对应的概率，再由随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
15．【答案】（1）证明：因为，，
所以，
又因为，
又因为，
所以，
代入上式，得：，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）解：由（1）可得：
则
.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用递推公式变形结合等比数列的定义，从而证出数列是等比数列.
（2）根据（1）中等比数列的通项公式结合，从而求出数列的通项公式，再根据等差数列前n项和公式和等比数列的前项和公式，利用分组求和法，从而得出数列的前项和．
（1）因为，，所以，
再由，
因为，所以，代入上式得：，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得：，
则
16．【答案】（1）解：因为，
所以，且，
则，可得，
所以.
（2）解：由（1）可知：且，，
由余弦定理，
可得，
则，所以，
则且，
可得，
在中，则，
解得；
在中，则，
解得，
所以.
【知识点】余弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式可得，再结合三角形中角的取值范围和不等式的性质，从而结合正弦型函数的图象，进而得出角A的值.
（2）利用（1）和余弦定理可得的值，再利用勾股定理和中点的性质，从而得出角B的值和、的长，再利用三角形等面积法得出和的值，进而得出的值.
（1）因为，即，
且，则，
可得，所以.
（2）由（1）可知：，且，，
由余弦定理可得，即，
则，则，
且，可得，
在中，则，解得；
在中，则，解得；
所以.
17．【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面平面，
所以，
又因为底面，平面，
所以，
因为，，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）解：由（1）可知，，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示坐标系，
过点作，交于点，
因为底面，平面，
所以，
又因为，
所以平面，
因为点到平面的距离为，
所以，
在中，，
由，可得；
设，则，
所以，
解得，
则为的中点且，
所以．
可得，，，，，
所以，．
设是平面的法向量，
则，
所以，
取，则，，
所以是平面的一个法向量，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理得出线线平行，再利用线面垂直的定义可知，由线面垂直判定定理证出平面，再结合线面垂直定义证出.
（2）过点B作，利用线线垂直证出平面，再由（1）和已知条件可得的长，从而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面ACP的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值．
（1）因为平面，平面，平面平面，
所以
因为底面，平面，所以，
因为，，所以，
又因为，平面，
所以平面，因为平面，
所以．
（2）由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示坐标系．
过点作，交于点，因为底面，平面，所以，
因为，所以平面，又点到平面的距离为，所以，
在中，，由可得；
设，则，即，解得；
因此为的中点，，所以．
可得，，，，，
所以，．
设是平面的法向量，
则，
即，取，则，，
所以是平面的一个法向量．
因为平面，所以是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．【答案】（1）解：由题意，易知：，，，
所以，，
则椭圆.
（2）（ⅰ）解：若直线斜率不存在，
由对称性可知，此时直线斜率均不存在，
设，，，
由，可得，
所以，，
记，则直线，
由，可得，
所以
则，代入直线，
可得，
同理可得：，
则
，
所以.
（ⅱ）解：设，
则，．
因为，，三点共线，
所以，
则，
化简可得：，
因此，即，
则，
当A，C重合时，，
则或（舍去），
不妨取，此时，
即，此时到AB的距离为；
同理可得，当B，D重合时，到AB的距离也为，
则点到直线距离的取值范围为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合焦距的定义和椭圆的离心率公式以及椭圆中a，b，c三者的关系式，从而列方程组求解得出a，b，c的值，进而得出椭圆标准方程.
（2）（ⅰ）设直线，再将直线方程与椭圆方程联立，设，，联立直线方程和椭圆的方程，从而得出两点的坐标，再利用两点求斜率公式和韦达定理，从而化简得出的值.
（ⅱ）根据，，三点共线结合向量共线的坐标表示，从而得出坐标关系式，进而化简求出点T的坐标，再利用点到直线的距离公式，从而得出点到直线距离的取值范围.
（1）由题意易知：，，，故，，
因此椭圆；
（2）（ⅰ）若直线斜率不存在，则由对称性可知，此时直线斜率均不存在，
故设，设，，
由，可得，
所以，，
记，则直线，
由，可得，
所以，
故，
代入直线，可得，
同理：，
因此
，
故有；
（ⅱ）设，则，．
由于，，三点共线，
故，
进而，
化简可得：，因此，即，
则，
当A，C重合时，，或（舍去），
不妨取，此时，即，
此时到AB的距离为；
同理，当B，D重合时，到AB的距离也为；
故点到直线距离的取值范围为.
19．【答案】（1）解：当时，，
则，
求导得，则，
切线方程为，即．
（2）（ⅰ）解：因为有两个极值点，，
所以有两个变号零点，等价于方程有两个不同的解，
设，则，
令，，则，
令，得；令，得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，且，
，
则的取值范围为．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）得，．
，
欲证，
只需证，
构造，，
则，
令，则，
当时，，则在上单调递增，且，
在时恒成立，
，当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，则，
设方程的两根为，，不妨设，
由，得，
由韦达定理，得，
，
，且是方程的两根，
是的两根，
则，
，
，命题得证．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（2）（ⅰ）利用导数极值点的求解方法和函数零点与方程的根的等价关系，从而得出方程有两个不同的解，设，则，令，，再利用导数的正负判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法得出实数a的取值范围.
（ⅱ）由(i)和分析法，从而构造函数，，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据不等式恒成立问题求解方法以及韦达定理，从而证出不等式成立．
（1）时，，则，
求导得，则，
切线方程为，即．
（2）（ⅰ）由于有两个极值点，，
故有两个变号零点，等价于方程有两个不同的解；
设，则，令，，则，
令得，令得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，且，
，即的取值范围为．
（ⅱ）由（ⅰ）得，．
，
欲证，只需证，
构造，，则，
令，则，当时，，
即在上单调递增，且，
在时恒成立，
，
当时，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，故，
设方程的两根为，，不妨，
则由得，
由韦达定理得，
，
，且是方程的两根，是的两根，
则，
，
，命题得证．
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