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广东省广州市天河区华侨港澳台2026届高三联考第一次模拟考试试卷（全国联考）数学试题
1．集合，，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：易知集合，则.
故答案为：D.
【分析】解指数不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则复数对应的点为位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数在复平面内的表示判断即可.
3．已知向量，若，则（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，可得，
若，则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解即可.
4．已知定义在上的奇函数满足，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：因为是定义在上的奇函数，所以，
由，可得函数关于直线对称，则．
故答案为：A.
【分析】由函数是定义在上的奇函数，可得，根据，可得函数关于直线对称，据此求解即可.
5．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数图像.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可.
6．节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：记立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气分别为、、、、，
则样本空间，
记事件表示“其中一个节气是立春”，则，
由古典概型可知．
故答案为：B.
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求解即可.
7．已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有，
解得
故答案为：B
【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.
8．以直线与为渐近线的双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线为与，
若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为，
则，即双曲线的离心率为，
若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为，
则，即双曲线的离心率为，
综上所述，双曲线的离心率为或.
故答案为：D.
【分析】分双曲线的焦点在轴和轴两种情况讨论，由渐近线求得间的关系，再利用离心率公式求解即可.
9．已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：由成等比数列，可得，
因为，所以，解得.
故答案为：B．
【分析】根据等比中项，结合等差数列的通项列等式求基本量即可.
10．已知点满足，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：因为表示点到点的距离；
表示点到直线的距离，
又因为，
所以点到点的距离等于点到直线的距离，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为，
设，
则，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，从而得出抛物线的方程，设，再利用两点间的距离公式和二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
11．在的展开式中项的系数为　 　（用数字作答）
【答案】80
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，令，则，故项的系数为.
故答案为：80.
【分析】写出展开式的通项，令，求解展开式中项的系数即可.
12．设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝　 　．
【答案】2
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：因为多项式除以所得的余式为，
所以设，
整理得到，则，即.
故答案为：2.
【分析】由题意设，化简求解即可.
13．已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是　 　．
【答案】16
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示：
由正四棱锥的高为3，体积为6，可得底面面积为6，边长为，
正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，
，，，
在中，，由勾股定理，得，
则球的表面积．
故答案为：.
【分析】先求正四棱锥的底面面积个边长，设球的半径为，在中，利用勾股定理求得，再根据球的表面积公式求解即可.
14．圆与圆的公共弦长为　 　.
【答案】
【知识点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，
圆的圆心到直线的距离，
则公共弦长为.
故答案为：.
【分析】两圆方程作差求得公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，结合勾股定理求弦长即可.
15．若是函数的极值点，则　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数，
求导可得，
因为是的极值点，所以，解得，
则，.
故答案为：.
【分析】函数，求导，由题意可得，求出a值，确定函数解析式，再将代入求值即可.
16．在中，已知．
（1）求；
（2）若边上的高等于，求．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，因为，所以，所以，即，故；
（2）解：设角对应的边分别为，则，即，
由余弦定理，可得，
则.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求角B即可；
（2）设角对应的边分别为，利用（1）的结论，结合余弦定理求解即可.
（1）由，根据正弦定理可得，
即，因为，所以，所以，即，
所以.
（2）设角对应的边分别为，则，即，
由余弦定理，，
所以，
所以.
17．“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为．
（1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
（2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望；
【答案】（1）解：设B＝“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”（i＝1，2，3），
根据题意得，；
则；
（2）解：由题意可知，X的可能取值为，
，
，
，
，
X的分布列为：
X 1 5 9
P
则.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，根据全概率公式求解即可；
（2）由题意可知，X的可能取值为，求得对应概率，列分布列，再计算期望即可.
（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”，
“所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”（i＝1，2，3），
根据题意得，
；
所以
（2）由题意可知，X的可能取值为，
则，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 1 5 9
P
所以.
18．设数列的前项和为，且．
（1）证明：为等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明：由题，，
当时，，，
又因为，所以，
则是以为首项，公比为3的等比数列；
（2）解：由（1）可得，
则.
设数列，且，其前n项和为，
则，
，
两式相减可得，，
则；
设数列，且，其前n项和为，
则，即.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列中与间的关系，结合等比数列的定义证明即可
（2）由（1）可得，，利用错位相减法，分组求和法求解即可.
（1）由题，，
当时，，
，又，
所以，
所以是以为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1），，
则.
设数列，且，其前n项和为，
则，
，
两式相减可得，
，
则；
再设数列，且，其前n项和为，
则，
从而.
19．已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求．
【答案】解：（1）由题意可得：，解得，则 椭圆C的标准方程为：；
（2）易知，
设直线：，，联立 ，得，
由韦达定理可得，
，
则
，
因为，所以，解得，
故，
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于的方程组，求解的值，即可得椭圆C的标准方程；
（2）易知，设直线：，，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理，结合，求出的值，再根据弦长公式求即可.
1 / 1广东省广州市天河区华侨港澳台2026届高三联考第一次模拟考试试卷（全国联考）数学试题
1．集合，，则 （　　）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，若，则（　　）
A．1 B． C． D．
4．已知定义在上的奇函数满足，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（　　）
A． B． C． D．
6．节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
8．以直线与为渐近线的双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．或
9．已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知点满足，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．4
11．在的展开式中项的系数为　 　（用数字作答）
12．设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝　 　．
13．已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是　 　．
14．圆与圆的公共弦长为　 　.
15．若是函数的极值点，则　 　．
16．在中，已知．
（1）求；
（2）若边上的高等于，求．
17．“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为．
（1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
（2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望；
18．设数列的前项和为，且．
（1）证明：为等比数列；
（2）求数列的前项和．
19．已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：易知集合，则.
故答案为：D.
【分析】解指数不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则复数对应的点为位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数在复平面内的表示判断即可.
3．【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，可得，
若，则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解即可.
4．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：因为是定义在上的奇函数，所以，
由，可得函数关于直线对称，则．
故答案为：A.
【分析】由函数是定义在上的奇函数，可得，根据，可得函数关于直线对称，据此求解即可.
5．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数图像.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可.
6．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解：记立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气分别为、、、、，
则样本空间，
记事件表示“其中一个节气是立春”，则，
由古典概型可知．
故答案为：B.
【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有，
解得
故答案为：B
【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线的渐近线为与，
若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为，
则，即双曲线的离心率为，
若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为，
则，即双曲线的离心率为，
综上所述，双曲线的离心率为或.
故答案为：D.
【分析】分双曲线的焦点在轴和轴两种情况讨论，由渐近线求得间的关系，再利用离心率公式求解即可.
9．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等比中项
【解析】【解答】解：由成等比数列，可得，
因为，所以，解得.
故答案为：B．
【分析】根据等比中项，结合等差数列的通项列等式求基本量即可.
10．【答案】C
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：因为表示点到点的距离；
表示点到直线的距离，
又因为，
所以点到点的距离等于点到直线的距离，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为，
设，
则，
当且仅当时，等号成立.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，从而得出抛物线的方程，设，再利用两点间的距离公式和二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
11．【答案】80
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，令，则，故项的系数为.
故答案为：80.
【分析】写出展开式的通项，令，求解展开式中项的系数即可.
12．【答案】2
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：因为多项式除以所得的余式为，
所以设，
整理得到，则，即.
故答案为：2.
【分析】由题意设，化简求解即可.
13．【答案】16
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示：
由正四棱锥的高为3，体积为6，可得底面面积为6，边长为，
正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，
，，，
在中，，由勾股定理，得，
则球的表面积．
故答案为：.
【分析】先求正四棱锥的底面面积个边长，设球的半径为，在中，利用勾股定理求得，再根据球的表面积公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，
圆的圆心到直线的距离，
则公共弦长为.
故答案为：.
【分析】两圆方程作差求得公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，结合勾股定理求弦长即可.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数，
求导可得，
因为是的极值点，所以，解得，
则，.
故答案为：.
【分析】函数，求导，由题意可得，求出a值，确定函数解析式，再将代入求值即可.
16．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，因为，所以，所以，即，故；
（2）解：设角对应的边分别为，则，即，
由余弦定理，可得，
则.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求角B即可；
（2）设角对应的边分别为，利用（1）的结论，结合余弦定理求解即可.
（1）由，根据正弦定理可得，
即，因为，所以，所以，即，
所以.
（2）设角对应的边分别为，则，即，
由余弦定理，，
所以，
所以.
17．【答案】（1）解：设B＝“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”（i＝1，2，3），
根据题意得，；
则；
（2）解：由题意可知，X的可能取值为，
，
，
，
，
X的分布列为：
X 1 5 9
P
则.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先记事件，根据全概率公式求解即可；
（2）由题意可知，X的可能取值为，求得对应概率，列分布列，再计算期望即可.
（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”，
“所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”（i＝1，2，3），
根据题意得，
；
所以
（2）由题意可知，X的可能取值为，
则，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 1 5 9
P
所以.
18．【答案】（1）证明：由题，，
当时，，，
又因为，所以，
则是以为首项，公比为3的等比数列；
（2）解：由（1）可得，
则.
设数列，且，其前n项和为，
则，
，
两式相减可得，，
则；
设数列，且，其前n项和为，
则，即.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据数列中与间的关系，结合等比数列的定义证明即可
（2）由（1）可得，，利用错位相减法，分组求和法求解即可.
（1）由题，，
当时，，
，又，
所以，
所以是以为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1），，
则.
设数列，且，其前n项和为，
则，
，
两式相减可得，
，
则；
再设数列，且，其前n项和为，
则，
从而.
19．【答案】解：（1）由题意可得：，解得，则 椭圆C的标准方程为：；
（2）易知，
设直线：，，联立 ，得，
由韦达定理可得，
，
则
，
因为，所以，解得，
故，
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于的方程组，求解的值，即可得椭圆C的标准方程；
（2）易知，设直线：，，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理，结合，求出的值，再根据弦长公式求即可.
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