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特殊平行四边形·中点四边形—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．若取四边形ABCD各边的中点并顺次连结，所得到的四边形是菱形，则这个四边形ABCD一定是（　　）
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相平分的四边形 D．对角线相等的四边形
2．如图1，这是某展览馆展示的清代木花窗，其造型美观.如图2，经数学抽象、图形提取，然后测量发现，四边形ABCD 的四边相等，点 E，F，G，H 分别为其四边中点，则四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为 (　　)
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
3． 如图，在 ABCD 中，∠ABC=α，BC>AB，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点，顺次连结点E，F，G，H，在α从0°逐渐增大到 180°的过程中，四边形 EFGH形状的变化依次是(　　)
A．平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→正方形→平行四边形
4． 如图，E，F，G，H 分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法中正确的个数是（　　）
①若 AC=BD，则四边形EFGH 为矩形；②若 AC⊥BD，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形 EFGH 是平行四边形，则AC与BD 互相平分；④若四边形 EFGH 是正方形，则 AC 与 BD互相垂直且相等.
A．1 B．2 C．3 D．4
5． 如图，在四边形中，，，，依次是，，，的中点．
①若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形；
②若，则四边形是菱形；
③若，则四边形是矩形；
④若，，则四边形是正方形．
则上述四个结论中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
6． 顺次连结任意四边形各边的中点， 所得的四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
7．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是 　　
A．任意一个四边形的中点四边形是菱形
B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形
D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形
8．如图， 分别是四边形 的边 的中点， 则下列说法中正确的个数是（　　）
①若 ， 则四边形 为矩形； ②若 ， 则四边形 为菱形； ③若四边形 是平行四边形， 则 与 互相平分； ④若四边形 是正方形， 则 与 互相垂直且相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图1，在四边形ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F，G，H分别是边 AB，BC，CD，DA的中点，只需添加一个条件，即可证明四边形EFGH是矩形，这个条件可以是　 　（写出一个即可）.
10．如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么顺次连结这个四边形各边中点所得的四边形是　 　.
11．如图所示，顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形GHEF，要使四边形GHEF为菱形，则四边形ABCD的对角线AC，BD应满足的条件是　 　.
12．如图，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为　 　．
13．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是　 　；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是　 　．
14．如图，在四边形ABCD中，依次取四边中点，连接EG，FH，是线段EG上的一点，连接AP，作交FH于点，分别沿将四边形ABCD裁剪成五块，再将它们拼成四边形MNRS，
（1）　 　；
（2）如图2，连接AC，BD交于点，若，则四边形MNRS的周长最小值是　 　．
三、解答题
15． 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC.
（1）求证：AD=BC；
（2）若E，F，G，H 分别是AB，CD，AC，BD 的中点，求证：线段 EF 与线段GH 互相垂直平分.
16．如图，D是△ABC 内一点，连结 AD，BD，CD，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA的中点。
（1）判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论；
（2）当 BD，AC 满足什么条件时，四边形 EF-GH 是正方形？
17．已知任意四边形ABCD，且线段AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点分别是E，F，G，H，P，Q。
（1）若四边形ABCD如图1，判断下列结论是否正确。
甲：顺次连结EF，FG，GH，HE，得到的一定是平行四边形。（　　)
乙：顺次连结EQ，QG，GP，PE，得到的一定是平行四边形。（　　)
（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断。
（3）若四边形ABCD如图2，请你判断（1）中的两个结论是否成立。
18．如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
（1）猜想四边形EFGH的形状是　 　.（直接回答，不必说明理由）
（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3） 如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先在图3中补全图形，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，
∵D，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴DE，EF，FG，DG分别是的中位线，
∴，
∵四边形DEFG是菱形，
∴DE=EF=FG=DG，
∴AC=BD，
∴这个四边形ABCD一定是对角线相等的四边形，
故答案为：D.
【分析】先画出图形，根据三角形中位线定理得，然后根据菱形的性质得DE=EF=FG=DG，从而可求出AC=BD，据此即可求解.
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接BD和AC交于点O，EH和AC交于点M，
∵ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，，
又∵E，F，G，H是中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，，，
∴EF∥HG，EH∥FG，∠EMA=∠BOA=∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴，
∴ 四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为1：2，
故答案为：A .
【分析】连接BD和AC交于点O，EH和AC交于点M，根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH是矩形，然后根据菱形和矩形的面积公式解答即可.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH是 的中位线，FG是 的中位线， EF是 的中位线，
∥B
∴四边形EFGH为平行四边形，当 时，四边形ABCD为矩形，则AC=BD，
此 时平行四边形EFGH为菱形，
∴a从0°逐渐增大到 的过程中，四边形EFGH形状的变化依次是平行四边形→菱形→平行四边形，
故选： A.
【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，再根据矩形的判定和性质、菱形的判定定理判断即可.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵E、F分别是边AB、BC的中点，
∴EF//AC，，
同理可知，HG//AC，
∴EF//HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
若AC=BD，则四边形EFGH是菱形，故①说法错误；
若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形，故②说法错误；
若四边形EFGH是平行四边形，AC与BD不一定互相垂直平分，故③说法错误；
若四边形EFGH是正方形，AC与BD互相垂直且相等，故④说法正确；
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH是平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可.
5．【答案】D
【知识点】中点四边形模型；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF//AC，，
同理可得：GH//AC，，FG//BD，，
∴EF//GH，EF=CH，
∴四边形EFGH是平行四边形，故①结论正确；
当AC=BD时，EF=FG，
∴平行四边形四边形EFGH是菱形，故②结论正确；
当AC⊥BD时，EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形，故③结论正确；
当AC=BD，AC⊥BD时，则四边形EFGH是正方形，故④结论正确；
故答案为：D.
【分析】根据三角形中位线定理可得EF//AC，，同理可得GH//AC，，FG//BD，，再依据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理来判断四边形EFGH的形状.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，
∵E， F， G， 分别是四边形 边 的中点，
∴EH=BD，FG=BD，HG=AC，EF=AC，
∴EH=FG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定求解.
7．【答案】B
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】选项A，由任意一个四边形的中点四边形是平行四边形可判定选项A错误；
选项B，任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，选项B正确；
选项C，由对角线相等的四边形的中点四边形是菱形可判定选项C错误；
选项D，由对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形可判定选项D错误.
故答案为：B.
【分析】中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质：当原四边形的对角线既不相等，也不垂直时，中点四边形的形状为平行四边形；当原四边形的对角线相等时，中点四边形的形状为菱形；当原四边形的对角线垂直时，中点四边形的形状为矩形；当原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形的形状为正方形.由此即可解答.
8．【答案】A
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=BD，FG=BD，EF=AC，GH=AC，EH∥BD，FG∥BD，HG∥AC，EF∥AC，
∴EH∥FG，EH=FG，EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
①当AC=BD时，EH=HG=FG=EF，
∴四边形EFGH是菱形，故①错误；
②当AC⊥BD时，EF⊥EH，平行四边形EFGH是矩形，故②错误；
③四边形EFGH一定是平行四边形，AC与BD不一定互相平分，故③错误；
④当四边形EFGH是正方形时，EF=EH，EF⊥EH，∴AC=BD，AC⊥BD，故④正确.
故答案为：A.
【分析】根据因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，据此判断即可.
9．【答案】∠EFG=90°(答案不唯一)
【知识点】矩形的判定；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴HG，EF分别是△ACD，△ABC的中位线，
∴HG∥AC，EF∥AC，且HG=AC，EF=AC，
∴HG=EF，且HG∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形.
故当∠EFG=90°时，四边形EFGH是矩形.
故答案为：∠EFG=90°(答案不唯一).
【分析】首先利用三角形中位线定理说明 A 得 EF，则四边形EFGH是平行四边形，再根据矩形的判定可得答案.
10．【答案】正方形
【知识点】正方形的判定与性质；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，
∵ E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴ EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，
∴ EF∥HG，EF=HG，
∴ 四边形EFGH为平行四边形，
同理，EH∥FG，EH=BD，
∵ AC=BD，
∴ EH=EF，
∴ 平行四边形EFGH为菱形，
∵ AC⊥BD，
∴ ∠EFG=90°，
∴ 菱形EFGH为正方形.
故答案为：正方形.
【分析】根据三角形的中位线定理和平行公理的推论可得EF∥HG，EF=HG，再推出EH=EF，∠EFG=90°，根据正方形的判定即可求得.
11．【答案】AC=BD
【知识点】菱形的判定；中点四边形模型
【解析】【解答】解：条件是AC=BD，理由如下：
连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是CD、AD、AB和BC的中点，
∴EF=GH= AC，
同理EH=FG= BD，
∵AC=BD，
∴EF=GH=EH=FG，
∴四边形GHEF是菱形.
故答案为：AC=BD.
【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得出EF=GH= AC，EH=FG= BD，结合AC=BD，得出EF=GH=EH=FG，从而判定四边形ABCD是菱形.
12．【答案】12
【知识点】矩形的判定与性质；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵ 点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点
∴EH是△ADC的中位线，
∴EH∥AC且EH=AC=4，FG∥AC且FG=AC=3，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理可证：EF∥BD
∵AC⊥BD，
∴EF⊥HE
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH=EF×EH=4×3=12
故答案为：12
【分析】利用三角形中位线定理可证得EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形EFGH是平行四边形，再由AC⊥BD，可证∠HEF=90°，就可证得四边形EFGH是矩形，再利用矩形的面积公式就可求出结果。
13．【答案】20；
【知识点】菱形的性质；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1=5，C1D1= AC=5 ，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5，
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4=20，
同理可得出：A3D3=5× ，C3D3= C1D1= ×5 ，
A5D5=5×（ ）2，C5D5= C3D3=（ ）2×5 ，
…
∴四边形A2013B2013C2013D2013的周长是： = ．
故答案为：20； ．
【分析】根据菱形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得出规律求出即可．
14．【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：(1)根据题意可得： ≌
(2)∵E， F， G， H是AB， BC， AD， CD的中点，
作
∴RN， MS的最小值为
根据(1)可得出.
故四边形MNRS的周长最小值
故答案为：
【分析】(1)根据全等三角形的性质即可求解；
(2)根据三角形中位线定理得出 ，即可得出RN，MS最小时四边形MNRS的周长最小值，RN，MS最小值是GP的值，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求解即可.
15．【答案】（1）证明：如图，延长DC至点K，使CK=AB，连结BK.
又∵AB∥CK，
∴四边形ABKC是平行四边形，
∴AC=BK，AC∥BK，
∴∠ACD=∠K.
∵BD=AC，∴BD=BK，
∴∠BDC=∠K，∴∠ACD=∠BDC.
在△ACD和△BDC中，∵
∴△ACD≌△BDC(SAS)，
∴AD=BC
（2）如图，连结EH，HF，FG和GE.
∵E，H分别是AB，BD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，∴EH=AD.
同理GF=AD，EG=BC，HF=BC.
由(1)知AD=BC，∴EH=HF=GF=EG，
∴四边形EHFG是菱形，
∴线段EF与线段GH互相垂直平分
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；中点四边形模型
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质易得/AC=BM=BD， 由全等三角形判定定理及性质得出结论；
(2)连接EH， HF， FG， GE， E， F， G， H分别是AB， CD， AC， BD的中点， 易得四边形HFGE为平行四边形，由平行四边形的性质及(1)结论得平行四边形HFGE为菱形，证明结论.
16．【答案】（1）解：四边形EFGH是平行四边形.
证明：∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EF=AC.
同理可得HG∥AC，且HG=AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）解：EH∥BD且 若AC = BD， 则有EH = EF，又因为四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠EHG = 90°，
即： 当AC=BD且AC⊥BD时， 四边形EFGH是正方形
【知识点】平行四边形的判定；正方形的判定；中点四边形模型
【解析】【分析】(1) 在△ABC中， E、F分别是边AB、BC中点， 得到EFIIAC， 且 且 得到四边形EFGH是平行四边形；
(2) 四边形EFGH是平行四边形， 再由AC=BD， 得出EH=EF，从而证得四边形EFGH是菱形.对角线相等，推知四边形EFGH是正方形，
17．【答案】（1）甲：正确乙：正确
（2）解：选择甲。(答案不唯一)
证明：如图1，连结EF，FG，GH，HE。
∵E，F分别是AB，BC的中点.
同理可得 HG。∴四边形EFGH是平行四边形
（3）解：如图2，甲、乙都成立。
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：（1） 顺次连结EF，FG，GH，HE，得到的一定是平行四边形； 顺次连结EQ，QG，GP，PE，得到的一定是平行四边形 ；
故甲：正确；乙：正确；
【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到结论即可；
（2）根据三角形的中位线得到，即可得到结论；
（3）同（2）的证明过程解答即可.
18．【答案】（1）菱形
（2）解：连接AD，BC.
∵PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD
∴∠APD=∠BPC
∴△APD △BPC
∴AD=BC
∵E、F、G、H分别为AC、AB、BD、CD的中点，
∴EF＝ BC，EH＝ AD，GH＝ BC，FG＝ AD
∴EF=GF=EH=GH
∴四边形EGFH是菱形；
（3）解：补全图形如下，
判断四边形EFGH是正方形。
理由如下：设AD与BC交于点M，
由△APD △BPC，可得∠PAD=∠PCB，由对顶角相等，
可证∠AMC=∠APC=90°
由GH BC，HE AD，可得∠GHE＝90°
∴菱形EFGH是正方形；
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】（1）连接AD、BC，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即得∠APD=∠CPB，
∵ PC=PA，PD=PB，
∴△APD≌△CPB（SAS）
∴AD=BC，
∵点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点 ，
∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形；
故答案为：菱形.
【分析】（1）连接AD、BC，利用SAS证明△APD≌△CPB，可得AD=BC，利用三角形中位线定理可得EF=FG=GH=EH，根据四条边相等可推出四边形EFGH是菱形；
（2）成立.同（1）证法相同；
（3）先补图，判断四边形EFGH是正方形.理由：设AD与BC交于点M，证明△APD △BPC，可得∠PAD=∠PCB，利用对顶角相等及三角形内角和可得∠AMC=∠APC=90°，利用平行线的性质可得∠GHE＝90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形即可判断.
1 / 1特殊平行四边形·中点四边形—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．若取四边形ABCD各边的中点并顺次连结，所得到的四边形是菱形，则这个四边形ABCD一定是（　　）
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相平分的四边形 D．对角线相等的四边形
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，
∵D，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴DE，EF，FG，DG分别是的中位线，
∴，
∵四边形DEFG是菱形，
∴DE=EF=FG=DG，
∴AC=BD，
∴这个四边形ABCD一定是对角线相等的四边形，
故答案为：D.
【分析】先画出图形，根据三角形中位线定理得，然后根据菱形的性质得DE=EF=FG=DG，从而可求出AC=BD，据此即可求解.
2．如图1，这是某展览馆展示的清代木花窗，其造型美观.如图2，经数学抽象、图形提取，然后测量发现，四边形ABCD 的四边相等，点 E，F，G，H 分别为其四边中点，则四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为 (　　)
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接BD和AC交于点O，EH和AC交于点M，
∵ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，，
又∵E，F，G，H是中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，，，
∴EF∥HG，EH∥FG，∠EMA=∠BOA=∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴，
∴ 四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面积之比为1：2，
故答案为：A .
【分析】连接BD和AC交于点O，EH和AC交于点M，根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH是矩形，然后根据菱形和矩形的面积公式解答即可.
3． 如图，在 ABCD 中，∠ABC=α，BC>AB，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点，顺次连结点E，F，G，H，在α从0°逐渐增大到 180°的过程中，四边形 EFGH形状的变化依次是(　　)
A．平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→正方形→平行四边形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH是 的中位线，FG是 的中位线， EF是 的中位线，
∥B
∴四边形EFGH为平行四边形，当 时，四边形ABCD为矩形，则AC=BD，
此 时平行四边形EFGH为菱形，
∴a从0°逐渐增大到 的过程中，四边形EFGH形状的变化依次是平行四边形→菱形→平行四边形，
故选： A.
【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，再根据矩形的判定和性质、菱形的判定定理判断即可.
4． 如图，E，F，G，H 分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法中正确的个数是（　　）
①若 AC=BD，则四边形EFGH 为矩形；②若 AC⊥BD，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形 EFGH 是平行四边形，则AC与BD 互相平分；④若四边形 EFGH 是正方形，则 AC 与 BD互相垂直且相等.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵E、F分别是边AB、BC的中点，
∴EF//AC，，
同理可知，HG//AC，
∴EF//HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
若AC=BD，则四边形EFGH是菱形，故①说法错误；
若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形，故②说法错误；
若四边形EFGH是平行四边形，AC与BD不一定互相垂直平分，故③说法错误；
若四边形EFGH是正方形，AC与BD互相垂直且相等，故④说法正确；
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH是平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可.
5． 如图，在四边形中，，，，依次是，，，的中点．
①若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形；
②若，则四边形是菱形；
③若，则四边形是矩形；
④若，，则四边形是正方形．
则上述四个结论中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】中点四边形模型；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF//AC，，
同理可得：GH//AC，，FG//BD，，
∴EF//GH，EF=CH，
∴四边形EFGH是平行四边形，故①结论正确；
当AC=BD时，EF=FG，
∴平行四边形四边形EFGH是菱形，故②结论正确；
当AC⊥BD时，EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形，故③结论正确；
当AC=BD，AC⊥BD时，则四边形EFGH是正方形，故④结论正确；
故答案为：D.
【分析】根据三角形中位线定理可得EF//AC，，同理可得GH//AC，，FG//BD，，再依据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理来判断四边形EFGH的形状.
6． 顺次连结任意四边形各边的中点， 所得的四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，
∵E， F， G， 分别是四边形 边 的中点，
∴EH=BD，FG=BD，HG=AC，EF=AC，
∴EH=FG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定求解.
7．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是 　　
A．任意一个四边形的中点四边形是菱形
B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形
D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形
【答案】B
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】选项A，由任意一个四边形的中点四边形是平行四边形可判定选项A错误；
选项B，任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，选项B正确；
选项C，由对角线相等的四边形的中点四边形是菱形可判定选项C错误；
选项D，由对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形可判定选项D错误.
故答案为：B.
【分析】中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质：当原四边形的对角线既不相等，也不垂直时，中点四边形的形状为平行四边形；当原四边形的对角线相等时，中点四边形的形状为菱形；当原四边形的对角线垂直时，中点四边形的形状为矩形；当原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形的形状为正方形.由此即可解答.
8．如图， 分别是四边形 的边 的中点， 则下列说法中正确的个数是（　　）
①若 ， 则四边形 为矩形； ②若 ， 则四边形 为菱形； ③若四边形 是平行四边形， 则 与 互相平分； ④若四边形 是正方形， 则 与 互相垂直且相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=BD，FG=BD，EF=AC，GH=AC，EH∥BD，FG∥BD，HG∥AC，EF∥AC，
∴EH∥FG，EH=FG，EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
①当AC=BD时，EH=HG=FG=EF，
∴四边形EFGH是菱形，故①错误；
②当AC⊥BD时，EF⊥EH，平行四边形EFGH是矩形，故②错误；
③四边形EFGH一定是平行四边形，AC与BD不一定互相平分，故③错误；
④当四边形EFGH是正方形时，EF=EH，EF⊥EH，∴AC=BD，AC⊥BD，故④正确.
故答案为：A.
【分析】根据因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，据此判断即可.
二、填空题
9．如图1，在四边形ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F，G，H分别是边 AB，BC，CD，DA的中点，只需添加一个条件，即可证明四边形EFGH是矩形，这个条件可以是　 　（写出一个即可）.
【答案】∠EFG=90°(答案不唯一)
【知识点】矩形的判定；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴HG，EF分别是△ACD，△ABC的中位线，
∴HG∥AC，EF∥AC，且HG=AC，EF=AC，
∴HG=EF，且HG∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形.
故当∠EFG=90°时，四边形EFGH是矩形.
故答案为：∠EFG=90°(答案不唯一).
【分析】首先利用三角形中位线定理说明 A 得 EF，则四边形EFGH是平行四边形，再根据矩形的判定可得答案.
10．如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么顺次连结这个四边形各边中点所得的四边形是　 　.
【答案】正方形
【知识点】正方形的判定与性质；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，
∵ E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴ EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，
∴ EF∥HG，EF=HG，
∴ 四边形EFGH为平行四边形，
同理，EH∥FG，EH=BD，
∵ AC=BD，
∴ EH=EF，
∴ 平行四边形EFGH为菱形，
∵ AC⊥BD，
∴ ∠EFG=90°，
∴ 菱形EFGH为正方形.
故答案为：正方形.
【分析】根据三角形的中位线定理和平行公理的推论可得EF∥HG，EF=HG，再推出EH=EF，∠EFG=90°，根据正方形的判定即可求得.
11．如图所示，顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形GHEF，要使四边形GHEF为菱形，则四边形ABCD的对角线AC，BD应满足的条件是　 　.
【答案】AC=BD
【知识点】菱形的判定；中点四边形模型
【解析】【解答】解：条件是AC=BD，理由如下：
连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是CD、AD、AB和BC的中点，
∴EF=GH= AC，
同理EH=FG= BD，
∵AC=BD，
∴EF=GH=EH=FG，
∴四边形GHEF是菱形.
故答案为：AC=BD.
【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得出EF=GH= AC，EH=FG= BD，结合AC=BD，得出EF=GH=EH=FG，从而判定四边形ABCD是菱形.
12．如图，在四边形ABCD中，对角线 AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH 的面积为　 　．
【答案】12
【知识点】矩形的判定与性质；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵ 点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点
∴EH是△ADC的中位线，
∴EH∥AC且EH=AC=4，FG∥AC且FG=AC=3，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理可证：EF∥BD
∵AC⊥BD，
∴EF⊥HE
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH=EF×EH=4×3=12
故答案为：12
【分析】利用三角形中位线定理可证得EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形EFGH是平行四边形，再由AC⊥BD，可证∠HEF=90°，就可证得四边形EFGH是矩形，再利用矩形的面积公式就可求出结果。
13．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是　 　；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是　 　．
【答案】20；
【知识点】菱形的性质；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1=5，C1D1= AC=5 ，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5，
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4=20，
同理可得出：A3D3=5× ，C3D3= C1D1= ×5 ，
A5D5=5×（ ）2，C5D5= C3D3=（ ）2×5 ，
…
∴四边形A2013B2013C2013D2013的周长是： = ．
故答案为：20； ．
【分析】根据菱形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得出规律求出即可．
14．如图，在四边形ABCD中，依次取四边中点，连接EG，FH，是线段EG上的一点，连接AP，作交FH于点，分别沿将四边形ABCD裁剪成五块，再将它们拼成四边形MNRS，
（1）　 　；
（2）如图2，连接AC，BD交于点，若，则四边形MNRS的周长最小值是　 　．
【答案】（1）
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：(1)根据题意可得： ≌
(2)∵E， F， G， H是AB， BC， AD， CD的中点，
作
∴RN， MS的最小值为
根据(1)可得出.
故四边形MNRS的周长最小值
故答案为：
【分析】(1)根据全等三角形的性质即可求解；
(2)根据三角形中位线定理得出 ，即可得出RN，MS最小时四边形MNRS的周长最小值，RN，MS最小值是GP的值，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求解即可.
三、解答题
15． 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC.
（1）求证：AD=BC；
（2）若E，F，G，H 分别是AB，CD，AC，BD 的中点，求证：线段 EF 与线段GH 互相垂直平分.
【答案】（1）证明：如图，延长DC至点K，使CK=AB，连结BK.
又∵AB∥CK，
∴四边形ABKC是平行四边形，
∴AC=BK，AC∥BK，
∴∠ACD=∠K.
∵BD=AC，∴BD=BK，
∴∠BDC=∠K，∴∠ACD=∠BDC.
在△ACD和△BDC中，∵
∴△ACD≌△BDC(SAS)，
∴AD=BC
（2）如图，连结EH，HF，FG和GE.
∵E，H分别是AB，BD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，∴EH=AD.
同理GF=AD，EG=BC，HF=BC.
由(1)知AD=BC，∴EH=HF=GF=EG，
∴四边形EHFG是菱形，
∴线段EF与线段GH互相垂直平分
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；中点四边形模型
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质易得/AC=BM=BD， 由全等三角形判定定理及性质得出结论；
(2)连接EH， HF， FG， GE， E， F， G， H分别是AB， CD， AC， BD的中点， 易得四边形HFGE为平行四边形，由平行四边形的性质及(1)结论得平行四边形HFGE为菱形，证明结论.
16．如图，D是△ABC 内一点，连结 AD，BD，CD，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA的中点。
（1）判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论；
（2）当 BD，AC 满足什么条件时，四边形 EF-GH 是正方形？
【答案】（1）解：四边形EFGH是平行四边形.
证明：∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EF=AC.
同理可得HG∥AC，且HG=AC，
∴EF∥HG，且EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形
（2）解：EH∥BD且 若AC = BD， 则有EH = EF，又因为四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，
∴∠EHG = 90°，
即： 当AC=BD且AC⊥BD时， 四边形EFGH是正方形
【知识点】平行四边形的判定；正方形的判定；中点四边形模型
【解析】【分析】(1) 在△ABC中， E、F分别是边AB、BC中点， 得到EFIIAC， 且 且 得到四边形EFGH是平行四边形；
(2) 四边形EFGH是平行四边形， 再由AC=BD， 得出EH=EF，从而证得四边形EFGH是菱形.对角线相等，推知四边形EFGH是正方形，
17．已知任意四边形ABCD，且线段AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点分别是E，F，G，H，P，Q。
（1）若四边形ABCD如图1，判断下列结论是否正确。
甲：顺次连结EF，FG，GH，HE，得到的一定是平行四边形。（　　)
乙：顺次连结EQ，QG，GP，PE，得到的一定是平行四边形。（　　)
（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断。
（3）若四边形ABCD如图2，请你判断（1）中的两个结论是否成立。
【答案】（1）甲：正确乙：正确
（2）解：选择甲。(答案不唯一)
证明：如图1，连结EF，FG，GH，HE。
∵E，F分别是AB，BC的中点.
同理可得 HG。∴四边形EFGH是平行四边形
（3）解：如图2，甲、乙都成立。
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：（1） 顺次连结EF，FG，GH，HE，得到的一定是平行四边形； 顺次连结EQ，QG，GP，PE，得到的一定是平行四边形 ；
故甲：正确；乙：正确；
【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到结论即可；
（2）根据三角形的中位线得到，即可得到结论；
（3）同（2）的证明过程解答即可.
18．如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
（1）猜想四边形EFGH的形状是　 　.（直接回答，不必说明理由）
（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3） 如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先在图3中补全图形，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
【答案】（1）菱形
（2）解：连接AD，BC.
∵PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD
∴∠APD=∠BPC
∴△APD △BPC
∴AD=BC
∵E、F、G、H分别为AC、AB、BD、CD的中点，
∴EF＝ BC，EH＝ AD，GH＝ BC，FG＝ AD
∴EF=GF=EH=GH
∴四边形EGFH是菱形；
（3）解：补全图形如下，
判断四边形EFGH是正方形。
理由如下：设AD与BC交于点M，
由△APD △BPC，可得∠PAD=∠PCB，由对顶角相等，
可证∠AMC=∠APC=90°
由GH BC，HE AD，可得∠GHE＝90°
∴菱形EFGH是正方形；
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】（1）连接AD、BC，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即得∠APD=∠CPB，
∵ PC=PA，PD=PB，
∴△APD≌△CPB（SAS）
∴AD=BC，
∵点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点 ，
∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形；
故答案为：菱形.
【分析】（1）连接AD、BC，利用SAS证明△APD≌△CPB，可得AD=BC，利用三角形中位线定理可得EF=FG=GH=EH，根据四条边相等可推出四边形EFGH是菱形；
（2）成立.同（1）证法相同；
（3）先补图，判断四边形EFGH是正方形.理由：设AD与BC交于点M，证明△APD △BPC，可得∠PAD=∠PCB，利用对顶角相等及三角形内角和可得∠AMC=∠APC=90°，利用平行线的性质可得∠GHE＝90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形即可判断.
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