资源简介

特殊平行四边形·十字架模型—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．如图 ， 在正方形 中， 点 分别在 上 （不与端点重合）， 且 ， 连结 相交于点 ， 则下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G.则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为 ﹣2.其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知F、E分别是正方形的边与的中点，与交于P．则下列结论成立的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在AB，BC 上，连结 AF，过点 E 作 EG⊥AF 交CD 于点G，连结 FG.若 AE=2BF，∠BAF=α，则∠EGF 一定等于(　　)
A．45°+α B． C．2α D．α
5．如图，正方形的边长为6，点为上一点，连接，过点作的垂线交于点，连接．若，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．
6．已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点A出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以速度沿方向运动．设点运动的时间为．当点在边上，、相交于点，当时，的值为（　　）
A． B． C．6 D．7
7．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
8．如图，正方形中，分别为的中点，交于点，连接．则下列结论中：；；；，所有正确的结论是（只需填写序号）____
A． B． C． D．
二、填空题
9． 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD 上，BE⊥CF于点G，若BC=8，AF=2，则GF的长为　 　.
10． 如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠A+∠B 的度数为　 　.
11． 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE=DF=2，BE与AF 相交于点G，H 为BF 的中点，连结GH，则GH 的长为　 　.
12．如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 　 　．
13．如图，正方形 边长为 12 ， 将正方形沿 折叠， 使点 落在 边上的点 处， 且 ， 则折痕 的长为　 　
14．如图，在正方形ABCD中，E是边AB 上的点，连接CE，过点D作 DF⊥CE，分别交 BC，CE于点 F，G.若AB=3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为4：9，则△DCG的面积为　 　，CG+DG的长为　 　.
三、证明题
15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，连结 AE，BF交于点 P，连结 PD.求证：
（1）AE⊥BF；
（2）PD=AB.
16． 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点 D，E分别是线段AC，BC上的点，且满足AD=CE，连接 DE，过点 C 作 DE 的垂线，垂足为点 F，交线段AB 于点 G.
求证：
（1）CG=DE；
（2）
17． 在正方形 ABCD 中，点 E 在CD 上，点 M，N 分别在AD，BC 上，连结AE，MN 交于点 P.甲小组同学根据 MN⊥AE 画出图形如图①所示，乙小组同学根据MN=AE 画出图形如图②所示.甲小组同学发现已知MN⊥AE 仍能证明MN=AE，乙小组同学发现已知MN=AE 无法证明MN⊥AE 一定成立.
（1）在图①中，已知MN⊥AE 于点 P，求证：MN=AE；
（2）在图②中，若∠DAE=α，则∠APM 的度数为多少
18．如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有2个选项：①AF⊥EG；②AF＝EG．
（1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是______，结论是______（只要填写序号）；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连接AG、EF，直接写出AG+EF的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；十字架模型
【解析】【解答】解：在正方形 中，
，
，，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】利用正方形的性质可得，再通过SAS判定得到，，，由余角的性质可证得，即 ，故选项B不正确.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】连接AE，过E作EH⊥AB于H，
则EH＝BC，
∵AB＝BC，
∴EH＝AB，
∵EG⊥AF，
∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠EGH＝∠AFB，
∵∠B＝∠EHG＝90°，
∴△HEG≌△ABF（AAS），
∴AF＝EG，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠AGE＝∠CEG，
∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，
∵∠BAF＝∠PCF，
∴∠AGE＝∠PCE，
∴∠PEC＝∠PCE，
∴PE＝PC；故②正确；
连接EF，
∵∠EPF＝∠FCE＝90°，
∴点E，P，F，C四点共圆，
∴∠FEC＝∠FPC＝45°，
∴EC＝FC，
∴BF＝DE＝1，
故③正确；
取AE 的中点O，连接PO，CO，
∴AO＝PO＝ AE，
∵∠APE＝90°，
∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，
∴当O、C、P共线时，CP的值最小，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC的最小值＝OC﹣OP＝OC﹣ AE，
∵OC＝ ＝ ，AE＝ ＝ ，
∴PC的最小值为 ﹣ ，故④错误，
故答案为：C.
【分析】连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AF＝EG，故①正确；根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到PE＝PC；故②正确；连接EF，推出点E，P，F，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠FEC＝∠FPC＝45°，于是得到BF＝DE＝1，故③正确；取AE 的中点O，连接PO，CO，根据直角三角形的性质得到AO＝PO＝ AE，推出点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，当O、C、P共线时，CP的值最小，根据三角形的三边关系得到PC≥OC﹣OP，根据勾股定理即可得到结论.
3．【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；十字架模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=CA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴BE=BC=AB在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠BAE=∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠BAE+∠AFD =90°，
∴∠APF=90°，
∴∠EAF+∠AFD=90°，故C选项正确，符合题意；
连接FC，
同理可证得△CBF≌△DAF（SAS），
∴∠BCF=∠ADF，
∴∠BCD-∠BCF=∠ADC-∠ADF，即90°-∠BCF=90°-∠ADF，
∴∠PDC=∠FCD>∠PCD，
∴PC>PD，故B选项错误，不符合题意；
∵AD>PD，
∴CD>PD，
∴∠DPC>∠DCP，
∴90°-∠DPC<90°-∠DCP，
∴∠CPE<∠PCE，
∴PE> CE，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据正方形的性质，得到BE=AB判断A选项；然后根据SAS得到△ABE≌△DAF，进而得到∠BCF=∠ADF，推理得到∠EAF+∠AFD=90°判断C选项；然后证明△CBF≌△DAF得到∠PDC=∠FCD>∠PCD，即可得带PC和PD的大小关系判断B选项；然后得到∠CPE<∠PCE，即可得到PE、 CE的大小判断D选项解答即可．
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；十字架模型
【解析】【解答】解：过点D作交AB于点H，连接AG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
AB∥CD，
在 和 中，
∴△ABF≌△DAH(ASA)，
∴AH= BF， AF=DH，
∴AE = AH +HE = BF+HE，
∵AE=2BF，
∴BF+HE=2BF，
∴HE=BF，
∴AH=HE=BF，
∵AB∥CD，DH∥EG，
∴四边形DGEH是平行四边形，
∴HE=DG，
∴AH= DG，
在△AHD和△DGA中，
∴△AHD≌△DGA(SAS)，
∴∠ADH =∠DAG=α， DH = AG，
2α，
故答案为：B .
【分析】过点D作DH∥EG交AB于点H， 连接AG， 证明△ABF和△DAH全等得AH = BF， AF = DH，再根据AE=2BF得AH = HE = BF， 再证明四边形DGEH是平行四边形得HE = DG= AH，进而再证明△AHD和△DGA全等得∠ADH =∠DAG=α， DH=AG， 则∠FAG=90°-2α， AF=DH=AG， 进而得∠AFG=∠AGF=45°+α， 根据EG⊥AF得∠AGE=90°-∠FAG=2α， 然后根据∠EGF=∠AGF-∠AGE即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；十字架模型；余角
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
BC=6，
，
，
故答案为：C．
【分析】
根据正方形的性质得，利用同角得余角相等可得；可由可证，可得，由勾股定理可求解．
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，解得，
∴的值为．
故答案为：B．
【分析】根据正方形性质得，，再根据，得，即可证明，可得，根据题目情境得，，进一步得，解出即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G为DE的中点，
∴GE＝GD，
∴△AEG≌△MDG（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，
∴CM＝CD＝2，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝FM，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FM＝，
∴GH＝FM＝，
故选：C．
【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，根据正方形性质可得AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，则∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，再根据全等三角形判定定理可得△AEG≌△MDG（AAS），则AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，再根据线段中点可得CF＝BC＝2，再根据勾股定理即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1
图1
∵正方形ABCD，E、F均为中点
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB；，
∵在△ADF和△DCE中，
∴
∴
∵
∴
∴
∴①正确
如图2
图2
取AD的中点G，AP的中点M，连接MG，BM，BG
则
∴
∵
∴
∴四边形BGDE为平行四边形
∴
∴B、M、G三点共线
∴
∵AM=MP
∴BG是AP的垂直平分线
∴是等腰三角形
∴BP=AB=AD
∴②正确
由②知：BP=AB
∴∠BAP=∠BPA
又∵
∴∠CDE=∠DAF
又∵
∴
又∵
∴
∴③正确
如图3，延长DE至N，使得EN=PF，连接CN
图3
∵
∴
又∵E、F分别是BC，DC的中点
∴CE=CF
∵在和中
∴
∴CN=CP，
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴PN=PE+NE=PE+PF=
∴④正确
故答案为：D.
【分析】根据正方形性质得出AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB，，证明，推出，求出即可判断①；取AD的中点G，AP的中点M，连接MG，BM，BG，证明BG是AP的垂直平分线，推出是等腰三角形，即可判断②；由②知BP=AB，得到∠BAP=∠BPA，又根据，得到∠CDE=∠DAF，根据得到，就可以得到③正确；延长DE至N，使得EN=PF，证，推出CN=CP，，求出是等腰直角三角形，即可判断④。
9．【答案】5.2
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；十字架模型；余角；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，BC=8，
∴∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC=8，
又∵AF=2，
∴DF=6，
∵BE⊥CF于点G
∴∠BGC=90°，
∴∠CBG+∠BCG=∠BCG+∠DCF=90°，
∴∠CBG=∠DCF，
在△CDF和△BCE中，
∴△CDF≌△BCE(AAS)，
∴CE=DF=6，
∵在Rt△BCE中，BC=8，CE=6，
∴，
∴，
∴
∵△CDF≌△BCE，
∴CF=BE=10，
∴
故答案为：5.2.
【分析】先根据∠BCF的余角相等得∠CBE=∠DCF，再证明△CDF≌△BCE，得CE=DF=6，BE=10，再在△BCE中用等面积法求出CG，由GF=CF-CG便可求得结果.
10．【答案】90°
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；十字架模型；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
在和 中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据图形得，可证明，　可得，再根据，进一步计算可得的度数．
11．【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；十字架模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，
在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF(SAS)，
∴∠ABE=∠DAF.
∵∠ABE+∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BEA=90°，
∴∠AGE=∠BGF=90°
∵点H为 BF的中点，
∴.
∵BC=5，CF=CD-DF=5-2=3，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质可得∠BAE=∠D=90°，AB=AD，进而证明△ABE≌△DAF，从而根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠DAF，进一步得到∠AGE=∠BGF=90°，从而可知，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；十字架模型
【解析】【解答】解：取AB中点H，连接HG、HC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴
在和中，
∴
∴
∴
∴
∵HG、HC的长不变，
∴当H、G、C在同一条直线上时，CG取得最小值，
在中，
∴CG的最小值为：
故答案为：.
【分析】取AB中点，连接HG、HC，利用"SAS"证明进而得到取AB中点H，则由HG、HC的长不变，则当H、G、C在同一条直线上时，CG取得最小值，进而即可计算出CG的最小值.
13．【答案】13
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；十字架模型
【解析】【解答】解：如图，作，连接AE，
由折叠的性质可得，
四边形 是正方形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：13.
【分析】由折叠的性质可得，利用平行线的性质可得BG=MN，利用正方形的性质可得，由余角的性质可得，进而通过ASA判定证得AE=MN，然后通过勾股定理求得AE的长度，即可得到MN的长度.
14．【答案】；
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；十字架模型
【解析】【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为4：9，AB=3，
∴阴影部分的面积为
∴空白部分的面积为9-4=5，
∵在正方形 ABCD 中，CD=BC，∠DCF=∠CBE=90°，DF⊥CE，
∴ ∠CFD+∠BCE = 90°，
∵ ∠BCE + ∠BEC = 90°，
∴∠CFD=∠BEC，
∴△DCF≌△CBE(AAS)，
∴ S△DCC=
设DG=a(a>0)，CG=b(b>0)，
则
又∵
即 (负值已舍去)，
即
故答案为：；
【分析】先证明△DCF≌△CBE，即可得到S△DCC= S四边形BEGF解题即可；然后根据完全平方公式的变形计算解题.
15．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD=CD=AB= BC，∠ABE=∠BCF=90°.
∵E，F分别为边 BC，CD的中点，
∴BE=CF，∴△BAE≌△CBF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF.
∵∠ABP+∠EBP=90°，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴AE⊥BF.
（2）证明：如图，延长AD， PF 交 于点M.
∵AD∥BC，
∴∠DMF=∠CBF.
在△BCF和△MDF中，
∴△BCF≌△MDF，∴BC=DM.
∵AD=BC，∴DM=AD.
由(1)知，∠APM=90°，∴PD=AD.
∵AB=AD，∴PD=AB.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；十字架模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)由E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点知CF=BE，证△BAE≌△CBF得∠BAE=∠CBF，根据∠BAE+∠BEA=90°即可得∠CBF+∠BEA=90°，据此即可得证；
(2)延长AD， PF交于点M，证△BCF≌△MDF得BC=DM，再由(1)知，∠APM=90°，进而即可得出结论.
16．【答案】（1）证明：如解图，将△ACG 沿 AC 平移到△DMN的位置，点N在BC上，连接ME，GN，
∴DN∥AG且DN=AG，MN=CG，
∵∠CAB=45°，
∴∠CDN=45°，
∴CD=CN，
∵CG⊥DE，
∴ ∠DCF+∠CDF=90°，
∵∠CMN+∠MNC=90°，
∴∠MNC=∠EDC，
（2）证明：
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；十字架模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）将△ACG 沿 AC 平移到△DMN的位置，点N在BC上，连接ME，GN，证明得到MN=DE解答即可；
（2）根据解直角三角形证明即可.
17．【答案】（1）证明：作 于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形CDMH是矩形，
（2）解：作NL⊥AD于点L，
同理可证四边形CDLN是矩形，
∴CD=LN = AD.
∵AD = LN， AE = MN，
∴△LNM≌△DAE(HL)，
∴∠MNL=∠DAE=α，
∴∠LMN =90°-α，
∴∠APM =∠LMN-∠DAE= 90°-2α.
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；十字架模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）作MH⊥BC于点H， 先证明∠HMN =∠DAE， 然后根据ASA即可证明△HMN≌△DAE即可证明结论成立；
（2）NL⊥AD于点L， 同理可证△LNM≌△DAE(HL)， 从而∠MNL =∠DAE =α， 然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解.
18．【答案】（1）解：选择的条件是①，结论是②．证明如下：
如图1，过点G作GP⊥AB于点P，
∵AF⊥EG，GP⊥AB，
∴∠AEG+∠BAF＝90°，∠AEG+∠PGE＝90°，∠GPB=90°，
∴∠BAF＝∠PGE．
四边形ABCD是正方形，
AB=BC，∠B=∠C=90°，
∴四边形BCGP是矩形，
∴PG=BC=AB，
在△ABF与△GPE中，
，
∴△ABF≌△GPE（ASA），
∴AF＝EG；
故答案为：①，②；
（2）解：①△ABF≌△GPE，
∴，
，
连接AG，在Rt△APG中，；
②.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；十字架模型
【解析】【解答】（2）解：②过点F作FQEG，过点G作GQEF，
则四边形EFQG为平行四边形，
∴GQ＝EF，，
∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，当且仅当A，G，Q三点共线时，AG+EF的值最小，
∵EG＝AF，EG＝FQ，
∴AF＝FQ，
∵AF⊥EG，，
∴AF⊥FQ，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴AG+EF的最小值为．
【分析】（1）选①为条件，②为结论，过点G作GP⊥AB于点P，由直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠BAF＝∠PGE，由正方形的性质得AB=BC，∠B=∠C=90°，从而由“有三个角是直角的四边形是矩形”得四边形BCGP是矩形，由矩形的对边相等得PG=BC=AB，从而由ASA判断出△ABF≌△GPE，由全等三角形的对应边相等得AF=EG；
（2）①由全等三角形的对应边相等可得PE=BF=2，则由线段和差得AP=1，在Rt△APG中，利用勾股定理求AG即可；
②过点F作FQEG，过点G作GQEF，由“有两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得四边形EFQG为平行四边形，由平行四边形的对边相等得GQ=EF，EG=FQ，故AG+EF＝AG+GQ≥AQ，当且仅当A，G，Q三点共线时，AG+EF的值最小；易得AF=FQ，结合平行线的行政科推出△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理算出FQ=AF=，进而再利用勾股定理算出AQ即可得出答案.
（1）解：选择的条件是①，结论是②．证明如下：
如图1，过点G作GP⊥AB，交于点P，
∵AF⊥EG，，
∴∠AEG+∠BAF＝90°，∠AEG+∠PGE＝90°，
∴∠BAF＝∠PGE．
四边形是正方形，
，．
在△ABF与△GPE中，
，
∴△ABF≌△GPE（ASA），
∴AF＝EG．
（2）解：①△ABF≌△GPE，
，
，
．
连接，在Rt△APG中，．
②过点F作FQEG，过点G作GQEF，
则四边形EFQG为平行四边形，
∴GQ＝EF，，
∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，当且仅当A，G，Q三点共线时，AG+EF的值最小，
∵EG＝AF，EG＝FQ，
∴AF＝FQ，
∵AF⊥EG，，
∴AF⊥FQ，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴AG+EF的最小值为．
1 / 1特殊平行四边形·十字架模型—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．如图 ， 在正方形 中， 点 分别在 上 （不与端点重合）， 且 ， 连结 相交于点 ， 则下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；十字架模型
【解析】【解答】解：在正方形 中，
，
，，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】利用正方形的性质可得，再通过SAS判定得到，，，由余角的性质可证得，即 ，故选项B不正确.
2．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G.则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为 ﹣2.其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】连接AE，过E作EH⊥AB于H，
则EH＝BC，
∵AB＝BC，
∴EH＝AB，
∵EG⊥AF，
∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠EGH＝∠AFB，
∵∠B＝∠EHG＝90°，
∴△HEG≌△ABF（AAS），
∴AF＝EG，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠AGE＝∠CEG，
∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，
∵∠BAF＝∠PCF，
∴∠AGE＝∠PCE，
∴∠PEC＝∠PCE，
∴PE＝PC；故②正确；
连接EF，
∵∠EPF＝∠FCE＝90°，
∴点E，P，F，C四点共圆，
∴∠FEC＝∠FPC＝45°，
∴EC＝FC，
∴BF＝DE＝1，
故③正确；
取AE 的中点O，连接PO，CO，
∴AO＝PO＝ AE，
∵∠APE＝90°，
∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，
∴当O、C、P共线时，CP的值最小，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC的最小值＝OC﹣OP＝OC﹣ AE，
∵OC＝ ＝ ，AE＝ ＝ ，
∴PC的最小值为 ﹣ ，故④错误，
故答案为：C.
【分析】连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AF＝EG，故①正确；根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到PE＝PC；故②正确；连接EF，推出点E，P，F，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠FEC＝∠FPC＝45°，于是得到BF＝DE＝1，故③正确；取AE 的中点O，连接PO，CO，根据直角三角形的性质得到AO＝PO＝ AE，推出点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，当O、C、P共线时，CP的值最小，根据三角形的三边关系得到PC≥OC﹣OP，根据勾股定理即可得到结论.
3．如图，已知F、E分别是正方形的边与的中点，与交于P．则下列结论成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；十字架模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=CA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴BE=BC=AB在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠BAE=∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠BAE+∠AFD =90°，
∴∠APF=90°，
∴∠EAF+∠AFD=90°，故C选项正确，符合题意；
连接FC，
同理可证得△CBF≌△DAF（SAS），
∴∠BCF=∠ADF，
∴∠BCD-∠BCF=∠ADC-∠ADF，即90°-∠BCF=90°-∠ADF，
∴∠PDC=∠FCD>∠PCD，
∴PC>PD，故B选项错误，不符合题意；
∵AD>PD，
∴CD>PD，
∴∠DPC>∠DCP，
∴90°-∠DPC<90°-∠DCP，
∴∠CPE<∠PCE，
∴PE> CE，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据正方形的性质，得到BE=AB判断A选项；然后根据SAS得到△ABE≌△DAF，进而得到∠BCF=∠ADF，推理得到∠EAF+∠AFD=90°判断C选项；然后证明△CBF≌△DAF得到∠PDC=∠FCD>∠PCD，即可得带PC和PD的大小关系判断B选项；然后得到∠CPE<∠PCE，即可得到PE、 CE的大小判断D选项解答即可．
4．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在AB，BC 上，连结 AF，过点 E 作 EG⊥AF 交CD 于点G，连结 FG.若 AE=2BF，∠BAF=α，则∠EGF 一定等于(　　)
A．45°+α B． C．2α D．α
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；十字架模型
【解析】【解答】解：过点D作交AB于点H，连接AG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
AB∥CD，
在 和 中，
∴△ABF≌△DAH(ASA)，
∴AH= BF， AF=DH，
∴AE = AH +HE = BF+HE，
∵AE=2BF，
∴BF+HE=2BF，
∴HE=BF，
∴AH=HE=BF，
∵AB∥CD，DH∥EG，
∴四边形DGEH是平行四边形，
∴HE=DG，
∴AH= DG，
在△AHD和△DGA中，
∴△AHD≌△DGA(SAS)，
∴∠ADH =∠DAG=α， DH = AG，
2α，
故答案为：B .
【分析】过点D作DH∥EG交AB于点H， 连接AG， 证明△ABF和△DAH全等得AH = BF， AF = DH，再根据AE=2BF得AH = HE = BF， 再证明四边形DGEH是平行四边形得HE = DG= AH，进而再证明△AHD和△DGA全等得∠ADH =∠DAG=α， DH=AG， 则∠FAG=90°-2α， AF=DH=AG， 进而得∠AFG=∠AGF=45°+α， 根据EG⊥AF得∠AGE=90°-∠FAG=2α， 然后根据∠EGF=∠AGF-∠AGE即可得出答案.
5．如图，正方形的边长为6，点为上一点，连接，过点作的垂线交于点，连接．若，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；十字架模型；余角
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
BC=6，
，
，
故答案为：C．
【分析】
根据正方形的性质得，利用同角得余角相等可得；可由可证，可得，由勾股定理可求解．
6．已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点A出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以速度沿方向运动．设点运动的时间为．当点在边上，、相交于点，当时，的值为（　　）
A． B． C．6 D．7
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，解得，
∴的值为．
故答案为：B．
【分析】根据正方形性质得，，再根据，得，即可证明，可得，根据题目情境得，，进一步得，解出即可.
7．如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G为DE的中点，
∴GE＝GD，
∴△AEG≌△MDG（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，
∴CM＝CD＝2，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝FM，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FM＝，
∴GH＝FM＝，
故选：C．
【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，根据正方形性质可得AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，则∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，再根据全等三角形判定定理可得△AEG≌△MDG（AAS），则AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，再根据线段中点可得CF＝BC＝2，再根据勾股定理即可求出答案.
8．如图，正方形中，分别为的中点，交于点，连接．则下列结论中：；；；，所有正确的结论是（只需填写序号）____
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1
图1
∵正方形ABCD，E、F均为中点
∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB；，
∵在△ADF和△DCE中，
∴
∴
∵
∴
∴
∴①正确
如图2
图2
取AD的中点G，AP的中点M，连接MG，BM，BG
则
∴
∵
∴
∴四边形BGDE为平行四边形
∴
∴B、M、G三点共线
∴
∵AM=MP
∴BG是AP的垂直平分线
∴是等腰三角形
∴BP=AB=AD
∴②正确
由②知：BP=AB
∴∠BAP=∠BPA
又∵
∴∠CDE=∠DAF
又∵
∴
又∵
∴
∴③正确
如图3，延长DE至N，使得EN=PF，连接CN
图3
∵
∴
又∵E、F分别是BC，DC的中点
∴CE=CF
∵在和中
∴
∴CN=CP，
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴PN=PE+NE=PE+PF=
∴④正确
故答案为：D.
【分析】根据正方形性质得出AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB，，证明，推出，求出即可判断①；取AD的中点G，AP的中点M，连接MG，BM，BG，证明BG是AP的垂直平分线，推出是等腰三角形，即可判断②；由②知BP=AB，得到∠BAP=∠BPA，又根据，得到∠CDE=∠DAF，根据得到，就可以得到③正确；延长DE至N，使得EN=PF，证，推出CN=CP，，求出是等腰直角三角形，即可判断④。
二、填空题
9． 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD 上，BE⊥CF于点G，若BC=8，AF=2，则GF的长为　 　.
【答案】5.2
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；十字架模型；余角；等积变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，BC=8，
∴∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC=8，
又∵AF=2，
∴DF=6，
∵BE⊥CF于点G
∴∠BGC=90°，
∴∠CBG+∠BCG=∠BCG+∠DCF=90°，
∴∠CBG=∠DCF，
在△CDF和△BCE中，
∴△CDF≌△BCE(AAS)，
∴CE=DF=6，
∵在Rt△BCE中，BC=8，CE=6，
∴，
∴，
∴
∵△CDF≌△BCE，
∴CF=BE=10，
∴
故答案为：5.2.
【分析】先根据∠BCF的余角相等得∠CBE=∠DCF，再证明△CDF≌△BCE，得CE=DF=6，BE=10，再在△BCE中用等面积法求出CG，由GF=CF-CG便可求得结果.
10． 如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠A+∠B 的度数为　 　.
【答案】90°
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；十字架模型；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
在和 中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴.
故答案为：．
【分析】根据图形得，可证明，　可得，再根据，进一步计算可得的度数．
11． 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE=DF=2，BE与AF 相交于点G，H 为BF 的中点，连结GH，则GH 的长为　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；十字架模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，
在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF(SAS)，
∴∠ABE=∠DAF.
∵∠ABE+∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BEA=90°，
∴∠AGE=∠BGF=90°
∵点H为 BF的中点，
∴.
∵BC=5，CF=CD-DF=5-2=3，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质可得∠BAE=∠D=90°，AB=AD，进而证明△ABE≌△DAF，从而根据全等三角形的性质可得∠ABE=∠DAF，进一步得到∠AGE=∠BGF=90°，从而可知，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.
12．如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；十字架模型
【解析】【解答】解：取AB中点H，连接HG、HC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴
在和中，
∴
∴
∴
∴
∵HG、HC的长不变，
∴当H、G、C在同一条直线上时，CG取得最小值，
在中，
∴CG的最小值为：
故答案为：.
【分析】取AB中点，连接HG、HC，利用"SAS"证明进而得到取AB中点H，则由HG、HC的长不变，则当H、G、C在同一条直线上时，CG取得最小值，进而即可计算出CG的最小值.
13．如图，正方形 边长为 12 ， 将正方形沿 折叠， 使点 落在 边上的点 处， 且 ， 则折痕 的长为　 　
【答案】13
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；十字架模型
【解析】【解答】解：如图，作，连接AE，
由折叠的性质可得，
四边形 是正方形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：13.
【分析】由折叠的性质可得，利用平行线的性质可得BG=MN，利用正方形的性质可得，由余角的性质可得，进而通过ASA判定证得AE=MN，然后通过勾股定理求得AE的长度，即可得到MN的长度.
14．如图，在正方形ABCD中，E是边AB 上的点，连接CE，过点D作 DF⊥CE，分别交 BC，CE于点 F，G.若AB=3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为4：9，则△DCG的面积为　 　，CG+DG的长为　 　.
【答案】；
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；十字架模型
【解析】【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为4：9，AB=3，
∴阴影部分的面积为
∴空白部分的面积为9-4=5，
∵在正方形 ABCD 中，CD=BC，∠DCF=∠CBE=90°，DF⊥CE，
∴ ∠CFD+∠BCE = 90°，
∵ ∠BCE + ∠BEC = 90°，
∴∠CFD=∠BEC，
∴△DCF≌△CBE(AAS)，
∴ S△DCC=
设DG=a(a>0)，CG=b(b>0)，
则
又∵
即 (负值已舍去)，
即
故答案为：；
【分析】先证明△DCF≌△CBE，即可得到S△DCC= S四边形BEGF解题即可；然后根据完全平方公式的变形计算解题.
三、证明题
15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，连结 AE，BF交于点 P，连结 PD.求证：
（1）AE⊥BF；
（2）PD=AB.
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD=CD=AB= BC，∠ABE=∠BCF=90°.
∵E，F分别为边 BC，CD的中点，
∴BE=CF，∴△BAE≌△CBF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF.
∵∠ABP+∠EBP=90°，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴AE⊥BF.
（2）证明：如图，延长AD， PF 交 于点M.
∵AD∥BC，
∴∠DMF=∠CBF.
在△BCF和△MDF中，
∴△BCF≌△MDF，∴BC=DM.
∵AD=BC，∴DM=AD.
由(1)知，∠APM=90°，∴PD=AD.
∵AB=AD，∴PD=AB.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；十字架模型；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)由E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点知CF=BE，证△BAE≌△CBF得∠BAE=∠CBF，根据∠BAE+∠BEA=90°即可得∠CBF+∠BEA=90°，据此即可得证；
(2)延长AD， PF交于点M，证△BCF≌△MDF得BC=DM，再由(1)知，∠APM=90°，进而即可得出结论.
16． 如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点 D，E分别是线段AC，BC上的点，且满足AD=CE，连接 DE，过点 C 作 DE 的垂线，垂足为点 F，交线段AB 于点 G.
求证：
（1）CG=DE；
（2）
【答案】（1）证明：如解图，将△ACG 沿 AC 平移到△DMN的位置，点N在BC上，连接ME，GN，
∴DN∥AG且DN=AG，MN=CG，
∵∠CAB=45°，
∴∠CDN=45°，
∴CD=CN，
∵CG⊥DE，
∴ ∠DCF+∠CDF=90°，
∵∠CMN+∠MNC=90°，
∴∠MNC=∠EDC，
（2）证明：
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；十字架模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）将△ACG 沿 AC 平移到△DMN的位置，点N在BC上，连接ME，GN，证明得到MN=DE解答即可；
（2）根据解直角三角形证明即可.
17． 在正方形 ABCD 中，点 E 在CD 上，点 M，N 分别在AD，BC 上，连结AE，MN 交于点 P.甲小组同学根据 MN⊥AE 画出图形如图①所示，乙小组同学根据MN=AE 画出图形如图②所示.甲小组同学发现已知MN⊥AE 仍能证明MN=AE，乙小组同学发现已知MN=AE 无法证明MN⊥AE 一定成立.
（1）在图①中，已知MN⊥AE 于点 P，求证：MN=AE；
（2）在图②中，若∠DAE=α，则∠APM 的度数为多少
【答案】（1）证明：作 于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形CDMH是矩形，
（2）解：作NL⊥AD于点L，
同理可证四边形CDLN是矩形，
∴CD=LN = AD.
∵AD = LN， AE = MN，
∴△LNM≌△DAE(HL)，
∴∠MNL=∠DAE=α，
∴∠LMN =90°-α，
∴∠APM =∠LMN-∠DAE= 90°-2α.
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；十字架模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）作MH⊥BC于点H， 先证明∠HMN =∠DAE， 然后根据ASA即可证明△HMN≌△DAE即可证明结论成立；
（2）NL⊥AD于点L， 同理可证△LNM≌△DAE(HL)， 从而∠MNL =∠DAE =α， 然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解.
18．如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有2个选项：①AF⊥EG；②AF＝EG．
（1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是______，结论是______（只要填写序号）；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连接AG、EF，直接写出AG+EF的最小值．
【答案】（1）解：选择的条件是①，结论是②．证明如下：
如图1，过点G作GP⊥AB于点P，
∵AF⊥EG，GP⊥AB，
∴∠AEG+∠BAF＝90°，∠AEG+∠PGE＝90°，∠GPB=90°，
∴∠BAF＝∠PGE．
四边形ABCD是正方形，
AB=BC，∠B=∠C=90°，
∴四边形BCGP是矩形，
∴PG=BC=AB，
在△ABF与△GPE中，
，
∴△ABF≌△GPE（ASA），
∴AF＝EG；
故答案为：①，②；
（2）解：①△ABF≌△GPE，
∴，
，
连接AG，在Rt△APG中，；
②.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；十字架模型
【解析】【解答】（2）解：②过点F作FQEG，过点G作GQEF，
则四边形EFQG为平行四边形，
∴GQ＝EF，，
∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，当且仅当A，G，Q三点共线时，AG+EF的值最小，
∵EG＝AF，EG＝FQ，
∴AF＝FQ，
∵AF⊥EG，，
∴AF⊥FQ，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴AG+EF的最小值为．
【分析】（1）选①为条件，②为结论，过点G作GP⊥AB于点P，由直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠BAF＝∠PGE，由正方形的性质得AB=BC，∠B=∠C=90°，从而由“有三个角是直角的四边形是矩形”得四边形BCGP是矩形，由矩形的对边相等得PG=BC=AB，从而由ASA判断出△ABF≌△GPE，由全等三角形的对应边相等得AF=EG；
（2）①由全等三角形的对应边相等可得PE=BF=2，则由线段和差得AP=1，在Rt△APG中，利用勾股定理求AG即可；
②过点F作FQEG，过点G作GQEF，由“有两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得四边形EFQG为平行四边形，由平行四边形的对边相等得GQ=EF，EG=FQ，故AG+EF＝AG+GQ≥AQ，当且仅当A，G，Q三点共线时，AG+EF的值最小；易得AF=FQ，结合平行线的行政科推出△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理算出FQ=AF=，进而再利用勾股定理算出AQ即可得出答案.
（1）解：选择的条件是①，结论是②．证明如下：
如图1，过点G作GP⊥AB，交于点P，
∵AF⊥EG，，
∴∠AEG+∠BAF＝90°，∠AEG+∠PGE＝90°，
∴∠BAF＝∠PGE．
四边形是正方形，
，．
在△ABF与△GPE中，
，
∴△ABF≌△GPE（ASA），
∴AF＝EG．
（2）解：①△ABF≌△GPE，
，
，
．
连接，在Rt△APG中，．
②过点F作FQEG，过点G作GQEF，
则四边形EFQG为平行四边形，
∴GQ＝EF，，
∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ，当且仅当A，G，Q三点共线时，AG+EF的值最小，
∵EG＝AF，EG＝FQ，
∴AF＝FQ，
∵AF⊥EG，，
∴AF⊥FQ，
∴△AFQ是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴AG+EF的最小值为．
1 / 1

展开更多......

收起↑