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第1节　简谐运动
[定位·学习目标]　1.知道什么是机械振动,知道平衡位置和回复力。2.知道什么是弹簧振子。3.知道简谐运动及其特征。
探究新知
知识点一　机械振动
1.机械振动
物理学中,将物体(或物体的某一部分)在某一位置附近的往复运动称为机械振动,简称振动,这个位置称为平衡位置。
2.回复力
在机械振动中,总是指向平衡位置的力称为回复力。
知识点二　简谐运动及其特征
1.简谐运动:物体所受回复力的大小与位移大小成正比,方向总是与位移方向相反的运动。
2.弹簧振子
(1)弹簧振子模型:弹簧振子是一种理想模型。如图所示,弹簧一端固定,另一端连接一个可视为质点的物体,不计弹簧质量,物体置于光滑水平面上,这样构成的振动系统称为弹簧振子。
(2)平衡位置:弹簧为原长时,物体所受合力为 0,处于平衡位置。
(3)回复力与位移关系表达式:F=-kx。
(4)加速度与位移关系表达式a==-x。
(5)从能量角度看,在振动过程中只有弹簧的弹力做功,系统的动能和弹性势能相互转换,机械能守恒。
新知检测
1.思考判断[正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)弹簧振子的平衡位置都在弹簧原长处。(　×　)
(2)简谐运动是非匀变速运动。(　√　)
(3)弹簧振子的运动是简谐运动。(　√　)
(4)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。(　√　)
(5)弹簧振子通过平衡位置时弹簧的弹力一定为零。(　×　)
2.思维探究
(1)如图,枝头上的小鸟飞离枝头时,树枝会怎样运动
(2)简谐运动与匀速运动比较,速度有何不同 如何判断一个物体的运动是不是简谐运动
【答案】 (1)树枝在平衡位置(中心位置)两侧做往复运动。
(2)简谐运动的速度大小、方向都不断变化;只要物体所受回复力的大小与位移大小成正比,方向总是与位移方向相反,则这个物体的运动就是简谐运动。
要点一　对简谐运动的回复力的理解
情境探究　如图所示为弹簧振子的模型,O点为振子的平衡位置,A、O间和B、O间距离都是x,弹簧劲度系数为k。
(1)当振子在A点时所受弹簧的弹力方向如何 大小是多少 在B点呢
(2)弹力的作用是什么
(3)弹力的大小与位移是什么关系
【答案】 (1)当振子在A点时所受弹簧弹力方向由A指向O,大小为kx。在B点,由B指向O,大小为kx。
(2)使振子回到平衡位置。
(3)弹力的大小与位移大小成正比。
要点归纳
1.回复力的性质
回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,是按照力的作用效果来命名的,它可以是一个力,也可以是多个力的合力,还可以由某个力的分力提供。如图甲所示,水平方向的弹簧振子,弹力充当回复力;如图乙所示,竖直方向的弹簧振子,弹力和重力的合力充当回复力;如图丙所示,m随M一起振动,m的回复力由静摩擦力提供。
2.简谐运动的回复力的特点
(1)由F=-kx知,简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比,回复力的方向与位移的方向相反,即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数,系数k由振动系统自身决定。
(3)根据牛顿第二定律得,a==-x,表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小与位移大小成正比,加速度的方向与位移方向相反。
[例1] 如图所示,物体m系在两水平弹簧之间,两弹簧的劲度系数分别为k1和k2,且 k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然伸长状态。今向右拉动物体,然后释放,物体在B、C间振动(不计阻力),O为平衡位置,则下列判断正确的是(　　)
A.物体做简谐运动,OC>OB
B.物体做简谐运动,OCC.回复力F=-kx
D.回复力F=-3kx
【答案】 D
【解析】 以O点为原点,水平向右为x轴正方向,物体在O点右方x处时所受合力F=-(k1x+k2x)=-3kx,因此物体做简谐运动,由对称性可知,OC=OB,故选D。
理解回复力时的两点注意
(1)分析物体做简谐运动的回复力,首先要明确回复力是效果力,是由物体受到的力来充当的,不要认为回复力是物体受到的力。
(2)对于相关联的多个物体,整体法和隔离法在分析简谐运动时,仍然适用。
[针对训练1] (双选)关于回复力,下列说法正确的是(　　)
A.回复力是指物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力
B.回复力是按力的作用效果命名的,它可能由弹力提供,也可能由摩擦力提供
C.振动物体在平衡位置时,其所受回复力不一定为0
D.振动物体在平衡位置时,其所受合力一定为0
【答案】 AB
【解析】 回复力是物体受到的指向平衡位置的力,F=-kx,A正确;回复力是按力的作用效果命名的,由物体受到的某种性质的力来提供,或者由物体所受合力提供,B正确;物体在平衡位置时,回复力为0,但合力不一定为0,C、D错误。
要点二　对弹簧振子和简谐运动动力特征的理解
情境探究
(1)跳橡皮筋是一种很好的健身游戏。如图所示,两个小孩拉住长橡皮筋,一个小孩在中间跳来跳去。橡皮筋的中间常常要扎一块手帕,小孩在跳的时候总要不时地用小腿钩一下橡皮筋,有时还要用脚踩一下橡皮筋,再迅速地跳开,手帕的运动是什么运动呢
(2)如图所示,把一个有孔的小木球装在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球穿在光滑杆上,能够自由滑动,这个系统可称为弹簧振子吗 若将小木球改为同体积的钢球呢 系统能看成弹簧振子的条件是什么
【答案】 (1)手帕和橡皮筋构成了一个橡皮筋振子,手帕的运动是振动。
(2)小球为木球时,系统不能看成弹簧振子;小球为钢球时,系统可看成弹簧振子。系统能否看成弹簧振子需同时满足两个条件:①小球运动过程中不受阻力;②小球质量明显大于弹簧质量。第一种情况不满足条件②。
要点归纳
1.对弹簧振子的理解
(1)理想模型:弹簧振子是一种理想模型,与质点、点电荷等一样,是为研究问题而抓住主要因素、忽略次要因素的一种科学的处理方法。
(2)平衡位置。
①振子静止时的位置;
②在平衡位置时,弹簧不一定处于原长。
2.简谐运动的位移、速度、加速度
(1)位移:从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。
①大小:从平衡位置到振子所在位置的距离。
②方向:从平衡位置指向振子所在位置。
③位移的表示方法:以平衡位置为坐标原点,以振动所在的直线为坐标轴,规定正方向,某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。
(2)速度。
①物理含义:速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上,速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
②特点:如图所示为一简谐运动的模型,振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,则振子在O点速度最大,在A、B两点速度为零。
(3)加速度。
①产生:水平弹簧振子的加速度由弹簧的弹力产生;竖直弹簧振子的加速度由重力与弹力的合力产生。
②大小:不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子,均满足在平衡位置处所受的合力为零,加速度为零;而在最大位移处所受的合力最大,加速度最大。
③方向:总是指向平衡位置。
[例2] (双选)水平方向上的弹簧振子先后运动到同一位置时,下列各物理量相同的是(　　)
A.速度 B.加速度
C.动量 D.位移
【答案】 BD
【解析】 弹簧振子先后运动到同一位置时,速度大小相等,方向可能相同也可能相反,所以速度可能不同,根据p=mv,可知动量也不一定相同,故A、C错误;振子位移是指振子相对平衡位置的位移,从平衡位置指向振子所在的位置,所以通过同一位置时,位移一定相同,根据F=-kx,回复力一定相同,根据F=ma,加速度一定相同,故B、D正确。
弹簧振子的特征
弹簧振子的概念比较抽象,理解时要抓住其主要特征:弹簧质量不计、物体可看作质点、没有摩擦等阻力、振动范围在弹簧的弹性限度内。
[针对训练2] 如图所示,一弹簧振子做简谐运动,下列说法正确的是(　　)
A.若位移为负值,则加速度一定为负值
B.小球通过平衡位置时,速度为零,位移最大
C.小球每次经过平衡位置时,位移相同,速度也一定相同
D.小球每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但位移一定相同
【答案】 D
【解析】 弹簧振子运动过程中,小球只要离开平衡位置,一定会受到指向平衡位置的力,则小球的位移为负值时,受到的力为正值,小球的加速度为正值,故A错误;当小球通过平衡位置时,位移为零,速度最大,故B错误;小球每次通过平衡位置时,速度大小相等,方向不一定相同,但位移相同,故C错误;小球每次通过同一位置时,位移相同,速度大小相等,但速度方向可能相同,也可能不同,故D正确。
要点三　简谐运动中能量的变化规律
情境探究
如图所示的弹簧振子,观察振子从B→O→C→O→B的一个循环。
(1)振子在振动过程中的动能、弹簧的弹性势能有什么变化规律
(2)振子在振动过程中,系统的机械能守恒吗
【答案】 (1)B(C)→O过程动能增大,弹性势能减小,O点动能最大,弹性势能为零;O→C(B)过程动能减小,弹性势能增大,C点(B点)动能为零,弹性势能最大。
(2)振子在振动过程中只有弹力做功,故系统的机械能守恒。
要点归纳
1.振动系统的状态与能量的关系
(1)振子的速度与动能:速度不断变化,动能也在不断变化。
(2)弹簧形变量与弹性势能:弹簧形变量在变化,因而弹性势能也在变化。
2.简谐运动中的能量
振动系统的能量一般指振动系统的机械能。如果不考虑阻力作用,振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处,势能最大,动能为零;在平衡位置处,动能最大,势能最小。
(2)在简谐运动中,振动系统的机械能守恒,在振动的一个周期内,动能和势能间完成两次周期性变化。
(3)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时,具有相等的动能和相等的势能。
3.能量获得
系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。
[例3] 如图甲所示,光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧,弹簧一端固定,另一端连接在小球上,忽略弹簧质量。小球以点O为平衡位置,在A、B两点之间做往复运动,它所受的回复力F随时间t变化的图像如图乙所示,则在2～3 s时间内,振子的动能Ek和弹性势能Ep的变化情况是(　　)
A.Ek变小,Ep变大 B.Ek变大,Ep变小
C.Ek、Ep均变小 D.Ek、Ep均变大
【答案】 B
【解析】 在2～3 s时间内,振子的回复力减小,则振子向平衡位置运动,速度变大,动能Ek变大,弹性势能Ep减小,故B正确,A、C、D错误。
简谐运动中的能量
同一简谐运动中的能量只由振幅决定,即振幅不变时系统能量不变。当位移最大时,系统的势能最大,动能为零;当处于平衡位置时,势能最小,动能最大。这两点是解决此类问题的突破口。
[针对训练3] (双选)沿水平方向振动的弹簧振子在做简谐运动的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.在平衡位置,系统的机械能最大
B.在最大位移处,系统的弹性势能最大
C.从平衡位置向最大位移处运动的过程中,系统的弹性势能增大
D.从最大位移处向平衡位置运动的过程中,系统的机械能减小
【答案】 BC
【解析】 弹簧振子在做简谐运动的过程中机械能守恒,各个位置的机械能相等,故A、D错误;在最大位移处弹簧的形变量最大,系统的弹性势能最大,故B正确;从平衡位置向最大位移处运动的过程中,弹簧的伸长量变大,即系统的弹性势能增大,故C正确。
模型·方法·结论·拓展
弹簧振子
　　弹簧振子是研究一般性振动的基础。与之前学习的质点、点电荷等一样,是一种理想模型。是为了研究问题而抓住主要因素、忽略次要因素的一种科学的处理方法。
[示例] (双选)关于弹簧振子,下列说法正确的是(　　)
A.弹簧振子是研究机械振动的物理模型
B.小球的质量远小于弹簧的质量
C.弹簧的质量不需要很轻
D.弹簧振子运动过程中经过平衡位置时小球速率最大
【答案】 AD
【解析】 弹簧振子是一个理想化模型,它是研究一般性振动的基础,故A正确;弹簧的质量需要很轻,小球的质量远大于弹簧的质量,故B、C错误;弹簧振子中小球在平衡位置所受合力为0,但小球向平衡位置运动时合力指向平衡位置而做加速运动,远离平衡位置时合力也指向平衡位置而做减速运动,可知小球经过平衡位置时速率最大,故D正确。
科学·技术·社会·环境
手机振动原理
　　说到手机振动,其实并不是很稀奇的事,在十几年前,这项技术就已经被广泛应用。在早期,它的主要作用还是体现在提醒方面,避免人们在静音模式下错失重要信息。手机之所以会振动,主要是依靠手机内部的振动器,这个振动器非常小,通常只有几毫米到十几毫米。
　　传统的手机振动器由一个微型的电动机(马达)加上一个凸轮(也叫偏心轮、振动端子等)组成,大部分电动机外部还包有橡胶套,可以起到减振和辅助固定作用,减少它对手机内部硬件的干扰或损坏。
　　手机振动的原理是利用凸轮(偏心装置)在手机内部高速转动,此过程中凸轮会做圆周运动,而凸轮的重心会随着凸轮的转动而不断变化,同时重心位置快速地变动也导致整个马达都在快速地抖动,最终带动手机振动。
[示例] 手机是常用通信工具,当来电话时,可以用振动来提示人们。振动原理是一个微型电动机带动转轴上的叶片转动,当叶片转动后,电动机就跟着振动起来了,从而带动手机振动起来。其中叶片的形状可能是图中的(　　)
　　　
A B C D
【答案】 A
【解析】 当叶片对称分布时,电动机带动它高速转动,不会产生振动;只有叶片非对称分布时,电动机带动它高速转动才会产生振动,A选项正确。
1.对简谐运动的理解,下列说法正确的是(　　)
A.树枝在风的作用下的运动是简谐运动
B.简谐运动是匀变速运动
C.弹簧振子做简谐运动时,振动系统的势能与动能之和保持不变
D.简谐运动的回复力可以是恒力
【答案】 C
【解析】 质点做简谐运动的条件是质点所受的回复力满足F=-kx,显然树枝在风的作用下的运动不是简谐运动,A错误;简谐运动的加速度是不断变化的,不是匀变速运动,选项B错误;弹簧振子做简谐运动时,只有弹力做功,根据机械能守恒条件可知,振动系统的势能与动能之和保持不变,选项C正确。由简谐运动的回复力F=-kx可知,回复力随位移逐渐变化,不是恒力,选项D错误。
2.物体做简谐运动时,下列叙述正确的是(　　)
A.平衡位置就是回复力为零的位置
B.处于平衡位置的物体,物体的速度为零
C.做简谐运动的物体受到的合力与位移大小成正比,方向相反
D.做简谐运动的物体,经过同一位置时,加速度可能不同
【答案】 A
【解析】 平衡位置就是回复力为零的位置,选项A正确;处于平衡位置的物体,速度最大,选项B错误;做简谐运动的物体受到的回复力与位移大小成正比,方向相反,但回复力不一定等于合力,选项C错误;做简谐运动的物体,加速度总与位移大小成正比,方向相反,故每次经过同一位置时,加速度一定相同,选项D错误。
3.如图,为某鱼漂的示意图。当鱼漂静止时,水位恰好在O点。用手将鱼漂往下按,使水位处于M点。松手后,鱼漂会在M、N之间来回移动,其运动类同于弹簧振子。下列说法正确的是(　　)
A.水位由O点到N点过程,鱼漂的位移向下最大
B.水位在O点时,鱼漂的速度最大
C.水位到达M点时,鱼漂具有向下的加速度
D.鱼漂由上往下运动时,速度越来越大
【答案】 B
【解析】 水位由O点到N点过程鱼漂向上运动,位移方向向上且达到最大,故A错误;水位在O点时鱼漂经过平衡位置,所以水位在O点时鱼漂的速度最大,故B正确;水位处于M点时,鱼漂具有向上的加速度,故C错误;鱼漂由上往下运动时,当水位在O点上方时加速度向上,水位在O点下方时加速度向下,即可能加速也可能减速,故D错误。
4.如图所示,一个弹簧振子沿x轴在B、O、C间做简谐运动,O为平衡位置,在振子从B点向O点向右运动过程中,弹簧振子的速度在　 , 弹簧振子的加速度在　　　,弹簧振子的位移在　　　　　　　。(三空均选填“增大”“减小”或“不变”)
【答案】 增大　减小　减小
【解析】 振子从B点向O点向右运动过程中,弹簧的弹性势能减少,振子的动能增加,速度增大;振子的加速度a=-,随着向O点靠近,位移x在减小,振子的加速度减小。
5.如图所示,底面积为S、高为5l的圆柱体浮筒漂浮于平静的水面上,静止时浮筒水面以下部分的长度为3l,已知水的密度为ρ,重力加速度为g,将浮筒竖直往下按压长度x(小于2l)后由静止释放,浮筒开始上下振动,忽略水对浮筒的黏滞阻力和空气阻力。有关浮筒的振动,分析回答以下问题:
(1)由哪些力提供浮筒振动的回复力
(2)试证明浮筒做简谐运动。
【答案】 (1)浮力和重力　(2)见解析
【解析】 (1)浮筒受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力,浮力和重力的合力提供浮筒振动的回复力。
(2)浮筒的平衡位置是原来静止的位置,浮筒漂浮(静止)时有G=F浮,而F浮=ρgS·3l,
以浮筒振动到平衡位置下方情形为例,取向下为正方向,当浮筒位移为x(小于2l)时,受到的浮力大小为F浮′=ρgS(3l+x),
其回复力为F=-F浮′+G,
联立解得F=-ρgSx,
即回复力与位移大小成正比,方向与位移方向相反;同理可证,浮筒振动到平衡位置上方时结果相同,所以浮筒此时做简谐运动。
课时作业
基础巩固
1.小球和弹簧做如下连接,下列说法正确的是(　　)
A.只有甲可以被看成弹簧振子
B.甲、乙都可以看成弹簧振子,丙、丁不可以
C.甲在任何情况下都可以看成弹簧振子
D.在一定条件下,甲、乙、丙、丁都可以看成弹簧振子
【答案】 D
【解析】 只要满足弹簧振子的振动规律的小球和弹簧的组合都可以看成弹簧振子,弹簧振子可以是水平的、竖直的、倾斜的,也可以是多个弹簧和小球的组合体,故A、B、C错误,D正确。
2.(双选)关于简谐运动的回复力,以下说法正确的是(　　)
A.简谐运动的回复力不可能是恒力
B.做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反
C.简谐运动中回复力的公式为F=-kx,其中k是弹簧的劲度系数,x是弹簧的长度
D.做简谐运动的物体每次经过平衡位置时合力一定为零
【答案】 AB
【解析】 根据简谐运动的定义可知,物体做简谐运动时,受到的回复力为F=-kx,k是比例系数,并不一定是弹簧的劲度系数,x是物体相对平衡位置的位移,当物体运动时,x变化,回复力不可能是恒力,故A正确,C错误;回复力方向总是指向平衡位置,与位移方向相反,根据牛顿第二定律,加速度的方向与回复力的方向相同,所以做简谐运动的物体的加速度方向与位移方向总是相反,故B正确;做简谐运动的物体每次经过平衡位置时回复力为零,但是合力不一定为零,故D错误。
3.关于做简谐运动的物体,下列说法正确的是(　　)
A.物体位移的方向总指向平衡位置
B.物体加速度的方向总和位移方向相反
C.物体位移的方向总和速度方向相反
D.物体速度的方向总和位移方向相同
【答案】 B
【解析】 做简谐运动的物体,位移的初始位置是平衡位置,所以简谐运动过程中任一时刻的位移都是背离平衡位置的,故A错误;物体的加速度方向总是指向平衡位置的,故B正确;物体在平衡位置两侧往复运动,速度方向与位移方向有时相同,有时相反,故C、D错误。
4.如图所示,光滑水平面上的弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动,取向左为正方向,则振子从O点运动到B点的过程中(　　)
A.位移不断减小
B.加速度不断减小
C.位移方向与加速度方向始终相同
D.速度减小,弹性势能增大
【答案】 D
【解析】 振子从O→B的运动过程是远离平衡位置,故位移增大,回复力增大,加速度增大,位移方向与加速度方向相反,速度减小,弹性势能增大。故D正确。
5.(双选)如图所示,物体A置于物体B上,一轻质弹簧一端固定,另一端与B相连,在弹性限度范围内,A和B一起在光滑水平面上做往复运动(不计空气阻力),并保持相对静止。则下列说法正确的是(　　)
A.A和B均做简谐运动
B.作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C.B对A的静摩擦力对A始终做正功
D.A、B的加速度不相同
【答案】 AB
【解析】 A和B一起在光滑水平面上做往复运动,回复力F=-kx,故都做简谐运动,故A正确;设弹簧的形变量为x,弹簧的劲度系数为k,A、B的质量分别为M和m,根据牛顿第二定律得到整体的加速度为a=,对A有 f=Ma=M,可见作用在A上的静摩擦力f与弹簧的形变量成正比,故B正确,D错误;当A、B离开平衡位置时,B对A的静摩擦力做负功,当A、B衡位置时,B对A的静摩擦力做正功,故C错误。
6.汽车在凹凸不平的道路上前进,车厢上下振动,若在某段时间内车厢的振动可看作简谐运动,则当车厢振动到哪个位置时,车座对乘客的支持力最小 (　　)
A.振动到最低点时
B.向上振动到经过平衡位置时
C.振动到最高点时
D.向下振动到经过平衡位置时
【答案】 C
【解析】 车做简谐运动,坐在车中的乘客同样也做简谐运动,以乘客为研究对象,在最高点,加速度向下,支持力小于重力;在平衡位置,加速度为零,支持力大小等于重力;在最低点,加速度向上,支持力大于重力,因此振动到最高点时,支持力最小,故选C。
7.如图所示,弹簧下端悬挂一钢球,上端固定,它们组成一个振动的系统。用手把钢球向上托起一段距离,然后释放,钢球便上下振动起来,若以竖直向下为正方向,则钢球的平衡位置为　 ,
钢球振动到距原静止位置下方3 cm处时位移为　　 　cm,此时钢球的加速度方向为　　　　。
【答案】 钢球原来静止时的位置　 3　竖直向上
【解析】 振子的平衡位置为钢球原来静止时的位置,振动中的位移为从平衡位置指向某时刻钢球所在位置的有向线段,以竖直向下为正方向,可知钢球振动到距原静止位置下方 3 cm处时位移为 3 cm,此时钢球的加速度方向为竖直向上。
能力提升
8.(双选)物体做简谐运动的过程中,有P、Q两点关于平衡位置对称。则物体(　　)
A.在两点处的位移相等
B.在两点处的速度可能相同
C.在两点处的加速度可能相同
D.在两点处的动能相同
【答案】 BD
【解析】 位移是矢量,不仅有大小,而且有方向,加速度一定与位移反向,所以在P、Q两点位移、加速度一定不相同,而速度方向有时相同,有时相反,但大小相等,故动能相等,所以B、D正确。
9.(2025·福建龙岩期中)如图所示,一个弹簧振子在M、N之间做简谐运动。O为平衡位置,P、Q是振动过程中关于O对称的两个位置,下列说法正确的是(　　)
A.振子在从M点向N点运动过程中,速度先减小后增大
B.振子在OP间与OQ间的运动时间相等
C.振子运动到P、Q两点时,位移相同
D.振子在从M点向N点运动过程中,加速度先增大后减小
【答案】 B
【解析】 振子在从M点向N点运动过程中,速度先增大后减小,故A错误;由于振子做简谐运动,相对于O点,对称的OP间与OQ间的运动时间相等,故位移等大反向,故B正确,C错误;振子在从M点向N点运动过程中,加速度先减小后增大,故D错误。
10.如图所示,光滑斜面的倾角为θ,劲度系数为k的轻弹簧上端固定在斜面的挡板上,下端固定有质量为m的小球,重力加速度为g。将小球沿斜面上移并使弹簧处于原长状态,然后松开小球,则(　　)
A.小球运动过程中机械能守恒
B.小球在最低点的加速度大小为0
C.弹簧弹力充当小球运动的回复力
D.小球做简谐运动离开平衡位置的最大距离为
【答案】 D
【解析】 小球运动过程中,除重力做功外,还有弹簧的弹力做功,则小球的机械能不守恒,A错误;根据对称性可知,小球在最低点时的加速度等于开始时弹簧处于原长时的加速度,即大小为a=gsin θ,B错误;弹簧弹力与重力沿斜面方向的分量的合力充当小球运动的回复力,C错误;小球的平衡位置满足mgsin θ=kx,可知小球做简谐运动离开平衡位置的最大距离为x=,D正确。
11.如图所示,物体放在轻弹簧上,沿竖直方向在A、B之间做简谐运动,今物体在A、B之间的D点和C点沿DC方向运动(D、C图上未画出)的过程中,弹簧的弹性势能减少了 3.0 J,物体的重力势能增加了1.0 J,则在这段运动过程中(　　)
A.物体经过D点时的运动方向是指向平衡位置的
B.物体的动能增加了4.0 J
C.D点的位置一定在平衡位置以上
D.物体的运动方向可能是向下的
【答案】 A
【解析】 物体放在弹簧上做简谐运动,在最高点一定是弹簧的原长,D→C的过程中,弹性势能减少了3.0 J,而重力势能增加了 1.0 J,则动能增加了 2.0 J,根据功能关系可知,合力对物体做的总功大于重力的功,即初始位置D一定在平衡位置下方且运动方向向上,故A正确,B、C、D错误。
12.如图甲所示,下端附有重物的粗细均匀木棒,在水池中沿竖直方向做简谐运动,已知水的密度为ρ,木棒的横截面积为S,重力加速度大小为g,木棒所受的浮力F随时间变化的图像如图乙所示,下列说法正确的是(　　)
A.水的浮力是木棒做简谐运动的回复力
B.0.25～0.50 s内木棒的加速度逐渐减小
C.木棒的重力为(F1+F2)
D.木棒所受回复力大小与位移大小的比值为ρS
【答案】 C
【解析】 木棒做简谐运动的回复力是水的浮力与木棒所受重力的合力,选项A错误;0.25～0.50 s内木棒所受的浮力减小,且0.25 s时处于平衡位置,即木棒从平衡位置向最高点运动,根据mg-F=ma,可知其加速度逐渐增大,选项B错误;根据简谐运动的对称性,有F1-G=G-F2,则木棒的重力G=(F1+F2),选项C正确;木棒在平衡位置时有mg=ρgx0S,以竖直向下为正方向,在平衡位置以下x位置时回复力F=-ρg(x+x0)S+mg=-ρgSx,则木棒所受回复力大小与位移大小的比值为ρgS,选项D错误。
13.如图所示为一款“玩具弹簧小人”,由头部、弹簧及底部组成,头部质量为m,弹簧质量不计,劲度系数为k,底部质量为,开始时弹簧小人静止于桌面上,现轻压头部后由静止释放,弹簧小人上下振动不停。已知当弹簧形变量为x时,其弹性势能 Ep=kx2,不计一切摩擦和空气阻力,重力加速度为g,弹簧始终在弹性限度内。
(1)若使弹簧小人在振动过程中底部始终不离开桌面,则轻压头部释放时弹簧的压缩量需满足什么条件
(2)若轻压头部释放时弹簧的压缩量为,则弹簧小人在运动过程中头部的最大速度是多大
【答案】 (1)x≤　(2)g
【解析】 (1)设轻压头部释放时弹簧的压缩量为x0,弹簧小人在振动过程中底部恰好不离开桌面,则刚释放时,对弹簧小人头部有kx0-mg=ma,
根据简谐运动的对称性,可知弹簧小人头部在最高点时的加速度大小也为a,方向竖直向下,设此时弹簧弹力为F,有F+mg=ma,
根据平衡条件,此时对底部有F=mg,
联立解得x0=,
则轻压头部释放时弹簧的压缩量需满足
x≤。
(2)刚释放时弹簧的形变量为x1=,
弹簧振子在平衡位置时的速度最大,此时弹簧压缩量为x2=,根据能量守恒定律有
k-k=mg(x1-x2)+m,
解得vmax=g。(共59张PPT)
第1节　简谐
运动
第2章　机械振动
[定位·学习目标]　
1.知道什么是机械振动,知道平衡位置和回复力。2.知道什么是弹簧振子。3.知道简谐运动及其特征。
探究·必备知识
「探究新知」
知识点一　机械振动
1.机械振动
物理学中,将物体(或物体的某一部分)在某一位置附近的 运动称为机械振动,简称振动,这个位置称为平衡位置。
2.回复力
在机械振动中,总是指向 的力称为回复力。
往复
平衡位置
知识点二　简谐运动及其特征
1.简谐运动:物体所受回复力的大小与位移大小成 ,方向总是与位移方向 的运动。
2.弹簧振子
(1)弹簧振子模型:弹簧振子是一种 模型。如图所示,弹簧一端固定,另一端连接一个可视为 的物体,不计弹簧 ,物体置于 水平面上,这样构成的振动系统称为弹簧振子。
正比
相反
理想
质点
质量
光滑
(2)平衡位置:弹簧为原长时,物体所受合力为 ,处于平衡位置。
(3)回复力与位移关系表达式: 。
(5)从能量角度看,在振动过程中只有弹簧的弹力做功,系统的动能和弹性势能相互转换, 守恒。
0
F=-kx
机械能
「新知检测」
1.思考判断[正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)弹簧振子的平衡位置都在弹簧原长处。(　 　)
(2)简谐运动是非匀变速运动。(　 　)
(3)弹簧振子的运动是简谐运动。(　 　)
(4)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。(　 　)
(5)弹簧振子通过平衡位置时弹簧的弹力一定为零。(　 　)
×
√
√
√
×
2.思维探究
(1)如图,枝头上的小鸟飞离枝头时,树枝会怎样运动
【答案】 (1)树枝在平衡位置(中心位置)两侧做往复运动。
(2)简谐运动与匀速运动比较,速度有何不同 如何判断一个物体的运动是不是简谐运动
【答案】 (2)简谐运动的速度大小、方向都不断变化;只要物体所受回复力的大小与位移大小成正比,方向总是与位移方向相反,则这个物体的运动就是简谐运动。
突破·关键能力
要点一　对简谐运动的回复力的理解
「情境探究」
如图所示为弹簧振子的模型,O点为振子的平衡位置,A、O间和B、O间距离都是x,弹簧劲度系数为k。
(1)当振子在A点时所受弹簧的弹力方向如何 大小是多少 在B点呢
【答案】 (1)当振子在A点时所受弹簧弹力方向由A指向O,大小为kx。在B点,由B指向O,大小为kx。
(2)弹力的作用是什么
【答案】 (2)使振子回到平衡位置。
(3)弹力的大小与位移是什么关系
【答案】 (3)弹力的大小与位移大小成正比。
1.回复力的性质
回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,是按照力的作用效果来命名的,它可以是一个力,也可以是多个力的合力,还可以由某个力的分力提供。如图甲所示,水平方向的弹簧振子,弹力充当回复力;如图乙所示,竖直方向的弹簧振子,弹力和重力的合力充当回复力;如图丙所示,m随M一起振动,m的回复力由静摩擦力提供。
「要点归纳」
2.简谐运动的回复力的特点
(1)由F=-kx知,简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比,回复力的方向与位移的方向相反,即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数,系数k由振动系统自身决定。
[例1] 如图所示,物体m系在两水平弹簧之间,两弹簧的劲度系数分别为k1和k2,且 k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然伸长状态。今向右拉动物体,然后释放,物体在B、C间振动(不计阻力),O为平衡位置,则下列判断正确的是
(　　)
A.物体做简谐运动,OC>OB
B.物体做简谐运动,OCC.回复力F=-kx
D.回复力F=-3kx
D
【解析】 以O点为原点,水平向右为x轴正方向,物体在O点右方x处时所受合力F=-(k1x+k2x)=-3kx,因此物体做简谐运动,由对称性可知,
OC=OB,故选D。
理解回复力时的两点注意
(1)分析物体做简谐运动的回复力,首先要明确回复力是效果力,是由物体受到的力来充当的,不要认为回复力是物体受到的力。
(2)对于相关联的多个物体,整体法和隔离法在分析简谐运动时,仍然适用。
·学习笔记·
[针对训练1] (双选)关于回复力,下列说法正确的是(　 　)
A.回复力是指物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力
B.回复力是按力的作用效果命名的,它可能由弹力提供,也可能由摩擦力
提供
C.振动物体在平衡位置时,其所受回复力不一定为0
D.振动物体在平衡位置时,其所受合力一定为0
AB
【解析】 回复力是物体受到的指向平衡位置的力,F=-kx,A正确;回复力是按力的作用效果命名的,由物体受到的某种性质的力来提供,或者由物体所受合力提供,B正确;物体在平衡位置时,回复力为0,但合力不一定为0,C、D错误。
要点二　对弹簧振子和简谐运动动力特征的理解
「情境探究」
(1)跳橡皮筋是一种很好的健身游戏。如图所示,两个小孩拉住长橡皮筋,一个小孩在中间跳来跳去。橡皮筋的中间常常要扎一块手帕,小孩在跳的时候总要不时地用小腿钩一下橡皮筋,有时还要用脚踩一下橡皮筋,再迅速地跳开,手帕的运动是什么运动呢
【答案】 (1)手帕和橡皮筋构成了一个橡皮筋振子,手帕的运动是振动。
(2)如图所示,把一个有孔的小木球装在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球穿在光滑杆上,能够自由滑动,这个系统可称为弹簧振子吗 若将小木球改为同体积的钢球呢 系统能看成弹簧振子的条件是什么
【答案】(2)小球为木球时,系统不能看成弹簧振子;小球为钢球时,系统可看成弹簧振子。系统能否看成弹簧振子需同时满足两个条件:①小球运动过程中不受阻力;②小球质量明显大于弹簧质量。第一种情况不满足条件②。
「要点归纳」
1.对弹簧振子的理解
(1)理想模型:弹簧振子是一种理想模型,与质点、点电荷等一样,是为研究问题而抓住主要因素、忽略次要因素的一种科学的处理方法。
(2)平衡位置。
①振子静止时的位置;
②在平衡位置时,弹簧不一定处于原长。
2.简谐运动的位移、速度、加速度
(1)位移:从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。
①大小:从平衡位置到振子所在位置的距离。
②方向:从平衡位置指向振子所在位置。
③位移的表示方法:以平衡位置为坐标原点,以振动所在的直线为坐标轴,规定正方向,某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。
(2)速度。
①物理含义:速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上,速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。
②特点:如图所示为一简谐运动的模型,振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,则振子在O点速度最大,在A、B两点速度为零。
(3)加速度。
①产生:水平弹簧振子的加速度由弹簧的弹力产生;竖直弹簧振子的加速度由重力与弹力的合力产生。
②大小:不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子,均满足在平衡位置处所受的合力为零,加速度为零;而在最大位移处所受的合力最大,加速度最大。
③方向:总是指向平衡位置。
[例2] (双选)水平方向上的弹簧振子先后运动到同一位置时,下列各物理量相同的是(　 　)
A.速度 B.加速度
C.动量 D.位移
BD
【解析】 弹簧振子先后运动到同一位置时,速度大小相等,方向可能相同也可能相反,所以速度可能不同,根据p=mv,可知动量也不一定相同,故A、C错误;振子位移是指振子相对平衡位置的位移,从平衡位置指向振子所在的位置,所以通过同一位置时,位移一定相同,根据F=-kx,回复力一定相同,根据F=ma,加速度一定相同,故B、D正确。
弹簧振子的特征
弹簧振子的概念比较抽象,理解时要抓住其主要特征:弹簧质量不计、物体可看作质点、没有摩擦等阻力、振动范围在弹簧的弹性限度内。
·学习笔记·
[针对训练2] 如图所示,一弹簧振子做简谐运动,下列说法正确的是(　　)
A.若位移为负值,则加速度一定为负值
B.小球通过平衡位置时,速度为零,位移最大
C.小球每次经过平衡位置时,位移相同,速度也一定相同
D.小球每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但位移一定相同
D
【解析】 弹簧振子运动过程中,小球只要离开平衡位置,一定会受到指向平衡位置的力,则小球的位移为负值时,受到的力为正值,小球的加速度为正值,故A错误;当小球通过平衡位置时,位移为零,速度最大,故B错误;小球每次通过平衡位置时,速度大小相等,方向不一定相同,但位移相同,故C错误;小球每次通过同一位置时,位移相同,速度大小相等,但速度方向可能相同,也可能不同,故D正确。
要点三　简谐运动中能量的变化规律
「情境探究」
如图所示的弹簧振子,观察振子从B→O→C→O→B的一个循环。
(1)振子在振动过程中的动能、弹簧的弹性势能有什么变化规律
【答案】 (1)B(C)→O过程动能增大,弹性势能减小,O点动能最大,弹性势能为零;O→C(B)过程动能减小,弹性势能增大,C点(B点)动能为零,弹性势能最大。
(2)振子在振动过程中,系统的机械能守恒吗
【答案】 (2)振子在振动过程中只有弹力做功,故系统的机械能守恒。
「要点归纳」
1.振动系统的状态与能量的关系
(1)振子的速度与动能:速度不断变化,动能也在不断变化。
(2)弹簧形变量与弹性势能:弹簧形变量在变化,因而弹性势能也在变化。
2.简谐运动中的能量
振动系统的能量一般指振动系统的机械能。如果不考虑阻力作用,振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处,势能最大,动能为零;在平衡位置处,动能最大,势能最小。
(2)在简谐运动中,振动系统的机械能守恒,在振动的一个周期内,动能和势能间完成两次周期性变化。
(3)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时,具有相等的动能和相等的势能。
3.能量获得
系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。
[例3] 如图甲所示,光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧,弹簧一端固定,另一端连接在小球上,忽略弹簧质量。小球以点O为平衡位置,在A、B两点之间做往复运动,它所受的回复力F随时间t变化的图像如图乙所示,则在2～3 s时间内,振子的动能Ek和弹性势能Ep的变化情况是(　　)
A.Ek变小,Ep变大
B.Ek变大,Ep变小
C.Ek、Ep均变小
D.Ek、Ep均变大
B
【解析】 在2～3 s时间内,振子的回复力减小,则振子向平衡位置运动,速度变大,动能Ek变大,弹性势能Ep减小,故B正确,A、C、D错误。
简谐运动中的能量
同一简谐运动中的能量只由振幅决定,即振幅不变时系统能量不变。当位移最大时,系统的势能最大,动能为零;当处于平衡位置时,势能最小,动能最大。这两点是解决此类问题的突破口。
·规律方法·
[针对训练3] (双选)沿水平方向振动的弹簧振子在做简谐运动的过程中,下列说法正确的是(　 　)
A.在平衡位置,系统的机械能最大
B.在最大位移处,系统的弹性势能最大
C.从平衡位置向最大位移处运动的过程中,系统的弹性势能增大
D.从最大位移处向平衡位置运动的过程中,系统的机械能减小
BC
【解析】 弹簧振子在做简谐运动的过程中机械能守恒,各个位置的机械能相等,故A、D错误;在最大位移处弹簧的形变量最大,系统的弹性势能最大,故B正确;从平衡位置向最大位移处运动的过程中,弹簧的伸长量变大,即系统的弹性势能增大,故C正确。
提升·核心素养
「模型·方法·结论·拓展」
弹簧振子
弹簧振子是研究一般性振动的基础。与之前学习的质点、点电荷等一样,是一种理想模型。是为了研究问题而抓住主要因素、忽略次要因素的一种科学的处理方法。
[示例] (双选)关于弹簧振子,下列说法正确的是(　 　)
A.弹簧振子是研究机械振动的物理模型
B.小球的质量远小于弹簧的质量
C.弹簧的质量不需要很轻
D.弹簧振子运动过程中经过平衡位置时小球速率最大
AD
【解析】 弹簧振子是一个理想化模型,它是研究一般性振动的基础,故A正确;弹簧的质量需要很轻,小球的质量远大于弹簧的质量,故B、C错误;弹簧振子中小球在平衡位置所受合力为0,但小球向平衡位置运动时合力指向平衡位置而做加速运动,远离平衡位置时合力也指向平衡位置而做减速运动,可知小球经过平衡位置时速率最大,故D正确。
「科学·技术·社会·环境」
手机振动原理
说到手机振动,其实并不是很稀奇的事,在十几年前,这项技术就已经被广泛应用。在早期,它的主要作用还是体现在提醒方面,避免人们在静音模式下错失重要信息。手机之所以会振动,主要是依靠手机内部的振动器,这个振动器非常小,通常只有几毫米到十几毫米。
传统的手机振动器由一个微型的电动机(马达)加上一个凸轮(也叫偏心轮、振动端子等)组成,大部分电动机外部还包有橡胶套,可以起到减振和辅助固定作用,减少它对手机内部硬件的干扰或损坏。
手机振动的原理是利用凸轮(偏心装置)在手机内部高速转动,此过程中凸轮会做圆周运动,而凸轮的重心会随着凸轮的转动而不断变化,同时重心位置快速地变动也导致整个马达都在快速地抖动,最终带动手机振动。
[示例] 手机是常用通信工具,当来电话时,可以用振动来提示人们。振动原理是一个微型电动机带动转轴上的叶片转动,当叶片转动后,电动机就跟着振动起来了,从而带动手机振动起来。其中叶片的形状可能是图中的(　　)
A
A B C D
【解析】 当叶片对称分布时,电动机带动它高速转动,不会产生振动;只有叶片非对称分布时,电动机带动它高速转动才会产生振动,A选项正确。
检测·学习效果
C
1.对简谐运动的理解,下列说法正确的是(　　)
A.树枝在风的作用下的运动是简谐运动
B.简谐运动是匀变速运动
C.弹簧振子做简谐运动时,振动系统的势能与动能之和保持不变
D.简谐运动的回复力可以是恒力
【解析】 质点做简谐运动的条件是质点所受的回复力满足F=-kx,显然树枝在风的作用下的运动不是简谐运动,A错误;简谐运动的加速度是不断变化的,不是匀变速运动,选项B错误;弹簧振子做简谐运动时,只有弹力做功,根据机械能守恒条件可知,振动系统的势能与动能之和保持不变,选项C正确。由简谐运动的回复力F=-kx可知,回复力随位移逐渐变化,不是恒力,选项D错误。
2.物体做简谐运动时,下列叙述正确的是(　　)
A.平衡位置就是回复力为零的位置
B.处于平衡位置的物体,物体的速度为零
C.做简谐运动的物体受到的合力与位移大小成正比,方向相反
D.做简谐运动的物体,经过同一位置时,加速度可能不同
A
【解析】 平衡位置就是回复力为零的位置,选项A正确;处于平衡位置的物体,速度最大,选项B错误;做简谐运动的物体受到的回复力与位移大小成正比,方向相反,但回复力不一定等于合力,选项C错误;做简谐运动的物体,加速度总与位移大小成正比,方向相反,故每次经过同一位置时,加速度一定相同,选项D错误。
3.如图,为某鱼漂的示意图。当鱼漂静止时,水位恰好在O点。用手将鱼漂往下按,使水位处于M点。松手后,鱼漂会在M、N之间来回移动,其运动类同于弹簧振子。下列说法正确的是(　　)
A.水位由O点到N点过程,鱼漂的位移向下最大
B.水位在O点时,鱼漂的速度最大
C.水位到达M点时,鱼漂具有向下的加速度
D.鱼漂由上往下运动时,速度越来越大
B
【解析】 水位由O点到N点过程鱼漂向上运动,位移方向向上且达到最大,故A错误;水位在O点时鱼漂经过平衡位置,所以水位在O点时鱼漂的速度最大,故B正确;水位处于M点时,鱼漂具有向上的加速度,故C错误;鱼漂由上往下运动时,当水位在O点上方时加速度向上,水位在O点下方时加速度向下,即可能加速也可能减速,故D错误。
4.如图所示,一个弹簧振子沿x轴在B、O、C间做简谐运动,O为平衡位置,在振子从B点向O点向右运动过程中,弹簧振子的速度在　 , 弹簧振子的加速度在　　　,弹簧振子的位移在　　　　　　　。(三空均选填“增大”
“减小”或“不变”)
增大
减小
减小
5.如图所示,底面积为S、高为5l的圆柱体浮筒漂浮于平静的水面上,静止时浮筒水面以下部分的长度为3l,已知水的密度为ρ,重力加速度为g,将浮筒竖直往下按压长度x(小于2l)后由静止释放,浮筒开始上下振动,忽略水对浮筒的黏滞阻力和空气阻力。有关浮筒的振动,分析回答以下问题:
(1)由哪些力提供浮筒振动的回复力
【答案】 (1)浮力和重力
【解析】 (1)浮筒受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力,浮力和重力的合力提供浮筒振动的回复力。
(2)试证明浮筒做简谐运动。
【答案及解析】 (2)浮筒的平衡位置是原来静止的位置,浮筒漂浮(静止)时有G=F浮,而F浮=ρgS·3l,
以浮筒振动到平衡位置下方情形为例,取向下为正方向,当浮筒位移为x(小于2l)时,受到的浮力大小为F浮′=ρgS(3l+x),
其回复力为F=-F浮′+G,
联立解得F=-ρgSx,
即回复力与位移大小成正比,方向与位移方向相反;同理可证,浮筒振动到平衡位置上方时结果相同,所以浮筒此时做简谐运动。
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