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第2节　振动的描述
[定位·学习目标]　
1.知道什么是振幅、周期、频率和相位,知道全振动的含义。2.掌握周期和频率的关系。3.理解简谐运动的表达式,知道其中各物理量的意义。
4.知道简谐运动的位移—时间图像的物理意义,知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线。
探究·必备知识
「探究新知」
知识点一　振动特征的描述
1.振幅
振动物体离开平衡位置的 距离,叫作振动的振幅。用字母A表示。
2.全振动(如图所示)
类似于O →B→O→C→O的一个 的振动过程称为一次全振动。
最大
完整
3.周期
(1)定义:做简谐运动的物体完成 所经历的时间。用T表示。
(2)单位:国际单位是 。
4.频率
(1)定义:在一段时间内,物体完成全振动的 与这段时间之比称为频率,用f表示。
(2)单位: 。
一次全振动
秒(s)
次数
赫兹(Hz)
(3)T和f的关系:T= 。
知识点二　简谐运动的位移图像
1.坐标系的建立
建立平面直角坐标系,以横坐标表示 ,以纵坐标表示弹簧振子相对于平衡位置的 。如图所示。
时间
位移
2.简谐运动的振动图像
是一条 (或 )曲线。
3.物理意义
表示振动物体的 随 的变化规律。
正弦
余弦
位移
时间
知识点三　简谐运动的位移公式
1.以平衡位置为坐标原点,用x代表振动物体偏离平衡位置的位移,以物体沿x轴正方向运动至平衡位置的时刻作为计时零点,可知物体的位移x与时间t之间的关系表达式为x= 。
2.角速度ω常被称为简谐运动的圆频率。它与周期的关系为ω= 。
Asin ωt
「新知检测」
1.思考判断[正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移,它是矢量。(　 　)
(2)做简谐运动的物体,振幅增加,其周期必然增加。(　 　)
(3)振动物体从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。
(　 　)
×
×
×
(4)振动物体完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。(　 　)
(5)只要质点的位移随时间按正弦规律变化,这个质点的运动就是简谐运动。
(　 　)
(6)做简谐运动的物体,其位移随时间做周期性变化。(　 　)
√
√
√
2.思维探究
【答案】 (1)在判断是否为一次全振动时不仅要看是否回到了原位置,而且到达该位置的振动状态(速度)也必须相同,才能说完成了一次全振动。只有物体振动状态再次恢复到与起始时刻完全相同时,物体才完成一次全振动。
(1)如何判断振动物体完成了一次全振动
(2)如图所示,振子在A、B间振动,O为平衡位置。若另一次振动中振幅减小,周期也减小吗
【答案】 (2)周期不减小,振动的周期决定于振动系统本身,与振幅无关。
突破·关键能力
要点一　描述简谐运动的物理量
「情境探究」
如图所示为理想弹簧振子,O点为它的平衡位置,其中A、A′点关于O点对称。
(1)小球从某一时刻经过O点开始计时,至下一次再经过O点的时间为一个周期吗
【答案】 (1)不是,下一次再经过O点的时间为半个周期。经过一个周期小球一定从同一方向经过O点,即经过一个周期,位移、速度均第一次与初始时刻相同。
(2)先后将小球拉到A点和B点由静止释放,两种情况下振子振动的周期相同吗 振子完成一次全振动通过的位移相同吗 路程相同吗
【答案】 (2)周期相同,振动的周期决定于振动系统本身,与振幅无关;位移相同,均为零;路程不相同,一个周期内振动物体通过的路程与振幅有关。
(3)小球完成一次全振动的路程与振幅之间存在怎样的关系
【答案】 (3)路程等于4倍的振幅。
1.振幅与位移、路程、周期的关系
(1)振幅与位移:振动物体的位移是矢量,振幅是标量。在数值上,振幅与振动物体的最大位移相等,在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化。
(2)振幅与路程:振动物体的路程是标量,是随时间不断增大的。一个周期内的路程为4倍振幅,半个周期内的路程为2倍振幅。
(3)振幅与周期:在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。
「要点归纳」
2.对全振动的理解
(1)全振动的定义:振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程,叫作一次全振动。
(2)正确理解全振动的概念,还应注意把握全振动的四个特征。
①物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态
相同。
②时间特征:历时一个周期。
③路程特征:振幅的4倍。
④相位特征:增加2π。
[例1] 如图所示,将弹簧振子从平衡位置O下拉一段距离Δx,释放后振子在A、B间振动,且AB=20 cm,振子由A首次到B的时间为0.1 s,求:
(1)振子振动的振幅、周期和频率;
【答案】 (1)10 cm　0.2 s　5 Hz　
(2)振子由A首次到O的时间;
【答案】 (2)0.05 s
【解析】(2)振子做简谐运动,由A首次到O的时间与振子由O首次到B的时间相等,均为0.05 s。
(3)振子释放后5 s内通过的路程及5 s末的位移大小。
【答案】 (3)1 000 cm　10 cm
【解析】 (3)由于弹簧振子的振幅A=10 cm。振子在1个周期内通过的路程为4A,而t=5 s=25T,
则振子5 s内通过的路程s=4×10×25 cm=1 000 cm。
5 s内振子完成了25个全振动,故5 s末振子处在A点,所以位移大小为10 cm。
路程与振幅的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅。
(2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅。
·学习笔记·
[针对训练1] 弹簧振子在BC间做简谐运动,O为平衡位置,BC间距离为10 cm,由B→C运动时间为1 s,则(　　)
A.从B开始经过0.25 s,振子通过的路程是 2.5 cm
B.经过两次全振动,振子通过的路程为80 cm
C.该振子任意1 s内通过的路程都一定是10 cm
D.振动周期为2 s,振幅为10 cm
C
要点二　简谐运动的位移图像
「情境探究」
甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x-t图像。
如图所示,取一张白纸,在正中间画一条直线OO′,将白纸平铺在桌面上,甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向上下振动画线,乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸。
(1)白纸不动时,甲同学画出的轨迹是怎样的
【答案】 (1)是一条垂直于OO′的线段。
(2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时,甲同学画出的轨迹又是怎样的
【答案】 (2)轨迹如图所示,类似于正弦曲线。
(3)沿O′O方向与垂直O′O方向分别建立坐标轴,两坐标轴可表示什么物理量 图线上点的坐标表示什么 用什么方法判断上述图像是否为正弦曲线
【答案】 (3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以O′为出发点,也可以说是位移坐标轴),沿O′O方向的轴为时间轴t;图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以O′为出发点)或位置;一种方法是将图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验,另一种是将图上多个点的坐标值输入计算机并作出这条曲线,看是否符合正弦函数的表达式。
「要点归纳」
1.对x-t图像的理解
x-t图像上的x坐标表示振动质点相对平衡位置的位移,也表示振动质点的位置坐标。它反映了振动质点位移随时间变化的规律。(注意:x-t图像不是振动质点的运动轨迹)
2.图像的应用
(1)可直接读出质点在不同时刻的位移值。位于t轴上方的x值表示位移为正,位于t轴下方的x值表示位移为负,如图甲所示。
(2)判断任意时刻质点的振动方向。根据下一相邻时刻质点的位置,如图乙中a点,下一相邻时刻质点离平衡位置更远,故a点此刻向x轴正方向运动。
(3)判断速度的方向和大小变化情况。根据图像上某点切线的斜率判断,图像上某点切线斜率的大小表示速度大小,斜率的正负表示运动的方向。在平衡位置,切线斜率最大,质点速度最大;在最大位移处,切线斜率为零,质点速度为0。在从平衡位置向最大位移处运动的过程中,速度减小;在从最大位移处向平衡位置运动的过程中,速度增大。
(1)在图中作出该振子的位移—时间图像;
(2)写出振子的振动方程。
【答案】(2)y=-10sin 10πt cm
[针对训练2] (双选)如图所示为某物体做简谐运动的位移图像,下列说法正确的是(　 　)
A.P→Q,位移在增大
B.P→Q,速度在增大
C.M→N,位移先减小后增大
D.M→N,位移始终减小
AC
【解析】 P→Q过程中,物体远离平衡位置向正方向运动,故位移增大,速度减小,故A正确,B错误;M→N过程中,物体经过平衡位置向负方向运动,且N点在平衡位置另一侧,故M→N过程中位移先减小后增大,C正确,D错误。
要点三　简谐运动的表达式
「情境探究」
(1)如图是弹簧振子做简谐运动的x-t图像,它是一条正弦曲线,请根据数学知识用图中符号写出此图像的函数表达式,并说明各量的物理意义。
【答案】(2)它们的振幅分别为3a和9a,比值为1∶3;频率分别为2b和4b。
「要点归纳」
2.简谐运动两种描述方法的比较
(1)简谐运动图像即x-t图像是描述质点振动情况的一种方法,直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律。
(3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的。我们能够根据位移表达式作出振动图像,或根据振动图像读出振幅、周期、初相位,进而写出位移表达式。
[例3] 如图所示为一弹簧振子的振动图像,试回答以下问题。
(1)该振子简谐运动的位移表达式为 　　　　　　。
(2)该振子在第100 s时的位移为　　　cm,该振子在前101 s内的路程为
　　　　cm。
0
505
C
提升·核心素养
「模型·方法·结论·拓展」
简谐运动的周期性和对称性
1.简谐运动的周期性
简谐运动是一种周而复始的周期性的运动,按其周期性可做如下判断:
(1)若t2-t1=nT(n=1,2,3,…),则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况
相同。
2.简谐运动的对称性
(1)时间的对称。
①物体来回通过相同的两点所用时间相等,即 tDB=tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段所用时间相等,图中tOB=tBO=tOA=tAO,tOD=tDO=tOC=tCO。
(2)速度的对称。
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。
(3)位移的对称。
①物体经过同一点(如C点)时,位移相等。
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时,位移大小相等,方向相反。
[示例] 物体做简谐运动,通过A点时的速度为v,经过1 s后物体第一次以相同速度v通过B点,再经过1 s物体紧接着又通过B点,已知物体在2 s内所走过的总路程为12 cm,则该简谐运动的周期和振幅分别是多大
【解析】 物体通过A点和B点时的速度相同,A、B两点一定关于平衡位置O对称。依题意作出物体的振动路径图如图甲、乙所示,在图甲中物体从A向右运动到B,即图甲中从1运动到2,时间为1 s,从2运动到3,又经过1 s,从1到3共经历了0.5T,即0.5T=2 s,T=4 s,总路程为2A=12 cm,A=6 cm。
「科学·技术·社会·环境」
千岛湖
千岛湖(新安江水库),位于浙江省杭州市淳安县内,小部分连接建德市西北,是为建新安江水电站拦蓄新安江下游而成的人工湖,1955年始建,1960年建成。水库坝高105米,长462米;水库长约150千米,最宽处达10余千米;最深处达100余米,平均水深30.44米,在正常水位情况下,面积约 580平方千米,蓄水量可达178亿立方米,在最高水位时拥有1 078座大于0.25平方千米的陆桥岛屿,并以2平方千米以下的小岛为主,岛屿面积共409平方千米。
千岛湖湖水在我国大江大湖中位居优质水之首,为国家一级水体,不经任何处理即达饮用水标准,被誉为“天下第一秀水”。1984年12月15日浙江省地名委员会正式将新安江水库命名为“千岛湖”。
[示例] 一名游客在湖边欲乘坐游船,当日风浪很大,游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为 20 cm,周期为 3.0 s。当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时,游客能舒服地登船。现在以游船刚好上升到甲板与码头地面平齐为计时起点。求:
(1)游船做简谐运动的位移时间表达式;
(2)在一个周期内,游客能舒适地登船的时间。
【答案】 (2)1.0 s
【解析】(2)画出x-t图像,如图所示,能舒服登船的时间Δt= t2-t1,在一个周期内,当x=10 cm时,代入表达式,解得t1=0.25 s,t2=1.25 s,
则Δt=t2-t1=1.25 s-0.25 s=1.0 s。
检测·学习效果
1.如图甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,在C、D两点之间做简谐运动,O点为平衡位置。振子到达D点时开始计时,以竖直向上为正方向,一个周期内的振动图像如图乙所示,下列说法正确的是(　　)
A.振子在C、D两点时速度和位移均为0
B.振子通过O点时速度方向发生改变
C.t=0.3 s时,振子的速度方向向下
D.t=0.5 s到t=1.5 s的时间内,振子的加速度先增大后减小
D
【解析】 弹簧振子在C、D两点之间做简谐运动,所以振子在C、D两点时速度为0,位移大小为振幅的大小,故A错误。由于位移—时间图像的斜率的正负代表速度的方向,振子通过O点时,图线斜率的正负不变,即速度方向不变;在t=0.3 s时,振子的速度方向向上,故B、C错误。由题图乙可知,在0.5～1.5 s的时间内,振子的正向位移先增大后减小,根据F=-kx,结合牛顿第二定律可知,振子的加速度先增大后减小,D正确。
BD
3.(双选)如图甲所示,水平光滑杆上有一弹簧振子,振子以O点为平衡位置,在a、b两点之间做简谐运动,其振动图像如图乙所示,由振动图像可知(　 　)
A.从t1到t2,振子正从O点向a点运动
B.在t2时刻,振子的位置在b点
C.在t1时刻,振子的速度为零
D.振子的振动周期为2t1
BD
甲 乙
【解析】 从t1到t2,振子正从O点向b点运动,故A错误;在t2时刻,振子的位置在b点,故B正确;在t1时刻,振子的速度达到最大值,故C错误;振子的振动周期为2t1,故D正确。
4.(双选)一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列说法正确的是(　 　)
A.在任意1 s内质点经过的路程都是2 cm
B.在5 s末,质点的速度为零
C.t=1.5 s和t=2.5 s两个时刻质点的位移和速度方向都相反
BD
5.(双选)一个质点在平衡位置O附近做简谐运动,质点通过A点时的速度为v,经0.5 s后质点第一次以速度v通过B点,再经0.5 s质点紧接着又通过B点。已知质点在这1 s内走的总路程为30 cm,则下列说法正确的是(　 　)
A.质点的振动周期可能为2 s
B.质点的振动周期可能为3 s
C.该简谐运动的振幅可能为15 cm
D.该简谐运动的振幅可能为10 cm
AC
感谢观看第2节　振动的描述
[定位·学习目标]　1.知道什么是振幅、周期、频率和相位,知道全振动的含义。2.掌握周期和频率的关系。3.理解简谐运动的表达式,知道其中各物理量的意义。4.知道简谐运动的位移—时间图像的物理意义,知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线。
探究新知
知识点一　振动特征的描述
1.振幅
振动物体离开平衡位置的最大距离,叫作振动的振幅。用字母A表示。
2.全振动(如图所示)
类似于O →B→O→C→O的一个完整的振动过程称为一次全振动。
3.周期
(1)定义:做简谐运动的物体完成一次全振动所经历的时间。用T表示。
(2)单位:国际单位是秒(s)。
4.频率
(1)定义:在一段时间内,物体完成全振动的次数与这段时间之比称为频率,用f表示。
(2)单位:赫兹(Hz)。
(3)T和f的关系:T=。
知识点二　简谐运动的位移图像
1.坐标系的建立
建立平面直角坐标系,以横坐标表示时间,以纵坐标表示弹簧振子相对于平衡位置的位移。如图所示。
2.简谐运动的振动图像
是一条正弦(或余弦)曲线。
3.物理意义
表示振动物体的位移随时间的变化规律。
知识点三　简谐运动的位移公式
1.以平衡位置为坐标原点,用x代表振动物体偏离平衡位置的位移,以物体沿x轴正方向运动至平衡位置的时刻作为计时零点,可知物体的位移x与时间t之间的关系表达式为x=Asin ωt。
2.角速度ω常被称为简谐运动的圆频率。它与周期的关系为ω=。
新知检测
1.思考判断[正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移,它是矢量。(　×　)
(2)做简谐运动的物体,振幅增加,其周期必然增加。(　×　)
(3)振动物体从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。(　×　)
(4)振动物体完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。(　√　)
(5)只要质点的位移随时间按正弦规律变化,这个质点的运动就是简谐运动。(　√　)
(6)做简谐运动的物体,其位移随时间做周期性变化。(　√　)
2.思维探究
(1)如何判断振动物体完成了一次全振动
(2)如图所示,振子在A、B间振动,O为平衡位置。若另一次振动中振幅减小,周期也减小吗
【答案】 (1)在判断是否为一次全振动时不仅要看是否回到了原位置,而且到达该位置的振动状态(速度)也必须相同,才能说完成了一次全振动。只有物体振动状态再次恢复到与起始时刻完全相同时,物体才完成一次全振动。
(2)周期不减小,振动的周期决定于振动系统本身,与振幅无关。
要点一　描述简谐运动的物理量
情境探究
如图所示为理想弹簧振子,O点为它的平衡位置,其中A、A′点关于O点对称。
(1)小球从某一时刻经过O点开始计时,至下一次再经过O点的时间为一个周期吗
(2)先后将小球拉到A点和B点由静止释放,两种情况下振子振动的周期相同吗 振子完成一次全振动通过的位移相同吗 路程相同吗
(3)小球完成一次全振动的路程与振幅之间存在怎样的关系
【答案】 (1)不是,下一次再经过O点的时间为半个周期。经过一个周期小球一定从同一方向经过O点,即经过一个周期,位移、速度均第一次与初始时刻相同。
(2)周期相同,振动的周期决定于振动系统本身,与振幅无关;位移相同,均为零;路程不相同,一个周期内振动物体通过的路程与振幅有关。
(3)路程等于4倍的振幅。
要点归纳
1.振幅与位移、路程、周期的关系
(1)振幅与位移:振动物体的位移是矢量,振幅是标量。在数值上,振幅与振动物体的最大位移相等,在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化。
(2)振幅与路程:振动物体的路程是标量,是随时间不断增大的。一个周期内的路程为4倍振幅,半个周期内的路程为2倍振幅。
(3)振幅与周期:在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。
2.对全振动的理解
(1)全振动的定义:振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程,叫作一次全振动。
(2)正确理解全振动的概念,还应注意把握全振动的四个特征。
①物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
②时间特征:历时一个周期。
③路程特征:振幅的4倍。
④相位特征:增加2π。
[例1] 如图所示,将弹簧振子从平衡位置O下拉一段距离Δx,释放后振子在A、B间振动,且AB=20 cm,振子由A首次到B的时间为0.1 s,求:
(1)振子振动的振幅、周期和频率;
(2)振子由A首次到O的时间;
(3)振子释放后5 s内通过的路程及5 s末的位移大小。
【答案】 (1)10 cm　0.2 s　5 Hz　(2)0.05 s
(3)1 000 cm　10 cm
【解析】 (1)振子在A、B间振动,A、B间距离为振幅的二倍,可知振子振动的振幅为A=10 cm,
振子由A首次到B的时间为,
即=0.1 s。
则T=0.2 s。
根据关系式f=得f=5 Hz。
(2)振子做简谐运动,由A首次到O的时间与振子由O首次到B的时间相等,均为0.05 s。
(3)由于弹簧振子的振幅A=10 cm。振子在1个周期内通过的路程为4A,而t=5 s=25T,
则振子5 s内通过的路程s=4×10×25 cm=1 000 cm。
5 s内振子完成了25个全振动,故5 s末振子处在A点,所以位移大小为10 cm。
路程与振幅的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅。
(2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅。
(3)振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅。只有当个周期的初时刻,振动物体在平衡位置或最大位移处,该个周期内的路程才等于一个振幅。
[针对训练1] 弹簧振子在BC间做简谐运动,O为平衡位置,BC间距离为10 cm,由B→C运动时间为1 s,则(　　)
A.从B开始经过0.25 s,振子通过的路程是 2.5 cm
B.经过两次全振动,振子通过的路程为80 cm
C.该振子任意1 s内通过的路程都一定是10 cm
D.振动周期为2 s,振幅为10 cm
【答案】 C
【解析】 由B→C运动时间为1 s,则周期T=2 s,从B开始经过0.25 s=,振子通过的路程小于2.5 cm,选项A错误;一次全振动振子通过的路程为20 cm,则经过两次全振动,振子通过的路程为40 cm,选项B错误;由运动的对称性可知,该振子任意1 s内通过的路程都一定是10 cm,选项C正确;振动周期为2 s,振幅为 5 cm,选项D错误。
要点二　简谐运动的位移图像
情境探究
　甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的xt图像。
如图所示,取一张白纸,在正中间画一条直线OO′,将白纸平铺在桌面上,甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向上下振动画线,乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸。
(1)白纸不动时,甲同学画出的轨迹是怎样的
(2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时,甲同学画出的轨迹又是怎样的
(3)沿O′O方向与垂直O′O方向分别建立坐标轴,两坐标轴可表示什么物理量 图线上点的坐标表示什么 用什么方法判断上述图像是否为正弦曲线
【答案】 (1)是一条垂直于OO′的线段。
(2)轨迹如图所示,类似于正弦曲线。
(3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以O′为出发点,也可以说是位移坐标轴),沿O′O方向的轴为时间轴t;图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以O′为出发点)或位置;一种方法是将图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验,另一种是将图上多个点的坐标值输入计算机并作出这条曲线,看是否符合正弦函数的表达式。
要点归纳
1.对xt图像的理解
xt图像上的x坐标表示振动质点相对平衡位置的位移,也表示振动质点的位置坐标。它反映了振动质点位移随时间变化的规律。(注意:xt图像不是振动质点的运动轨迹)
2.图像的应用
(1)可直接读出质点在不同时刻的位移值。位于t轴上方的x值表示位移为正,位于t轴下方的x值表示位移为负,如图甲所示。
(2)判断任意时刻质点的振动方向。根据下一相邻时刻质点的位置,如图乙中a点,下一相邻时刻质点离平衡位置更远,故a点此刻向x轴正方向运动。
(3)判断速度的方向和大小变化情况。根据图像上某点切线的斜率判断,图像上某点切线斜率的大小表示速度大小,斜率的正负表示运动的方向。在平衡位置,切线斜率最大,质点速度最大;在最大位移处,切线斜率为零,质点速度为0。在从平衡位置向最大位移处运动的过程中,速度减小;在从最大位移处向平衡位置运动的过程中,速度增大。
[例2] 有一弹簧振子在B、C之间做简谐运动,已知B、C间的距离为20 cm,振子在2 s内完成了 10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t=0),经过周期振子有负向最大位移。
(1)在图中作出该振子的位移—时间图像;
(2)写出振子的振动方程。
【答案】 (1)图见解析
(2)y=-10sin 10πt cm
【解析】 (1)由于弹簧振子在B、C间运动,则弹簧振子的振幅A=BC=10 cm,
弹簧振子的周期T= s=0.2 s,
该振子从平衡位置开始计时,经周期到负向最大位置,可知开始时振子向y轴负方向运动,则振子的位移—时间图像如图所示。
(2)由ω=得ω=10π rad/s,可知振子在任意时刻t的位移为y=-Asin ωt=-10sin 10πt cm。
[针对训练2] (双选)如图所示为某物体做简谐运动的位移图像,下列说法正确的是(　　)
A.P→Q,位移在增大
B.P→Q,速度在增大
C.M→N,位移先减小后增大
D.M→N,位移始终减小
【答案】 AC
【解析】 P→Q过程中,物体远离平衡位置向正方向运动,故位移增大,速度减小,故A正确,B错误;M→N过程中,物体经过平衡位置向负方向运动,且N点在平衡位置另一侧,故M→N过程中位移先减小后增大,C正确,D错误。
要点三　简谐运动的表达式
情境探究
(1)如图是弹簧振子做简谐运动的xt图像,它是一条正弦曲线,请根据数学知识用图中符号写出此图像的函数表达式,并说明各量的物理意义。
(2)有两个简谐运动:x1=3asin(4πbt+)和 x2=9asin(8πbt+),它们的振幅之比是多少 频率各是多少
【答案】 (1)表达式x=Asin t,式中A表示振幅,T表示周期。
(2)它们的振幅分别为3a和9a,比值为1∶3;频率分别为2b和4b。
要点归纳
1.对表达式x=Asin(ωt+0)的理解
(1)由于ω==2πf,所以表达式也可写为x=Asin(t+0)或x=Asin(2πft+0)。
(2)相位ωt+0表示质点在t时刻所处的一个状态。
(3)若两个简谐运动的表达式分别为x1=A1sin(ωt+1),x2=A2sin(ωt+2),则相位差为Δ=2-1。
当Δ=0时,两振动质点振动步调一致。
当Δ=π时,两振动质点振动步调完全相反。
2.简谐运动两种描述方法的比较
(1)简谐运动图像即xt图像是描述质点振动情况的一种方法,直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律。
(2)x=Asin(ωt+0)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况。
(3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的。我们能够根据位移表达式作出振动图像,或根据振动图像读出振幅、周期、初相位,进而写出位移表达式。
[例3] 如图所示为一弹簧振子的振动图像,试回答以下问题。
(1)该振子简谐运动的位移表达式为 　　　　　　。
(2)该振子在第100 s时的位移为　　　cm,该振子在前101 s内的路程为　　　　cm。
【答案】 (1)x=5sint cm　(2)0　505
【解析】 (1)由题图可知,振幅A=5 cm,周期T=4 s,则有ω== rad/s,则振子简谐运动的位移表达式为x=5sint cm。
(2)当t=100 s时,
位移为x=5sin(×100) cm=0。
振子经过一个周期位移为零,
路程为5×4 cm=20 cm,
前101 s是T,
则路程为s=20× cm=505 cm。
[针对训练3] 如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距 20 cm。振子运动到B点时开始计时,t=0.5 s时振子第一次到达C点。若弹簧振子偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足x=Asin(t+0),则下列说法正确的是(　　)
A.周期T=0.5 s
B.振幅A=20 cm
C.0=
D.t=0.125 s时,振子的位移为5 cm
【答案】 C
【解析】 振子运动到B点时开始计时,t=0.5 s时振子第一次到达C点,历时半个周期,故周期为T=2t=1 s,故A错误;振幅为偏离平衡位置的最大距离,故振幅为A=10 cm,故B错误;t=0时刻,x=A,代入题中位移表达式可得0=,故C正确;位移表达式为x=10sin(2πt+)cm,将 t=0.125 s 代入可得,振子的位移为 5 cm,故D错误。
模型·方法·结论·拓展
简谐运动的周期性和对称性
1.简谐运动的周期性
简谐运动是一种周而复始的周期性的运动,按其周期性可做如下判断:
(1)若t2-t1=nT(n=1,2,3,…),则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同。
(2)若t2-t1=nT+T(n=1,2,3,…),则t1、t2两时刻,描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等,方向相反。
(3)若t2-t1=nT+T或t2-t1=nT+T(n=1,2,3,…),则当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大位移处;若t1时刻物体在其他位置,t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。
2.简谐运动的对称性
(1)时间的对称。
①物体来回通过相同的两点所用时间相等,即 tDB=tBD。
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段所用时间相等,图中tOB=tBO=tOA=tAO,tOD=tDO=tOC=tCO。
(2)速度的对称。
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反。
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。
(3)位移的对称。
①物体经过同一点(如C点)时,位移相等。
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时,位移大小相等,方向相反。
[示例] 物体做简谐运动,通过A点时的速度为v,经过1 s后物体第一次以相同速度v通过B点,再经过1 s物体紧接着又通过B点,已知物体在2 s内所走过的总路程为12 cm,则该简谐运动的周期和振幅分别是多大
【答案】 T=4 s,A=6 cm或T= s,A=2 cm
【解析】 物体通过A点和B点时的速度相同,A、B两点一定关于平衡位置O对称。依题意作出物体的振动路径图如图甲、乙所示,在图甲中物体从A向右运动到B,即图甲中从1运动到2,时间为1 s,从2运动到3,又经过1 s,从1到3共经历了0.5T,即0.5T=2 s,T=4 s,总路程为2A=12 cm,A=6 cm。
在图乙中,物体从A先向左运动,当物体第一次以相同的速度通过B点时,即图乙中从1运动到2时,时间为 1 s,从2运动到3,又经过1 s,同样A、B两点关于O点对称,从图乙中可以看出从1运动到3共经历了1.5T,即1.5T=2 s,T= s,总路程为1.5×4A=12 cm,A=2 cm。
科学·技术·社会·环境
千岛湖
　　千岛湖(新安江水库),位于浙江省杭州市淳安县内,小部分连接建德市西北,是为建新安江水电站拦蓄新安江下游而成的人工湖,1955年始建,1960年建成。水库坝高105米,长462米;水库长约150千米,最宽处达10余千米;最深处达100余米,平均水深30.44米,在正常水位情况下,面积约 580平方千米,蓄水量可达178亿立方米,在最高水位时拥有1 078座大于0.25平方千米的陆桥岛屿,并以2平方千米以下的小岛为主,岛屿面积共409平方千米。
　　千岛湖湖水在我国大江大湖中位居优质水之首,为国家一级水体,不经任何处理即达饮用水标准,被誉为“天下第一秀水”。1984年12月15日浙江省地名委员会正式将新安江水库命名为“千岛湖”。
[示例] 一名游客在湖边欲乘坐游船,当日风浪很大,游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为 20 cm,周期为 3.0 s。当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时,游客能舒服地登船。现在以游船刚好上升到甲板与码头地面平齐为计时起点。求:
(1)游船做简谐运动的位移时间表达式;
(2)在一个周期内,游客能舒适地登船的时间。
【答案】 (1)x=20sin t cm　(2)1.0 s
【解析】 (1)由题中所给条件知,游船做简谐运动的位移时间表达式为x=20sint cm=
20sin t cm。
(2)画出xt图像,如图所示,能舒服登船的时间Δt= t2-t1,在一个周期内,当x=10 cm时,代入表达式,解得t1=0.25 s,t2=1.25 s,
则Δt=t2-t1=1.25 s-0.25 s=1.0 s。
1.如图甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,在C、D两点之间做简谐运动,O点为平衡位置。振子到达D点时开始计时,以竖直向上为正方向,一个周期内的振动图像如图乙所示,下列说法正确的是(　　)
A.振子在C、D两点时速度和位移均为0
B.振子通过O点时速度方向发生改变
C.t=0.3 s时,振子的速度方向向下
D.t=0.5 s到t=1.5 s的时间内,振子的加速度先增大后减小
【答案】 D
【解析】 弹簧振子在C、D两点之间做简谐运动,所以振子在C、D两点时速度为0,位移大小为振幅的大小,故A错误。由于位移—时间图像的斜率的正负代表速度的方向,振子通过O点时,图线斜率的正负不变,即速度方向不变;在t=0.3 s时,振子的速度方向向上,故B、C错误。由题图乙可知,在0.5～1.5 s的时间内,振子的正向位移先增大后减小,根据F=-kx,结合牛顿第二定律可知,振子的加速度先增大后减小,D正确。
2.(双选)如图所示,水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动,坐标原点O为振子的平衡位置,其振动表达式为x=5sin(10πt+) cm。下列说法正确的是(　　)
A.M、N间距离为5 cm
B.振子的运动周期是0.2 s
C.t=0时,振子位于M点
D.t=0.05 s时,振子具有最大速度
【答案】 BD
【解析】 M、N间距离为2A=10 cm,A错误;由x=5sin(10πt+) cm 可知ω=10π rad/s,可知振子的运动周期T==0.2 s,B正确;由x=5sin(10πt+) cm,可知t=0时x=5 cm,即振子位于N点,C错误;由x=5sin(10πt+) cm,可知 t=0.05 s 时x=0,此时振子在O点,振子速度最大,D正确。
3.(双选)如图甲所示,水平光滑杆上有一弹簧振子,振子以O点为平衡位置,在a、b两点之间做简谐运动,其振动图像如图乙所示,由振动图像可知(　　)
甲 乙
A.从t1到t2,振子正从O点向a点运动
B.在t2时刻,振子的位置在b点
C.在t1时刻,振子的速度为零
D.振子的振动周期为2t1
【答案】 BD
【解析】 从t1到t2,振子正从O点向b点运动,故A错误;在t2时刻,振子的位置在b点,故B正确;在t1时刻,振子的速度达到最大值,故C错误;振子的振动周期为2t1,故D正确。
4.(双选)一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.在任意1 s内质点经过的路程都是2 cm
B.在5 s末,质点的速度为零
C.t=1.5 s和t=2.5 s两个时刻质点的位移和速度方向都相反
D.从t=1.5 s时刻到t=4.5 s时刻,质点通过的路程为(4+2) cm
【答案】 BD
【解析】 由题图知,周期T=4 s,在Δt=1 s=0.25T内质点经过的路程不一定是一个振幅的大小,A错误;5 s末,质点运动至最大位移处,速度为零,B正确;t=1.5 s和t=2.5 s两个时刻的位移方向相反,但速度方向相同,C错误;从t=1.5 s时刻到 t=4.5 s时刻质点运动了3 s,从x1= cm处到达x2=-2 cm后再次回到x1= cm,质点通过的路程为(4+2) cm,D正确。
5.(双选)一个质点在平衡位置O附近做简谐运动,质点通过A点时的速度为v,经0.5 s后质点第一次以速度v通过B点,再经0.5 s质点紧接着又通过B点。已知质点在这1 s内走的总路程为30 cm,则下列说法正确的是(　　)
A.质点的振动周期可能为2 s
B.质点的振动周期可能为3 s
C.该简谐运动的振幅可能为15 cm
D.该简谐运动的振幅可能为10 cm
【答案】 AC
【解析】 若质点过A点后向着B点运动,且经A、B点时速度相等,可知A点和B点关于平衡位置O对称,其运动过程如图甲所示,则在此1 s内完成个全振动,则有 T=1 s,2A=30 cm,解得 T=2 s,
A=15 cm;若质点通过A点时背离B点运动,其运动过程如图乙所示,则在此 1 s 内,有T=1 s,6A=30 cm,解得 T= s,A=5 cm,故A、C正确。
课时作业
基础巩固
1.下列关于机械振动的周期、频率和振幅,下列说法正确的是(　　)
A.振幅是矢量,方向是从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积可以变化
C.振幅增大,周期也必然增大,而频率减小
D.做简谐运动的物体其周期和频率是一定的,与振幅无关
【答案】 D
【解析】 振幅是标量,故A错误;由于周期与频率互成倒数,其乘积为1而保持不变,故B错误;做简谐运动的物体其周期和频率是一定的,与振幅无关,故C错误,D正确。
2.一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系式是x=10sin 5πt cm,则下列判断正确的是(　　)
A.该简谐运动的周期是0.2 s
B.前1 s内质点运动的路程是200 cm
C.0.4～0.5 s内质点的速度在逐渐减小
D.t=0.6 s时质点的动能为0
【答案】 C
【解析】 由简谐运动的位移随时间变化的关系式x=10sin 5πt cm,知圆频率ω=5π rad/s,周期T== s=0.4 s,故A错误;==2.5,即 1 s 内有2.5个周期,所以前1 s内质点运动的路程是 s=2.5×4A=100 cm,故B错误;t=0.4 s时刻质点位移x=10sin(5π×0.4) cm=0,质点经过平衡位置,所以0.4～0.5 s,质点由平衡位置向最大位移处运动,速度减小,故C正确;t=0.6 s时质点位移x′=10sin(5π×0.6) cm=0,质点经过平衡位置,动能最大,故D错误。
3.如图所示,弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,A、B间距离是20 cm,从A到B运动时间是2 s,则(　　)
A.从O→B→O小球做了一次全振动
B.振动周期为2 s,振幅是10 cm
C.从B开始经过6 s,小球通过的路程是60 cm
D.从O开始经过3 s,小球处在平衡位置
【答案】 C
【解析】 小球从O→B→O只完成了半个全振动,A错误;A→B小球也只是完成了半个全振动,所以振动周期是4 s,振幅A= cm=10 cm,B错误;t=6 s=T,所以小球经过的路程为×4A=60 cm,C正确;从O开始经过3 s,小球处在最大位移处(A或B),D错误。
4.(双选)一质点做简谐运动,其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示,由图可知(　　)
A.该简谐运动的周期是2.5×10-2 s,振幅是 cm
B.该简谐运动的表达式为x=sin(100πt+) cm
C.该简谐运动的表达式为x=sin(100πt-) cm
D.t=0.25×10-2 s时质点的位移为-1.2 cm
【答案】 BC
【解析】 由题图知,该简谐运动的周期为T=2×10-2 s,振幅为A= cm,故A错误;圆频率为ω==100π rad/s,而=或=-,所以质点做简谐运动的表达式为 x=sin(100πt+) cm 或x=sin(100πt-) cm,故B、C正确;当t=0.25×10-2 s时位移为x=sin(100πt+) cm=×(-) cm=-1 cm,故D错误。
5.某弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其位移x随时间t变化的关系式为 x=Asin ωt,振动图像如图所示。下列说法不正确的是(　　)
A.弹簧在第1 s末与第3 s末的长度相同
B.简谐运动的圆频率ω= rad/s
C.第3 s末振子的位移大小为 A
D.从第3 s末到第5 s末,振子的速度方向发生变化
【答案】 D
【解析】 在第1 s末与第3 s末的位移相同,振子经过同一位置,弹簧的长度相同,故A说法正确,不符合题意;由题图知,振子振动的周期T=8 s,则圆频率ω== rad/s,故B说法正确,不符合题意;位移x随时间t变化的关系式为x=Asin ωt,第3 s末振子的位移大小为x=Asin=A,故C说法正确,不符合题意;xt图像的切线斜率表示速度,则从第3 s末到第5 s末,振子的速度方向并没有发生变化,一直沿负方向,故D说法错误,符合题意。
6.一个水平弹簧振子的振动图像如图所示,已知小球质量为 20 g,弹簧的劲度系数为 20 N/m,下列说法正确的是(　　)
A.小球位移随时间变化的关系式为x=5sin πt cm
B.在第1 s末到第2 s末这段时间内,小球的动能在减少,弹性势能在增加
C.小球的最大加速度为100 m/s2
D.该小球在0～50 s内的位移为0 cm,路程为 2.5 m
【答案】 D
【解析】 由图像可知,振幅A=5 cm,周期T=4 s,圆频率ω== rad/s=0.5π rad/s,小球位移随时间变化的关系式为x=5sin 0.5πt cm,故A错误;在第1 s末到第2 s末这段时间内,小球的位移在减小,则小球的动能在增加,弹性势能在减少,故B错误;小球的振幅A=5 cm=0.05 m,则小球受到的最大弹力F=k A=20 N/m×0.05 m=1 N,已知小球的质量m=20 g=0.02 kg,根据牛顿第二定律可求出小球的最大加速度a== m/s2=50 m/s2,故C错误;由于50 s=12.5T,则该小球在0～50 s内的位移为0 cm,路程为s=12.5×4A=12.5×4×0.05 m=2.5 m,故D正确。
7.如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向,振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示,则t=0.2 s时,振子的加速度方向　　　　(选填“向左”或“向右”),在t=0.8 s到t=1.2 s时间内,振子在　　　　区间运动,t=0到t=2.4 s的时间内,振子通过的路程是　　　　 cm。
甲
乙
【答案】 向左　O→A　60
【解析】 t=0.2 s时,振子位移为正,加速度为负,加速度方向向左;在t=0.8 s到t=1.2 s时间内,振子在O→A区间运动;因振子的周期T=1.6 s,2.4 s=T,则t=0到t=2.4 s的时间内,振子通过的路程是6A=60 cm。
能力提升
8.如图所示,小球在竖直平面内以半径为R、角速度为ω沿逆时针方向做匀速圆周运动,用竖直向下的平行光照射小球,观察到其影子在水平面上做简谐运动。取圆心投影点O′为原点,水平向右为正方向,从小球某次经最低点的时刻开始计时,以下关于影子做简谐运动的描述说法正确的是(　　)
A.振幅为2R
B.振动周期为
C.位移表达式为x=Rsin(ωt+π)
D.振动过程中最大加速度的大小为ω2R
【答案】 D
【解析】 振幅大小为偏离平衡位置的最大位移的大小,根据题意可知简谐运动振幅为R,故A错误;小球做圆周运动的周期T=,则简谐运动的周期也是,故B错误;水平向右为正方向,初始时小球在最低点向右运动,则初始相位为0,简谐运动的位移表达式为x=Rsin ωt,故C错误;小球做匀速圆周运动,则加速度大小不变,当加速度在x轴方向投影最大时,简谐运动达到的最大加速度等于小球的向心加速度,振动过程中最大加速度的大小为a=an=ω2R,故D正确。
9.图甲中竖直弹簧振子的振动图像如图乙所示,则(　　)
　　　 甲　　　　　　　　　乙
A.5 s内,振子的路程为32 cm
B.1～3 s内,振子的动量变化量为0
C.第3 s末,弹簧振子的弹性势能为零
D.t=0与t=0.5 s时振子的加速度大小之比为 ∶1
【答案】 D
【解析】 由题图可知,竖直弹簧振子的振动周期 T=4 s,振幅 A=8 cm。又t=5 s=1T,5 s内,振子的路程为s=5A=40 cm,故A错误;第1 s末和第3 s末振子的速度大小相等,方向相反,振子的动量变化量不为0,故B错误;第3 s末弹簧振子处于平衡位置,弹簧处于伸长状态,弹簧振子的弹性势能不为零,故C错误;t=0时刻振子的加速度大小为a1=,由振子振动方程x=Acos t,可知 t=0.5 s时,x=A,所以t=0.5 s时振子加速度大小为a2=,则t=0与t=0.5 s时振子的加速度大小之比为a1∶a2=∶1,故D正确。
10.一水平弹簧振子做简谐运动,周期为T,则下列说法正确的是(　　)
A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反,则Δt一定等于的整数倍
C.若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子振动的加速度一定相等
D.若Δt=,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等
【答案】 C
【解析】 如图所示,图中a、b、c三点位移大小相等、方向相同,显然Δt不等于T的整数倍,故选项A错误;图中a、d两点的位移大小相等、方向相反,Δt<,故选项B错误;在相隔一个周期T的两个时刻,振子只能位于同一位置,其位移相同,合外力相同,加速度必相等,选项C正确;相隔的两个时刻,若振子不在平衡位置,则振子的位移大小相等,方向相反,其位置关于平衡位置对称,弹簧分别处于压缩和拉伸状态,弹簧的长度并不相等,若振子在平衡位置,则弹簧长度相等,选项D错误。
11.如图所示,竖直悬挂的弹簧振子向下振动过程中依次通过相距L的A、B两点(图中未画出)。已知振子在A点的位移大小等于振幅,在B点位移大小是在A点的,振子经过A点时开始计时,t时刻第二次经过B点,该振动的振幅和周期分别可能是(　　)
A.(2-)L,t B.(2-)L,t
C.(2+)L,t D.(2+)L,8t
【答案】 B
【解析】 若平衡位置在A、B之间,而xA=A、xB=|A|,则xA+xB=L,解得A=(2-)L,根据位移表达式 y=Asin t,有A=Asin t1,-A=Asin t2,解得t1=T,t2=T,则t=t2-t1=T,即T=t。若A、B两点在平衡位置同侧,有xA=A,xB=A,则 xA-xB=L,解得A=(2+)L,又A=Asin t1′,A=Asin t2′,解得t1′=T、t2′=T,则t=t2′-t1′=T,即T=t,选项B正确。
12.P、Q两个质点做简谐运动的振动图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.P、Q的振动步调一致
B.P、Q的初相位不同
C.P、Q在0～1.2 s内经过的路程之比是1∶1
D.t=0.45 s时刻,P、Q的位移大小之比是4∶5
【答案】 C
【解析】 两个质点的振动均是由平衡位置开始计时,则初相位相同,但由于二者周期不同,则步调不一致,故A、B错误;在0～1.2 s内P完成一个周期的振动,则路程为 40 cm,Q完成两个周期的振动,路程也为40 cm,故路程之比是1∶1,故C正确;P和Q离开平衡位置的x的表达式分别为xP=0.1sin(t) m,xQ=0.05sin(t) m,则 t=0.45 s时刻,P、Q的位移分别为xP= m,
xQ=-0.05 m,则P、Q的位移大小之比是 ∶1,故D错误。
13.(双选)(2023·山东卷)如图所示,沿水平方向做简谐振动的质点,依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半,B点位移大小是A点的倍,质点经过A点时开始计时,t时刻第二次经过B点,该振动的振幅和周期可能是(　　)
A.,3t B.,4t
C.,t D.,t
【答案】 BC
【解析】 当A、B两点在平衡位置的同侧时,有 A=Asin a,A=Asin b,可得a=,b=或者b=,因此可知第二次经过B点时b=,T=t,解得T=4t,此时位移关系为A-A=L,解得A=,故A错误,B正确;当A、B两点在平衡位置两侧时有-A=Asin a,A=Asin b,解得a=-或者a=-(由题图中运动方向知舍去),b=或者 b=,当第二次经过B点时b=,则T=t,解得T=t,此时位移关系为A+A=L,解得 A=,故C正确,D错误。
14.弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,振子从O、B间的P点以速度v向B点运动,在t=0.2 s时,振子速度第一次变为 -v,在t=0.5 s时,振子速度第二次变为-v。
(1)求弹簧振子振动周期T;
(2)若B、C之间的距离为25 cm,求振子在4.0 s内通过的路程;
(3)若B、C之间的距离为25 cm,从平衡位置计时,经T振子的加速度负向最大,写出弹簧振子的位移表达式,并画出弹簧振子的振动图像。
【答案】 (1)1.0 s　(2)200 cm
(3)x=12.5sin 2πt cm　见解析图乙
【解析】 (1)弹簧振子做简谐运动过程示意图如图甲所示,
其中P、P′关于O点对称,由对称性可得
T=0.5×2 s=1.0 s。
(2)若B、C之间距离为25 cm,则振幅
A=×25 cm=12.5 cm,
由于t=4 s=4T,则振子4.0 s内通过的路程
s=4×4×12.5 cm=200 cm。
(3)根据T时振子加速度负向最大,可知此时振子处于正向最大位移处,即
x=Asin ωt,
而A=12.5 cm,ω==2π rad/s,
可得x=12.5sin 2πt cm,
振动图像如图乙所示。

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