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第5节　生活中的振动
[定位·学习目标]　
1.知道什么是阻尼振动。2.知道什么叫驱动力,什么叫受迫振动,能举出受迫振动的实例。知道受迫振动的频率由驱动力的频率决定。3.知道什么是共振以及发生共振的条件。
探究·必备知识
「探究新知」
知识点一　阻尼振动
1.自由振动
对于一个振动系统,若振动物体偏离平衡位置后,仅在 作用下振动,这种振动就是自由振动。
2.阻尼振动
(1)定义:振幅不断 的振动。
(2)本质:在实际振动过程中,由于振动物体需不断克服 做功,系统的机械能不断 ,导致振幅不断 ,直至停止振动。
回复力
减小
阻力
减小
减小
(3)振动图像:如图所示。
知识点二　受迫振动与共振
1.驱动力
作用于振动物体的 的外力。
2.受迫振动
(1)定义:在 作用下产生的振动。
(2)受迫振动的频率(周期)。
物体做受迫振动达到稳定后,物体振动的周期(或频率)总等于 的周期(或频率),与物体的固有周期(或频率) 关。
周期性
周期性外力
驱动力
无
3.共振
当驱动力的周期(或频率) 固有周期(或频率)时,物体做受迫振动的
达到最大,这种现象称为共振。
4.共振曲线(如图所示)
等于
振幅
知识点三　共振的应用与防止
1.共振的应用:路面共振破碎机、音叉共鸣箱。
2.共振的防止:集体列队经过桥梁时要便步走,以防对桥梁形成的周期性驱动力使桥梁发生共振。
「新知检测」
1.思考判断[正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)简谐运动是等幅振动。(　 　)
(2)固有频率由系统本身决定。(　 　)
(3)阻尼振动的频率不断减小。(　 　)
(4)阻尼振动的振幅不断减小。(　 　)
(5)受迫振动的周期等于振动系统的固有周期。(　 　)
(6)驱动力周期越大,振幅越大。(　 　)
√
√
×
√
×
×
2.思维探究
(1)前面我们学习过的弹簧振子的运动是属于简谐运动还是阻尼振动呢
【答案】 (1)实际的弹簧振子在运动中除受到弹力之外,还受到阻力的作用,振幅逐渐减小,即做的是阻尼振动。如果阻力很小,可以忽略,那么振子的运动就是只在回复力作用下的运动,是简谐运动。
(2)用扁担挑水时,有时桶里的水会荡得很厉害,并从桶中溅出来,这是为什么
【答案】 (2)挑水时,由于行走时肩膀的起伏,人通过扁担对水桶作用,使水因受到周期性的驱动力而做受迫振动,当驱动力周期接近或等于桶里水的固有周期时,水桶里的水就发生共振,所以水的动荡越来越厉害,直到溅出来。
突破·关键能力
要点一　简谐运动、阻尼振动和受迫振动
「情境探究」
如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子,匀速摇动手柄,下面的弹簧振子就会振动起来。实际动手做一下,然后回答以下几个问题。
(1)如果手柄不动而用手拉动一下振子,从振幅角度看弹簧振子的振动属于什么振动
【答案】 (1)阻尼振动。
(2)从没有系统外力作用角度看弹簧振子的振动属于什么振动
【答案】 (2)固有振动。
(3)手柄匀速摇动时,观察到振幅有什么变化 为什么
【答案】 (3)振幅不变。曲轴提供系统外力,补偿系统损失的能量。
(4)用不同的转速匀速转动手柄,弹簧振子的振动有何不同 这能说明什么
问题
【答案】 (4)转速大时弹簧振子振动得快,说明弹簧振子振动的周期和频率由手柄转速决定。
三种振动的对比
「要点归纳」
项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生 条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和
驱动力作用
频率 等于固有频率 小于固有频率, 但在振动过程中保持不变　 等于驱动
力频率
振幅 不变 减小 大小变化
不确定
振动 图像 形状不
确定
实例 弹簧振子振动,单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱,是因为振幅越来越小 扬声器纸盆振动发声,钟摆的摆动
[例1] 如图是一单摆做阻尼振动的位移—时间图像,比较摆球在M与N对应时刻的下列物理量,(EpM代表M点重力势能,EpN代表N点重力势能)以下说法正确的是(　　)
A.速率vM=vN
B.受到的拉力FM>FN
C.重力势能EpM>EpN
D.机械能EMB
对阻尼振动、受迫振动的理解
(1)阻尼振动中振幅虽然逐渐减小,但振动频率不会随时间变化,此频率小于无阻尼时的固有频率。
(2)阻尼振动是在阻力作用下的振动,受迫振动是在周期性驱动力作用下的振动,两者不是一回事。
·学习笔记·
[针对训练1] 提水桶跑步是一种提物障碍跑,运动员提着装满水的水桶越过障碍到达终点。运动员奔跑过程中,下列说法正确的是(　 　)
A.水的晃动频率与运动员的跑步频率相同
B.水的晃动频率小于运动员的跑步频率
C.运动员的跑步频率越大,水的晃动幅度越大
D.桶里水量越多,水晃动幅度越大
A
【解析】 由于运动员运动时,对水桶有力的作用,使水受到驱动力作用而发生受迫振动,由于受迫振动的频率等于外界驱动力的频率,所以水晃动的频率等于运动员的跑步频率,故A正确,B错误;当运动员的跑步频率接近水桶里水的固有频率时,水晃动的幅度增大,二者相等时发生共振水的晃动幅度最大,即水晃动幅度的大小取决于运动员跑步频率与水桶里水的固有频率的关系,故C、D错误。
要点二　对共振及其条件的理解
「情境探究」
如图所示,若将单摆c拉离平衡位置,由静止释放,使其摆动起来,观察其他三个单摆的振幅大小。
(1)a、b、d三个单摆,哪个振幅最大
【答案】 (1)单摆a的振幅最大。
(2)单摆a的固有周期与驱动力的周期有什么关系
【答案】 (2)单摆a的摆长与单摆c的摆长相等,所以单摆a的固有周期与驱动力的周期相等。
(3)由此看出发生共振的条件是什么
【答案】(3)发生共振的条件是驱动力周期与系统的固有周期相等。
「要点归纳」
1.共振的条件
驱动力的周期(或频率)与系统的固有周期(或固有频率)相等,即 f驱=f固。
2.共振曲线
如图所示,共振曲线的横坐标为驱动力的频率f,纵坐标为受迫振动的振幅A。
(1)从受力角度看:当驱动力的周期等于物体的固有周期时,它的每一次作用都使物体的振幅增加,直到振幅达到最大。
(2)从功能关系看:当驱动力的周期等于物体的固有周期时,驱动力始终对物体做正功,使振动能量不断增加,振幅不断增大,直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量,振幅才不再增加。振动能量最大,振幅最大。
3.共振的利用与防止
(1)利用:要利用共振,就应尽量使驱动力的周期与物体的固有周期一致。如共振筛、共振转速计等。
(2)防止:在需要防止共振危害时,要尽量使驱动力的周期和固有周期不相
等,而且相差越多越好。如:部队过桥应便步走。
[例2] 如图甲所示,一个竖直圆盘转动时,固定在圆盘某点的小圆柱装置可以带动一个T形支架在竖直方向振动,T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统。改变圆盘匀速转动的周期,其共振曲线如图乙所示,则(　　)
A.圆盘以2 s的周期匀速转动时,小球稳定后振动频率约为3 Hz
B.当圆盘转动周期为3 s时,小球振动的振幅最大
C.若圆盘匀速转动的周期减小,共振曲线的峰值将
向右移动
D.若圆盘匀速转动的周期增大,小球振动的振幅可
能增大
D
共振问题中频率和振幅的关系
(1)f驱与f固相差越大,振幅越小;相差越小,振幅越大;f驱=f固时,振幅最大。
(2)利用共振时,尽量使驱动力频率接近固有频率,使振幅最大;防止共振时,应使两个频率相差尽量大,使振幅最小。
·学习笔记·
[针对训练2] 某电影中主人公一声“狮子吼”可将桌上的杯子震碎。用手指轻弹同样的杯子,杯子发出清脆的声音,测得声音频率为500 Hz。结合所学知识推断电影中主人公发出的“狮子吼”的攻击原理及声波的特点可知:“狮子吼”引发了　　　　现象,发生此现象的原因是主人公发出的“狮子吼”的频率应该　　 　 500 Hz,主人公发出的“狮子吼”的频率与杯子的固有频率相差越大,发生此现象的可能性就越　　。
共振
接近或等于
小
【解析】 “狮子吼”使被攻击的物体发生受迫振动,其振动频率等于“狮子吼”声波的频率,当“狮子吼”的频率接近或等于杯子的固有频率时,杯子发生共振,振幅达到最大,从而使杯子破坏。由题意可知杯子的固有频率为500 Hz,所以主人公发出的“狮子吼”的频率应该接近或等于500 Hz。主人公发出的“狮子吼”的频率与杯子的固有频率相差越大,发生此现象的可能性越小。
提升·核心素养
「科学·技术·社会·环境」
共振的防止和利用
共振是指一个物理系统在特定频率下,以最大振幅做振动的情形。共振在声学中也称“共鸣”,在电学中,振荡电路的共振现象称为“谐振”。自然界中有许多地方有共振现象,如:乐器的共鸣箱、发动机的转速计、动物耳中基底膜的共振、电路的共振等。但共振有利也有害。
共振的利用:选矿用的共振筛(如图),当偏心轮产生的驱动力频率和筛子系统的固有频率相等时,筛子发生共振。此外,粉碎机、测振仪、电振泵、微波炉、医学上的核磁共振、建筑工地上的振荡器等,也都是利用共振现象进行工作的。
共振的防止:任何事物都有两面性,共振有时还会给人类造成巨大危害,历史上的塔科马大桥因大风引起的共振而塌毁,声波碎杯、次声波武器等。人类也提出了各种各样的解决办法,例如部队过桥应便步走,电动机安装在很重的底盘上等。
[示例] (双选)2024年9月16日7点30分前后,台风“贝碧嘉”的中心登陆上海浦东临港新城,成为1949年以来登陆上海的最强台风,安装在上海中心大厦第
125层的千吨“慧眼”阻尼器(如图甲所示,简化模型如图乙所示)明显晃动,“吸收”了大厦振动的部分能量,使大厦晃动逐渐减弱。下列说法正确的是
(　 　)
A.阻尼器做受迫振动,振动频率与大楼的振动频率相同
B.阻尼器的悬索越长,减震效果越好
C.阻尼器只能在大风天气下发挥作用,对地震不能发挥作用
D.大厦晃动频率与阻尼器的固有频率相同时,阻尼器摆幅最大
AD
【解析】 阻尼器做受迫振动,摆动频率与大厦晃动频率相同,故A正确;大厦晃动频率与阻尼器的固有频率相同时,阻尼器发生共振现象,摆幅达到最大值,此时阻尼器吸收能量最多,减震效果最好,故B错误,D正确;阻尼器同样能对地震形成的振动有一定的减震效果,故C错误。
检测·学习效果
1.关于受迫振动、共振,下列说法正确的是(　　)
A.为了防止共振产生危害,建厂房时要考虑厂房的固有频率与机器的工作频率的差值
B.做受迫振动的物体的频率与固有频率相等,与驱动力的频率无关
C.驱动力频率与固有频率之差越小,振幅越小,二者之差越大,振幅越大
D.快艇上的机关炮连续向敌人射击时引起的振动是共振现象
A
【解析】 由于共振时,驱动力的频率等于物体的固有频率,振动物体的振幅最大,能量最大,因此建厂房时要考虑厂房的固有频率与机器的工作频率的差值,以避免发生共振而造成事故,故A正确;做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率,与固有频率无关,故B错误;对振动系统,驱动力频率与固有频率之差越小,振幅越大,二者之差越大,振幅越小,故C错误;快艇上的机关炮连续向敌人射击时引起的振动与反冲运动有关,与共振无关,故D错误。
2.如图所示是用来测量各种电动机转速的转速计原理图。在同一铁支架MN上焊有固有频率依次为 100 Hz、90 Hz、80 Hz、70 Hz的四个钢片a、b、c、d,将M端与正在转动的电动机接触,发现钢片b振幅很大,其余钢片振幅很小。则(　　)
A.钢片a的振动频率约为100 Hz
B.钢片b的振动频率约为90 Hz
C.钢片c的振动频率约为80 Hz
D.电动机的转速约为90 r/min
B
【解析】 当驱动力的频率等于钢片的固有频率时,将发生共振,振幅最大,钢片b振幅很大,则与钢片b共振,故电动机频率等于其固有频率90 Hz,故B正确,A、C错误;电动机的转速和频率大小相等,为n=f=90 r/s=5 400 r/min,故D错误。
3.单摆M、N、O、P自由振动时,振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上,并保持各自的摆长不变,使其中一个单摆振动,经过足够长的时间,其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是(　　)
A.若使M振动起来,P不会振动
B.若使P振动起来,稳定时N比M的振幅大
C.若使O振动起来,稳定时M的振动周期等于 3 s
D.若使M振动起来,稳定时N振动的周期仍小于 2 s
C
【解析】 若使M振动起来,其他单摆做受迫振动,故A错误;若使P振动起来,由于M、P周期相同,可知M的固有周期与驱动力的周期相同,即M发生共振,稳定时M比N的振幅大,故B错误;O的周期为3 s,若使O振动起来,M做受迫振动,则稳定时M的振动周期为3 s,故C正确;若使M振动起来,稳定时N振动的周期等于M的振动周期,即N的振动周期为2 s,故D错误。
4.我国东北地区,果农为了提高采摘松子的效率,使用如图所示振动器,将振动器固定在树干上,机车带动振动器振动树干,使松果落下。为了使采摘效果更好,针对不同树干,　　　(选填“需要”或“不需要”)调整振动器的振动频率;针对同一树干,随着振动器频率的增加,树干振动的幅度　　　 　(选填“一定”或“不一定”)增大。当满足振动器的频率与　　　 　　　相同时,采摘效果最好。
需要
不一定
树干固有频率
【解析】 当振动器的频率等于树干的固有频率时,其落果效果最好,而不同树干其固有频率不同,所以针对不同树干需要调整振动器的振动频率。根据共振的条件可知,当振动器的频率与树干固有频率一致时,其树干的振动幅度最大,故针对同一树干,随着振动器频率的增加,树干振动的幅度不一定增大。当满足振动器的频率与树干固有频率相同时,采摘效果最好。
【答案】 5人
感谢观看第5节　生活中的振动
[定位·学习目标]　1.知道什么是阻尼振动。2.知道什么叫驱动力,什么叫受迫振动,能举出受迫振动的实例。知道受迫振动的频率由驱动力的频率决定。3.知道什么是共振以及发生共振的条件。
探究新知
知识点一　阻尼振动
1.自由振动
对于一个振动系统,若振动物体偏离平衡位置后,仅在回复力作用下振动,这种振动就是自由振动。
2.阻尼振动
(1)定义:振幅不断减小的振动。
(2)本质:在实际振动过程中,由于振动物体需不断克服阻力做功,系统的机械能不断减小,导致振幅不断减小,直至停止振动。
(3)振动图像:如图所示。
知识点二　受迫振动与共振
1.驱动力
作用于振动物体的周期性的外力。
2.受迫振动
(1)定义:在周期性外力作用下产生的振动。
(2)受迫振动的频率(周期)。
物体做受迫振动达到稳定后,物体振动的周期(或频率)总等于驱动力的周期(或频率),与物体的固有周期(或频率)无关。
3.共振
当驱动力的周期(或频率)等于固有周期(或频率)时,物体做受迫振动的振幅达到最大,这种现象称为共振。
4.共振曲线(如图所示)
知识点三　共振的应用与防止
1.共振的应用:路面共振破碎机、音叉共鸣箱。
2.共振的防止:集体列队经过桥梁时要便步走,以防对桥梁形成的周期性驱动力使桥梁发生共振。
新知检测
1.思考判断[正确的打“√”,错误的打“×”]
(1)简谐运动是等幅振动。(　√　)
(2)固有频率由系统本身决定。(　√　)
(3)阻尼振动的频率不断减小。(　×　)
(4)阻尼振动的振幅不断减小。(　√　)
(5)受迫振动的周期等于振动系统的固有周期。(　×　)
(6)驱动力周期越大,振幅越大。(　×　)
2.思维探究
(1)前面我们学习过的弹簧振子的运动是属于简谐运动还是阻尼振动呢
(2)用扁担挑水时,有时桶里的水会荡得很厉害,并从桶中溅出来,这是为什么
【答案】 (1)实际的弹簧振子在运动中除受到弹力之外,还受到阻力的作用,振幅逐渐减小,即做的是阻尼振动。如果阻力很小,可以忽略,那么振子的运动就是只在回复力作用下的运动,是简谐运动。
(2)挑水时,由于行走时肩膀的起伏,人通过扁担对水桶作用,使水因受到周期性的驱动力而做受迫振动,当驱动力周期接近或等于桶里水的固有周期时,水桶里的水就发生共振,所以水的动荡越来越厉害,直到溅出来。
要点一　简谐运动、阻尼振动和受迫振动
情境探究
如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子,匀速摇动手柄,下面的弹簧振子就会振动起来。实际动手做一下,然后回答以下几个问题。
(1)如果手柄不动而用手拉动一下振子,从振幅角度看弹簧振子的振动属于什么振动
(2)从没有系统外力作用角度看弹簧振子的振动属于什么振动
(3)手柄匀速摇动时,观察到振幅有什么变化 为什么
(4)用不同的转速匀速转动手柄,弹簧振子的振动有何不同 这能说明什么问题
【答案】 (1)阻尼振动。
(2)固有振动。
(3)振幅不变。曲轴提供系统外力,补偿系统损失的能量。
(4)转速大时弹簧振子振动得快,说明弹簧振子振动的周期和频率由手柄转速决定。
要点归纳
三种振动的对比
项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生 条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和 驱动力作用
频率 等于固有频率 小于固有频率, 但在振动过程 中保持不变　 等于驱动 力频率
振幅 不变 减小 大小变化 不确定
振动 图像 形状不 确定
实例 弹簧振子振动,单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱,是因为振幅越来越小 扬声器纸盆振动发声,钟摆的摆动
[例1] 如图是一单摆做阻尼振动的位移—时间图像,比较摆球在M与N对应时刻的下列物理量,(EpM代表M点重力势能,EpN代表N点重力势能)以下说法正确的是(　　)
A.速率vM=vN
B.受到的拉力FM>FN
C.重力势能EpM>EpN
D.机械能EM【答案】 B
【解析】 由于单摆在运动过程中要克服阻力做功,振幅逐渐减小,摆球的机械能逐渐减少,所以摆球在M点所对应时刻的机械能大于在N点所对应的机械能,摆球的势能是由摆球相对于零势能点的高度h和摆球的质量m共同决定的(Ep=mgh)。摆球的质量是定值,由于M、N对应两时刻摆球的位移大小相同,故在这两个时刻摆球相对零势能点的高度相同,重力势能也相同,但由于M点的机械能大于N点的机械能,所以M点对应时刻的动能大于在N点对应时刻的动能,可得速率vM>vN,故A、C、D错误;由于M、N对应两时刻摆球的位移大小相同,所以其细线拉力与竖直方向上的夹角θ也相等,对摆球受力分析,根据牛顿第二定律得F-mgcos θ=m,F=mgcos θ+m,由于vM>vN,所以FM>FN,故B正确。
对阻尼振动、受迫振动的理解
(1)阻尼振动中振幅虽然逐渐减小,但振动频率不会随时间变化,此频率小于无阻尼时的固有频率。
(2)阻尼振动是在阻力作用下的振动,受迫振动是在周期性驱动力作用下的振动,两者不是一回事。
[针对训练1]
提水桶跑步是一种提物障碍跑,运动员提着装满水的水桶越过障碍到达终点。运动员奔跑过程中,下列说法正确的是(　　)
A.水的晃动频率与运动员的跑步频率相同
B.水的晃动频率小于运动员的跑步频率
C.运动员的跑步频率越大,水的晃动幅度越大
D.桶里水量越多,水晃动幅度越大
【答案】 A
【解析】 由于运动员运动时,对水桶有力的作用,使水受到驱动力作用而发生受迫振动,由于受迫振动的频率等于外界驱动力的频率,所以水晃动的频率等于运动员的跑步频率,故A正确,B错误;当运动员的跑步频率接近水桶里水的固有频率时,水晃动的幅度增大,二者相等时发生共振水的晃动幅度最大,即水晃动幅度的大小取决于运动员跑步频率与水桶里水的固有频率的关系,故C、D错误。
要点二　对共振及其条件的理解
情境探究
如图所示,若将单摆c拉离平衡位置,由静止释放,使其摆动起来,观察其他三个单摆的振幅大小。
(1)a、b、d三个单摆,哪个振幅最大
(2)单摆a的固有周期与驱动力的周期有什么关系
(3)由此看出发生共振的条件是什么
【答案】 (1)单摆a的振幅最大。
(2)单摆a的摆长与单摆c的摆长相等,所以单摆a的固有周期与驱动力的周期相等。
(3)发生共振的条件是驱动力周期与系统的固有周期相等。
要点归纳
1.共振的条件
驱动力的周期(或频率)与系统的固有周期(或固有频率)相等,即 f驱=f固。
2.共振曲线
如图所示,共振曲线的横坐标为驱动力的频率f,纵坐标为受迫振动的振幅A。
(1)从受力角度看:当驱动力的周期等于物体的固有周期时,它的每一次作用都使物体的振幅增加,直到振幅达到最大。
(2)从功能关系看:当驱动力的周期等于物体的固有周期时,驱动力始终对物体做正功,使振动能量不断增加,振幅不断增大,直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量,振幅才不再增加。振动能量最大,振幅最大。
3.共振的利用与防止
(1)利用:要利用共振,就应尽量使驱动力的周期与物体的固有周期一致。如共振筛、共振转速计等。
(2)防止:在需要防止共振危害时,要尽量使驱动力的周期和固有周期不相等,而且相差越多越好。如:部队过桥应便步走。
[例2] 如图甲所示,一个竖直圆盘转动时,固定在圆盘某点的小圆柱装置可以带动一个T形支架在竖直方向振动,T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统。改变圆盘匀速转动的周期,其共振曲线如图乙所示,则(　　)
A.圆盘以2 s的周期匀速转动时,小球稳定后振动频率约为3 Hz
B.当圆盘转动周期为3 s时,小球振动的振幅最大
C.若圆盘匀速转动的周期减小,共振曲线的峰值将向右移动
D.若圆盘匀速转动的周期增大,小球振动的振幅可能增大
【答案】 D
【解析】 圆盘转动时,T形支架对小球产生周期性的驱动力,此时小球的振动为受迫振动,振动稳定后的周期等于驱动力的周期T驱=2 s,可知其频率为f驱==0.5 Hz,故A错误;当驱动力的频率等于小球的固有频率时发生共振,振幅最大,由题图乙可知小球的固有频率是3 Hz,周期为 T′== s,故B错误;共振曲线的峰值由弹簧和小球组成的振动系统决定,与圆盘匀速转动的周期无关,故C错误;若圆盘原来转动的周期小于T形支架的固有周期,当圆盘转动的周期增大时,则T形支架的驱动力频率更接近其固有频率,则小球振动的振幅会增大,故D正确。
共振问题中频率和振幅的关系
(1)f驱与f固相差越大,振幅越小;相差越小,振幅越大;f驱=f固时,振幅最大。
(2)利用共振时,尽量使驱动力频率接近固有频率,使振幅最大;防止共振时,应使两个频率相差尽量大,使振幅最小。
[针对训练2] 某电影中主人公一声“狮子吼”可将桌上的杯子震碎。用手指轻弹同样的杯子,杯子发出清脆的声音,测得声音频率为500 Hz。结合所学知识推断电影中主人公发出的“狮子吼”的攻击原理及声波的特点可知:“狮子吼”引发了　　　　现象,发生此现象的原因是主人公发出的“狮子吼”的频率应该　　　 500 Hz,主人公发出的“狮子吼”的频率与杯子的固有频率相差越大,发生此现象的可能性就越　　　　。
【答案】 共振　接近或等于　小
【解析】 “狮子吼”使被攻击的物体发生受迫振动,其振动频率等于“狮子吼”声波的频率,当“狮子吼”的频率接近或等于杯子的固有频率时,杯子发生共振,振幅达到最大,从而使杯子破坏。由题意可知杯子的固有频率为500 Hz,所以主人公发出的“狮子吼”的频率应该接近或等于500 Hz。主人公发出的“狮子吼”的频率与杯子的固有频率相差越大,发生此现象的可能性越小。
科学·技术·社会·环境
共振的防止和利用
　　共振是指一个物理系统在特定频率下,以最大振幅做振动的情形。共振在声学中也称“共鸣”,在电学中,振荡电路的共振现象称为“谐振”。自然界中有许多地方有共振现象,如:乐器的共鸣箱、发动机的转速计、动物耳中基底膜的共振、电路的共振等。但共振有利也有害。
　　共振的利用:选矿用的共振筛(如图),当偏心轮产生的驱动力频率和筛子系统的固有频率相等时,筛子发生共振。此外,粉碎机、测振仪、电振泵、微波炉、医学上的核磁共振、建筑工地上的振荡器等,也都是利用共振现象进行工作的。
　　共振的防止:任何事物都有两面性,共振有时还会给人类造成巨大危害,历史上的塔科马大桥因大风引起的共振而塌毁,声波碎杯、次声波武器等。人类也提出了各种各样的解决办法,例如部队过桥应便步走,电动机安装在很重的底盘上等。
[示例] (双选)2024年9月16日7点30分前后,台风“贝碧嘉”的中心登陆上海浦东临港新城,成为1949年以来登陆上海的最强台风,安装在上海中心大厦第125层的千吨“慧眼”阻尼器(如图甲所示,简化模型如图乙所示)明显晃动,“吸收”了大厦振动的部分能量,使大厦晃动逐渐减弱。下列说法正确的是(　　)
A.阻尼器做受迫振动,振动频率与大楼的振动频率相同
B.阻尼器的悬索越长,减震效果越好
C.阻尼器只能在大风天气下发挥作用,对地震不能发挥作用
D.大厦晃动频率与阻尼器的固有频率相同时,阻尼器摆幅最大
【答案】 AD
【解析】 阻尼器做受迫振动,摆动频率与大厦晃动频率相同,故A正确;大厦晃动频率与阻尼器的固有频率相同时,阻尼器发生共振现象,摆幅达到最大值,此时阻尼器吸收能量最多,减震效果最好,故B错误,D正确;阻尼器同样能对地震形成的振动有一定的减震效果,故C错误。
1.关于受迫振动、共振,下列说法正确的是(　　)
A.为了防止共振产生危害,建厂房时要考虑厂房的固有频率与机器的工作频率的差值
B.做受迫振动的物体的频率与固有频率相等,与驱动力的频率无关
C.驱动力频率与固有频率之差越小,振幅越小,二者之差越大,振幅越大
D.快艇上的机关炮连续向敌人射击时引起的振动是共振现象
【答案】 A
【解析】 由于共振时,驱动力的频率等于物体的固有频率,振动物体的振幅最大,能量最大,因此建厂房时要考虑厂房的固有频率与机器的工作频率的差值,以避免发生共振而造成事故,故A正确;做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率,与固有频率无关,故B错误;对振动系统,驱动力频率与固有频率之差越小,振幅越大,二者之差越大,振幅越小,故C错误;快艇上的机关炮连续向敌人射击时引起的振动与反冲运动有关,与共振无关,故D错误。
2.如图所示是用来测量各种电动机转速的转速计原理图。在同一铁支架MN上焊有固有频率依次为 100 Hz、90 Hz、80 Hz、70 Hz的四个钢片a、b、c、d,将M端与正在转动的电动机接触,发现钢片b振幅很大,其余钢片振幅很小。则(　　)
A.钢片a的振动频率约为100 Hz
B.钢片b的振动频率约为90 Hz
C.钢片c的振动频率约为80 Hz
D.电动机的转速约为90 r/min
【答案】 B
【解析】 当驱动力的频率等于钢片的固有频率时,将发生共振,振幅最大,钢片b振幅很大,则与钢片b共振,故电动机频率等于其固有频率90 Hz,故B正确,A、C错误;电动机的转速和频率大小相等,为n=f=90 r/s=5 400 r/min,故D错误。
3.
单摆M、N、O、P自由振动时,振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上,并保持各自的摆长不变,使其中一个单摆振动,经过足够长的时间,其他三个都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是(　　)
A.若使M振动起来,P不会振动
B.若使P振动起来,稳定时N比M的振幅大
C.若使O振动起来,稳定时M的振动周期等于 3 s
D.若使M振动起来,稳定时N振动的周期仍小于 2 s
【答案】 C
【解析】 若使M振动起来,其他单摆做受迫振动,故A错误;若使P振动起来,由于M、P周期相同,可知M的固有周期与驱动力的周期相同,即M发生共振,稳定时M比N的振幅大,故B错误;O的周期为3 s,若使O振动起来,M做受迫振动,则稳定时M的振动周期为3 s,故C正确;若使M振动起来,稳定时N振动的周期等于M的振动周期,即N的振动周期为2 s,故D错误。
4.
我国东北地区,果农为了提高采摘松子的效率,使用如图所示振动器,将振动器固定在树干上,机车带动振动器振动树干,使松果落下。为了使采摘效果更好,针对不同树干,　　　　(选填“需要”或“不需要”)调整振动器的振动频率;针对同一树干,随着振动器频率的增加,树干振动的幅度　　　　(选填“一定”或“不一定”)增大。当满足振动器的频率与　　　　
　　相同时,采摘效果最好。
【答案】 需要　不一定　树干固有频率
【解析】 当振动器的频率等于树干的固有频率时,其落果效果最好,而不同树干其固有频率不同,所以针对不同树干需要调整振动器的振动频率。根据共振的条件可知,当振动器的频率与树干固有频率一致时,其树干的振动幅度最大,故针对同一树干,随着振动器频率的增加,树干振动的幅度不一定增大。当满足振动器的频率与树干固有频率相同时,采摘效果最好。
5.汽车的重力一般由固定于轴承上的若干弹簧承受,弹簧的等效劲度系数k=1.5×105 N/m。汽车开始运动时,在振幅较小的情况下,其上下自由振动的频率满足f=(l为弹簧的压缩长度)。若人体可以看成一个弹性体,其固有频率约为2 Hz,已知汽车的质量为600 kg,每个人的质量为70 kg,则这辆车乘坐几个人时,人感到最难受 (g取 9.8 m/s2)
【答案】 5人
【解析】 人体的固有频率f固=2 Hz,
当汽车的振动频率与其相等时,人体与之发生共振,人感觉最难受,即f==f固,
得 l=,
代入数据得l≈0.062 m;
由胡克定律得kl=(m1+nm2)g,
则n=≈5。
课时作业
1.下列说法正确的是(　　)
A.阻尼振动可能是简谐运动
B.弹簧振子的振动周期与弹簧振子的振幅有关
C.当驱动力的频率等于固有频率时,物体会发生共振现象
D.受迫振动的振幅由驱动力的大小决定,与系统的固有频率无关
【答案】 C
【解析】 阻尼振动是振幅不断减小的振动,所以阻尼振动中机械能也不断减小,阻尼振动一定不是简谐运动,故A错误;弹簧振子的周期由其本身性质决定,与弹簧振子的振幅无关,故B错误;当驱动力的频率等于固有频率时,物体振动的振幅最大,会发生共振现象,故C正确;做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率,当驱动力的频率等于物体的固有频率时,物体的振幅最大,发生共振,故D错误。
2.(双选)关于共振的应用和防止,下列说法正确的是(　　)
A.共振现象总是有害的,所以要避免共振现象的发生
B.队伍过桥要慢行是为了不产生周期性的驱动力,从而避免产生共振
C.火车过桥慢行是为了使驱动力的频率远小于桥的固有频率,从而避免产生共振
D.利用共振时,应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率;防止共振危害时,应使驱动力的频率远离振动物体的固有频率
【答案】 CD
【解析】 共振现象不一定都是有害的,有时我们要利用共振现象方便我们的生产生活,如共振筛、共振转速计等,故A错误;队伍过桥慢行,火车过桥要慢行,目的都是使驱动力频率远小于桥梁的固有频率,以免发生共振损坏桥,B错误,C正确;受迫振动的频率等于驱动力的频率,所以利用共振时,应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率。防止共振危害时,应尽量使驱动力频率远离振动物体的固有频率,故D正确。
3.
(双选)正在运转的洗衣机,当其脱水桶转得很快时,机身的振动并不强烈,切断电源,转动逐渐停下来,到某一时刻t,机身反而会发生强烈的振动,此后脱水桶转速继续变慢,机身的振动也随之减弱。针对这种现象的分析,下列说法正确的是(　　)
A.在t时刻脱水桶的惯性最大
B.在t时刻脱水桶的转动频率最大
C.在t时刻洗衣机发生共振
D.机身做受迫振动的频率与脱水桶的转动频率相等
【答案】 CD
【解析】 惯性是物体本身具有的属性,只与物体的质量有关,故A错误;机身做受迫振动的频率与脱水桶的转动频率相等,当脱水桶的转动频率与机身的固有频率相等时,机身发生共振,振幅最大,故B错误,C、D正确。
4.
(双选)如图所示,将一根牙签搁在玻璃杯甲(空杯)的杯口处,另一只同样的玻璃杯乙(空杯)靠近甲但不接触。用手指蘸水在乙的杯口旋转摩擦,甲杯上的牙签掉入甲杯中。已知玻璃杯甲和玻璃杯乙的固有频率为260 Hz,下列说法正确的是(　　)
A.若手指摩擦乙杯的频率为50 Hz,则此时玻璃杯乙振动的频率为50 Hz
B.若在甲杯(或乙杯)中注入一定量的水,则其固有频率不变
C.玻璃杯乙振动的频率为260 Hz时,玻璃杯甲会发生共振现象
D.手指摩擦乙杯的频率越大,玻璃杯乙振动的振幅越大
【答案】 AC
【解析】 玻璃杯乙做受迫振动,振动频率等于驱动力频率,所以若手指摩擦乙杯的频率为50 Hz,则此时玻璃杯乙的振动的频率为50 Hz,故A正确;若在甲杯(或乙杯)中注入一定量的水,其固有频率会发生变化,故B错误;玻璃杯乙的振动会通过空气传到甲杯,若玻璃杯乙振动的频率为260 Hz,即振动频率等于玻璃杯甲的固有频率,玻璃杯甲会发生共振现象,故C正确;手指摩擦乙杯的频率越接近玻璃杯乙的固有频率,玻璃杯乙振动的振幅越大,故D错误。
5.
飞力士棒是一种物理康复器材,也是一种有效加强躯干肌肉功能的训练器材。标准型飞力士棒整体结构有中间的握柄,两端负重头,用一根软杆连接。质量为508 g,长度为 1.525 m的棒,固有频率为 4.5 Hz。可以使用双手进行驱动,则下列关于飞力士棒的说法正确的是(　　)
A.使用者用力越大,飞力士棒振动越快
B.随着手振动频率的增大,飞力士棒振动的幅度一定越来越大
C.双手驱动该飞力士棒每分钟振动270次时,会产生共振
D.负重头质量相同,同样材料的软杆缩短,飞力士棒的固有频率不变
【答案】 C
【解析】 使用者用力大小影响的是振幅,与振动快慢没有关系,故A错误;随着手振动频率的增大,飞力士棒振动的频率随之增大,但是幅度不一定越来越大,故B错误;双手驱动该飞力士棒每分钟振动270次时,则驱动力的频率为 f= Hz=4.5 Hz,与飞力士棒的固有频率相等,会产生共振,故C正确;负重头质量相同,同样材料的软杆缩短,飞力士棒的固有频率会改变,故D错误。
6.(双选)
图中是儿童游乐园里常见的一种弹簧小马,若前后小幅摆动时其水平分运动可视为简谐运动。下列说法正确的是(　　)
A.关于平衡位置对称的两点的水平分速度一定大小相等,方向相反
B.关于平衡位置对称的两点的水平分加速度一定大小相等,方向相反
C.当有儿童通过摇动使其振动时,其振动的周期与摇动周期一定相等
D.儿童摇动越快,小马的振幅越大
【答案】 BC
【解析】 简谐运动对称点的速度等大,但方向可能相同也可能相反,故A错误;对称点的加速度等大且都指向平衡位置,故方向相反,故B正确;当有儿童摇动时整体做受迫振动,其频率等于摇动频率,则其振动周期等于摇动周期,故C正确;当儿童摇动的频率越接近小马固有频率时,振幅才越大,故D错误。
7.在一根绷紧的绳上挂四个单摆A、B、C、D,它们的摆长之比为lA∶lB∶lC∶lD=1∶1∶4∶9。使A摆以一定的振幅做简谐运动时,其他三个摆也振动起来,当它们振动稳定时,这三个单摆振动周期之比TB∶TC∶TD=　　　　　,　　　　　摆的振幅最大,　　　 　摆的振幅最小。
【答案】 1∶1∶1　B　D
【解析】 A摆摆动从而带动其他3个单摆做受迫振动,受迫振动的周期等于驱动力的周期,故其他各摆振动周期跟A摆相同,即TB∶TC∶TD=1∶1∶1;根据T=2π可知,A和B的摆长相同,则他们的固有周期相同,固有频率也相同,D的摆长最长,他的固有周期最大,固有频率最小。受迫振动中,当驱动力频率等于固有频率时,发生共振现象,振幅达到最大,D摆和A摆的固有周期相差最大,所以B摆的振幅最大,D摆的振幅最小。
机械振动　检测试题
一、单项选择题:本题共4小题,每小题4分,共16分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.关于机械振动,下列说法不正确的是(　　)
A.做简谐运动的物体,其振动能量与振幅有关
B.做简谐运动的物体经过平衡位置时所受合外力一定为0
C.单摆做简谐运动的周期与振幅及摆球质量无关
D.单摆在周期性的外力作用下做受迫运动,外力的频率越大,单摆的振幅可能越小
【答案】 B
【解析】 振幅反映了振动的强弱,可知做简谐运动的物体,其振动能量与振幅有关,A说法正确;做简谐运动的物体经过平衡位置时的回复力一定为0,但所受合外力不一定为0,如振幅很小的单摆运动到最低点时受到的合外力就不等于0,B说法错误;根据单摆的周期公式T=2π可知,单摆做简谐运动的周期与振幅及摆球质量无关,C说法正确;根据发生共振的条件可知,当外力的频率等于单摆的固有频率时,单摆做受迫振动的振幅最大,若外力的频率大于单摆的固有频率时,外力的频率越大,单摆的振幅越小,D说法正确。
2.如图甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,在C、D两点之间做简谐运动,O点为平衡位置。以竖直向上为正方向,在一个周期内的振动图像如图乙所示,下列说法正确的是(　　)
A.振子在O点受到的弹簧弹力等于零
B.振子做简谐运动的表达式为x=10sin(πt-) cm
C.t1=0.25 s和t2=0.75 s时,振子的速度不同,但加速度大小相等
D.在0.25～0.75 s的时间内,振子通过的路程为 5 cm
【答案】 D
【解析】 弹簧振子在平衡位置O时回复力为0,此时弹簧弹力等于小球重力,故A错误;由题图乙可知振子振幅A=5 cm,周期T=2.0 s,则圆频率ω==π rad/s,而初相位φ0=-,故振子做简谐运动的表达式x=5sin(πt-) cm,故B错误;根据简谐运动可知,在t1=0.25 s和t2=
0.75 s时,小球位置关于O点对称,则振子的速度相同,加速度大小相等,故C错误;在t1=
0.25 s和t2=0.75 s时,振子位移分别为x1=5sin(π×0.25-) cm=- cm,x2=
5sin(π×0.75-) cm= cm,则在0.25～0.75 s的时间内,振子通过的路程s=|x1|+x2=5 cm,故D正确。
3.
如图所示,半径为R的圆盘边缘有一钉子B,在水平光线下,圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P,以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t=0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘,角速度为ω,则P做简谐运动的表达式为(　　)
A.x=Rsin(ωt-)
B.x=Rsin(ωt+)
C.x=2Rsin(ωt-)
D.x=2Rsin(ωt+)
【答案】 B
【解析】 由题图可知,影子P做简谐运动的振幅为R,以向上为正方向,设P的振动方程为x=Rsin(ωt+φ)。由题图可知,当t=0时,P的位移为R,代入振动方程解得φ=。则P做简谐运动的表达式为x=Rsin(ωt+)。故B正确,A、C、D错误。
4.如图所示,在水平光滑杆上的一弹簧振子沿x轴在A、B两点之间做简谐运动,A、B两点之间的距离为16 cm,某时刻振子沿x轴负方向经过C点。2 s之后第二次经过D点,已知振子经过C、D两点时的速度大小均为v,C、D两点之间的距离为8 cm,下列说法正确的是(　　)
A.振子做简谐运动的周期为8 s
B.振子在任何四分之一个周期内运动的路程最大值为8 cm
C.振子在任何四分之一个周期内运动的路程最小值为(16-8) cm
D.振子在半个周期内运动的路程可能小于16 cm
【答案】 C
【解析】 某时刻振子沿x轴负方向经过C点,2 s之后第二次经过D点,而振子经C、D两点速度大小相等,可知C、D两点关于O点对称,由对称规律可知,再经过2 s振子第三次经过C点,完成一次全振动,即周期T=4 s,选项A错误;振子的振幅为A=8 cm,设初相φ=0,则振动方程为x=8sin t cm,由于振子在平衡位置附近的速度较大,则振子在平衡位置前后各振动的四分之一周期内运动的路程最大,最大路程为smax=2Asin ×=8 cm,选项B错误;同理,振子在由某点向背离平衡位置运动的前后各振动的四分之一周期内运动的路程最小,则最小路程为smin=2(A-Asin ×)=(16-8) cm,选项C正确;振子在任何半个周期的始、末位置一定关于平衡位置对称,其运动的路程一定为=2A=16 cm,选项D错误。
二、双项选择题:本题共4小题,每小题6分,共 24分。全部选对的得6分,选对但不全的得 3分,有选错的得0分。
5.正在运转的机器,当其飞轮以角速度ω0匀速转动时,机器的振动不强烈,切断电源,飞轮的转动逐渐慢下来,在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动,此后飞轮转速继续变慢,机器的振动也随之减弱,在机器停下来之后若重新启动机器,使飞轮转动的角速度从0较缓慢地增大到ω0,在这一过程中(　　)
A.机器不一定还会发生强烈的振动
B.机器一定还会发生强烈的振动
C.若机器发生强烈振动,强烈振动可能发生在飞轮角速度为ω0时
D.若机器发生强烈振动,强烈振动时飞轮的角速度肯定不为ω0
【答案】 BD
【解析】 飞轮在转速逐渐减小的过程中,机器出现强烈的振动,说明发生共振现象,共振现象产生的条件是驱动力频率等于系统的固有频率,故当机器重新启动时,飞轮转速缓慢增大的过程中,一旦达到共振条件,机器一定还会发生强烈的振动。由题意可知,发生强烈共振时,飞轮的角速度一定小于ω0,故选BD。
6.一个弹簧振子做简谐运动,O为平衡位置,当它经过平衡位置O时开始计时,经过0.5 s,第一次到达点M,再经过0.2 s第二次到达点M,则弹簧振子的周期可能为(　　)
A.0.6 s B.0.8 s
C.2.0 s D.2.4 s
【答案】 BD
【解析】
如图甲所示,O点为平衡位置,设C点为M同侧最远点,振子从 O→C所需时间为,简谐运动具有对称性,所以振子从M→C所用时间和从 C→M 所用时间相等,故=0.5 s+ s=
0.6 s,解得周期T=2.4 s;如图乙所示,若振子一开始从平衡位置向另外一侧运动,到达最远点后反向运动到达O点右侧M点用时 0.5 s,从M向右运动到C点时间为0.1 s,则有 T′=
0.6 s,即T′=0.8 s,故B、D正确。
7.
如图所示,光滑圆弧槽半径为R(未知),A为最低点,C到A的距离远远小于R,小球B位于A点的正上方,且到A点的距离为H。若同时释放小球B、C,则要使两小球B和C在A点相遇(小球B和C可视为质点),R的可能值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 AD
【解析】 小球C做简谐运动,其周期TC=2π,到达A点的时间t=(2n+1)×2π(n=
0,1,2,…),对小球B有H=gt′2,若B、C在A点相遇,解得R=(n=0,1,2,…),当n=0时,有R=,当 n=1时,有R=,故A、D正确。
8.图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图,图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像,其中F的最大值Fmax=1.02 N,已知摆球质量m=100 g,重力加速度g取9.8 m/s2,π2取9.8,不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.单摆周期为0.8 s
B.单摆摆长为0.64 m
C.F的最小值Fmin=0.96 N
D.若仅将摆球质量变为200 g,单摆周期变小
【答案】 BC
【解析】 由题图乙可知,两个相邻的波谷间为半个周期,故 T=2×(0.9 s-0.1 s)=1.6 s,故A错误;由周期公式T=2π,可知l== m=0.64 m,故B正确;由F-t图像可得,摆球运动到平衡位置时,细线的拉力Fmax=1.02 N,由牛顿第二定律得 Fmax-mg=m ,运动过程机械能守恒,由机械能守恒定律得 mgl(1-cos θ)=mv2-0,拉力最小值Fmin=mgcos θ==
N=0.96 N,解得 Fmin=0.96 N,故C正确;单摆的周期与质量无关,所以周期不变,故D错误。
三、非选择题:本题共8小题,共60分。
9.(3分)
如图所示,某手机正在充电时,闹钟响起的同时手机振动,充电线也跟着振动,手机振动的频率为f1,充电线上某点的振动频率为f2。则可知f1　　　　(选填“大于”“小于”或“等于”)f2;充电线上离手机充电口远的点的振幅　　　　(选填“较大”或“较小”);同一手机,更换不同长度的充电线,闹钟响起时充电线振动程度　　　　(选填“相同”或“不同”)。
【答案】 等于　较小　不同
【解析】 手机振动,充电线也跟着振动,充电线发生的是受迫振动,说明充电线的振动频率始终等于驱动力的频率,可知f2=f1;手机振动使靠近充电口的充电线振动,从而引起后面充电线振动而把振动能量辐射出去,使后面充电线振幅较小;同一手机,更换不同长度的充电线,充电线的固有频率不同,因此充电线振动程度不同。
10.(3分)如图所示是用频闪照相的方法拍摄到的一个弹簧振子的振动情况,图甲是振子静止在平衡位置时的照片,图乙是振子被拉到左侧距平衡位置20 cm处放手后向右运动周期内的频闪照片,已知频闪的频率为10 Hz,则相邻两次频闪的时间间隔Δt=　　　　s,该振子振动的周期为　　 　　s;从图乙可以看出再经过0.2 s,振子将运动到平衡位置右侧
　　　　cm处。
【答案】 0.1　1.2　10
【解析】 相邻两次频闪的时间间隔Δt== s=0.1 s,由题图乙可知3Δt=,则振子振动的周期为 T=1.2 s;以题图乙中振子返回平衡位置时为0时刻,平衡位置为坐标原点,向右为正方向,则振动方程为 x=20sin(t) cm,当t=0.2 s 时,x=10 cm。
11.(3分)光滑水平面上的弹簧振子,振子质量为50 g,若在弹簧振子被拉到最大位移处释放时开始计时,在 t=0.2 s时,振子第一次通过平衡位置,此时速度为 4 m/s。则在t=1.2 s末,弹簧的弹性势能为　　　　 J,该弹簧振子做简谐运动时其动能的变化频率为　　　 Hz,
1 min内,弹簧弹力对弹簧振子做正功的次数为　　　　次。
【答案】 0.4　2.5　150
【解析】 根据其周期性及对称性,周期T=0.8 s,振子的最大速度为4 m/s,则最大动能Ekm=
mv2=0.4 J。根据振子振动的周期性及对称性判定,在t=1.2 s末,振子在最大位移处,根据机械能守恒定律有Ep=Ekm=0.4 J,物体的振动周期为0.8 s,则其动能的变化周期为=0.4 s,所以动能的变化频率为 2.5 Hz。在物体振动的 1个周期内(向平衡位置运动时弹力做正功)弹力两次做正功,根据其周期性可求得1 min内弹力做正功的次数为n=×2=150。
12.(6分)如图a为用单摆测量重力加速度的实验装置,摆球在垂直于纸面的平面内摆动,在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置光敏电阻与激光光源。光敏电阻(光照增强时,其电阻变小)与自动记录仪相连,记录仪可以显示光敏电阻的随值R随时间t的变化图线。将摆球拉离平衡位置一个较小角度释放,记录仪显示的R-t图线如图b所示。请回答下列
问题。
图a
图b
(1)实验前先用游标卡尺测出小球直径d,如图c,则小球的直径d=　　　　mm。
图c
(2)该单摆的振动周期为　　　　。
(3)实验中用米尺测得摆线长为L,则当地的重力加速度g=　　　　　。(用测得的物理量的符号表示)
【答案】 (1)11.70　(2)2t0　(3)
【解析】 (1)由题图c可知,小球的直径为d=11 mm+14×0.05 mm=11.70 mm。
(2)摆球完成一次全振动所需要的时间是一个周期,一个周期摆球两次经过平衡位置,由题图b可知,单摆的振动周期为T=t1+2t0-t1=2t0。
(3)根据单摆周期公式T=2π,可得 g=,其中摆长为L+,周期为2t0,代入可得g=。
13.(6分)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时,在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中,选择图甲方式的目的是要保持摆动中　　　　不变。
(2)用游标卡尺测量摆球直径,测得读数如图丙所示,则摆球直径为　　　　 cm。
(3)若将一个周期为T的单摆,从平衡位置拉开5°的角度释放,忽略空气阻力,摆球的振动可看作简谐运动。当地重力加速度为g,以释放时刻作为计时起点,则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为　　　　　　　　。
【答案】 (1)摆长　(2)1.06　
(3)x=cos(t)
【解析】 (1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)摆球直径为
d=1.0 cm+6×0.1 mm=1.06 cm。
(3)根据单摆的周期公式T=2π可得单摆的摆长为l=,从平衡位置拉开5°的角度释放,可得振幅为A=lsin 5°,以该位置为计时起点,根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为
x=Acos ωt=cos (t)。
14.(11分)如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,已知B、C间距离为 40 cm,P点为OB的中点。振子从左向右经过P点时开始计时,经过t1=0.4 s后振子第一次返回到P点,再经过Δt=0.7 s振子从左向右经过O点。求:
(1)该振子的振动周期T;
(2)该振子做简谐运动的位移与时间的函数表达式。
【答案】 (1)1.2 s　(2)x=0.2 sin(t+) m
【解析】 (1)设振子自O点从左向右运动到P点所用时间为t0,根据运动的对称性有
t0+=,t0+t1+Δt=T,
解得T=1.2 s。
(2)振子做简谐运动的圆频率ω== rad/s,
而根据A= cm=0.2 m,以向右为正方向,
根据x=Asin(ωt+φ),
将t=0,x=0.1 m代入解得φ=,
则x=0.2 sin(t+) m。
15.(12分)
如图,为一单摆的共振曲线(重力加速度g取9.8 m/s2,取π=3.14)。
(1)该单摆的摆长约为多少 (结果保留1位有效数字)
(2)共振时摆球的回复力产生的最大加速度约为多少 (结果保留1位有效数字)
(3)若单摆的摆长变短,共振曲线的峰将怎样移动
【答案】 (1)1 m　(2)0.8 m/s2　(3)右移
【解析】 (1)由题图可知,当驱动力频率为0.5 Hz时,单摆振幅最大,即发生了共振,可知单摆固有频率为 0.5 Hz,固有周期为T==2 s,
根据单摆周期公式
T=2π,
解得单摆的摆长l== m=1 m。
(2)单摆发生共振,当摆球摆到最高点时,回复力最大,回复力产生的加速度最大。摆球在最高点时,设摆线与竖直方向夹角为θ,单摆所受回复力F=mgsin θ,
由牛顿第二定律有F=ma,得a=gsin θ,
由于单摆的最大摆角较小,则
sin θ≈==0.08,
所以a=gsin θ=0.8 m/s2。
(3)由单摆的周期公式可知,若单摆的摆长变短,则单摆固有周期变小,即固有频率变大,所以共振曲线的峰将右移。
16.(16分)如图所示是两个弹簧振子A、B做简谐运动的图像,根据图像所给的信息,回答以下问题。
(1)求振子A的振幅和周期;
(2)8～10 s内,振子B加速度的大小如何变化,方向如何
(3)在t=10 s时,A、B振子都通过平衡位置,并且它们的速度大小相等、方向相反,从此时起,至少再经过多长时间,它们再同时通过平衡位置且速度相同
(4)写出两个弹簧振子的位移与时间的关系式。
【答案】 (1)1 cm　 s
(2)加速度逐渐减小,方向指向平衡位置
(3)20 s
(4)xA=sin(0.15πt+)cm　
xB=0.8sin(0.2πt)cm
【解析】 (1)根据题中图像可知,振子A的振幅 A=1 cm,TA=10 s,则周期TA= s。
(2)8～10 s内,振子B向平衡位置运动,B的加速度逐渐减小,方向指向平衡位置。
(3)在t=10 s时,A、B振子都通过平衡位置,它们速度大小相等,方向相反,从此刻起,设再经过时间t时,它们再次通过平衡位置且速度相同,其中一个振子将多振动半个周期,设振子振动的次数为n,则有nTA=nTB+, ①
或nTB=nTA-, ②
TA=TB=10 s。
将①代入数据解得n=1.5,n应为整数,不合理舍去。
将②代入数据解得n=2,
代入数据得时间t=nTB=20 s,故时间为20 s。
(4)振子A的振幅A=1 cm,圆频率ω=,
代入数据得ω=0.15π rad/s,
初相位为φ0=,则振子A的位移与时间的关系式为xA=sin(0.15πt+)cm。
振子B的振幅A′=0.8 cm,圆频率ω=,
代入数据得ω′=0.2π rad/s,
初相位为φ0′=0,
则振子B的位移与时间的关系式为
xB=0.8sin(0.2πt)cm。

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