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期末总复习—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则等于（　　）
A．1 B．5 C． D．
3．为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数(单位：人)分别是：42，38，35，43，40，42.则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．42， 39 B．42， 40 C．42， 41 D．42， 42
4．数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二位同学上黑板计算，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一名同学的计算结果．接力计算中，出现错误的同学是（　　）
A．张 B．王 C．李 D．陈
5．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE＝4cm，AB＝6cm，则AD的长度是（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
6．已知一个多边形的内角和与一个外角的和是度，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
7．某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75.这组数据的离差平方和是（　　）
A．70 B．75 C．150 D．350
8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图如图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，，若，则的值是(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
9．已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，平行四边形中，点E、F分别在上，依次连接，图中空白部分的面积分别为，已知，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．38 B．40 C．42 D．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共18分）
11．计算：　 　．
12．如图是甲乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温值方差较大的是　 　（填“甲地”或“乙地”）．
13．如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交于点；交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交线段于点F，由作图的结果可得的周长为　 　．
14． 一个容器盛满了纯药液 ， 第一次倒出若干升， 用水加满， 第二次倒出同样多的液体， 这时容器内只剩下纯药液 ， 则每次倒出的液体是　 　 L．
15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，为整数，则的一个值可以为　 　．
16． 如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，2），C（0，4）三点，在平面内确定点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是以AB 为边的平行四边形，请你在图中画出符合条件的点D.
19．如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建系.
（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移 1 个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标 ▲ ；
（2）将△A1B1C1绕点（0，-1)顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3） △A2B2C2是由△ABC绕点（写坐标)　 　顺时针旋转　 　度得到的.
20．设a，b，c是不全相等的任意实数，若 求证：x，y，z中至少有一个大于零.
21．在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下：
小宝同学：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100；
小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96.
（1）求小宝同学的测试成绩数据的四分位数m25，m50，m75；根据四分位数可绘制如图的箱线图，并判断谁的成绩比较集中；
（2）你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛 请说明理由.
22．
（1）已知实数a， b是方程. 的两根，求 的值；
（2）已知实数a，b满足 且b≠3a，求 ab的值；
（3）若两个不相等的实数p，q满足 求 pq-m的值.
23．阅读下列材料，然后回答问题。
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）计算：．
（2）已知是正整数，，，，求．
（3）已知，求的值．
24．如图，把一个含的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，连接，点与分别是中点，连接，．
（1）如图，点、分别在正方形的边上，连接．则的数量关系是________；、的位置关系是________；
（2）如图，将图中直角三角板绕点顺时针旋转，当点落在线段上时，其他条件不变，（）中结论是否仍然成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由．
（3）如图，将图中直角三角板绕点顺时针旋转，其他条件不变，若，，直接写出线段的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形；生活中的旋转现象；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【分析】
如果把一个图形沿某条直线折叠后能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴；如果把一个图形绕某一点旋转后能够完全重合，这个图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心．
2．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：且，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列式为且得，计算得，再代入求值即可解答．
3．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，40，42， 42， 43.
(40+42)÷2=41.
众数为42，中位数为41.
故选： C.
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大 (或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得：，故小张正确；
方程左右两边同时除以2可得：，故小王错误；
故小王负责的式子出现错误；
故选：B．
【分析】本题考查配方法解一元二次方程的步骤，配方法的核心是将方程转化为的形式。首先对原方程进行移项，把常数项移到右边，得到，这一步小张的操作正确；接下来需要将二次项系数化为1，即方程两边同时除以2，此时方程应为，而小王错误地将右边的1未除以2，直接写成，因此小王的步骤出现错误。
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC，
∴AD∥BC，CD=AB=6cm，∠EDC=∠ADE，AD=BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD=6cm，
∴BC=BE+CE=4+6=10cm，
∴AD=BC=10cm，
故答案为：D．
【分析】由已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC可推出△DCE为等腰三角形，所以得CE=CD=AB=6，那么AD=BC=BE+CE，从而求出AD．
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，
根据题意得，（n－2） 180°＋x＝1160°，
∵0°＜x＜180°，
∴1160°－180°＜（n－2）×180°＜1160°，
∴5＜n 2＜6，
∴ 7＜n＜8，
∵n是整数，
∴n＝8．
故选：D．
【分析】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据题意列方程，再根据 0°＜x＜180° 推出7＜n＜8，再根据n取整数即可求得.
7．【答案】D
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为：，
则这组数据的离差平方和为：
．
故答案为：D.
【分析】根据离差平方和的定义解答即可．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，
∴CG=NG，CF=DG=NF，
∴，
，
，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出CG=NG，CF=DG=NF，再求出，，， 最后求解即可.
9．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴x-1=0或x-m=0，
∴x1=1，x2=m；
∵ ，
∴，
∴，
∴x1=，x2=，
∵两个方程的解相同，
∴，
整理得m-2n=-1.
故答案为：D.
【分析】由两个方程都是关于x的方程可得a≠0，从而利用因式分解法求出第一个方程的两个根，利用直接开平方法求出第二个方程的两个根，根据两个方程的解相同可得两个方程的根之和一定相等，据此建立出关于字母m、n的等式，再化简整理即可.
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】设平行四边形总面积为S，则有：。
通过分析图形可得面积关系式：
，
由此解得，
最终阴影面积。
故答案选：A。
【分析】本题主要考查平行四边形性质的应用，解题关键在于理解图形各部分面积之间的关系。
11．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：2．
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
12．【答案】甲地
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解： 根据题意，得甲地的日平均气温的方差大，
故答案为：甲地 ．
【分析】根据方差的意义：方差用来衡量一组数据波动的大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此直接得到答案.
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
根据作图可得，平分，
∴，
∴，
如图所示，过点B作交于点H，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可求出AB的长，同时可证得BC∥AD，利用平行线的性质可证得；利用作图可知平分，利用角平分线的概念可求出∠DAF的度数，即可得到∠BAF的度数；过点B作交于点H，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出BH的长，利用勾股定理求出AF的长，即可求出△ABF的周长.
14．【答案】10
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每次倒出液体x L，
由题意得：20 x ×x＝5，
整理，得：x2 40x＋300＝0，
解得x1＝10，x2＝30＞20（舍），
∴每次倒出的液体是10L，
故答案为：10．
【分析】设每次倒出液体x L，再根据“ 第一次倒出若干升， 用水加满， 第二次倒出同样多的液体， 这时容器内只剩下纯药液 ”列出方程20 x ×x＝5，求解即可.
15．【答案】（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
则有，且，
解得且，
∴的一个值可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
对于一元二次方程，其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．再由题意可得且，再解关于k的不等式并写出满足条件的任一个值即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D，E分别是，的中点
∴，
∵，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴AD=EF=4，DE=AF，
∵ ，
∴在 中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：.
【分析】由题意可知DE为的中位线，所以得到ED//AB，，结合EF//DA，所以四边形ADEF为平行四边形，所以AD=EF=4，AF=DE，结合BD=3，在中，由勾股定理得出AB的长，进而得到DE的长.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：，
，
或，
所以，．
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则计算，然后化简二次根式后合并即可；
（2）利用因式分解法解方程，把等式左边提公因式x，用提公因式法分解因式．
18．【答案】解：如解图，点 D1，D2 即为所求作.
【知识点】平行四边形的性质；分类讨论
【解析】【分析】分为AC是对角线和BC为对角线两种情况作图即可.
19．【答案】（1）解：如图所示， △A1B1C1即为所求，由题可得A1（-3，4)；
（2）解：如图所示， △A2B2C2即为所求；
（3）（2，-4)；90
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移性质作图即可.
（2）根据旋转性质作图即可.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
20．【答案】证明：假设x≤0，y≤0，z≤0，则x+y+z≤0.
∵x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，
∴x+y+z=a2+b2+c2-ab-bc-ca=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≤0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，这与a，b，c是不全相等的任意实数矛盾，
因此假设不成立，
∴x，y，z中至少有一个大于零
【知识点】反证法；完全平方式
【解析】【分析】假设x、y、z都不大于0，即x≤0，y≤0，z≤0，然后通过完全平方公式和非负数的性质来推导矛盾，从而证明原命题成立.
21．【答案】（1）解：∵小宝同学成绩为：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100；
∴，
∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第3个数，
∴，
∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第8个数，
∴，
根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图，小安成绩比较集中；
（2）解：由题意可得：
小宝同学成绩的平均数为：；
小安同学成绩的平均数为：；
观察数据可得：
选小宝，理由：最好成绩好，上四分位数要高；
选小安，理由：平均数高，下四分位数高，数据要稳定．
【知识点】平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图；四分位数
【解析】【分析】（1）根据四分位数的定义计算，然后根据箱线图的特征解答即可；
（2）求出小宝和小安成绩的平均数，结合箱线图分析判断即可．
22．【答案】（1）解：∵a， b 是一元二次方程 的两个根，
∴，，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=12-2×(-1)=3
（2）解：方程两边同时除以9，可得
∵a2-a=1，，且b≠3a，即，
∴a与是方程x2-x=1，即x2-x-1=0的两个不相等的实数根。
对于方程x2-x-1=0，由韦达定理可知两根之积为，
即，
∴ab=-3.
（3）解：
①-②，得
∵p≠q，
∴ (p+q)+m=-1，
∴p+q=-1-m，
∴p=-1-m-q③， q=-1-m-p④，
将④代入①，得
将③代入②，得
∴p，q是一元二次方程 的两个根，
∴pq=m，
∴pq-m=0
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)先根据根与系数的关系求出a+b和ab的值，再利用完全平方公式将a2+b2转化为(a+b)2-2ab，代入计算即可；
(2)先将b2-3b=9变形，再结合a2-a=1，判断a与是同一个方程的两个根，最后根据根与系数的关系求出ab的值；
(3)联立方程作差，化简得出p+q的关系，代入方程后利用韦达定理求pq，进而得pq-m.
23．【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：，，
，，，
，
∵a+b+2ab=2024
∴4m＋2+2=2024
∴m=505
（3）解：设，，则，
∵，
，
，
，
，
，
．（舍去），
．
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【分析】(1)先把每一项的分子分母同乘共轭式进行分母有理化，再提取，使中间项形成“裂项相消”，最后合并得到结果；
(2)先对a、b分别进行分母有理化，得到a，b，再计算ab=1与a+b=4m+2，代入方程a+b+2ab=2024求解m；
(3)设，则，则a-b=1，然后根据，得到ab=20，最后利用求出a+b的值。
24．【答案】（1），；
（2）解：，结论仍然成立．理由如下：
如图，延长交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，，
∴，
∵是一个含的直角三角板，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∵点与分别是中点，
，，
∴，
∵点是的中点，，
，
∴，
∴，
∴，
综上，，；
（3）．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：，，理由如下：
四边形是正方形，
，，
∵是一个含的直角三角板，
∴是等腰直角三角形，，
，
，
，，
∵点与分别是中点，
，，
∴，
∵点是的中点，
∴为的中线，，
，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上，，；
（3）解：如图，连接，，
四边形是正方形，
，，
∴，
∵点与分别是中点，
，
∵，当点、、三点共线时，等号成立，，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
由（）得，
∴线段的最小值为．
【分析】（1）根据正方形性质可得，，根据等腰直角三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据三角形中位线性质可得，，则，根据三角形中线可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）延长交的延长线于点，根据正方形性质可得，，，则，根据等腰直角三角形性质可得，则，根据边之间的关系可得，再根据三角形中位线定理可得，，则，再根据三角形中线可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）连接，，根据正方形性质可得，，根据勾股定理可得AC，再根据线段中点可得，根据边之间的关系可得，当点、、三点共线时，等号成立，，则的最小值为，即的最小值为，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：，，理由如下：
四边形是正方形，
，，
∵是一个含的直角三角板，
∴是等腰直角三角形，，
，
，
，，
∵点与分别是中点，
，，
∴，
∵点是的中点，
∴为的中线，，
，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上，，；
（2）解：，结论仍然成立．理由如下：
如图，延长交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，，
∴，
∵是一个含的直角三角板，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∵点与分别是中点，
，，
∴，
∵点是的中点，，
，
∴，
∴，
∴，
综上，，；
（3）解：如图，连接，，
四边形是正方形，
，，
∴，
∵点与分别是中点，
，
∵，当点、、三点共线时，等号成立，，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
由（）得，
∴线段的最小值为．
1 / 1期末总复习—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形；生活中的旋转现象；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【分析】
如果把一个图形沿某条直线折叠后能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴；如果把一个图形绕某一点旋转后能够完全重合，这个图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心．
2．若，则等于（　　）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；有理数的乘方法则；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据题意得：且，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列式为且得，计算得，再代入求值即可解答．
3．为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数(单位：人)分别是：42，38，35，43，40，42.则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．42， 39 B．42， 40 C．42， 41 D．42， 42
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，40，42， 42， 43.
(40+42)÷2=41.
众数为42，中位数为41.
故选： C.
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大 (或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案.
4．数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二位同学上黑板计算，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一名同学的计算结果．接力计算中，出现错误的同学是（　　）
A．张 B．王 C．李 D．陈
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得：，故小张正确；
方程左右两边同时除以2可得：，故小王错误；
故小王负责的式子出现错误；
故选：B．
【分析】本题考查配方法解一元二次方程的步骤，配方法的核心是将方程转化为的形式。首先对原方程进行移项，把常数项移到右边，得到，这一步小张的操作正确；接下来需要将二次项系数化为1，即方程两边同时除以2，此时方程应为，而小王错误地将右边的1未除以2，直接写成，因此小王的步骤出现错误。
5．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE＝4cm，AB＝6cm，则AD的长度是（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC，
∴AD∥BC，CD=AB=6cm，∠EDC=∠ADE，AD=BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD=6cm，
∴BC=BE+CE=4+6=10cm，
∴AD=BC=10cm，
故答案为：D．
【分析】由已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC可推出△DCE为等腰三角形，所以得CE=CD=AB=6，那么AD=BC=BE+CE，从而求出AD．
6．已知一个多边形的内角和与一个外角的和是度，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，
根据题意得，（n－2） 180°＋x＝1160°，
∵0°＜x＜180°，
∴1160°－180°＜（n－2）×180°＜1160°，
∴5＜n 2＜6，
∴ 7＜n＜8，
∵n是整数，
∴n＝8．
故选：D．
【分析】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据题意列方程，再根据 0°＜x＜180° 推出7＜n＜8，再根据n取整数即可求得.
7．某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75.这组数据的离差平方和是（　　）
A．70 B．75 C．150 D．350
【答案】D
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：这组数据的平均数为：，
则这组数据的离差平方和为：
．
故答案为：D.
【分析】根据离差平方和的定义解答即可．
8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图如图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，，，若，则的值是(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，
∴CG=NG，CF=DG=NF，
∴，
，
，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出CG=NG，CF=DG=NF，再求出，，， 最后求解即可.
9．已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴x-1=0或x-m=0，
∴x1=1，x2=m；
∵ ，
∴，
∴，
∴x1=，x2=，
∵两个方程的解相同，
∴，
整理得m-2n=-1.
故答案为：D.
【分析】由两个方程都是关于x的方程可得a≠0，从而利用因式分解法求出第一个方程的两个根，利用直接开平方法求出第二个方程的两个根，根据两个方程的解相同可得两个方程的根之和一定相等，据此建立出关于字母m、n的等式，再化简整理即可.
10．如图，平行四边形中，点E、F分别在上，依次连接，图中空白部分的面积分别为，已知，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．38 B．40 C．42 D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】设平行四边形总面积为S，则有：。
通过分析图形可得面积关系式：
，
由此解得，
最终阴影面积。
故答案选：A。
【分析】本题主要考查平行四边形性质的应用，解题关键在于理解图形各部分面积之间的关系。
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共18分）
11．计算：　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：2．
【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.
12．如图是甲乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温值方差较大的是　 　（填“甲地”或“乙地”）．
【答案】甲地
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解： 根据题意，得甲地的日平均气温的方差大，
故答案为：甲地 ．
【分析】根据方差的意义：方差用来衡量一组数据波动的大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此直接得到答案.
13．如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交于点；交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交线段于点F，由作图的结果可得的周长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
根据作图可得，平分，
∴，
∴，
如图所示，过点B作交于点H，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可求出AB的长，同时可证得BC∥AD，利用平行线的性质可证得；利用作图可知平分，利用角平分线的概念可求出∠DAF的度数，即可得到∠BAF的度数；过点B作交于点H，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出BH的长，利用勾股定理求出AF的长，即可求出△ABF的周长.
14． 一个容器盛满了纯药液 ， 第一次倒出若干升， 用水加满， 第二次倒出同样多的液体， 这时容器内只剩下纯药液 ， 则每次倒出的液体是　 　 L．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每次倒出液体x L，
由题意得：20 x ×x＝5，
整理，得：x2 40x＋300＝0，
解得x1＝10，x2＝30＞20（舍），
∴每次倒出的液体是10L，
故答案为：10．
【分析】设每次倒出液体x L，再根据“ 第一次倒出若干升， 用水加满， 第二次倒出同样多的液体， 这时容器内只剩下纯药液 ”列出方程20 x ×x＝5，求解即可.
15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，为整数，则的一个值可以为　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
则有，且，
解得且，
∴的一个值可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
对于一元二次方程，其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．再由题意可得且，再解关于k的不等式并写出满足条件的任一个值即可．
16． 如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D，E分别是，的中点
∴，
∵，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴AD=EF=4，DE=AF，
∵ ，
∴在 中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：.
【分析】由题意可知DE为的中位线，所以得到ED//AB，，结合EF//DA，所以四边形ADEF为平行四边形，所以AD=EF=4，AF=DE，结合BD=3，在中，由勾股定理得出AB的长，进而得到DE的长.
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：原式
（2）解：，
，
或，
所以，．
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则计算，然后化简二次根式后合并即可；
（2）利用因式分解法解方程，把等式左边提公因式x，用提公因式法分解因式．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（3，2），C（0，4）三点，在平面内确定点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是以AB 为边的平行四边形，请你在图中画出符合条件的点D.
【答案】解：如解图，点 D1，D2 即为所求作.
【知识点】平行四边形的性质；分类讨论
【解析】【分析】分为AC是对角线和BC为对角线两种情况作图即可.
19．如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建系.
（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移 1 个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标 ▲ ；
（2）将△A1B1C1绕点（0，-1)顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3） △A2B2C2是由△ABC绕点（写坐标)　 　顺时针旋转　 　度得到的.
【答案】（1）解：如图所示， △A1B1C1即为所求，由题可得A1（-3，4)；
（2）解：如图所示， △A2B2C2即为所求；
（3）（2，-4)；90
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移性质作图即可.
（2）根据旋转性质作图即可.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
20．设a，b，c是不全相等的任意实数，若 求证：x，y，z中至少有一个大于零.
【答案】证明：假设x≤0，y≤0，z≤0，则x+y+z≤0.
∵x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab，
∴x+y+z=a2+b2+c2-ab-bc-ca=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≤0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，这与a，b，c是不全相等的任意实数矛盾，
因此假设不成立，
∴x，y，z中至少有一个大于零
【知识点】反证法；完全平方式
【解析】【分析】假设x、y、z都不大于0，即x≤0，y≤0，z≤0，然后通过完全平方公式和非负数的性质来推导矛盾，从而证明原命题成立.
21．在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下：
小宝同学：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100；
小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96.
（1）求小宝同学的测试成绩数据的四分位数m25，m50，m75；根据四分位数可绘制如图的箱线图，并判断谁的成绩比较集中；
（2）你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛 请说明理由.
【答案】（1）解：∵小宝同学成绩为：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100；
∴，
∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第3个数，
∴，
∵，根据统计规则，当位置不是整数时，通常向上取整，即取第8个数，
∴，
根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中小宝同学和小安同学的箱线图，小安成绩比较集中；
（2）解：由题意可得：
小宝同学成绩的平均数为：；
小安同学成绩的平均数为：；
观察数据可得：
选小宝，理由：最好成绩好，上四分位数要高；
选小安，理由：平均数高，下四分位数高，数据要稳定．
【知识点】平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；箱线图；四分位数
【解析】【分析】（1）根据四分位数的定义计算，然后根据箱线图的特征解答即可；
（2）求出小宝和小安成绩的平均数，结合箱线图分析判断即可．
22．
（1）已知实数a， b是方程. 的两根，求 的值；
（2）已知实数a，b满足 且b≠3a，求 ab的值；
（3）若两个不相等的实数p，q满足 求 pq-m的值.
【答案】（1）解：∵a， b 是一元二次方程 的两个根，
∴，，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=12-2×(-1)=3
（2）解：方程两边同时除以9，可得
∵a2-a=1，，且b≠3a，即，
∴a与是方程x2-x=1，即x2-x-1=0的两个不相等的实数根。
对于方程x2-x-1=0，由韦达定理可知两根之积为，
即，
∴ab=-3.
（3）解：
①-②，得
∵p≠q，
∴ (p+q)+m=-1，
∴p+q=-1-m，
∴p=-1-m-q③， q=-1-m-p④，
将④代入①，得
将③代入②，得
∴p，q是一元二次方程 的两个根，
∴pq=m，
∴pq-m=0
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)先根据根与系数的关系求出a+b和ab的值，再利用完全平方公式将a2+b2转化为(a+b)2-2ab，代入计算即可；
(2)先将b2-3b=9变形，再结合a2-a=1，判断a与是同一个方程的两个根，最后根据根与系数的关系求出ab的值；
(3)联立方程作差，化简得出p+q的关系，代入方程后利用韦达定理求pq，进而得pq-m.
23．阅读下列材料，然后回答问题。
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
（1）计算：．
（2）已知是正整数，，，，求．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：，，
，，，
，
∵a+b+2ab=2024
∴4m＋2+2=2024
∴m=505
（3）解：设，，则，
∵，
，
，
，
，
，
．（舍去），
．
【知识点】二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【分析】(1)先把每一项的分子分母同乘共轭式进行分母有理化，再提取，使中间项形成“裂项相消”，最后合并得到结果；
(2)先对a、b分别进行分母有理化，得到a，b，再计算ab=1与a+b=4m+2，代入方程a+b+2ab=2024求解m；
(3)设，则，则a-b=1，然后根据，得到ab=20，最后利用求出a+b的值。
24．如图，把一个含的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，连接，点与分别是中点，连接，．
（1）如图，点、分别在正方形的边上，连接．则的数量关系是________；、的位置关系是________；
（2）如图，将图中直角三角板绕点顺时针旋转，当点落在线段上时，其他条件不变，（）中结论是否仍然成立，若成立，请证明结论，若不成立，请说明理由．
（3）如图，将图中直角三角板绕点顺时针旋转，其他条件不变，若，，直接写出线段的最小值．
【答案】（1），；
（2）解：，结论仍然成立．理由如下：
如图，延长交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，，
∴，
∵是一个含的直角三角板，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∵点与分别是中点，
，，
∴，
∵点是的中点，，
，
∴，
∴，
∴，
综上，，；
（3）．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：，，理由如下：
四边形是正方形，
，，
∵是一个含的直角三角板，
∴是等腰直角三角形，，
，
，
，，
∵点与分别是中点，
，，
∴，
∵点是的中点，
∴为的中线，，
，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上，，；
（3）解：如图，连接，，
四边形是正方形，
，，
∴，
∵点与分别是中点，
，
∵，当点、、三点共线时，等号成立，，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
由（）得，
∴线段的最小值为．
【分析】（1）根据正方形性质可得，，根据等腰直角三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据三角形中位线性质可得，，则，根据三角形中线可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）延长交的延长线于点，根据正方形性质可得，，，则，根据等腰直角三角形性质可得，则，根据边之间的关系可得，再根据三角形中位线定理可得，，则，再根据三角形中线可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）连接，，根据正方形性质可得，，根据勾股定理可得AC，再根据线段中点可得，根据边之间的关系可得，当点、、三点共线时，等号成立，，则的最小值为，即的最小值为，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：，，理由如下：
四边形是正方形，
，，
∵是一个含的直角三角板，
∴是等腰直角三角形，，
，
，
，，
∵点与分别是中点，
，，
∴，
∵点是的中点，
∴为的中线，，
，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上，，；
（2）解：，结论仍然成立．理由如下：
如图，延长交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，，
∴，
∵是一个含的直角三角板，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
，
∵，，
∴，
∵点与分别是中点，
，，
∴，
∵点是的中点，，
，
∴，
∴，
∴，
综上，，；
（3）解：如图，连接，，
四边形是正方形，
，，
∴，
∵点与分别是中点，
，
∵，当点、、三点共线时，等号成立，，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
由（）得，
∴线段的最小值为．
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