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江苏省泰州市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A，，故A错误；
B，，故B错误；
C，，故C错误；
D，，故D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查排列数与组合数的公式定义，核心是熟记排列、组合的阶乘展开公式，逐项对比式子的结构，判断对应表达式。
2．已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：根据分布列的性质，因为随机变量的取值为1，2，3，
所以，
因此.
故答案为：C.
【分析】本题考查离散型随机变量分布列的基本性质，核心是利用离散型随机变量所有取值的概率之和为1，代入已知概率求解未知概率。
3．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：如下图所示：
因为平面，是棱上任意一点，
所以在平面上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】本题考查空间向量在平面上的投影，核心是利用正方体线面垂直的性质，确定空间点在平面上的垂足，进而得到向量在平面内的投影向量。
4．已知的取值如下表所示，若与有线性相关关系且与之对应的线性回归方程为，则的值为（　　）
1 3 5 7
5.8 6.2 6.6
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：根据表中数据，，，
因为线性回归方程一定过，
所以，
解得.
故答案为：C.
【分析】本题考查线性回归方程的性质，核心是牢记线性回归直线必过样本中心点，先计算自变量均值，再代入方程求出，最终解出未知参数。
5．若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：设向量与向量的夹角为，根据两向量夹角余弦值的公式可得：，
则，
直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值，
因此直线与平面所成角的余弦值为.
故答案为：D.
【分析】本题考查空间直线与平面所成角、空间向量夹角公式，核心是理清直线方向向量、平面法向量、线面角三者的三角关系：设线面角为，方向向量与法向量夹角为，则，结合向量点积公式与同角三角函数关系求解。
6．已知随机事件、，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，，，所以，
由条件概率公式可得，
因此.
故答案为：C.
【分析】本题考查条件概率公式与对立事件概率性质，核心是先用条件概率公式求出交事件概率P(AB)，再计算P(B∣A)，最后利用同一条件下对立事件概率和为1，求解。
7．在四面体中，是的重心，．若直线交平面于点，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为是的重心，所以，
将代入得，
因为在直线上且在平面上，所以存在实数使得，
且，同时与共线，
设（为实数），则，
因此，，，又因为，即，解得，
故，即.
故答案为：B.
【分析】本题考查空间向量重心性质、空间共面向量定理，核心是先利用三角形重心向量公式把用表示，再转化为的线性组合；结合在平面上的共面条件（系数和为）、向量共线性质，求出线段长度比值。
8．甲、乙、丙、丁、戊五位学生报名参加环保志愿服务、宣传志愿服务、敬老志愿服务，每位学生只参加一项服务，每项服务均有学生参加．若甲只能参加环保志愿服务，则不同的报名方式有（　　）
A．36种 B．50种 C．56种 D．120种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：甲只能参加环保志愿服务，剩余四人（乙、丙、丁、戊）每人有3种选择（环保、宣传、敬老），总共有种，
若是宣传无人，四人只能选择环保或敬老，每人两种选择，共：种，
若是敬老无人，四人只能选择环保或宣传，每人两种选择，共：种，
若是宣传和敬老同时无人，四人都只能选择环保，仅1种，
因此符合条件的分配方式为：种.
故答案为：B.
【分析】本题考查有限制条件的分组分配计数问题，核心是采用容斥原理（正难则反）：先算剩余所有人无限制的总报名方式，再减去宣传服务无人报名、敬老服务无人报名这两类不符合题意的情况，最后补回重复减去的两项服务都无人报名的情况。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设随机变量，则（　　）
（若随机变量，则）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：A，对于随机变量，可知，，根据正态分布性质，则，由正态分布的对称性，，，所以，A正确；
B，对于随机变量，可知，，根据正态分布性质，则，可得，故，B错误；
C，根据正态分布的对称性，，，所以，C错误；
D，由知，由知，因此，D正确.
故答案为：AD.
【分析】明确正态分布Z N(μ，σ2)的参数含义、对称性以及已知条件P(μ σ10．已知点，过点的直线与直线分别交于两点，则（　　）
A．四点共面 B．直线与直线是异面直线
C．点坐标为 D．点坐标为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；异面直线的判定；平面的法向量
【解析】【解答】解：A，，
，，
设平面的法向量，则，
解得，，为不为的实数，
不妨取，因为，
所以四点不共面，A错误；
B，直线的方向向量，
直线的方向向量，
假设直线与直线共面，则存在实数，使得，
即，此方程无解，
所以直线与直线是异面直线，B正确；
C，因为在直线上，设，，，
则点坐标为，又有，
则，
因为在直线上，设，，，
则点坐标为，则，
因为和共线，则，解得，
此时点坐标为，C正确；
D，，解得，，此时点坐标为，D正确；
故答案为：BCD.
【分析】A：求出平面的法向量，验证向量与法向量的数量积是否为0，判断四点是否共面。
B：提取直线的方向向量，假设两直线共面，根据向量共面定理列方程组，根据方程组有无解判断直线是否异面。
C：设写出的坐标表达式，利用与共线的向量条件，求解参数，确定点坐标。
D：结合向量共线条件求出参数，根据，代入坐标确定点坐标。
11．已知，在集合中等可能的任取两个不同的点，记，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由，
所以集合中含有12个点，如下：，，
这12个点围成的空间几何体是两个棱长均为1的正方体围成，如图所示，
记，则的可能取值为，
A，，，所以，故A正确；
B，，故B错误；
C，，故C正确；
D，又，，
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先根据集合限定条件列出集合内所有空间点，确定总抽取基本事件总数；再结合空间两点距离公式，确定的所有可能取值，统计每个取值对应的点对数量，计算对应概率；最后逐一验证概率选项，并根据离散型随机变量期望公式计算，比较大小。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若向量与垂直，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量与垂直，所以，解得.
故答案为：
【分析】本题考查空间向量垂直的性质，核心是牢记：两个空间向量垂直 它们的数量积为0，代入坐标公式列方程求解未知数。
13．已知，且，则满足条件的有序数组共有　 　个．
【答案】
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由于，
所以或，
又由于，
所以的值两个为，一个为，
其中为，则一个为一个为，故有种，
另外为，则都为或都为，共有种，
所以满足条件的有序数组共有种.
故答案为：
【分析】本题考查有限取值元素的计数、分步乘法计数原理，核心是先根据求和等式锁定的取值组合，再分别计算每一组的搭配情况，最后分步相乘得到总有序数组个数。
14．一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，用随机变量表示取到的红球数，则　 　，　 　．
【答案】；
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】解：根据题意，随机变量服从超几何分布，
，，
，，
，，
X的概率分布如下表所示，
X 0 1 2 3 4 5
P
由表可知，随机变量X的均值为
；
.
故答案为：；
【分析】已知总体含个球，其中红球个，不放回抽取个，抽到红球数服从超几何分布，直接套用期望公式；同时结合期望定义化简求解第二空。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某中学对50名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如下表所示．
　 主动预习 不太主动预习 合计
学习兴趣高 18 　 　
学习兴趣一般 　 19 　
合计 24 　 50
（1）补全该表；
（2）试运用独立性检验的思想方法判断：是否有以上的把握认为，学生的学习兴趣与主动预习有关．
附：独立性检验临界值表
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中）．
【答案】（1）
主动预习 不太主动预习 合 计
学习兴趣高 18 7 25
学习兴趣一般 6 19 25
合计 24 26 50
（2）解：，
所以有以上的把握认为学生的学习兴趣与主动预习有关.
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】(1) 根据2×2列联表行、列合计总数的加减运算，补全表格所有空缺数据；
(2) 明确列联表中a，b，c，d的取值，代入独立性检验χ2公式计算统计量，再对比临界值表，判断相关性的把握程度。
（1）
主动预习 不太主动预习 合 计
学习兴趣高 18 7 25
学习兴趣一般 6 19 25
合计 24 26 50
（2），
所以有以上的把握认为学生的学习兴趣与主动预习有关.
16．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：因为
，
令可得
.
（2）解：的展开式通项为，
令，可得，
由题意可知，为的展开式中的系数，故.
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】(1) 先结合二项式定理求和公式化简题干等式，再利用赋值法，令x= 1，代入多项式奇偶项，直接求解目标式子的值；
(2) 根据化简后的二项式(x+3)10 1，写出二项展开式通项公式，令x的幂次为7，确定参数取值，计算对应项系数a7 。
（1）因为
，
令可得
.
（2）的展开式通项为，
令，可得，
由题意可知，为的展开式中的系数，故.
17．甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”猜拳游戏，其规则为：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布，两人同时出示各自手势一次记为一次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，手势相同为平局，假定甲、乙双方在猜拳游戏过程中，出示三种手势是等可能的．
（1）已知甲、乙两人进行了3次游戏，求第三次游戏结束时甲至少获胜两次的概率；
（2）甲、乙两人进行了13次游戏，记甲获得次胜利的概率为，当为何值时，取得最大值？
【答案】（1）解：由题意得，在1次游戏中，玩家甲胜玩家乙的概率为，
且每次之间相互独立，设甲、乙两人进行了3次游戏中玩家甲获胜的次数为，
则，
所以第三次游戏结束时甲至少获胜两次的概率.
（2）解：由题意知，甲、乙两人进行了13次游戏中，
玩家甲获胜的概率为，
则，
当时，即时，解得，
所以，当且时，；
当且时，，
所以当时，取得最大值.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；二项分布
【解析】【分析】(1) 先确定单次游戏中甲获胜的概率，判断3次游戏为独立重复伯努利试验，设甲获胜次数为随机变量，服从二项分布；“至少获胜两次”即、，用二项分布概率公式求和计算；
(2) 明确13次游戏中甲获胜次数服从二项分布，写出概率的表达式，作相邻两项的比值，通过不等式判断的单调性，找到概率最大时的值。
（1）解：由题意得，在1次游戏中，玩家甲胜玩家乙的概率为，
且每次之间相互独立，设甲、乙两人进行了3次游戏中玩家甲获胜的次数为，
则，
所以第三次游戏结束时甲至少获胜两次的概率.
（2）解：由题意知，甲、乙两人进行了13次游戏中，
玩家甲获胜的概率为，
则，
当时，即时，解得，
所以，当且时，；
当且时，，
所以当时，取得最大值.
18．在三棱锥中，已知平面，点在内（包括边界），．
（1）已知．
（i）求；
（ii）求直线与所成角的大小．
（2）若点分别满足，为直线上一点，且平面，求二面角余弦的最小值．
【答案】（1）解：由平面，、平面，故，，
又，故、、两两垂直，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、，
设，且，则、，
由，则，即；
（i）由，则，又，故，
即，则，故；
（ii），，
则，
即，则直线与所成角的大小为；
（2）解：
，，
设，，
则，
，，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，，
即可为，
由平面，故，
即，
化简得，由，则，
故，
由平面，故为平面的法向量，
则
令，则，
，
由，则，故，
故，
由图可知二面角为锐角，设为，
故，即二面角余弦的最小值为.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】(1) ① 结合的垂直条件、已知长度，求出点坐标，用空间向量模长公式求；
② 用向量夹角公式求异面直线所成角；
(2) 根据向量线性运算写出坐标，由线面平行得向量垂直，建立参数关系；再求二面角的法向量，结合函数最值求二面角余弦的最小值。
（1）由平面，、平面，故，，
又，故、、两两垂直，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、，
设，且，则、，
由，则，即；
（i）由，则，又，故，
即，则，故；
（ii），，
则，
即，则直线与所成角的大小为；
（2），，
设，，
则，
，，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，，
即可为，
由平面，故，
即，
化简得，由，则，
故，
由平面，故为平面的法向量，
则
令，则，
，
由，则，故，
故，
由图可知二面角为锐角，设为，
故，即二面角余弦的最小值为.
19．某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为．
（1）当时，求的值；
（2）在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列；
（3）证明：．
【答案】（1）解：由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工，
当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，
记事件从号店中选派名店长去号店，
则，，，
由全概率公式可得.
（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
记事件轮岗后，号分店店长的人数为，
则，
则，
记事件在第号分店选中店长，
则
当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明最后一次从号店派出的是号店店长，
所以.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
（3）证明：记事件第号店选派店长，则，，
所以，
先证明，
由题意可知，满足，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故；
接下来证明，
显然，满足题意，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故.
综上所述，.
【知识点】概率分布列；数学归纳法的应用；全概率公式
【解析】【分析】(1) 利用全概率公式，拆分1号店选派店长/普通员工两种互斥情况，分别计算条件概率，求和得到；
(2) 先确定随机变量的所有可能取值，结合轮岗传递规则、条件概率公式，计算每个取值对应的概率，列出分布列；
(3) 先推导的递推关系式，再用数学归纳法分别证明不等式左右两边。
（1）由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工，
当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，
记事件从号店中选派名店长去号店，
则，，，
由全概率公式可得.
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
记事件轮岗后，号分店店长的人数为，
则，
则，
记事件在第号分店选中店长，
则
当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明最后一次从号店派出的是号店店长，
所以.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
（3）记事件第号店选派店长，则，，
所以，
先证明，
由题意可知，满足，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故；
接下来证明，
显然，满足题意，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故.
综上所述，.
1 / 1江苏省泰州市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．可以表示为（　　）
A． B． C． D．
2．已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
4．已知的取值如下表所示，若与有线性相关关系且与之对应的线性回归方程为，则的值为（　　）
1 3 5 7
5.8 6.2 6.6
A．5 B．6 C．7 D．8
5．若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知随机事件、，，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．在四面体中，是的重心，．若直线交平面于点，则（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．甲、乙、丙、丁、戊五位学生报名参加环保志愿服务、宣传志愿服务、敬老志愿服务，每位学生只参加一项服务，每项服务均有学生参加．若甲只能参加环保志愿服务，则不同的报名方式有（　　）
A．36种 B．50种 C．56种 D．120种
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设随机变量，则（　　）
（若随机变量，则）
A． B．
C． D．
10．已知点，过点的直线与直线分别交于两点，则（　　）
A．四点共面 B．直线与直线是异面直线
C．点坐标为 D．点坐标为
11．已知，在集合中等可能的任取两个不同的点，记，则（　　）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若向量与垂直，则实数的值为　 　．
13．已知，且，则满足条件的有序数组共有　 　个．
14．一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，用随机变量表示取到的红球数，则　 　，　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．某中学对50名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如下表所示．
　 主动预习 不太主动预习 合计
学习兴趣高 18 　 　
学习兴趣一般 　 19 　
合计 24 　 50
（1）补全该表；
（2）试运用独立性检验的思想方法判断：是否有以上的把握认为，学生的学习兴趣与主动预习有关．
附：独立性检验临界值表
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中）．
16．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
17．甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”猜拳游戏，其规则为：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布，两人同时出示各自手势一次记为一次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，手势相同为平局，假定甲、乙双方在猜拳游戏过程中，出示三种手势是等可能的．
（1）已知甲、乙两人进行了3次游戏，求第三次游戏结束时甲至少获胜两次的概率；
（2）甲、乙两人进行了13次游戏，记甲获得次胜利的概率为，当为何值时，取得最大值？
18．在三棱锥中，已知平面，点在内（包括边界），．
（1）已知．
（i）求；
（ii）求直线与所成角的大小．
（2）若点分别满足，为直线上一点，且平面，求二面角余弦的最小值．
19．某连锁餐厅有家分店，将分店按照规模从小到大依次编为号到号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第号分店员工包含第号店长和名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗工作．具体安排为：从每家分店随机选派名员工到下一家分店进行工作，即从号分店选派名员工到号分店，再从号分店（含轮岗人员）选派名员工到号分店，依次类推，从号分店选派名员工到号分店．轮岗结束后，从第号分店任选名员工进行服务反馈调查，并选派至号分店，记选中店长的概率为．
（1）当时，求的值；
（2）在第号分店选中店长的条件下，若该店长为第号店长，求随机变量的分布列；
（3）证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A，，故A错误；
B，，故B错误；
C，，故C错误；
D，，故D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查排列数与组合数的公式定义，核心是熟记排列、组合的阶乘展开公式，逐项对比式子的结构，判断对应表达式。
2．【答案】C
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：根据分布列的性质，因为随机变量的取值为1，2，3，
所以，
因此.
故答案为：C.
【分析】本题考查离散型随机变量分布列的基本性质，核心是利用离散型随机变量所有取值的概率之和为1，代入已知概率求解未知概率。
3．【答案】A
【知识点】空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：如下图所示：
因为平面，是棱上任意一点，
所以在平面上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】本题考查空间向量在平面上的投影，核心是利用正方体线面垂直的性质，确定空间点在平面上的垂足，进而得到向量在平面内的投影向量。
4．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：根据表中数据，，，
因为线性回归方程一定过，
所以，
解得.
故答案为：C.
【分析】本题考查线性回归方程的性质，核心是牢记线性回归直线必过样本中心点，先计算自变量均值，再代入方程求出，最终解出未知参数。
5．【答案】D
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：设向量与向量的夹角为，根据两向量夹角余弦值的公式可得：，
则，
直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值，
因此直线与平面所成角的余弦值为.
故答案为：D.
【分析】本题考查空间直线与平面所成角、空间向量夹角公式，核心是理清直线方向向量、平面法向量、线面角三者的三角关系：设线面角为，方向向量与法向量夹角为，则，结合向量点积公式与同角三角函数关系求解。
6．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，，，所以，
由条件概率公式可得，
因此.
故答案为：C.
【分析】本题考查条件概率公式与对立事件概率性质，核心是先用条件概率公式求出交事件概率P(AB)，再计算P(B∣A)，最后利用同一条件下对立事件概率和为1，求解。
7．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：因为是的重心，所以，
将代入得，
因为在直线上且在平面上，所以存在实数使得，
且，同时与共线，
设（为实数），则，
因此，，，又因为，即，解得，
故，即.
故答案为：B.
【分析】本题考查空间向量重心性质、空间共面向量定理，核心是先利用三角形重心向量公式把用表示，再转化为的线性组合；结合在平面上的共面条件（系数和为）、向量共线性质，求出线段长度比值。
8．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：甲只能参加环保志愿服务，剩余四人（乙、丙、丁、戊）每人有3种选择（环保、宣传、敬老），总共有种，
若是宣传无人，四人只能选择环保或敬老，每人两种选择，共：种，
若是敬老无人，四人只能选择环保或宣传，每人两种选择，共：种，
若是宣传和敬老同时无人，四人都只能选择环保，仅1种，
因此符合条件的分配方式为：种.
故答案为：B.
【分析】本题考查有限制条件的分组分配计数问题，核心是采用容斥原理（正难则反）：先算剩余所有人无限制的总报名方式，再减去宣传服务无人报名、敬老服务无人报名这两类不符合题意的情况，最后补回重复减去的两项服务都无人报名的情况。
9．【答案】A,D
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义
【解析】【解答】解：A，对于随机变量，可知，，根据正态分布性质，则，由正态分布的对称性，，，所以，A正确；
B，对于随机变量，可知，，根据正态分布性质，则，可得，故，B错误；
C，根据正态分布的对称性，，，所以，C错误；
D，由知，由知，因此，D正确.
故答案为：AD.
【分析】明确正态分布Z N(μ，σ2)的参数含义、对称性以及已知条件P(μ σ10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的数量积运算；异面直线的判定；平面的法向量
【解析】【解答】解：A，，
，，
设平面的法向量，则，
解得，，为不为的实数，
不妨取，因为，
所以四点不共面，A错误；
B，直线的方向向量，
直线的方向向量，
假设直线与直线共面，则存在实数，使得，
即，此方程无解，
所以直线与直线是异面直线，B正确；
C，因为在直线上，设，，，
则点坐标为，又有，
则，
因为在直线上，设，，，
则点坐标为，则，
因为和共线，则，解得，
此时点坐标为，C正确；
D，，解得，，此时点坐标为，D正确；
故答案为：BCD.
【分析】A：求出平面的法向量，验证向量与法向量的数量积是否为0，判断四点是否共面。
B：提取直线的方向向量，假设两直线共面，根据向量共面定理列方程组，根据方程组有无解判断直线是否异面。
C：设写出的坐标表达式，利用与共线的向量条件，求解参数，确定点坐标。
D：结合向量共线条件求出参数，根据，代入坐标确定点坐标。
11．【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由，
所以集合中含有12个点，如下：，，
这12个点围成的空间几何体是两个棱长均为1的正方体围成，如图所示，
记，则的可能取值为，
A，，，所以，故A正确；
B，，故B错误；
C，，故C正确；
D，又，，
，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先根据集合限定条件列出集合内所有空间点，确定总抽取基本事件总数；再结合空间两点距离公式，确定的所有可能取值，统计每个取值对应的点对数量，计算对应概率；最后逐一验证概率选项，并根据离散型随机变量期望公式计算，比较大小。
12．【答案】
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量与垂直，所以，解得.
故答案为：
【分析】本题考查空间向量垂直的性质，核心是牢记：两个空间向量垂直 它们的数量积为0，代入坐标公式列方程求解未知数。
13．【答案】
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由于，
所以或，
又由于，
所以的值两个为，一个为，
其中为，则一个为一个为，故有种，
另外为，则都为或都为，共有种，
所以满足条件的有序数组共有种.
故答案为：
【分析】本题考查有限取值元素的计数、分步乘法计数原理，核心是先根据求和等式锁定的取值组合，再分别计算每一组的搭配情况，最后分步相乘得到总有序数组个数。
14．【答案】；
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】解：根据题意，随机变量服从超几何分布，
，，
，，
，，
X的概率分布如下表所示，
X 0 1 2 3 4 5
P
由表可知，随机变量X的均值为
；
.
故答案为：；
【分析】已知总体含个球，其中红球个，不放回抽取个，抽到红球数服从超几何分布，直接套用期望公式；同时结合期望定义化简求解第二空。
15．【答案】（1）
主动预习 不太主动预习 合 计
学习兴趣高 18 7 25
学习兴趣一般 6 19 25
合计 24 26 50
（2）解：，
所以有以上的把握认为学生的学习兴趣与主动预习有关.
【知识点】独立性检验的应用；2×2列联表
【解析】【分析】(1) 根据2×2列联表行、列合计总数的加减运算，补全表格所有空缺数据；
(2) 明确列联表中a，b，c，d的取值，代入独立性检验χ2公式计算统计量，再对比临界值表，判断相关性的把握程度。
（1）
主动预习 不太主动预习 合 计
学习兴趣高 18 7 25
学习兴趣一般 6 19 25
合计 24 26 50
（2），
所以有以上的把握认为学生的学习兴趣与主动预习有关.
16．【答案】（1）解：因为
，
令可得
.
（2）解：的展开式通项为，
令，可得，
由题意可知，为的展开式中的系数，故.
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】(1) 先结合二项式定理求和公式化简题干等式，再利用赋值法，令x= 1，代入多项式奇偶项，直接求解目标式子的值；
(2) 根据化简后的二项式(x+3)10 1，写出二项展开式通项公式，令x的幂次为7，确定参数取值，计算对应项系数a7 。
（1）因为
，
令可得
.
（2）的展开式通项为，
令，可得，
由题意可知，为的展开式中的系数，故.
17．【答案】（1）解：由题意得，在1次游戏中，玩家甲胜玩家乙的概率为，
且每次之间相互独立，设甲、乙两人进行了3次游戏中玩家甲获胜的次数为，
则，
所以第三次游戏结束时甲至少获胜两次的概率.
（2）解：由题意知，甲、乙两人进行了13次游戏中，
玩家甲获胜的概率为，
则，
当时，即时，解得，
所以，当且时，；
当且时，，
所以当时，取得最大值.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；二项分布
【解析】【分析】(1) 先确定单次游戏中甲获胜的概率，判断3次游戏为独立重复伯努利试验，设甲获胜次数为随机变量，服从二项分布；“至少获胜两次”即、，用二项分布概率公式求和计算；
(2) 明确13次游戏中甲获胜次数服从二项分布，写出概率的表达式，作相邻两项的比值，通过不等式判断的单调性，找到概率最大时的值。
（1）解：由题意得，在1次游戏中，玩家甲胜玩家乙的概率为，
且每次之间相互独立，设甲、乙两人进行了3次游戏中玩家甲获胜的次数为，
则，
所以第三次游戏结束时甲至少获胜两次的概率.
（2）解：由题意知，甲、乙两人进行了13次游戏中，
玩家甲获胜的概率为，
则，
当时，即时，解得，
所以，当且时，；
当且时，，
所以当时，取得最大值.
18．【答案】（1）解：由平面，、平面，故，，
又，故、、两两垂直，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、，
设，且，则、，
由，则，即；
（i）由，则，又，故，
即，则，故；
（ii），，
则，
即，则直线与所成角的大小为；
（2）解：
，，
设，，
则，
，，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，，
即可为，
由平面，故，
即，
化简得，由，则，
故，
由平面，故为平面的法向量，
则
令，则，
，
由，则，故，
故，
由图可知二面角为锐角，设为，
故，即二面角余弦的最小值为.
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】(1) ① 结合的垂直条件、已知长度，求出点坐标，用空间向量模长公式求；
② 用向量夹角公式求异面直线所成角；
(2) 根据向量线性运算写出坐标，由线面平行得向量垂直，建立参数关系；再求二面角的法向量，结合函数最值求二面角余弦的最小值。
（1）由平面，、平面，故，，
又，故、、两两垂直，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、，
设，且，则、，
由，则，即；
（i）由，则，又，故，
即，则，故；
（ii），，
则，
即，则直线与所成角的大小为；
（2），，
设，，
则，
，，
设平面的法向量为，
则有，
令，则，，
即可为，
由平面，故，
即，
化简得，由，则，
故，
由平面，故为平面的法向量，
则
令，则，
，
由，则，故，
故，
由图可知二面角为锐角，设为，
故，即二面角余弦的最小值为.
19．【答案】（1）解：由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工，
当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，
记事件从号店中选派名店长去号店，
则，，，
由全概率公式可得.
（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
记事件轮岗后，号分店店长的人数为，
则，
则，
记事件在第号分店选中店长，
则
当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明最后一次从号店派出的是号店店长，
所以.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
（3）证明：记事件第号店选派店长，则，，
所以，
先证明，
由题意可知，满足，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故；
接下来证明，
显然，满足题意，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故.
综上所述，.
【知识点】概率分布列；数学归纳法的应用；全概率公式
【解析】【分析】(1) 利用全概率公式，拆分1号店选派店长/普通员工两种互斥情况，分别计算条件概率，求和得到；
(2) 先确定随机变量的所有可能取值，结合轮岗传递规则、条件概率公式，计算每个取值对应的概率，列出分布列；
(3) 先推导的递推关系式，再用数学归纳法分别证明不等式左右两边。
（1）由题意可知，号店中有名店长和名员工，号店中有名店长和名员工，
当时，记事件从号店中选派名店长去号店，则事件从号店中选派名员工去号店，
记事件从号店中选派名店长去号店，
则，，，
由全概率公式可得.
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
记事件轮岗后，号分店店长的人数为，
则，
则，
记事件在第号分店选中店长，
则
当时，说明从号店、号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明从号店、号店，每次派出的都是号店店长，
所以，
当时，说明最后一次从号店派出的是号店店长，
所以.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
（3）记事件第号店选派店长，则，，
所以，
先证明，
由题意可知，满足，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故；
接下来证明，
显然，满足题意，
假设当时，原不等式成立，即，
则当时，，
即，这说明，当，原不等式成立，故.
综上所述，.
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