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杭州二中2025学年第二学期高一年级期中考
数学试卷
本试卷分为第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知i为虚数单位，若复数z满足：z+i∈R,则z的虚部为()
A.1
B.-1
C.i
D.-i
2.若向量a=1,1),b=(2,-1),则两向量的夹角余弦值为()
a
5
n.0
5
10
3.下列几何体不是五面体的是（)·
A.正四棱柱
CB.三棱柱
C.三棱台
D.正四棱锥
在AC中角么B,C时的分9内aAe,若-么血A则△8C
cos A
积为(
B
c
D
3
5.如果复数z满足2+2到+2-2=4，那么z+i+的最小值是(
A.1
B.2
C.2
D.√5
6.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b-2c=acosC-2 acosB,则S=
b
B.
2
C.1
D.2
数学试题卷·第1页（共4页）
7.如图，圆台的上、下底面半径分别为r,2,且2r+2=12,半径为4的球与圆台的上、下底面
及每条母线均相切，则圆台的侧面积为()
A.36π
B.64π
C.100π
D.144元
8.己知平面内有单位圆O,点P是不与点O重合的一点；若圆O上存在不重合的两点A,B使得
PO=2PA+PB,则PO的取值范围为()
0)
B.i
D.,2)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点M,N是分别为棱C,D,CC的中点，则以下四个结论
中，正确的有(
D
月1
1.直线AM与C,C是相交直线
B.直线BN与MB,是异面直线
C.AM与BN平行
D.直线A,M与BN共面
10.设非零向量a,的夹角为0，定义运算ā*b=absin，日则下列说法正确的有(
A.若a=(1,1),b=(-1,1),则a*b=2
n.awisa
C.若a*b=0,则.a.∥b
D.a*(b+c)=a*b+a*c
11.已知两个面积均为1的△ABC和△A,B,C,满足：A>B>C,sinA=cosA,sinB=cosB,
sinC=cosC,则(
A.△A,B,C为锐角三角形
五4种名月
C sin Bsin C=-
BC2
D若8c=Vio,则a,G=西
3
数学试题卷·第2页（共4页）杭州二中2025学年第二学期高一年级期中考
数学参考答案
BDAB ADCC
BD AC ACD
12.(信)
13.25
14.32
15.解：(1)2=0-iy+30+D=6+i2+0.5+5i=1+i:
2-i
(2-i0(2+i)5
(2)z2+az+b=1-i,
.1+i)2+a(1+i)+b=1-i,
.(a+b)+(a+2)i=1-i,
.a=-3,b=4.
16.解：(1)由题意得，CD=20,∠CAD=60°，且E是CD的中点，AE⊥CD,
∠CAE=30°，
CD
所以在△ACE中，AE=3
=10V5
tan30'
(2)由题意，CD=20,由于E是CD的中点，且AE⊥CD,
所以CE=10,且AD=AC=√AE2+CE2=107,
由余弦定理得cos∠C4D=4D+4C2-CD2_1700+1700-400.15
2AD·AC
2×1700
171
从而sin∠CAD=-cos2∠C4D=8
7
甲太用高度角的正弦值为号
17.解：(1)以A为原点，AB、AD分别为x、y轴建立平面直角坐标系，
B衣
则A(0,0)、B(6,0)、C(3,3、D(0,3,
因为ABIICD,AB=6,CD=3,
所以480：c0,所以瓷8格-2，所以点o2.2.
设M(m,0),则OM=(m-2,-2,BD=(-6,3),
因为0M⊥BD,所以OM·BD=-6(m-2)-6=6-6m=0,解得m=1,
所以M(1,0),AM=(1,0),则AM.BD=-6.
(2)由(1)知，AC=(3,3),设AN=1AC=(3,3)=(3,3),其中0≤1≤1，
则MN=AN-AM=(3-1,3),
所以不=以-：9=1-=1s--
因为元∈0，，故当入=1时，AN.MN取得最大值15，
当入=品时，瓜丽取得最小恤令
故AN.MN的取值范围为
18,解：(1)由正弦定理得：a=2 RsinA,b=2 Rsin B,c=2 RsinC
代入已知等
式
ab+sinAsin B 2bsinAsinC,
得
4R sin Asin B+sin Asin B 4Rsin Asin BsinC
因为AB∈(0，π)，所以sinA>0,sinB>0,
两边同时除以sinAsinB得4R2+1=4 Rsin C:
即4R2+1=4R·贡，故c=2R2+支
(2)由(I)得inC=装=R+表
根据基本不等式，R+录≥2WR·衣=1，当且仅当R=衣即R=时取等号.
又因为sinC≤1，所以sinC=1,此时C=受
在△ABC中，C=受，故由勾股定理，得a2+b2=c2
(3)由A=青，C=受得AB=2RBC=V3R,设等边△DEF的边长为a,
∠CDF=a(0CF asina,BF=3R-a sin a,
:a++∠EDA=R,且在△ADE中，LAED++∠EDA=R,
六∠AED=a，LBEF=R--∠AED=2红
-a,
3
3
在△BEF中，由正弦定理可得，EF
BF
sin∠Bsin∠BEF
D
即a=5R-asina,
化简得，a=
3R
5R一之5R.R(其中8为锐角，且am0=5),
2sina+V5cosa√7sin(a+0)√77

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