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特殊平行四边形·矩形的性质与判定—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将它向右平移得到Rt△A'B'C'，AC和A'B'交于点D，延长BA，C'A'交于点E，若BC'＝7，B'C＝3，则线段DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在中，，，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为（　　）
A．3 B． C．5 D．
4．如图，中，cm，，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为10cm时点E的运动时间是（　　）
A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s
5．如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为点，若知道与的周长和，则一定能求出（　　）
A．的周长 B．的周长
C．的周长 D．四边形APFH的周长
6．如图，在矩形中，．点E在边上，且，M、N分别是边上的动点，且，P是线段上的动点，连接．若，则线段的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．
7．如图， 中， 为钝角， 以 为边向外作 为钝角， 连结 。设 ， 的面积分别为 ， 则 的面积可表示为 (　　)
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．
二、填空题
9． 如图，平行四边形中分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，连结交，于点，，，，则　 　．
10． 如图，在 ABCD中，AD＝4，AB＝10，∠DAB＝60°，点E为 ABCD内一点且在CD的垂直平分线l上，连结DE，CE，AE，BE，当∠EBA＝2∠EAB 时，AE的长为 　 　 ．
11．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为　 　．
12．如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有　 　（填正确的序号）．
13．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，，，G，H为垂足，连接GH．若，，，则GH的最小值是　 　．
14．如图，已知为直角三角形，其中，，，D为边上中点，E为直线上一点，线段绕点D逆时针旋转30°至，连接，则的最小值为　 　，当取得最小值时，的长为　 　．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，点E， F分别是AB， AC的中点，过点F作FD⊥BC，垂足为D，点M在FE的延长线上， MF=BD.
（1）求证：四边形 BDFM 是矩形；
（2）若AE+ME=8， DF=4， BC=10，求矩形BDFM 的面积.
16．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度．
先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：
（1）直接写出代数式的最小值；
（2）若，均为正数，且，求的最小值；
（3）若，求的值．
17．如图，在中，，，，点是上（不与，重合），过点作，，垂足分别是，．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图，连接，为的中点，随着点在边上位置的改变，的长度是否也会改变？若不变，求的长度；若有变化，求的取值范围．
18．在中，，，点在边上．
（1）如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接求证：；
（2）如图，在线段上取一点，使得，过点作，交于点，连接，过点作垂直于的延长线于点，，连接，．
求证：≌；
若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，故①正确；
②由①可知，四边形是矩形，
∴，
∵O，F分别是，的中点，点在上，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴点E是的中点，故②正确；
③∵是的中位线，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，
当点E与点D重合时，的值最大，此时，
∴线段长度的最大值是2，故③正确；
④当点E在边上，且时，，
∴不是等边三角形，故④错误．
综上所述，正确的结论有3个，
故选：C．
【分析】本题综合考查矩形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定，解题需逐一分析每个结论，结合相关定理进行推理验证。①中由，先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定ABCD是平行四边形，再由（），根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，判定结论①正确；②中O、F分别为AC、CE的中点，根据三角形中位线定理得，结合矩形和，推出，即E是AB中点，结论②正确；③中始终有，则OF的最大值取决于AE的最大值，当E与D重合时AE最长，此时，故最大值为2，结论③正确；④中根据三角形的外角性质，，不满足等边三角形“三个角都是60°”的判定条件，结论④错误。
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：连接AA'，
∵由平移的性质知AA'||BB'，AA'=BB'
∴AA'B'B为平行四边形
又∵AE||A'D，AE'||AD，∠DAE=90°
∴ADA'E为矩形
∴DE=AA'
∵BC'=BB'+B'C+CC'=7，即有2BB'=7-3得BB'=2
∴DE=2
答案：A.
【分析】由平移的性质知AA'B'B为平行四边形、ADA'E为矩形，即知DE=AA'=BB'，根据题中数据可得长度.
3．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接CP，
，，
，
，，
，
∴四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，则线段的值最小，
此时，，
，
的最小值为，
故答案为：D．
【分析】连接CP，由等腰直角三角形的性质可算出AB的长，由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形CDPE是矩形，由矩形的对角线相等得DE=CP，由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段CP的值最小，则线段DE的值最小，从而根据等腰直角三角形的性质可得CP的最小值为AB，从而可得答案.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，当点F在点E的右侧时，过点D作于点G，则∠DGA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴cm
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点F作于点H，则四边形为矩形，
∴，
∵cm，
∴，
由题意可知：，
∴，
∴cm，
∴，
解得，
即EF的长为10cm时，点E的运动时间是8s；
当点F在点E的左侧时，过点D作于点G，则∠DGA=90°，过点F作于点H，则四边形为矩形，
由题意得AE=2tcm，CF=tcm，
∴GE=AE-AG=(2t-8)cm，DF=CD-CF=(22-t)cm，
∴GH=GE-EH=(2t-8)-6=(2t-14)cm，
∴2t-4=22-t，
解得t=12，
∵ 当点E到达点B时，两个点同时停止，
∴2t≤22，解得t≤11，
∴t=12不符合题意，舍去，
综上EF的长为10cm时，点E的运动时间是8s.
故答案为：C．
【分析】分类讨论：当点F在点E的右侧时，过点D作DG⊥AB于点G，由平行四边形的性质得AB=CD=22cm及，易得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得AG=DG=8cm，过点F作FH⊥AB于点H，则四边形DGHF为矩形，由矩形的对边相等得DG=FH=8cm，DF=GH，利用勾股定理得EH=6cm，由题意可得AE=2tcm，CF=tcm，根据线段的和差用含t的式子表示出GE、DF，GH，然后根据DF=HG列出方程，求解可得t的值；当点F在点E的右侧时，过点D作DG⊥AB于点G，过点F作FH⊥AB于点H，由题意可得AE=2tcm，CF=tcm，根据线段的和差用含t的式子表示出GE、DF，GH，然后根据DF=HG列出方程，求解可得t的值；进而根据当点E到达点B时，两个点同时停止，求出t的取值范围，即可判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于，连接，
，，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
同理，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
与的周长和
知道与的周长和，一定能求出的周长．
故答案为：B．
【分析】过点作于，连接，得到为矩形，求出，然后根据AAS得到，即可得到，然后利用三角形的面积得到解题即可．
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图1，在上取点，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
即，，
∴，
∴，即M、P、N三点共线，
如图2，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：C．
【分析】根据矩形性质可得，根据等边对等角可得，在上取点，使，连接，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得即，，则，即，即M、P、N三点共线，根据矩形判定定理可得则四边形是矩形，则，，再根据边之间的关系及勾股定理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过C作CH⊥DE于H，交AB的延长线于S，过B作BR⊥DE于R，过C作CG⊥AE于G，交DB于Q，
∵平行四边形ABDE，
∴AE∥DB，AE=DB，AB∥DE，AB=DE，
∴CQ⊥BD，AB⊥CH，
∴四边形BSHR是矩形，
∴BR=SH，
=.
故答案为：C.
【分析】过C作CH⊥DE于H，交AB的延长线于S，过B作BR⊥DE于R，过C作CG⊥AE于G，交DB于Q，根据平行四边形的对边平行且相等可得AE∥DB，AE=DB，AB∥DE，AB=DE，根据三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等可得BR=SH，结合三角形的面积公式计算S△ABC即可求解.
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CM，如图所示：
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， ，
∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
∴当CM最小时，PQ最小，
∵点M在BD上运动，
∴当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴此时 ，
∴PQ的最小值为 ，．
故答案为：A．
【分析】连接CM，可证四边形PCQM是矩形，得出PQ＝CM，所以可知当CM最小时，PQ最小，由于点M在BD上运动，可得当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，由勾股定理求出BD的长，再利用求出CM值即可.
9．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥CD于点G，
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴，∠BEF=90°，
∴∠EBF=∠BFE=45°.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C=60°，∠BFG=∠EBF=45°，∠EFC=90°，
∴∠CBG=30°，四边形BEFG为矩形，
∴，
设CG=x，则BC=2x，
在Rt△BCG中，由勾股定理得，BC2=CG2+BG2，
即，
解得x=1，
∴CG=1，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据作图确定线段垂直平分线，得出，再利用平行四边形性质得到AB//CD，AD//BC，最后在直角三角形中用勾股定理求解.
10．【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵l是CD的垂直平分线，
∴，
过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠G=∠GHM=∠AHE=90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD//AB，CB=AD=4，
∴∠CBG=∠DAB =60°，∠CMH=∠AHE=90°，
∴四边形CGHM是矩形，
∴GH=CM=5，
Rt△CBG中，∠BCG=30°，
∴，
∴BH=5-2=3，
在AB上取一点F，连接EF，使AF=EF
∴∠FAE=∠AEF，
设∠FAE=x，则∠BFE=2x，
∵∠ABE=2∠EAB=2x，
∴∠ABE=∠BFE，
∴BE=EF.
∵EH⊥AB，
∴FH=BH=3，
∴AF=10-3-3=4=EF，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：.
【分析】根据平行四边形和线段垂直平分线的性质确定相关线段长度，再通过作辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形性质和勾股定理求出AE的长.
11．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示，
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5.
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF＝CD.
∵CD⊥AB时，线段CD的长最小，
此时，
∴CD＝＝＝，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接CD，证明四边形CEDF是矩形，可得EF＝CD，再由垂线段最短得CD⊥AB时线段CD的长最小，利用等面积法求得此时CD的长，即可解答．
12．【答案】①②③
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
由旋转得：，
∴， ，
， ，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②符合题意；
∵，
，
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
∵，
，故③符合题意；
设交于，
∵是等腰直角三角形，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
∴，故④不符合题意；
综上所述，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【分析】本题考查旋转的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理，解题需通过图形变换与全等推导结论。由旋转性质得，，，可证四边形是矩形，故；证得，，进而推出，故，①正确；由全等与角度推导得，，因此，②正确；是等腰直角三角形，故，又，所以，③正确；设参数计算得，但，故④错误，综上正确结论为①②③。
13．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接、、，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理得：，
∵P是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
当A、P、C三点共线时，CP最小，
，
∴的最小值是7.5，
故答案为：7.5．
【分析】连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，CP最小，计算求解即可．
14．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∵，D为边上中点，
∴．
∵线段绕点D逆时针旋转30°至，
∴．
将线段绕点D逆时针旋转至，作射线，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，点F在射线上运动，
作于点，则此时的值最小．
作于点H，作于点K，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，即的最小值是．
作于N，
∴，
∴
∴，
∴，即此时的长为为．
【分析】将线段绕点D逆时针旋转至，作射线，即可得到，进而得到，即可得到点F在射线上运动，作于点，则当点F与点J重合时，的值最小． 作于点H，作于点K，即可得到是矩形，在和中求出，的值，即可得到的最小值；作于N，先求出，进而可求出E'F'的长解题即可．
15．【答案】（1）证明：∵E， F分别是AB， AC的中点，
∴EF 是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∵MF=BD，
∴四边形 BDFM 是平行四边形，
∵FD⊥BC， ∴∠BDF=90°，
∴四边形 BDFM 是矩形；
（2）解：∵四边形BDFM 是矩形，
∴∠BME=90°， BM=DF=4，
∵AE+ME=8，
∴设ME=x，则BE=AE=(8-x)，
即 解得： x=3，
∵EF 是△ABC的中位线，
∴MF=EF+ME=5+3=8，
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)由题意易得然后可得四边形BDFM是平行四边形，进而根据矩形的判定定理可进行求证；
(2)由(1)可得 设ME=x，则BE=AE=(8-x)，然后根据勾股定理可得x的值，进而可得MF=EF+ME=8，最后问题可求解.
16．【答案】（1）5
（2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上），
则，，
∴可将问题转化为求线段的最小值，
∴的最小值为线段的长度，
过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为10．
（3）解：由题意，构造如下图形：
其中，，，，于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
所以的值为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：如图，过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为5．
【分析】（1）过点作，交延长线于点，则四边形是矩形，根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得DF，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据题意构造图形，根据勾股定理可得CE，DE，则可将问题转化为求线段的最小值，即的最小值为线段的长度，过点作，交延长线于点，则四边形是矩形，根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得DF，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）根据题意构造图形，其中，，，，于点，根据勾股定理可得BD，CD，则，根据勾股定理逆定理可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图，过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为5．
（2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上），
则，，
∴可将问题转化为求线段的最小值，
∴的最小值为线段的长度，
过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为10．
（3）解：由题意，构造如下图形：
其中，，，，于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
所以的值为．
17．【答案】（1）证明：在中，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形.
（2）解：的长度会改变，理由是：连接，
由（）证得四边形是矩形，
∴，
过点作，当时，则最小，
∴，
∵点是斜边上 （不与，重合），
∴，
∴的范围是，
即的范围是，
∵为的中点，
∴G在上，且，
∴的范围是．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出，再结合，，最后即可证出四边形是矩形；
（2）连接，过点作，当时，则最小，再求出的范围是，最后利用矩形的性质可得的范围是．
（1）证明：在中，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：的长度会改变，理由是：连接，
由（）证得四边形是矩形，
∴，
过点作，当时，则最小，
∴，
∵点是斜边上 （不与，重合），
∴，
∴的范围是，
即的范围是，
∵为的中点，
∴G在上，且，
∴的范围是．
18．【答案】（1）证明：，，
，
由旋转的性质得：，，
，
即，
在与中，
，
≌，
，，
，
；
（2）解：证明：，，
，
，，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
解：由知，≌，
，，
，
即，
是等腰直角三角形，
．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先证≌，可得BE=CD，，从而求得∠EBC=90°，根据垂直的定义即得结论；
（2）①先证四边形是矩形，再证△CHF是等腰直角三角形，可得，，，然后根据SAS证明△AHD≌△GFD；
②由①知△AHD≌△GFD，可得AD=DG，∠ADH=∠GDF，再证△ADG是等腰直角三角形，可得AG=AD，继而得解.
1 / 1特殊平行四边形·矩形的性质与判定—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿折线运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点，连接，有下列结论：①四边形是矩形；②当点E在边上，且时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；④当点E在边上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，故①正确；
②由①可知，四边形是矩形，
∴，
∵O，F分别是，的中点，点在上，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴点E是的中点，故②正确；
③∵是的中位线，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，
当点E与点D重合时，的值最大，此时，
∴线段长度的最大值是2，故③正确；
④当点E在边上，且时，，
∴不是等边三角形，故④错误．
综上所述，正确的结论有3个，
故选：C．
【分析】本题综合考查矩形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定，解题需逐一分析每个结论，结合相关定理进行推理验证。①中由，先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定ABCD是平行四边形，再由（），根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，判定结论①正确；②中O、F分别为AC、CE的中点，根据三角形中位线定理得，结合矩形和，推出，即E是AB中点，结论②正确；③中始终有，则OF的最大值取决于AE的最大值，当E与D重合时AE最长，此时，故最大值为2，结论③正确；④中根据三角形的外角性质，，不满足等边三角形“三个角都是60°”的判定条件，结论④错误。
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将它向右平移得到Rt△A'B'C'，AC和A'B'交于点D，延长BA，C'A'交于点E，若BC'＝7，B'C＝3，则线段DE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：连接AA'，
∵由平移的性质知AA'||BB'，AA'=BB'
∴AA'B'B为平行四边形
又∵AE||A'D，AE'||AD，∠DAE=90°
∴ADA'E为矩形
∴DE=AA'
∵BC'=BB'+B'C+CC'=7，即有2BB'=7-3得BB'=2
∴DE=2
答案：A.
【分析】由平移的性质知AA'B'B为平行四边形、ADA'E为矩形，即知DE=AA'=BB'，根据题中数据可得长度.
3．如图，在中，，，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为（　　）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接CP，
，，
，
，，
，
∴四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，则线段的值最小，
此时，，
，
的最小值为，
故答案为：D．
【分析】连接CP，由等腰直角三角形的性质可算出AB的长，由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形CDPE是矩形，由矩形的对角线相等得DE=CP，由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段CP的值最小，则线段DE的值最小，从而根据等腰直角三角形的性质可得CP的最小值为AB，从而可得答案.
4．如图，中，cm，，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为10cm时点E的运动时间是（　　）
A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，当点F在点E的右侧时，过点D作于点G，则∠DGA=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴cm
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点F作于点H，则四边形为矩形，
∴，
∵cm，
∴，
由题意可知：，
∴，
∴cm，
∴，
解得，
即EF的长为10cm时，点E的运动时间是8s；
当点F在点E的左侧时，过点D作于点G，则∠DGA=90°，过点F作于点H，则四边形为矩形，
由题意得AE=2tcm，CF=tcm，
∴GE=AE-AG=(2t-8)cm，DF=CD-CF=(22-t)cm，
∴GH=GE-EH=(2t-8)-6=(2t-14)cm，
∴2t-4=22-t，
解得t=12，
∵ 当点E到达点B时，两个点同时停止，
∴2t≤22，解得t≤11，
∴t=12不符合题意，舍去，
综上EF的长为10cm时，点E的运动时间是8s.
故答案为：C．
【分析】分类讨论：当点F在点E的右侧时，过点D作DG⊥AB于点G，由平行四边形的性质得AB=CD=22cm及，易得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得AG=DG=8cm，过点F作FH⊥AB于点H，则四边形DGHF为矩形，由矩形的对边相等得DG=FH=8cm，DF=GH，利用勾股定理得EH=6cm，由题意可得AE=2tcm，CF=tcm，根据线段的和差用含t的式子表示出GE、DF，GH，然后根据DF=HG列出方程，求解可得t的值；当点F在点E的右侧时，过点D作DG⊥AB于点G，过点F作FH⊥AB于点H，由题意可得AE=2tcm，CF=tcm，根据线段的和差用含t的式子表示出GE、DF，GH，然后根据DF=HG列出方程，求解可得t的值；进而根据当点E到达点B时，两个点同时停止，求出t的取值范围，即可判断得出答案.
5．如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为点，若知道与的周长和，则一定能求出（　　）
A．的周长 B．的周长
C．的周长 D．四边形APFH的周长
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于，连接，
，，
四边形为矩形，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
同理，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
与的周长和
知道与的周长和，一定能求出的周长．
故答案为：B．
【分析】过点作于，连接，得到为矩形，求出，然后根据AAS得到，即可得到，然后利用三角形的面积得到解题即可．
6．如图，在矩形中，．点E在边上，且，M、N分别是边上的动点，且，P是线段上的动点，连接．若，则线段的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图1，在上取点，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
即，，
∴，
∴，即M、P、N三点共线，
如图2，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
故答案为：C．
【分析】根据矩形性质可得，根据等边对等角可得，在上取点，使，连接，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得即，，则，即，即M、P、N三点共线，根据矩形判定定理可得则四边形是矩形，则，，再根据边之间的关系及勾股定理即可求出答案.
7．如图， 中， 为钝角， 以 为边向外作 为钝角， 连结 。设 ， 的面积分别为 ， 则 的面积可表示为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过C作CH⊥DE于H，交AB的延长线于S，过B作BR⊥DE于R，过C作CG⊥AE于G，交DB于Q，
∵平行四边形ABDE，
∴AE∥DB，AE=DB，AB∥DE，AB=DE，
∴CQ⊥BD，AB⊥CH，
∴四边形BSHR是矩形，
∴BR=SH，
=.
故答案为：C.
【分析】过C作CH⊥DE于H，交AB的延长线于S，过B作BR⊥DE于R，过C作CG⊥AE于G，交DB于Q，根据平行四边形的对边平行且相等可得AE∥DB，AE=DB，AB∥DE，AB=DE，根据三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等可得BR=SH，结合三角形的面积公式计算S△ABC即可求解.
8．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CM，如图所示：
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， ，
∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
∴当CM最小时，PQ最小，
∵点M在BD上运动，
∴当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴此时 ，
∴PQ的最小值为 ，．
故答案为：A．
【分析】连接CM，可证四边形PCQM是矩形，得出PQ＝CM，所以可知当CM最小时，PQ最小，由于点M在BD上运动，可得当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，由勾股定理求出BD的长，再利用求出CM值即可.
二、填空题
9． 如图，平行四边形中分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，连结交，于点，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥CD于点G，
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴，∠BEF=90°，
∴∠EBF=∠BFE=45°.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C=60°，∠BFG=∠EBF=45°，∠EFC=90°，
∴∠CBG=30°，四边形BEFG为矩形，
∴，
设CG=x，则BC=2x，
在Rt△BCG中，由勾股定理得，BC2=CG2+BG2，
即，
解得x=1，
∴CG=1，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据作图确定线段垂直平分线，得出，再利用平行四边形性质得到AB//CD，AD//BC，最后在直角三角形中用勾股定理求解.
10． 如图，在 ABCD中，AD＝4，AB＝10，∠DAB＝60°，点E为 ABCD内一点且在CD的垂直平分线l上，连结DE，CE，AE，BE，当∠EBA＝2∠EAB 时，AE的长为 　 　 ．
【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵l是CD的垂直平分线，
∴，
过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠G=∠GHM=∠AHE=90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD//AB，CB=AD=4，
∴∠CBG=∠DAB =60°，∠CMH=∠AHE=90°，
∴四边形CGHM是矩形，
∴GH=CM=5，
Rt△CBG中，∠BCG=30°，
∴，
∴BH=5-2=3，
在AB上取一点F，连接EF，使AF=EF
∴∠FAE=∠AEF，
设∠FAE=x，则∠BFE=2x，
∵∠ABE=2∠EAB=2x，
∴∠ABE=∠BFE，
∴BE=EF.
∵EH⊥AB，
∴FH=BH=3，
∴AF=10-3-3=4=EF，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：.
【分析】根据平行四边形和线段垂直平分线的性质确定相关线段长度，再通过作辅助线构造等腰三角形，利用等腰三角形性质和勾股定理求出AE的长.
11．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示，
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5.
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF＝CD.
∵CD⊥AB时，线段CD的长最小，
此时，
∴CD＝＝＝，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接CD，证明四边形CEDF是矩形，可得EF＝CD，再由垂线段最短得CD⊥AB时线段CD的长最小，利用等面积法求得此时CD的长，即可解答．
12．如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有　 　（填正确的序号）．
【答案】①②③
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
由旋转得：，
∴， ，
， ，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②符合题意；
∵，
，
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
∵，
，故③符合题意；
设交于，
∵是等腰直角三角形，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
∴，故④不符合题意；
综上所述，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
【分析】本题考查旋转的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理，解题需通过图形变换与全等推导结论。由旋转性质得，，，可证四边形是矩形，故；证得，，进而推出，故，①正确；由全等与角度推导得，，因此，②正确；是等腰直角三角形，故，又，所以，③正确；设参数计算得，但，故④错误，综上正确结论为①②③。
13．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，，，G，H为垂足，连接GH．若，，，则GH的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接、、，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
由勾股定理得：，
∵P是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
当A、P、C三点共线时，CP最小，
，
∴的最小值是7.5，
故答案为：7.5．
【分析】连接、、，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，CP最小，计算求解即可．
14．如图，已知为直角三角形，其中，，，D为边上中点，E为直线上一点，线段绕点D逆时针旋转30°至，连接，则的最小值为　 　，当取得最小值时，的长为　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∵，D为边上中点，
∴．
∵线段绕点D逆时针旋转30°至，
∴．
将线段绕点D逆时针旋转至，作射线，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，点F在射线上运动，
作于点，则此时的值最小．
作于点H，作于点K，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，即的最小值是．
作于N，
∴，
∴
∴，
∴，即此时的长为为．
【分析】将线段绕点D逆时针旋转至，作射线，即可得到，进而得到，即可得到点F在射线上运动，作于点，则当点F与点J重合时，的值最小． 作于点H，作于点K，即可得到是矩形，在和中求出，的值，即可得到的最小值；作于N，先求出，进而可求出E'F'的长解题即可．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，点E， F分别是AB， AC的中点，过点F作FD⊥BC，垂足为D，点M在FE的延长线上， MF=BD.
（1）求证：四边形 BDFM 是矩形；
（2）若AE+ME=8， DF=4， BC=10，求矩形BDFM 的面积.
【答案】（1）证明：∵E， F分别是AB， AC的中点，
∴EF 是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∵MF=BD，
∴四边形 BDFM 是平行四边形，
∵FD⊥BC， ∴∠BDF=90°，
∴四边形 BDFM 是矩形；
（2）解：∵四边形BDFM 是矩形，
∴∠BME=90°， BM=DF=4，
∵AE+ME=8，
∴设ME=x，则BE=AE=(8-x)，
即 解得： x=3，
∵EF 是△ABC的中位线，
∴MF=EF+ME=5+3=8，
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)由题意易得然后可得四边形BDFM是平行四边形，进而根据矩形的判定定理可进行求证；
(2)由(1)可得 设ME=x，则BE=AE=(8-x)，然后根据勾股定理可得x的值，进而可得MF=EF+ME=8，最后问题可求解.
16．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度．
先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：
（1）直接写出代数式的最小值；
（2）若，均为正数，且，求的最小值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）5
（2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上），
则，，
∴可将问题转化为求线段的最小值，
∴的最小值为线段的长度，
过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为10．
（3）解：由题意，构造如下图形：
其中，，，，于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
所以的值为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：如图，过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为5．
【分析】（1）过点作，交延长线于点，则四边形是矩形，根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得DF，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据题意构造图形，根据勾股定理可得CE，DE，则可将问题转化为求线段的最小值，即的最小值为线段的长度，过点作，交延长线于点，则四边形是矩形，根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得DF，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）根据题意构造图形，其中，，，，于点，根据勾股定理可得BD，CD，则，根据勾股定理逆定理可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图，过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为5．
（2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上），
则，，
∴可将问题转化为求线段的最小值，
∴的最小值为线段的长度，
过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
所以代数式的最小值为10．
（3）解：由题意，构造如下图形：
其中，，，，于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
所以的值为．
17．如图，在中，，，，点是上（不与，重合），过点作，，垂足分别是，．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图，连接，为的中点，随着点在边上位置的改变，的长度是否也会改变？若不变，求的长度；若有变化，求的取值范围．
【答案】（1）证明：在中，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形.
（2）解：的长度会改变，理由是：连接，
由（）证得四边形是矩形，
∴，
过点作，当时，则最小，
∴，
∵点是斜边上 （不与，重合），
∴，
∴的范围是，
即的范围是，
∵为的中点，
∴G在上，且，
∴的范围是．
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证出，再结合，，最后即可证出四边形是矩形；
（2）连接，过点作，当时，则最小，再求出的范围是，最后利用矩形的性质可得的范围是．
（1）证明：在中，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：的长度会改变，理由是：连接，
由（）证得四边形是矩形，
∴，
过点作，当时，则最小，
∴，
∵点是斜边上 （不与，重合），
∴，
∴的范围是，
即的范围是，
∵为的中点，
∴G在上，且，
∴的范围是．
18．在中，，，点在边上．
（1）如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接求证：；
（2）如图，在线段上取一点，使得，过点作，交于点，连接，过点作垂直于的延长线于点，，连接，．
求证：≌；
若，求的长．
【答案】（1）证明：，，
，
由旋转的性质得：，，
，
即，
在与中，
，
≌，
，，
，
；
（2）解：证明：，，
，
，，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
解：由知，≌，
，，
，
即，
是等腰直角三角形，
．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先证≌，可得BE=CD，，从而求得∠EBC=90°，根据垂直的定义即得结论；
（2）①先证四边形是矩形，再证△CHF是等腰直角三角形，可得，，，然后根据SAS证明△AHD≌△GFD；
②由①知△AHD≌△GFD，可得AD=DG，∠ADH=∠GDF，再证△ADG是等腰直角三角形，可得AG=AD，继而得解.
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