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特殊平行四边形·菱形的判定与性质—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．按如下步骤作四边形ABCD：如图，①画∠EAF；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，DC，BD.若∠A＝40°，则∠BDC的度数是(　　)
A．64° B．66° C．68° D．70°
2．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（　　）
A． B． C．6 D．8
4． 在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(1，0)，C(0， ).若要使以点 A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则符合条件的点 D有 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
6．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将绕着点D顺时针旋转得到，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②的面积是；③；④.其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，有下列结论：①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点，，，构成的四边形是菱形．其中一定正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：
①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．①③④
二、填空题
9．如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为　 　　．
10．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）.若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为　 　.
11．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为　 　．
12．如图1是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图.MN为衣架的墙体固定端，A为固定支点，B为滑动支点，四边形DFGI和四边形EIJH是平行四边形，且AF=BF=DF=DI=EI=EH=CH，点B在AN上滑动时，衣架外延钢体发生角度改变，其外延长度(点A和点C间的距离)也随之变化，形成衣架伸缩效果.当伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为42cm.如图3，当点B向点A移动8cm时，外延长度为90cm，则BD与GE的之间距离为　 　cm.
13．如图，在□ABCD中，，，M为AB的中点，，点E是线段CM上一个动点，以CD为对角线作□CEDF，则EF的最小值是　 　．
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点A，B，C，D和边上的点E均在格点上．
（1）线段的长为　 　；
（2）在线段上找一点M，连接，使得．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的．（不要求证明）　 　．
三、解答题
15． 将两张完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片FBED按如图方式放置，BD为两者重合的对角线，重叠部分为四边形DHBG.
（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB＝8，AD＝4，求四边形DHBG的面积．
16．如图1，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．若点为直线上的一点，当运动时间为何值时，以、、、构成的四边形是菱形？
17．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O作MN⊥AC，分别交AD，BC于M，N。
（1）如图2，作∠CAD的平分线分别交CD，OM，于E，F，点P在ON上连接PE交AC于点G，若PF=CE，求证：∠AEP=2∠CAE：
（2）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥PE，垂足为H，若EH=5，PG=8，求EF的长。
18．如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作．
（1）如图①，证明是菱形．
（2）如图②，若，连接，，，求的度数
（3）如图③，若，，，是的中点，_______（直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：AB=AD=BC=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选： D.
【分析】由尺规作图可知AB=AD=BC=DC，则四边形ABCD是菱形， 根据菱形性质得AB∥CD，∠BD 再根据得 由此可得出的度数.
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAD=100°，
∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°，
∴∠ABD=40°，∠BAC=50°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°．
故选：C．
【分析】
由于菱形的两条对角线互相垂直平分且一条对角线平分一组对角，则当∠BAD=100°时∠BAC=50°或∠ABD=40°，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°．
3．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，
∵将沿折叠，使点与点A重合，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，解得：，即的边上的高是．
故答案为：A．
【分析】如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，
由ASA判定得出，则可证明四边形是菱形，得出，，，
在Rt△AOF中，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求高为．
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：要使四边形ABCD为菱形，则D点可以为，，，3个点.
故答案为：C.
【分析】要确定符合条件的点D的个数，需分三种情况讨论：以AC和BD为对角线、以AB和CD为对角线、以AD和BC为对角线，利用菱形对角线互相平分的性质求出D点坐标并验证.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
∴四边形的面积为．
故选：C
【分析】本题主要对矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识进行考查．
因为四边形ABCD为矩形，所以由，根据角平分线的性质可得到，根据垂直平分线的性质，可得到，，满足角边角判定条件，所以有，进一步得到，可证四边相等的平行四边形是菱形；在中，根据勾股定理得，又因为，，所以，解一元二次方程可得，进而得到．
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；菱形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1
∴∠BCD=∠BAD=90°，∠CBD=45°
由旋转性质可得∠HGD=∠BCD=90°
∠H=∠CBD=45°，BD=HD，GD=CD
∴
∴△HAE和△BGE均为直角边的等腰直角三角形
∴AE=GE
在Rt△AED和Rt△GED中
∴Rt△AED≌Rt△GED
∴，AE=AF
∴∠AFE=180°-∠EAF-∠AEF=67.5°=∠AEF
∴AE=AF
∵AE=GE，AF⊥BD，EG⊥BD
∴AF=GE且AF∥GE
∴四边形AEGF为平行四边形
∵AE=GE
∴平行四边形AEGF是菱形，①正确
∵
∴
∴，②正确
∵四边形AEGF是菱形
∴∠AFG=∠GEA=2×67.5°=135°，③错误
∴
∴，④正确
故答案为： ①②④
【分析】根据正方形性质可得∠BCD=∠BAD=90°，∠CBD=45°，，由旋转性质可得∠HGD=∠BCD=90°，∠H=∠CBD=45°，BD=HD，GD=CD，根据等腰直角三角形判定定理可得△HAE和△BGE均为直角边的等腰直角三角形，则AE=GE，再根据全等三角形判定定理可得Rt△AED≌Rt△GED，则，AE=AF，根据三角形内角和定理可得∠AFE=67.5°=∠AEF，根据等角对等边可得AE=AF，根据边之间的关系可得AF=GE且AF∥GE，再根据菱形判定定理可判断①，再根据三角形面积可判断②；根据菱形性质可得∠AFG=∠GEA=2×67.5°=135°，可判断③；再根据边之间的关系可判断④.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，故①正确；
连接，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴、是等边三角形，
∴，，
∴，四边形为菱形，故④正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②错误；
∵是的中位线，
∴，，
∴，故③正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：C．
【分析】本题考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角形中位线定理的综合应用，首先根据菱形的性质得到边和角的关系，证明得出AG=DG，结合O为AC中点判定OG为的中位线，验证结论①；连接AE，利用菱形和等边三角形的性质证明四边形ABDE为菱形，验证结论④；通过全等三角形的判定找出与全等的三角形，判断结论②的真假；利用三角形面积的倍数关系推导菱形与的面积关系，验证结论③。
8．【答案】D
【知识点】最简二次根式；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：由矩形的性质可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故①正确；
∵四边形是菱形，
∴，
若平分，
∴，
∴，
∵点C落在上的一点H处，
∴不一定等于30°
∴不一定平分，故②错误；
当点H与点A重合时，有最小值，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴，
若落在上时，有最大值，
∴四边形是正方形，
∴，
∴最大值为4，
∴，故③正确；
如图，过点F作于M，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：D．
【分析】先证出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质及折叠的性质和等量代换的性质证出平行四边形是菱形，可判断①是否正确；再利用菱形的性质及等量代换可得不一定等于30°， 可判断②是否正确；再求出 =当点H与点A重合时，有最小值，由勾股定理可求的最小值，若与重合时，有最大值，由正方形的性质可求的最大值，从而可得判断出③是否正确；再过点H作于M，利用勾股定理求出EF的长，从而可判断④是否正确；从而得解.
9．【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点A作于点E，于点F．则．
∵纸条的对边平行，即，，
∴四边形是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是2，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，即四边形是菱形，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
故答案为：．
【分析】过点A作于点E，于点F，由题意可得，四边形是菱形，根据等腰直角三角形的性质求得，即可求解．
10．【答案】48cm
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：作于点M.
由题意得：，
∴，
又∵，
设菱形的边长为x，则菱形的高为：，
根据菱形的面积公式得：，
解得：，
∴菱形的边长为6cm，
而①②③④四个平行四边形周长的总和 = 2 (AE + AH + HD + DG + GC + CF + FB + BE) = 2 (EF + FG + GH + HE) = 48cm.
故答案为：48cm.
【分析】根据①②③④四个平行四边形面积的和为 四边形ABCD面积是 可求出⑤的面积，从而可求出菱形的面积，根据菱形的性质可求出边长，进而可求出①②③④四个平行四边形周长的总和.
11．【答案】
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可得，
∴四边形是菱形，
∴
∵，
∴∠ABC=180°－46°=134°，
∴，
故答案为：．
【分析】根据作图可得四边形是菱形，于是可得，根据平行线的性质可得∠ABC的度数，继而可计算∠CBD的度数.
12．【答案】24
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连结AD、DE、EC
∵ 四边形DFGI和四边形EIJH是平行四边形，且 AF=BF=DF=DI=EI=EH=CH
∴四边形DFGI和四边形EIJH是菱形，△AFD、△DIE、△EHC是等腰三角形，，点A、D、E、C在同一条直线上
如图，初始状态时， 衣架外延长度为42cm
∴AD=DE=EC=14cm
在△AFD中，过点F作FP⊥AD，则
令PF=x，∴
如图， 当点B向点A移动8cm时，外延长度为90cm
∴AD=DE=EC=30cm
在△AFD中，过点F作FQ⊥AD，则
QF=x-4，∴
∵衣架滑动过程中，AF的长度不发生变化
∴ 解得x=24.
∴QF=20cm，DG=2QF=40cm，AF=
过点F作FK⊥GI， BD与GE的之间距离为垂线段FK的长度
∵ ，GI=AF=25cm，FI=30cm
∴FK=24cm
故答案为：24.
【分析】本题考查菱形的性质，由已知条件可得△AFD、△DIE、△EHC是等腰三角形，且，因此只需要研究△ADF中的数量关系，即可知道其他三角形的边长关系，最后利用菱形的面积计算公式，可以得到 BD与GE的之间距离。
13．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设DC与EF的交点为O，连接OB交MC于H，连接OM，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴DO＝CO，EO＝FO，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝5，
∴BC＝AD＝5，AB＝CD＝10，，
∴CO=DO=5，
∵点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝5，
∴OC＝BM＝5，
∴四边形BCOM是平行四边形，
∵OC＝BC＝5，
∴四边形BCOM是菱形，
∴OB⊥CM，，
∴，
∵，
∴当点E与点H重合时，OE有最小值，即EF有最小值，
∴EF的最小值为：．
故答案为：．
【分析】设DC与EF的交点为O，连接OB交MC于H，连接OM，根据平行四边形性质可得DO＝CO，EO＝FO，BC＝AD＝5，AB＝CD＝10，，则CO=DO=5，根据线段中点可得AM＝BM＝5，则OC＝BM＝5，再根据菱形判定定理可得四边形BCOM是菱形，则OB⊥CM，，再根据勾股定理可得OH，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】（1）
（2）如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求；
【知识点】全等三角形的实际应用；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）由题意得：在Rt△ADE中，AD=5，DE=2，
∴AE=，
故答案为：.
（2）理由如下：取格点F，连接，如图，
则，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求．
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）取点F得菱形AEGF，根据菱形对称性得MF=ME，由BF=DE=2，即可求得点M就是要求的点.
15．【答案】（1）解：∵四边形ABCD和四边形FBED是完全相同的矩形，
∴DG∥HB， DH∥GB， 且∠E =∠C =∠A =∠F=90°， AD=DE=BC=BF， DC= AB= EB= DF，
∴四边形DHBG是平行四边形，
在△DEB和△BCD中
∴△DEB≌△BCD(SAS)，
∴∠DBE=∠BDC，
∴DG=BG，
∴四边形DHBG是菱形.
（2）解：∵四边形DHBG是菱形，
∴DH = BH，
∵AB=8，
，
在 中，
∴菱形DHBG的面积
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，可得出进而可得出 ，根据矩形的性质可得AB∥CD、 ，即四边形DHBG是平行四边形，再根据平行线的性质结合即可得出 由等角对等边可得出DH=BH，由此即可证出平行四边形DHBG是菱形；
(2)设DH=BH=x，则AH=8-x，在 中，利用勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据菱形的面积公式即可求出菱形DHBG的面积.
16．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形
（3）解：∵，，，∴，
∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图2，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线同侧，则，
，
∴，
解得；
如图3，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线异侧，则，
∵，且，
∴，
解得，
综上所述，当运动时间为3秒或秒时，以、、、构成的四边形是菱形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查平行四边形和矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形存在性问题的探究。
(1)根据平行四边形的性质得到，推出，结合和对顶角相等，证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，判定四边形为平行四边形；
(2)结合平行四边形和全等三角形的性质得到，再根据，利用等腰三角形三线合一的性质得到，即，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，判定四边形为矩形；
(3)先在中利用勾股定理求出的长度，进而得到，表示出，分点P与Q在直线同侧、异侧两种情况讨论，同侧时列方程求解，异侧时，结合勾股定理列方程求解，即可得到符合条件的值。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形
（3）解：∵，，，
∴，
∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图2，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线同侧，则，
，
∴，
解得；
如图3，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线异侧，则，
∵，且，
∴，
解得，
综上所述，当运动时间为3秒或秒时，以、、、构成的四边形是菱形．
17．【答案】（1）证明：过点F作FH⊥AD于点H，延长FH，使FO=PF，连接AP、CP、CF/EO，AQ，CF交PE于点J，如图所示：
则∠AHQ= ∠AHF =90°，
∴∠AHF =∠ADC，
∴FQ//CE，
∵PF=CE， FQ=PF，
∴FQ=CE，
∴四边形CFQE为平行四边形，
∴EQ=CF，
∵AE平分∠CAD，FO⊥AO，FH⊥AD，
∴FO=FH， ∠OAF=∠HAF，
∵AF =AF，
∴Rt△AFH≌Rt△AFO(HL)，
∴AH=AO，
∵FQ-FH=PF-FO，
∴OP=HQ，
∵∠AHQ=∠AOP=90°，
∴△HOB≌△AOP(SAS)，
∴∠HAQ=∠PAO，
∵∠OAF =∠HAF，
∴∠FAO+∠PAO= ∠FAH+∠HAQ，
即∠PAF=∠QAF，
∵AP=AQ， AE=AE，
∴△EQE≌△AEP(SAS)，
∴EQ=EP，
∴CF =PE，
∵PF=CE， PC=PC，
∴△PEC≌△CFP(SSS)，
，
，
即JE=JF，
∴∠JFE=∠JEF，
∵∠PJC=∠EJF，
∴∠PCJ=∠CPJ=∠JEF=∠JFE，
∴PC//EF，
∴∠OAF= ∠OCP，∠AFO=∠CPO，
∵MN 垂直平分 AC，
∴AO=CO，AP=CP，
∴△AOF≌△COP(AAS)，
∴AF=CP，
∴四边形APCF为平行四边形，
∵AP=CP，
∴四边形APCF为菱形，
∴∠PAC= ∠FAC， AP=CP=CF = AF，
∴∠PAO= ∠FAO=∠FAH=∠QAH， AP=PE=CF，
∴∠AEP= ∠PAE，
∵∠PAE= ∠PAO+∠FAO=2∠CAE，
∴∠AEP =2∠CAE：
（2）解：连接FG，过点F作FI⊥PE于点I，过点P作PK⊥AE于点K，过点E作EL⊥PC于点L，如图所示：
则∠PKE=∠PLE=90°，
设PF=CE=4x，GI=M，IH=n，
根据解析（2）可知：，，
∴，
∴，
∴ 四边形PKEL为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
根据解析（2）可知：，
，
，
垂直平分
，
根据勾股定理得：，
，
，
，
整理得：，
根据勾股定理得：，，
，
即，
整理得：，
把代入得：，
整理得：，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
整理得：，
解得或
当时，，不符合题意舍去，
当时，，即
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1)过点F作FH⊥AD于点H，延长FH，使FQ=PF，连接AP， CP，CF，EQ，AQ，CF交PE于点J，证明四边形CFQE为平行四边形，得出EQ=CF，证明Rt△AFH≌Rt△AFO(HL)，得出AH=AO，证明△AHQ≌△AOP(SAS)，得出∠HAQ=∠PAO，证明△AEQ≌△AEP(SAS)，得出EQ=EP，证明△PEC≌△CFP(SSS)，得出∠CPJ=∠PCJ，证明△AOF≌△COP(AAS)，得出AF=CP，证明四边形APCF为菱形，得出∠PAC=∠FAC，AP=CP=CF=AF，证明∠AEP=∠PAE，根据∠PAE=∠PAO+∠FAO=2∠CAE，即可证明结论；
(2)连接FG，过点F作FI⊥PE于点I，过点P作PK⊥AE于点K，过点E作EL⊥PC于点L，设PF=CE=4x，GI=m，IH=n，证明四边形PKEL为矩形，得出KE=PL，PK=EL，证明Rt△PFK≌Rt△ECL(HL)，得出FK=CL，求出KE=PL=13+m+n-5=8+m+n， EF=KE-KF=8+m+n-5=3+m+n，根据勾股定理得出PF2-PI2=FG2-GI2，即(4x)2-(8+m)2=82-m2，求出m=x2-8，根据勾股定理得出PE2-PL2=CE2-CL2，即(13+m+n)2-(8+m+n)2=(4x)2-52，求出，得出，根据勾股定理求出EF2-I
E2=GF2-IG2，得出，求出或，最后代入求出结果即可.
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，
∵，
∴，，
由（1）可得四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】（3）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
如图：作于，则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题主要考察平行四边形、菱形、正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用。
(1)先根据平行四边形的性质和角平分线的定义推出，利用等角对等边得出，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形完成证明；
(2)先根据平行四边形和菱形的性质得出、、，证明，得出、，再证明是等边三角形得到，推出，进而判定是等边三角形，得出的度数；
(3)先由平行四边形和角平分线的性质得出，求出，结合判定四边形是正方形，求出、的长度，根据是中点求出，作于，利用等腰直角三角形的性质求出、的长度，再求出的长度，最后在中利用勾股定理计算的长度。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，，
由（1）可得四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
（3）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
如图：作于，则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
1 / 1特殊平行四边形·菱形的判定与性质—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．按如下步骤作四边形ABCD：如图，①画∠EAF；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，DC，BD.若∠A＝40°，则∠BDC的度数是(　　)
A．64° B．66° C．68° D．70°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：AB=AD=BC=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选： D.
【分析】由尺规作图可知AB=AD=BC=DC，则四边形ABCD是菱形， 根据菱形性质得AB∥CD，∠BD 再根据得 由此可得出的度数.
2．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAD=100°，
∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°，
∴∠ABD=40°，∠BAC=50°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°．
故选：C．
【分析】
由于菱形的两条对角线互相垂直平分且一条对角线平分一组对角，则当∠BAD=100°时∠BAC=50°或∠ABD=40°，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为40°或50°．
3．如图，将沿折叠，使点与点A重合．如果，，那么的边上的高为（　　）
A． B． C．6 D．8
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，
∵将沿折叠，使点与点A重合，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，解得：，即的边上的高是．
故答案为：A．
【分析】如图：连接、，设的边上的高为h，与于点O，
由ASA判定得出，则可证明四边形是菱形，得出，，，
在Rt△AOF中，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求高为．
4． 在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(1，0)，C(0， ).若要使以点 A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则符合条件的点 D有 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：要使四边形ABCD为菱形，则D点可以为，，，3个点.
故答案为：C.
【分析】要确定符合条件的点D的个数，需分三种情况讨论：以AC和BD为对角线、以AB和CD为对角线、以AD和BC为对角线，利用菱形对角线互相平分的性质求出D点坐标并验证.
5．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
∴四边形的面积为．
故选：C
【分析】本题主要对矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识进行考查．
因为四边形ABCD为矩形，所以由，根据角平分线的性质可得到，根据垂直平分线的性质，可得到，，满足角边角判定条件，所以有，进一步得到，可证四边相等的平行四边形是菱形；在中，根据勾股定理得，又因为，，所以，解一元二次方程可得，进而得到．
6．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将绕着点D顺时针旋转得到，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②的面积是；③；④.其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；菱形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1
∴∠BCD=∠BAD=90°，∠CBD=45°
由旋转性质可得∠HGD=∠BCD=90°
∠H=∠CBD=45°，BD=HD，GD=CD
∴
∴△HAE和△BGE均为直角边的等腰直角三角形
∴AE=GE
在Rt△AED和Rt△GED中
∴Rt△AED≌Rt△GED
∴，AE=AF
∴∠AFE=180°-∠EAF-∠AEF=67.5°=∠AEF
∴AE=AF
∵AE=GE，AF⊥BD，EG⊥BD
∴AF=GE且AF∥GE
∴四边形AEGF为平行四边形
∵AE=GE
∴平行四边形AEGF是菱形，①正确
∵
∴
∴，②正确
∵四边形AEGF是菱形
∴∠AFG=∠GEA=2×67.5°=135°，③错误
∴
∴，④正确
故答案为： ①②④
【分析】根据正方形性质可得∠BCD=∠BAD=90°，∠CBD=45°，，由旋转性质可得∠HGD=∠BCD=90°，∠H=∠CBD=45°，BD=HD，GD=CD，根据等腰直角三角形判定定理可得△HAE和△BGE均为直角边的等腰直角三角形，则AE=GE，再根据全等三角形判定定理可得Rt△AED≌Rt△GED，则，AE=AF，根据三角形内角和定理可得∠AFE=67.5°=∠AEF，根据等角对等边可得AE=AF，根据边之间的关系可得AF=GE且AF∥GE，再根据菱形判定定理可判断①，再根据三角形面积可判断②；根据菱形性质可得∠AFG=∠GEA=2×67.5°=135°，可判断③；再根据边之间的关系可判断④.
7．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，有下列结论：①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点，，，构成的四边形是菱形．其中一定正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，故①正确；
连接，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴、是等边三角形，
∴，，
∴，四边形为菱形，故④正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②错误；
∵是的中位线，
∴，，
∴，故③正确；
综上所述，正确的有①③④，
故选：C．
【分析】本题考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角形中位线定理的综合应用，首先根据菱形的性质得到边和角的关系，证明得出AG=DG，结合O为AC中点判定OG为的中位线，验证结论①；连接AE，利用菱形和等边三角形的性质证明四边形ABDE为菱形，验证结论④；通过全等三角形的判定找出与全等的三角形，判断结论②的真假；利用三角形面积的倍数关系推导菱形与的面积关系，验证结论③。
8．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：
①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【知识点】最简二次根式；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：由矩形的性质可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故①正确；
∵四边形是菱形，
∴，
若平分，
∴，
∴，
∵点C落在上的一点H处，
∴不一定等于30°
∴不一定平分，故②错误；
当点H与点A重合时，有最小值，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴，
若落在上时，有最大值，
∴四边形是正方形，
∴，
∴最大值为4，
∴，故③正确；
如图，过点F作于M，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：D．
【分析】先证出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质及折叠的性质和等量代换的性质证出平行四边形是菱形，可判断①是否正确；再利用菱形的性质及等量代换可得不一定等于30°， 可判断②是否正确；再求出 =当点H与点A重合时，有最小值，由勾股定理可求的最小值，若与重合时，有最大值，由正方形的性质可求的最大值，从而可得判断出③是否正确；再过点H作于M，利用勾股定理求出EF的长，从而可判断④是否正确；从而得解.
二、填空题
9．如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为　 　　．
【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点A作于点E，于点F．则．
∵纸条的对边平行，即，，
∴四边形是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是2，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，即四边形是菱形，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
故答案为：．
【分析】过点A作于点E，于点F，由题意可得，四边形是菱形，根据等腰直角三角形的性质求得，即可求解．
10．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）.若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为　 　.
【答案】48cm
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：作于点M.
由题意得：，
∴，
又∵，
设菱形的边长为x，则菱形的高为：，
根据菱形的面积公式得：，
解得：，
∴菱形的边长为6cm，
而①②③④四个平行四边形周长的总和 = 2 (AE + AH + HD + DG + GC + CF + FB + BE) = 2 (EF + FG + GH + HE) = 48cm.
故答案为：48cm.
【分析】根据①②③④四个平行四边形面积的和为 四边形ABCD面积是 可求出⑤的面积，从而可求出菱形的面积，根据菱形的性质可求出边长，进而可求出①②③④四个平行四边形周长的总和.
11．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可得，
∴四边形是菱形，
∴
∵，
∴∠ABC=180°－46°=134°，
∴，
故答案为：．
【分析】根据作图可得四边形是菱形，于是可得，根据平行线的性质可得∠ABC的度数，继而可计算∠CBD的度数.
12．如图1是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图.MN为衣架的墙体固定端，A为固定支点，B为滑动支点，四边形DFGI和四边形EIJH是平行四边形，且AF=BF=DF=DI=EI=EH=CH，点B在AN上滑动时，衣架外延钢体发生角度改变，其外延长度(点A和点C间的距离)也随之变化，形成衣架伸缩效果.当伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为42cm.如图3，当点B向点A移动8cm时，外延长度为90cm，则BD与GE的之间距离为　 　cm.
【答案】24
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连结AD、DE、EC
∵ 四边形DFGI和四边形EIJH是平行四边形，且 AF=BF=DF=DI=EI=EH=CH
∴四边形DFGI和四边形EIJH是菱形，△AFD、△DIE、△EHC是等腰三角形，，点A、D、E、C在同一条直线上
如图，初始状态时， 衣架外延长度为42cm
∴AD=DE=EC=14cm
在△AFD中，过点F作FP⊥AD，则
令PF=x，∴
如图， 当点B向点A移动8cm时，外延长度为90cm
∴AD=DE=EC=30cm
在△AFD中，过点F作FQ⊥AD，则
QF=x-4，∴
∵衣架滑动过程中，AF的长度不发生变化
∴ 解得x=24.
∴QF=20cm，DG=2QF=40cm，AF=
过点F作FK⊥GI， BD与GE的之间距离为垂线段FK的长度
∵ ，GI=AF=25cm，FI=30cm
∴FK=24cm
故答案为：24.
【分析】本题考查菱形的性质，由已知条件可得△AFD、△DIE、△EHC是等腰三角形，且，因此只需要研究△ADF中的数量关系，即可知道其他三角形的边长关系，最后利用菱形的面积计算公式，可以得到 BD与GE的之间距离。
13．如图，在□ABCD中，，，M为AB的中点，，点E是线段CM上一个动点，以CD为对角线作□CEDF，则EF的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设DC与EF的交点为O，连接OB交MC于H，连接OM，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴DO＝CO，EO＝FO，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝5，
∴BC＝AD＝5，AB＝CD＝10，，
∴CO=DO=5，
∵点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝5，
∴OC＝BM＝5，
∴四边形BCOM是平行四边形，
∵OC＝BC＝5，
∴四边形BCOM是菱形，
∴OB⊥CM，，
∴，
∵，
∴当点E与点H重合时，OE有最小值，即EF有最小值，
∴EF的最小值为：．
故答案为：．
【分析】设DC与EF的交点为O，连接OB交MC于H，连接OM，根据平行四边形性质可得DO＝CO，EO＝FO，BC＝AD＝5，AB＝CD＝10，，则CO=DO=5，根据线段中点可得AM＝BM＝5，则OC＝BM＝5，再根据菱形判定定理可得四边形BCOM是菱形，则OB⊥CM，，再根据勾股定理可得OH，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点A，B，C，D和边上的点E均在格点上．
（1）线段的长为　 　；
（2）在线段上找一点M，连接，使得．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的．（不要求证明）　 　．
【答案】（1）
（2）如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求；
【知识点】全等三角形的实际应用；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）由题意得：在Rt△ADE中，AD=5，DE=2，
∴AE=，
故答案为：.
（2）理由如下：取格点F，连接，如图，
则，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：如图，取格点G，连接交于点M，则点M即为所求．
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）取点F得菱形AEGF，根据菱形对称性得MF=ME，由BF=DE=2，即可求得点M就是要求的点.
三、解答题
15． 将两张完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片FBED按如图方式放置，BD为两者重合的对角线，重叠部分为四边形DHBG.
（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB＝8，AD＝4，求四边形DHBG的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD和四边形FBED是完全相同的矩形，
∴DG∥HB， DH∥GB， 且∠E =∠C =∠A =∠F=90°， AD=DE=BC=BF， DC= AB= EB= DF，
∴四边形DHBG是平行四边形，
在△DEB和△BCD中
∴△DEB≌△BCD(SAS)，
∴∠DBE=∠BDC，
∴DG=BG，
∴四边形DHBG是菱形.
（2）解：∵四边形DHBG是菱形，
∴DH = BH，
∵AB=8，
，
在 中，
∴菱形DHBG的面积
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，可得出进而可得出 ，根据矩形的性质可得AB∥CD、 ，即四边形DHBG是平行四边形，再根据平行线的性质结合即可得出 由等角对等边可得出DH=BH，由此即可证出平行四边形DHBG是菱形；
(2)设DH=BH=x，则AH=8-x，在 中，利用勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据菱形的面积公式即可求出菱形DHBG的面积.
16．如图1，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．若点为直线上的一点，当运动时间为何值时，以、、、构成的四边形是菱形？
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形
（3）解：∵，，，∴，
∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图2，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线同侧，则，
，
∴，
解得；
如图3，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线异侧，则，
∵，且，
∴，
解得，
综上所述，当运动时间为3秒或秒时，以、、、构成的四边形是菱形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查平行四边形和矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形存在性问题的探究。
(1)根据平行四边形的性质得到，推出，结合和对顶角相等，证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，判定四边形为平行四边形；
(2)结合平行四边形和全等三角形的性质得到，再根据，利用等腰三角形三线合一的性质得到，即，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，判定四边形为矩形；
(3)先在中利用勾股定理求出的长度，进而得到，表示出，分点P与Q在直线同侧、异侧两种情况讨论，同侧时列方程求解，异侧时，结合勾股定理列方程求解，即可得到符合条件的值。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形
（3）解：∵，，，
∴，
∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图2，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线同侧，则，
，
∴，
解得；
如图3，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线异侧，则，
∵，且，
∴，
解得，
综上所述，当运动时间为3秒或秒时，以、、、构成的四边形是菱形．
17．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O作MN⊥AC，分别交AD，BC于M，N。
（1）如图2，作∠CAD的平分线分别交CD，OM，于E，F，点P在ON上连接PE交AC于点G，若PF=CE，求证：∠AEP=2∠CAE：
（2）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥PE，垂足为H，若EH=5，PG=8，求EF的长。
【答案】（1）证明：过点F作FH⊥AD于点H，延长FH，使FO=PF，连接AP、CP、CF/EO，AQ，CF交PE于点J，如图所示：
则∠AHQ= ∠AHF =90°，
∴∠AHF =∠ADC，
∴FQ//CE，
∵PF=CE， FQ=PF，
∴FQ=CE，
∴四边形CFQE为平行四边形，
∴EQ=CF，
∵AE平分∠CAD，FO⊥AO，FH⊥AD，
∴FO=FH， ∠OAF=∠HAF，
∵AF =AF，
∴Rt△AFH≌Rt△AFO(HL)，
∴AH=AO，
∵FQ-FH=PF-FO，
∴OP=HQ，
∵∠AHQ=∠AOP=90°，
∴△HOB≌△AOP(SAS)，
∴∠HAQ=∠PAO，
∵∠OAF =∠HAF，
∴∠FAO+∠PAO= ∠FAH+∠HAQ，
即∠PAF=∠QAF，
∵AP=AQ， AE=AE，
∴△EQE≌△AEP(SAS)，
∴EQ=EP，
∴CF =PE，
∵PF=CE， PC=PC，
∴△PEC≌△CFP(SSS)，
，
，
即JE=JF，
∴∠JFE=∠JEF，
∵∠PJC=∠EJF，
∴∠PCJ=∠CPJ=∠JEF=∠JFE，
∴PC//EF，
∴∠OAF= ∠OCP，∠AFO=∠CPO，
∵MN 垂直平分 AC，
∴AO=CO，AP=CP，
∴△AOF≌△COP(AAS)，
∴AF=CP，
∴四边形APCF为平行四边形，
∵AP=CP，
∴四边形APCF为菱形，
∴∠PAC= ∠FAC， AP=CP=CF = AF，
∴∠PAO= ∠FAO=∠FAH=∠QAH， AP=PE=CF，
∴∠AEP= ∠PAE，
∵∠PAE= ∠PAO+∠FAO=2∠CAE，
∴∠AEP =2∠CAE：
（2）解：连接FG，过点F作FI⊥PE于点I，过点P作PK⊥AE于点K，过点E作EL⊥PC于点L，如图所示：
则∠PKE=∠PLE=90°，
设PF=CE=4x，GI=M，IH=n，
根据解析（2）可知：，，
∴，
∴，
∴ 四边形PKEL为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
根据解析（2）可知：，
，
，
垂直平分
，
根据勾股定理得：，
，
，
，
整理得：，
根据勾股定理得：，，
，
即，
整理得：，
把代入得：，
整理得：，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
，
整理得：，
解得或
当时，，不符合题意舍去，
当时，，即
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1)过点F作FH⊥AD于点H，延长FH，使FQ=PF，连接AP， CP，CF，EQ，AQ，CF交PE于点J，证明四边形CFQE为平行四边形，得出EQ=CF，证明Rt△AFH≌Rt△AFO(HL)，得出AH=AO，证明△AHQ≌△AOP(SAS)，得出∠HAQ=∠PAO，证明△AEQ≌△AEP(SAS)，得出EQ=EP，证明△PEC≌△CFP(SSS)，得出∠CPJ=∠PCJ，证明△AOF≌△COP(AAS)，得出AF=CP，证明四边形APCF为菱形，得出∠PAC=∠FAC，AP=CP=CF=AF，证明∠AEP=∠PAE，根据∠PAE=∠PAO+∠FAO=2∠CAE，即可证明结论；
(2)连接FG，过点F作FI⊥PE于点I，过点P作PK⊥AE于点K，过点E作EL⊥PC于点L，设PF=CE=4x，GI=m，IH=n，证明四边形PKEL为矩形，得出KE=PL，PK=EL，证明Rt△PFK≌Rt△ECL(HL)，得出FK=CL，求出KE=PL=13+m+n-5=8+m+n， EF=KE-KF=8+m+n-5=3+m+n，根据勾股定理得出PF2-PI2=FG2-GI2，即(4x)2-(8+m)2=82-m2，求出m=x2-8，根据勾股定理得出PE2-PL2=CE2-CL2，即(13+m+n)2-(8+m+n)2=(4x)2-52，求出，得出，根据勾股定理求出EF2-I
E2=GF2-IG2，得出，求出或，最后代入求出结果即可.
18．如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作．
（1）如图①，证明是菱形．
（2）如图②，若，连接，，，求的度数
（3）如图③，若，，，是的中点，_______（直接写出结果）
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，
∵，
∴，，
由（1）可得四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】（3）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
如图：作于，则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题主要考察平行四边形、菱形、正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用。
(1)先根据平行四边形的性质和角平分线的定义推出，利用等角对等边得出，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形完成证明；
(2)先根据平行四边形和菱形的性质得出、、，证明，得出、，再证明是等边三角形得到，推出，进而判定是等边三角形，得出的度数；
(3)先由平行四边形和角平分线的性质得出，求出，结合判定四边形是正方形，求出、的长度，根据是中点求出，作于，利用等腰直角三角形的性质求出、的长度，再求出的长度，最后在中利用勾股定理计算的长度。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，，
由（1）可得四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
（3）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
如图：作于，则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
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