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人教版八年级下册 21.2.2 平行四边形的判定 同步分层试卷
一、夯实基础
1．如图，在四边形中，下列条件能判断它是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图，，要使四边形成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（　　）
A． B． C． D．
3．在四边形中，AB//CD，下列选项不能说明四边形是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．AD//BC
4．如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AO=CO，BO=DO B．AB=CD，AD=BC
C．AB//CD，AB=CD D．AB//CD，AD=BC
5．在四边形ABCD中，现给出下列结论：
①若四边形ABCD 是平行四边形，则AC=BD；
②若AB∥CD，∠A=∠C，则四边形ABCD是平行四边形；
③若AB=CD，∠A=∠C，则四边形 ABCD是平行四边形.
其中正确的结论是 （　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．只有②
6． 如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也.合矩以为方，中规乃行”.如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（　　）
A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等
C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别平行
7．下列图形一定可以拼成平行四边形的是（　　）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个全等三角形 D．两个等腰直角三角形
8．如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是　 　．
9． 如图，在中，，连接，过点A作交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，若，则　 　．
10．如图，是四边形的对角线，，垂足分别为E，F，且．证明：四边形为平行四边形．
二、能力提升
11． 已知四边形ABCD中，AC与 BD交于点 O.若AC=10，BD=8，则当AO=　 　，DO=　 　时，四边形ABCD 是平行四边形.
12． 如图，点G是等边三角形ABC内任意一点，GD//BC，GE//AC，GF//AB，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，AB=6，则DG+EG+FG=　 　.
13． 小吴和小李一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，以AB、BC为边作.
小吴：如图2，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
小李：如图3，分别以点A、点C为圆心，相同长度（大于AC）为半径作弧，两弧分别相交于点M、N，连接MN交AC于点O，作射线BO，并截取，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
（1） 填空：判断他们的作图方法是否正确.（填“正确”或“错误”）
① 小吴的作法　 　；② 小李的作法　 　.
（2） 从(1)中任选一项判断，说明理由.（要求：写出推理过程）
14．如图，在□ABCD 中，BD是对角线，作AE⊥BD 于点E，CF⊥BD 于点F，连结 AF，CE.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形、
（2）若 BE=CE，AE=8，DE=16，求 CD 的长.
三、拓展创新
15．
（1）已知四边形ABCD.现有下列三个条件：①AB=CD：②AD//BC：③∠B=∠D：请从中选择两个能证明四边形ABCD是平行四边形的条件，并写出证明过程：
（2）若四边形ABCD是平行四边形.
Ⅰ实战与操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AD于点E：（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
Ⅱ猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段CD、DE和BC的数景关系，并加以证明.
16．某数学兴趣小组成员学行四边形的判定定理后，提出“还有其他方法可以判定一个四边形是平行四边形吗？”小组成员根据之前的学习经验，进行了如下探究．
【发现问题】课本上的定理都是从边或对角线的关系来判定一个四边形是否为平行四边形，那可以从边与角的关系来探究新的判定方法吗？
【提出猜想】猜想一：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；
猜想二：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形．
【验证猜想】小组成员经过探索发现：猜想一为真命题，猜想二为假命题．请跟小组成员一起完善下列验证过程．
（1）已知，如图1，在四边形中，AD//BC，，求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，在中，，点在上，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴，作出点的对应点，连接，．请在图中找出猜想二的一个反例图形，并说明理由．
（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，若，当四边形的周长与以，，为顶点的平行四边形的周长相等时，的长为　 　．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据，，得出四边形是平行四边形，故本选项正确；
B、根据，不能判断四边形是平行四边形，故本选项错误；
C、根据，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项错误；
D、根据，不能判断四边形是平行四边形，故本选项错误；
故选：A．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A：∠1=∠2可得出AD∥BC，结合已知不能得出 四边形为平行四边形， 所以A不符合题意；
B：连接BD，在三角形ABD和三角形CDB中，满足两边和其中一边的对角对应相等，不能判定两三角形全等，也不能得出 四边形为平行四边形，所以B不符合题意；
C：AB∥CD，结合已知，可得出一组对边平行且相等，能判定得四边形为平行四边形，所以C符合题意；
D：根据条件无法判断得四边形为平行四边形，所以D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据题中所给条件，结合各个选项的条件，分别分析能不能判断四边形为平行四边形，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
A、∵，，
∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意；
C、，不能说明四边形是平行四边形；故该选项符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形；故该选项不符合题意；
故答案为C
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，已知，需结合各选项条件判断是否能推出四边形为平行四边形。选项A中，一组对边平行且相等（且），符合平行四边形的判定定理，可判定为平行四边形；选项B中，，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可推出，结合已知，两组对边分别平行，能判定为平行四边形；选项D直接给出，与已知结合，满足“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定条件；选项C中，仅知道和，这种情况可能是等腰梯形，等腰梯形只有一组对边平行且另一组对边相等，但不是平行四边形，因此不能判定。
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠DCB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB//CD，AD//CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB//CD，AD=CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①若四边形ABCD是平行四边形，则AC，BD互相平分，故①错误；
②∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°.
∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC.
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③若AB=CD，∠A=∠C，则四边形ABCD不一定是平行四边形，如图.
故③错误.
故选D.
【分析】根据平行四边形的性质和判定逐项判断解答即可.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：已知AO = CO，BO = DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理 “对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可知该四边形是平行四边形.
故答案为：A .
【分析】识别题目中给出的条件AO = CO，BO = DO 是 “对角线互相平分”，直接匹配平行四边形的判定定理.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵两个完全一样的三角形一定可以拼成一个平行四边形，
∴两个全等三角形一定可以拼成一个平行四边形，
∴选项A，B和D不符合题意，选项C符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定方法判断求解即可。
8．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故可添加，
根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，
故可添加，
故答案为：．（答案不唯一）
【分析】本题考查平行四边形的判定定理，已知四边形有一组对边，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”添加条件，添加可满足一组对边平行且相等，添加可满足两组对边分别相等，任选其一即可。
9．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形ABDE是平行四边形，
AB=DE，
CE=2AB，
，
，
，
，
CE=2CF=4，
，
故答案为：2.
【分析】先证明四边形ABDE是平行四边形，得到AB=DE，CE=2AB，再利用直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半求得CE的值，从而求解.
10．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
则在中，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定
【解析】【分析】 根据以及垂直的定义，得到、∠DEC=∠BFC=90°，根据HL证明，再根据全等三角形的性质，得到，由平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定定理即证明四边形为平行四边形．
11．【答案】5；4
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
故答案为： 5； 4.
【分析】由平行四边形ABCD，根据平行四边形的对角线互相平分得到AO=CO，BO=DO；由AC=10，BD=8，根据AO=CO，BO=DO得到答案.
12．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长FG交BC于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=6，
∵GF∥AB，GE∥AC，
∴∠GHE=∠B=60°，∠GEH=∠C=60°，
∴△GEH与△FCH都是等边三角形，
∴GE=GH，FH=HC，
∴HF=GF+GH=GF+GE=HC
∵GD∥BC，FH∥AB，
∴四边形BDGH是平行四边形，
∴DG=BH，
∴DG+EG+FG=BH+HC=BC=6.
故答案为：6.
【分析】延长FG交BC于点H，由等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，AB=BC=6，由二直线平行，同位角相等得∠GHE=∠B=60°及∠GEH=∠C=60°，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得△GEH与△FCH都是等边三角形， 由等边三角形的三边相等得GE=GH，FH=HC，从而根据线段和差及等量代换可得GF+GE=HC；由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形BDGH是平行四边形，由平行四边形的对边相等得DG=BH，从而根据线段和差及等量代换可得DG+EG+FG=BH+HC=BC，此题得解.
13．【答案】（1）正确；正确
（2）解：选择①，∵， ，
∴ABCD为平行四边.
选择②，∵， ，
∴ABCD为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）小吴的方法可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判断；小李的方法可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判断；
（2）若选小吴的方法，就证明两组对边相等；若选小李的方法，就证明对角线互相平分.
14．【答案】（1）解：证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD于点 E，CF⊥BD于点 F，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∴AE∥CF，
在△ADE和△CBF中， ，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形 AECF是平行四边形．
（2）解：∵△ADE≌△CBF，
∴BF＝DE，
∴BE＝DF，
∵BE＝EC＝AF，
∴DF＝AF，
设 DF＝AF＝x，则有则有x2=82+（16-x)2
∴x＝10，
∴DF＝10，
∵AE＝CF＝8，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得出AD=CB，AD//CB，证明△ADE≌△CBF(AAS)，由全等三角形的性质得出AE=CF，即可得出结论；
(2)由(1)△ADE≌△CBF可得DF=AF，然后设DF=AF=x，再根据勾股定理即可求出CD的长.
15．【答案】（1）（1）选择②③．
理由：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠A=∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）（2）（Ⅰ）图形如图所示：
（Ⅱ）结论：CD+DE=BC．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=CD，
∵AE+DE=AC=BC，
∴CD+DE=BC．
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】 （1）选择②③，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）（Ⅰ）根据要求作出图形；
（Ⅱ）结论：CD+DE=BC，证明AB=CD=AE即可.
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）四边形满足一组对边相等且一组对角相等，但不是平行四边形，
理由如下，
设交于点，
∵，
∴，
∵关于对称，
∴，
又∵垂直平分，
∴，
在中，
，
∴，
∴；
，
，
∴，
在四边形中，，，
四边形不是平行四边形；
（3）7或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【解答】（3）解： 在（2）的条件下，∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴
∴
∴四边形的周长为24
如图所示，过点作于点，则，
当平行四边形的周长等于四边形的周长24时，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
如图所示，当平行四边形的周长等于四边形的周长24时，
∴，
∴，
∴此种情况不存在；
如图所示，
当平行四边形的周长等于四边形的周长24时，
∴，
∴，此时为中点
∴
故答案为：7或
【分析】（1）本题考查了平行四边形的判定和平行线的性质，根据平行线的性质得出，结合已知可得，即可证明，根据平行四边形的判定定理，即可得证；
（2）本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质，轴对称的性质，四边形满足一组对边相等且一组对角相等，但不是平行四边形，根据轴对称的性质得出四边形中，，，即可求解；
（3）本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，需要分情况讨论，在四边形的周长为定值的情况下，讨论中任意两边为平行四边形临边的三种情况，分别画出图形，根据当四边形的周长与以，，为顶点的平行四边形的周长相等，求得的长，即可求解．

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