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【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题15 选择填空压轴题
一、选择题
1．下图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线 MP 分别交正方形ABCD 的两边于点E，F，若MN=1，EM=MP=PF，则AB= （　　)
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：已知小正方形MNPQ的边长MN=1，且EM=MP=PF。
因为MNPQ是正方形，所以MP是小正方形的对角线，由勾股定理得：，
因此，
设四个全等的直角三角形的短直角边为a，长直角边为b(b>a)。
根据赵爽弦图的结构，小正方形的边长等于长直角边减短直角边，因此：b-a=1
大正方形的边长AB是直角三角形的斜边，由勾股定理得：，
过点E作EG⊥AN于点G，
因为四边形MNPQ为正方形，MP为对角线，
所以∠NMP=∠EMG=45°，
所以EG=MG=1，AG=b-2，
因为∠ANB=90°，
所以EG//BN，
所以，
所以，
即，
解得：，
则，
则.
故答案为：A.
【分析】 本题以赵爽弦图为载体，综合考查正方形性质、全等三角形、相似三角形与勾股定理。先由小正方形边长和线段相等关系，利用相似三角形求出直角三角形的两直角边，再用勾股定理计算大正方形边长 AB。
2． 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点A'是点A关于直线BD的对称点，连结A'B交 CD，AC于点E，F，连结OE. 若CF=3，OF=2， 则OE的长度为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵OF=2，CF=3，
∴OC=5，AF=7，
∵ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，
∴∠CEF=∠ABF，∠ECF=∠BAF，∠CDB=∠DBA，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
设CE=3a，则AB=DC=7a，
∴DE=DC-CE=7a-3a=4a，
由折叠可得∠A'BD=∠ABD，
∴∠CDB=∠A'BD，
∴DE=BE=4a，
又∵OD=OB，
∴OE⊥BD，
在Rt△CBE中，BC2=BE2-CE2=(4a)2-(3a)2=7a2，即BC=，
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=7a2+(7a)2=56a2=102，
解得a2=，
又∵
∴，
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，进而得到△CEF∽△ABF，根据对应边成比例设CE=3a，则AB=DC=7a，然后推理得到DE=BE=4a，根据勾股定理求出BC长，然后再在Rt△BCD中根据勾股定理得到a2=，然后根据△DEB的面积公式解答即可.
3．如图1，在菱形ABCD中， ∠ABC=120°，点P从点 D出发，以每秒1个单位的速度沿DB向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线B—C—D向终点 D匀速运动，两点同时到达终点.设运动时间为x秒，PQ2为y.如图2，y关于x的函数图象经过最低点E(2，m).下列说法不正确的是(　　)
A．n=7 B．m=25
C． D．点(4， 28)在该函数图象上
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图，
∵菱形中，，
∴，，，，
∴为等边三角形．
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，
由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，
那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，
当点Q在线段运动时，
∴，，，
∴，解得，，
则，
那么，为，
当时即为图2的点E，，
当时，，
当点Q在线段运动时，
同理可得，，，
∴，，
则，
那么，为
，
当时，，
故答案为：B .
【分析】连接，交于点O，过点Q作于点H，根据菱形的性质可得，，，然后根据两角对应相等得到，即可得到，根据图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，即，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到和，结合图2可知时，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段运动时，得到、且，根据勾股定理求得关于x的函数关系式，进而可得点E的坐标；当点Q在线段运动时，即可得到，，利用勾股定理求得关于x的函数关系式，代入x=4，求出y的值解答即可．
4．在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，点在一次函数图象上，
∴，解得：，
、当时，则，当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意；
、当时，则，当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意；
、当时，则，
∵点在第一象限内，
∴，，
∴，故该选项判断正确，符合题意；
、同理可得该选项判断错误，不符合题意．
故选：C
【分析】本题以一次函数为背景，考查了利用待定系数法求参数k、b的表达式，并根据点P(m，n)在第一象限内的条件进行符号判断。解题的关键是将A(2，2)和P(m，n)代入y=kx+b得到方程组，解得k=，b=。注意点P与A不重合，故m2。然后逐项分析：对于A、B，通过b的分子2(n-m)与分母2-m的符号组合判断b的正负；对于C、D，条件m+n=2m可化简为n=m，代入k的表达式得k==1>0，从而判断k的符号。分析时需考虑m>2或m<2对分母符号的影响，以及m与n的大小关系对分子符号的影响。
5．如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线；③以点为圆心，以为半径画弧交直线于点；④连接交于点．则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C
【分析】本题以尺规作图为背景，综合考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理。解题的关键是连接AG，由作图步骤可知EF垂直平分AB，从而得到GA=GB；再根据“以B为圆心，BA为半径画弧”可得BG=BA，因此AB=BG=AG，推出△ ABG为等边三角形，故∠ABG=60°。在△ABC中，由AB=BC且∠ ABC=90°得∠BAP=45°。最后在△ABP中利用三角形内角和为180°，即可求出∠APB=180°-60°-45°=75°。理解尺规作图每一步的几何意义是正确推理的前提。
6．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，BO交AC于点D，过点D作DH⊥AC，垂足为H.若2AH=CH，BC=10.则BD的长度为（　　）
A． B．15 C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接AD和CD，
设，
，
，，
，
，
∵BD是圆O的直径，
为直径，
，
在中，，
在中，，
①
，
在和中，
，
即②
将②代入①得：，
解得，
即，
∵弧弧
作于，
，
在中，，
在中，
，
即
，
，
，
，
解得
．
故答案为： .
【分析】连接AD和CD，设，求出AB=AC=3x，然后在和Rt△BCD中根据勾股定理得到，在和中得到，即可得到，作于，再根据余弦的定义得到，然后根据勾股定理求得到，求出BD2解答即可.
7．如图， ABCD中，DE∥BG，AF∥CH，E，G分别在AF，CH上，连结FH，∠AFB=120°，若△AFB≌△HEF，△AED与△HEF的面积相等，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设，则，，
，
，，
如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，
，
，
，
在中，，
，
．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
，
，
整理得：，
解得：，
由，则．
故答案为：D.
【分析】设，根据全等三角形的对应边相等可得，，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，在中，根据正弦的定义求出HK长，再根据三角形的面积公式求出△HEF的面积，利用平行四边形的判定和性质，利用AAS得到，即可得到，在中，利用正弦的额定义求出DG长，即可求出△ADE的面积．再根据列方程，求出k的值解答即阿珂．
8．如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发沿边AD→DC匀速运动，运动到点C时停止.过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q.设点P运动的路程为x，AQ的长为y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（　　）
A．AB=4 B．
C． D．点（6，5）在该函数图象上
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由图2得，当点 Q 运动到点 B 处时，AQ为4，即AB为4，故选项A正确；
如图，当点 P 运动到点 D 处时，路程AP为8，即AD为8，
BC∥AD，
即
故选项B正确；
当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，
此时 故选项C正确；
当路程AP=6时，如图，过点P作 于点H，
由 得 即
∴点(6，5)不在该函数图象上，故选项D错误.故选 D.
故答案为：D.
【分析】根据点的运动过程，利用函数图象得到AB长判断A选项；根据平行得到△ADC∽△DCQ，根据对应边成比例求出CQ长，再根据勾股定理求出m的值判断B选项；当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，根据勾股定理求出n的值判断C选项；当AP=6时，过点P作 于点H，得到根据对应边成比例求出QH长，再根据勾股定理求出AQ长判断D选项解答即可.
9．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为上一点，连接，将沿翻折得到交于点，连接．当四边形为平行四边形时，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；已知正弦值求边长；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，且，
∵，
∴，
设，则，
由折叠得，
在中，；
∴，
又四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】设，由菱形的性质得AC⊥BD，AD=BC，AD∥BC，且AC=2AO，由正弦函数定义结合得，由折叠得，在Rt△ADO，由勾股定理得表示出AO，从而可得AC；由平行四边形的对边平行且相等得EF∥BC，BC=EF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AD∥EF，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AEFD是平行四边形，由平行四边形的对边相等得，由线段和差表示出CE；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△ECG∽△FGD，由相似三角形对应边成比例可求出结论.
10． 为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：）（），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图象如图所示．下列选项正确的是（　　）
A．正方形的对角线长为
B．当时，重叠面积
C．当时，重叠面积
D．函数图象的最高点的坐标为
【答案】B
【知识点】正方形的性质；平行四边形的面积；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵四边形与四边形是两个相同的正方形，与是对角线，
∴，，，，
∴，
由图及图知：当（即点与点重合）时，，
当（即）时，，
此时，
∴，故选项A不正确；
∴，
∴，即正方形与正方形的边长为，
当时，此时点为的中点，如图，设交于点，交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴重叠面积，故选项B正确；
当时，如图，设交于点，交于点，
∴，四边形是正方形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴重叠面积，故选项C不正确；
由图及图知：当（即点与点重合）时，取得最大值，
此时正方形与正方形重合，
∵正方形的边长为，
∴此时重叠面积，
∴函数图象的最高点的坐标为，故选项D不正确。
故答案为：B.
【分析】根据题意结合图2可得判断A；当时，设交于点，交于点，即可得到，根据重叠部分为正方形，根据面积公式计算判断B；当时，设交于点，交于点，即可得到，利用重叠面积计算判断C；根据函数的对称性可知（即点与点重合）时，取得最大值，根据重叠面积计算判断D解答即可.
二、填空题
11．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是半圆上的一点，D为弧BC的中点，点P在半径OB上，且AC=AP，连结CP，DP，BD.若则cos∠CPD=　 　.
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；角平分线的概念；求余弦值；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，连接，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分，
又∵，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，，
在中，，
即．
故答案为：.
【分析】连结交于点，连结，根据弧、弦、圆心角的关系得到，，根据三线合一可得，，即可得到，设，，在中根据余弦的定义解答即可．
12．如图，在 ABCD中，点E在BC上，点B关于直线AE的对称点F落在□ABCD内，延长AF交DC于点G，交射线BC于点P，延长EF交CD于点Q。当CP=CE时，设则n=　 　（用含m的代数式表示）。
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
故答案为：.
【分析】延长交于点，设，，根据平行四边形的性质得到，然后根据对应边成比例求出，再根据两角对应相等得到，求出，进而得到，根据对应边成比例解答即可．
13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点E为⊙O上一点，，连结DE交AB于点F.若AH=1，AB=10，则HF的长为　 　.
【答案】
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连结OD，OE，DB，
∵AB 为⊙O的直径，弦
即
即 FB.
设
(4-x)(9-x)，
解得
∴HF的长为
故答案为：
【分析】连结OD，OE，DB，根据垂径定理和弧的加减得到即可得到DE=BD，再根据SSS得到△ODE≌△ODB，即可得到进而证明△OFD∽△DFB，根据对应边成比例求出 FB，设 然后根据勾股定理列方程求出x的值解答即可.
14． 如图， △ABC为⊙O内接三角形，其中AB为直径，且. 点E为∠BAC和∠ACB平分线的交点，连结CE 并延长交⊙O于点 P，连结 OE，BP。
①BP=　 　；
②若OE=x， CE=y， y与x之间的函数关系为　 　。
【答案】6；
【知识点】列二次函数关系式；直角三角形全等的判定-HL；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：①如图，连接，
∵平分角，
∴，
∴，
∵为的直径，且，
∴，
∴；
②连接，过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，
∵为直径，
∴，，
∵点为和平分线的交点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
整理得，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∵中，，，
∴，
整理得．
故答案为：6；.
【分析】①如图，连接，根据角平分线的定义得到，即可得到，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可；
②连接，过作三边的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的定义得到是的内心，即可得到，然后根据HL得到，即可求出AN的值，进而求出，再根据，求出，再在中根据勾股定理得到，解答即可．
15．如图，内接于，是上一点，，连接交于，平分，，，则　 　．
【答案】10
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故答案为：10
【分析】本题以圆内接三角形为背景，综合考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、圆周角定理的推论（直径所对圆周角为直角）以及勾股定理。解题的关键是延长AO交⊙O于点F，连接FC、OB。先由角平分线和平行线推出∠BAE =∠ BEA，得AB = BE =；再证，利用相似比例方程求出AO =；然后求出AF =，FE =，并证明FC = FE；最后由直径所对圆周角为直角得∠ ACF = 90°，在Rt△ ACF中利用勾股定理求出AC = 10。注意辅助线的构造以及相似三角形对应边的准确对应是突破难点。
16．如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴如图，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，
，
则垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题以菱形中的折叠问题为背景，综合考查了菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数以及垂直平分线的性质。解题的关键是通过折叠和菱形性质得到 AB = AF，从而B = AFB，结合 ADBC 及折叠得D = AFE，推出多个角相等。作辅助线 EG BC 并构造 CG = GH，利用垂直平分线得 CE = HE，再证，得到比例关系。由 cos B = 得 cosECH =，在 Rt△ECG 中设 CG = a，则 CE = 5a，CH = 2a，代入相似比例求出 EF =a，最后得到。注意辅助线的构造以及对多个角度相等关系的推导是突破难点。
17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AG是BC上的高线，点D是AG上的一点，BD交AC于点F.过点D作DE∥AB交AC于E，联结CD，若CF=2EF，△ABC的面积为2，则△ADF的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，是边上的高线，的面积为，
平分，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，即
整理得，
，，
，
，，
如图，过点作交于点，
是的中点，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形三线合一和平行线的性质可得，即可得到，设，则，根据平行线的性质得到，然后根据对应边成比例求出的长，即可求得，的长，过点作交于点， 根据平行线分线段成比例求出的值，然后根据三角形的面积公式解答即可．
18．如图，点D是△ABC内部一点，且∠DCB=∠DAB，延长AD交BC于点E.已知6AD=7DE，BE=5，CE=6，则AB=　 　.
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
故答案为：3.
【分析】过点作交于点，即可得到，根据对应边成比求出EF长，求出，设，则，然后推理得到，根据对应边成比例求出CE长，然后计算即可．
19．如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上.若 则 的值是　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴如图，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，
，
则垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质和折叠的性质得出，再根据等边对等角求出，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，根据垂直平分的性质可得，然后推理得到，根据对应边成比得到，然后根据余弦的定义得到，设，则，即可得到，然后求出比值解答即可．
20．如图，在 ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将△ADE沿AE翻折得△AFE，连结BF，点B，F，E恰好在同一直线上，延长AF交BC于点G.则△BFG与四边形AGCD的面积比为　 　.
【答案】1：8
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长AD，与BE的延长线交于点H，
∵在 ABCD中，BC=3 CD=4
∴AB=CD=4，AD=BC=3，AB//CD，AD//BC
∴∠1=∠2，∠DAG=∠5，∠3+∠C=180°，∠C=∠HDE
∵将△ADE沿AE翻折得△AFE，点B，F，E恰好在同一直线上，
∴AD=AF=3，∠3=∠4，DE=EF
∴AF=BC，
∵∠4+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠C.
在△ABF和△BEC中，
∴△ABF≌△BEC(AAS)
∴BF=EC， AB=BE=4
∵点E是CD边上的中点
∴BF=EC=DE=EF=2
在△DEH和△CEB中，
∴△DEH≌△CEB(ASA)
∴DH=CB=3， EH=EB=4，
∴AH=FH=6，
∴∠DAG=∠4
∵∠4=∠BFG
∴∠5=∠BFG
∴BF=BG=2
∴CG=1，
∵∠DAG=∠5
∴△BFG∽△HFA
∴
设△BFG边的BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h， ABCD的底边AD上的高为4h，则△BFG与四边形AGCD的面积比为
故答案为：1：8.
【分析】延长AD，与BE的延长线交于点H，证明△ABF≌△BEC(AAS)，可推出BF=EC，AB=BE=4，证明△DEH≌△CEB(ASA)，可得DH=CB=3，EH=EB=4，进而可得BF=BG=2，CG=1，因为∠DAG=∠5，证明△BFG∽△HFA，得，设△BFG的边BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h， ABCD的底边AD上的高为4h，则△BFG与四边形AGCD的面积比可求.
21．逢k进一的数称为k进制数，k为大于1的整数. k进制的n位数可以表示为，其中n为正整数， 均为小于k的自然数，且 k进制数可以化为常见的十进制数，公式如下： 例如，十六进制的两位数，二进制的三位数已知，则y关于x的函数关系式是　 　；x+y的最小值为　 　．
【答案】y=x-3；13
【知识点】列一次函数关系式；十进制及其他进制问题；进位制的认识与探究
22．如图，在平行四边形中，点分别是边上的点．若，，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长、交于点，如下图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴，
∵，
，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
即，
∴，
解得或（舍去）或（舍去），
则，
故答案为：．
【分析】延长AD、EF交于点M，由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得出∠FEC=∠AMF，由三角形内角和定理及平角定义可推出∠EAF=∠FEC=∠AMF，由有两组角相等的两个三角形相似得出△AEF∽△MEA，△AEF∽△ECF，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△DFM∽△CFE， 设CE=s，EF=t，由相似三角形对应边成比例建立方程得出AE=st，AF=t2，FM=3t，DM=3s，AM=6+3s，EM=4t， 再由相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得s与t的值，从而可求出AE的长.
23．如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：将沿折叠使点落在点处，
点与点关于直线对称，，
垂直平分，
，，
点是的中点，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，即，
解得，
，
故答案为：．
【分析】由翻折可得垂直平分，而点是的中点，则，然后得到，即可得到，进而得到，推理得到，根据勾股定理即可求出，再证明，根据对应边成比例求出长，根据线段的和差解答即可．
24． 如图，直径，弦的平分线分别交、于点D，M，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，
是圆的直径，
，
，，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据勾股定理求出，即可得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，判定是等腰直角三角形，求出，根据两脚对应相等得到，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
1 / 1【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题15 选择填空压轴题
一、选择题
1．下图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线 MP 分别交正方形ABCD 的两边于点E，F，若MN=1，EM=MP=PF，则AB= （　　)
A． B． C．2 D．
2． 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点A'是点A关于直线BD的对称点，连结A'B交 CD，AC于点E，F，连结OE. 若CF=3，OF=2， 则OE的长度为(　　)
A． B． C． D．
3．如图1，在菱形ABCD中， ∠ABC=120°，点P从点 D出发，以每秒1个单位的速度沿DB向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线B—C—D向终点 D匀速运动，两点同时到达终点.设运动时间为x秒，PQ2为y.如图2，y关于x的函数图象经过最低点E(2，m).下列说法不正确的是(　　)
A．n=7 B．m=25
C． D．点(4， 28)在该函数图象上
4．在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
5．如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线；③以点为圆心，以为半径画弧交直线于点；④连接交于点．则（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，BO交AC于点D，过点D作DH⊥AC，垂足为H.若2AH=CH，BC=10.则BD的长度为（　　）
A． B．15 C． D．
7．如图， ABCD中，DE∥BG，AF∥CH，E，G分别在AF，CH上，连结FH，∠AFB=120°，若△AFB≌△HEF，△AED与△HEF的面积相等，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发沿边AD→DC匀速运动，运动到点C时停止.过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q.设点P运动的路程为x，AQ的长为y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（　　）
A．AB=4 B．
C． D．点（6，5）在该函数图象上
9．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为上一点，连接，将沿翻折得到交于点，连接．当四边形为平行四边形时，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10． 为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：）（），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图象如图所示．下列选项正确的是（　　）
A．正方形的对角线长为
B．当时，重叠面积
C．当时，重叠面积
D．函数图象的最高点的坐标为
二、填空题
11．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是半圆上的一点，D为弧BC的中点，点P在半径OB上，且AC=AP，连结CP，DP，BD.若则cos∠CPD=　 　.
12．如图，在 ABCD中，点E在BC上，点B关于直线AE的对称点F落在□ABCD内，延长AF交DC于点G，交射线BC于点P，延长EF交CD于点Q。当CP=CE时，设则n=　 　（用含m的代数式表示）。
13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点E为⊙O上一点，，连结DE交AB于点F.若AH=1，AB=10，则HF的长为　 　.
14． 如图， △ABC为⊙O内接三角形，其中AB为直径，且. 点E为∠BAC和∠ACB平分线的交点，连结CE 并延长交⊙O于点 P，连结 OE，BP。
①BP=　 　；
②若OE=x， CE=y， y与x之间的函数关系为　 　。
15．如图，内接于，是上一点，，连接交于，平分，，，则　 　．
16．如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是　 　．
17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AG是BC上的高线，点D是AG上的一点，BD交AC于点F.过点D作DE∥AB交AC于E，联结CD，若CF=2EF，△ABC的面积为2，则△ADF的面积为　 　.
18．如图，点D是△ABC内部一点，且∠DCB=∠DAB，延长AD交BC于点E.已知6AD=7DE，BE=5，CE=6，则AB=　 　.
19．如图，点E在菱形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上.若 则 的值是　 　．
20．如图，在 ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将△ADE沿AE翻折得△AFE，连结BF，点B，F，E恰好在同一直线上，延长AF交BC于点G.则△BFG与四边形AGCD的面积比为　 　.
21．逢k进一的数称为k进制数，k为大于1的整数. k进制的n位数可以表示为，其中n为正整数， 均为小于k的自然数，且 k进制数可以化为常见的十进制数，公式如下： 例如，十六进制的两位数，二进制的三位数已知，则y关于x的函数关系式是　 　；x+y的最小值为　 　．
22．如图，在平行四边形中，点分别是边上的点．若，，，，则的长为　 　．
23．如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为　 　．
24． 如图，直径，弦的平分线分别交、于点D，M，则线段的长为　 　．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：已知小正方形MNPQ的边长MN=1，且EM=MP=PF。
因为MNPQ是正方形，所以MP是小正方形的对角线，由勾股定理得：，
因此，
设四个全等的直角三角形的短直角边为a，长直角边为b(b>a)。
根据赵爽弦图的结构，小正方形的边长等于长直角边减短直角边，因此：b-a=1
大正方形的边长AB是直角三角形的斜边，由勾股定理得：，
过点E作EG⊥AN于点G，
因为四边形MNPQ为正方形，MP为对角线，
所以∠NMP=∠EMG=45°，
所以EG=MG=1，AG=b-2，
因为∠ANB=90°，
所以EG//BN，
所以，
所以，
即，
解得：，
则，
则.
故答案为：A.
【分析】 本题以赵爽弦图为载体，综合考查正方形性质、全等三角形、相似三角形与勾股定理。先由小正方形边长和线段相等关系，利用相似三角形求出直角三角形的两直角边，再用勾股定理计算大正方形边长 AB。
2．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵OF=2，CF=3，
∴OC=5，AF=7，
∵ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，
∴∠CEF=∠ABF，∠ECF=∠BAF，∠CDB=∠DBA，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
设CE=3a，则AB=DC=7a，
∴DE=DC-CE=7a-3a=4a，
由折叠可得∠A'BD=∠ABD，
∴∠CDB=∠A'BD，
∴DE=BE=4a，
又∵OD=OB，
∴OE⊥BD，
在Rt△CBE中，BC2=BE2-CE2=(4a)2-(3a)2=7a2，即BC=，
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=7a2+(7a)2=56a2=102，
解得a2=，
又∵
∴，
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，进而得到△CEF∽△ABF，根据对应边成比例设CE=3a，则AB=DC=7a，然后推理得到DE=BE=4a，根据勾股定理求出BC长，然后再在Rt△BCD中根据勾股定理得到a2=，然后根据△DEB的面积公式解答即可.
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图，
∵菱形中，，
∴，，，，
∴为等边三角形．
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，
由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，
那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，
当点Q在线段运动时，
∴，，，
∴，解得，，
则，
那么，为，
当时即为图2的点E，，
当时，，
当点Q在线段运动时，
同理可得，，，
∴，，
则，
那么，为
，
当时，，
故答案为：B .
【分析】连接，交于点O，过点Q作于点H，根据菱形的性质可得，，，然后根据两角对应相等得到，即可得到，根据图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，即，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到和，结合图2可知时，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段运动时，得到、且，根据勾股定理求得关于x的函数关系式，进而可得点E的坐标；当点Q在线段运动时，即可得到，，利用勾股定理求得关于x的函数关系式，代入x=4，求出y的值解答即可．
4．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，点在一次函数图象上，
∴，解得：，
、当时，则，当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意；
、当时，则，当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意；
、当时，则，
∵点在第一象限内，
∴，，
∴，故该选项判断正确，符合题意；
、同理可得该选项判断错误，不符合题意．
故选：C
【分析】本题以一次函数为背景，考查了利用待定系数法求参数k、b的表达式，并根据点P(m，n)在第一象限内的条件进行符号判断。解题的关键是将A(2，2)和P(m，n)代入y=kx+b得到方程组，解得k=，b=。注意点P与A不重合，故m2。然后逐项分析：对于A、B，通过b的分子2(n-m)与分母2-m的符号组合判断b的正负；对于C、D，条件m+n=2m可化简为n=m，代入k的表达式得k==1>0，从而判断k的符号。分析时需考虑m>2或m<2对分母符号的影响，以及m与n的大小关系对分子符号的影响。
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C
【分析】本题以尺规作图为背景，综合考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理。解题的关键是连接AG，由作图步骤可知EF垂直平分AB，从而得到GA=GB；再根据“以B为圆心，BA为半径画弧”可得BG=BA，因此AB=BG=AG，推出△ ABG为等边三角形，故∠ABG=60°。在△ABC中，由AB=BC且∠ ABC=90°得∠BAP=45°。最后在△ABP中利用三角形内角和为180°，即可求出∠APB=180°-60°-45°=75°。理解尺规作图每一步的几何意义是正确推理的前提。
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接AD和CD，
设，
，
，，
，
，
∵BD是圆O的直径，
为直径，
，
在中，，
在中，，
①
，
在和中，
，
即②
将②代入①得：，
解得，
即，
∵弧弧
作于，
，
在中，，
在中，
，
即
，
，
，
，
解得
．
故答案为： .
【分析】连接AD和CD，设，求出AB=AC=3x，然后在和Rt△BCD中根据勾股定理得到，在和中得到，即可得到，作于，再根据余弦的定义得到，然后根据勾股定理求得到，求出BD2解答即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设，则，，
，
，，
如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，
，
，
，
在中，，
，
．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
，
，
整理得：，
解得：，
由，则．
故答案为：D.
【分析】设，根据全等三角形的对应边相等可得，，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，在中，根据正弦的定义求出HK长，再根据三角形的面积公式求出△HEF的面积，利用平行四边形的判定和性质，利用AAS得到，即可得到，在中，利用正弦的额定义求出DG长，即可求出△ADE的面积．再根据列方程，求出k的值解答即阿珂．
8．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象；四边形-动点问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由图2得，当点 Q 运动到点 B 处时，AQ为4，即AB为4，故选项A正确；
如图，当点 P 运动到点 D 处时，路程AP为8，即AD为8，
BC∥AD，
即
故选项B正确；
当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，
此时 故选项C正确；
当路程AP=6时，如图，过点P作 于点H，
由 得 即
∴点(6，5)不在该函数图象上，故选项D错误.故选 D.
故答案为：D.
【分析】根据点的运动过程，利用函数图象得到AB长判断A选项；根据平行得到△ADC∽△DCQ，根据对应边成比例求出CQ长，再根据勾股定理求出m的值判断B选项；当点 P 运动到点C处时，点 Q 与点C 重合，根据勾股定理求出n的值判断C选项；当AP=6时，过点P作 于点H，得到根据对应边成比例求出QH长，再根据勾股定理求出AQ长判断D选项解答即可.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；已知正弦值求边长；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，且，
∵，
∴，
设，则，
由折叠得，
在中，；
∴，
又四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】设，由菱形的性质得AC⊥BD，AD=BC，AD∥BC，且AC=2AO，由正弦函数定义结合得，由折叠得，在Rt△ADO，由勾股定理得表示出AO，从而可得AC；由平行四边形的对边平行且相等得EF∥BC，BC=EF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AD∥EF，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AEFD是平行四边形，由平行四边形的对边相等得，由线段和差表示出CE；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△ECG∽△FGD，由相似三角形对应边成比例可求出结论.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；平行四边形的面积；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵四边形与四边形是两个相同的正方形，与是对角线，
∴，，，，
∴，
由图及图知：当（即点与点重合）时，，
当（即）时，，
此时，
∴，故选项A不正确；
∴，
∴，即正方形与正方形的边长为，
当时，此时点为的中点，如图，设交于点，交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴重叠面积，故选项B正确；
当时，如图，设交于点，交于点，
∴，四边形是正方形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴重叠面积，故选项C不正确；
由图及图知：当（即点与点重合）时，取得最大值，
此时正方形与正方形重合，
∵正方形的边长为，
∴此时重叠面积，
∴函数图象的最高点的坐标为，故选项D不正确。
故答案为：B.
【分析】根据题意结合图2可得判断A；当时，设交于点，交于点，即可得到，根据重叠部分为正方形，根据面积公式计算判断B；当时，设交于点，交于点，即可得到，利用重叠面积计算判断C；根据函数的对称性可知（即点与点重合）时，取得最大值，根据重叠面积计算判断D解答即可.
11．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；角平分线的概念；求余弦值；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，连接，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分，
又∵，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，，
在中，，
即．
故答案为：.
【分析】连结交于点，连结，根据弧、弦、圆心角的关系得到，，根据三线合一可得，，即可得到，设，，在中根据余弦的定义解答即可．
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
故答案为：.
【分析】延长交于点，设，，根据平行四边形的性质得到，然后根据对应边成比例求出，再根据两角对应相等得到，求出，进而得到，根据对应边成比例解答即可．
13．【答案】
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连结OD，OE，DB，
∵AB 为⊙O的直径，弦
即
即 FB.
设
(4-x)(9-x)，
解得
∴HF的长为
故答案为：
【分析】连结OD，OE，DB，根据垂径定理和弧的加减得到即可得到DE=BD，再根据SSS得到△ODE≌△ODB，即可得到进而证明△OFD∽△DFB，根据对应边成比例求出 FB，设 然后根据勾股定理列方程求出x的值解答即可.
14．【答案】6；
【知识点】列二次函数关系式；直角三角形全等的判定-HL；三角形的内切圆与内心；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：①如图，连接，
∵平分角，
∴，
∴，
∵为的直径，且，
∴，
∴；
②连接，过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，
∵为直径，
∴，，
∵点为和平分线的交点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
整理得，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∵中，，，
∴，
整理得．
故答案为：6；.
【分析】①如图，连接，根据角平分线的定义得到，即可得到，然后根据等腰直角三角形的性质解答即可；
②连接，过作三边的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的定义得到是的内心，即可得到，然后根据HL得到，即可求出AN的值，进而求出，再根据，求出，再在中根据勾股定理得到，解答即可．
15．【答案】10
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故答案为：10
【分析】本题以圆内接三角形为背景，综合考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、圆周角定理的推论（直径所对圆周角为直角）以及勾股定理。解题的关键是延长AO交⊙O于点F，连接FC、OB。先由角平分线和平行线推出∠BAE =∠ BEA，得AB = BE =；再证，利用相似比例方程求出AO =；然后求出AF =，FE =，并证明FC = FE；最后由直径所对圆周角为直角得∠ ACF = 90°，在Rt△ ACF中利用勾股定理求出AC = 10。注意辅助线的构造以及相似三角形对应边的准确对应是突破难点。
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴如图，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，
，
则垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题以菱形中的折叠问题为背景，综合考查了菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数以及垂直平分线的性质。解题的关键是通过折叠和菱形性质得到 AB = AF，从而B = AFB，结合 ADBC 及折叠得D = AFE，推出多个角相等。作辅助线 EG BC 并构造 CG = GH，利用垂直平分线得 CE = HE，再证，得到比例关系。由 cos B = 得 cosECH =，在 Rt△ECG 中设 CG = a，则 CE = 5a，CH = 2a，代入相似比例求出 EF =a，最后得到。注意辅助线的构造以及对多个角度相等关系的推导是突破难点。
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，是边上的高线，的面积为，
平分，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，即
整理得，
，，
，
，，
如图，过点作交于点，
是的中点，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】根据等腰三角形三线合一和平行线的性质可得，即可得到，设，则，根据平行线的性质得到，然后根据对应边成比例求出的长，即可求得，的长，过点作交于点， 根据平行线分线段成比例求出的值，然后根据三角形的面积公式解答即可．
18．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
故答案为：3.
【分析】过点作交于点，即可得到，根据对应边成比求出EF长，求出，设，则，然后推理得到，根据对应边成比例求出CE长，然后计算即可．
19．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴如图，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，
，
则垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质和折叠的性质得出，再根据等边对等角求出，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，根据垂直平分的性质可得，然后推理得到，根据对应边成比得到，然后根据余弦的定义得到，设，则，即可得到，然后求出比值解答即可．
20．【答案】1：8
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长AD，与BE的延长线交于点H，
∵在 ABCD中，BC=3 CD=4
∴AB=CD=4，AD=BC=3，AB//CD，AD//BC
∴∠1=∠2，∠DAG=∠5，∠3+∠C=180°，∠C=∠HDE
∵将△ADE沿AE翻折得△AFE，点B，F，E恰好在同一直线上，
∴AD=AF=3，∠3=∠4，DE=EF
∴AF=BC，
∵∠4+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠C.
在△ABF和△BEC中，
∴△ABF≌△BEC(AAS)
∴BF=EC， AB=BE=4
∵点E是CD边上的中点
∴BF=EC=DE=EF=2
在△DEH和△CEB中，
∴△DEH≌△CEB(ASA)
∴DH=CB=3， EH=EB=4，
∴AH=FH=6，
∴∠DAG=∠4
∵∠4=∠BFG
∴∠5=∠BFG
∴BF=BG=2
∴CG=1，
∵∠DAG=∠5
∴△BFG∽△HFA
∴
设△BFG边的BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h， ABCD的底边AD上的高为4h，则△BFG与四边形AGCD的面积比为
故答案为：1：8.
【分析】延长AD，与BE的延长线交于点H，证明△ABF≌△BEC(AAS)，可推出BF=EC，AB=BE=4，证明△DEH≌△CEB(ASA)，可得DH=CB=3，EH=EB=4，进而可得BF=BG=2，CG=1，因为∠DAG=∠5，证明△BFG∽△HFA，得，设△BFG的边BG上的高为h，则△AFH的边AH上的高为3h， ABCD的底边AD上的高为4h，则△BFG与四边形AGCD的面积比可求.
21．【答案】y=x-3；13
【知识点】列一次函数关系式；十进制及其他进制问题；进位制的认识与探究
22．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长、交于点，如下图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴，
∵，
，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
即，
∴，
解得或（舍去）或（舍去），
则，
故答案为：．
【分析】延长AD、EF交于点M，由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得出∠FEC=∠AMF，由三角形内角和定理及平角定义可推出∠EAF=∠FEC=∠AMF，由有两组角相等的两个三角形相似得出△AEF∽△MEA，△AEF∽△ECF，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△DFM∽△CFE， 设CE=s，EF=t，由相似三角形对应边成比例建立方程得出AE=st，AF=t2，FM=3t，DM=3s，AM=6+3s，EM=4t， 再由相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得s与t的值，从而可求出AE的长.
23．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：将沿折叠使点落在点处，
点与点关于直线对称，，
垂直平分，
，，
点是的中点，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，即，
解得，
，
故答案为：．
【分析】由翻折可得垂直平分，而点是的中点，则，然后得到，即可得到，进而得到，推理得到，根据勾股定理即可求出，再证明，根据对应边成比例求出长，根据线段的和差解答即可．
24．【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，
是圆的直径，
，
，，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据勾股定理求出，即可得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，判定是等腰直角三角形，求出，根据两脚对应相等得到，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
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