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【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题16 解答题压轴题
一、解答题
1．如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），点B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M，满足∠CAE=∠MAE.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：
（3）若射线BM切⊙O于点A，DC=3，tan∠AED=，求BD的长.
【答案】（1）证明：∵DE为△ADE外接圆⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠BAD=∠EAC+∠DAC=90°，
∵∠CAE=∠MAE，
∴∠BAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC
（2）证明：连接AO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，OAD=∠OA
∴∠B=∠OAC，
∵∠AOB=∠COA，
∴△AOC∽△BOA，
；
（3）∵射线BM与⊙O相切于点A，
∴∠OAB=90°，由（2）知，△AOC∽△BOA，
在中，，
∴，
解得，
由，得BD=5.
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等角的余角相得得到，即可证明结论；
（2）根据等边对等角得到，根据三角形的外角得到，即可得到，根据对应边成比例得到，证明结论；
（3）根据切线的性质和相似三角形的性质可得∠ACO=∠OAB=90°，然后根据正切的定义求出DC长，进而求出OE长，代入（2）的结论解答即可．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，D，P分别为AC，BC的中点，连结BD，E为BD的中点，过点D作DM⊥BC，垂足为点M，交EP的延长线于点N，连结AE，AN。
（1）若AB=8，求EP的长；
（2）证明：CD=PN；
（3）当AE⊥EN时，求的值。
【答案】（1）解：∵D为AC的中点，
∵E，P分别为BD，BC的中点，
（2）如图，连结AP，
∵AB=AC，P为BC中点，
∴AP⊥BC，
∵DM⊥BC，
∴AP∥DM，
∵AD=CD，
∴PM=MC。
∵EP∥CD，
∴∠C=∠MPN，∠CDM=∠PNM，
∴△CDM≌△PNM，
∴CD=PN。
（3）解：∵E、P分别为BD、BC中点，
∴EP∥AC，
∴∠CAP=∠APE，
∵∠AEP=∠APC=90°，
∴△AEP∽△CPA，
∴
设EP=a，则AC=2CD=4EP=4a，
代入得
a，
【知识点】相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】
（1）根据中点求出CD长，再根据三角形的中位线定理解答即可；
（2）连接，根据三线合一得到AP⊥BC，进而得到AP∥DM，然后根据平行线分线段成比例求出PM=MC，然后根据ASA得到，利用全等三角形的对应边相得到结论；
（3）设EP=a，两角对应相等得到△AEP∽△CPA，利用对应边成比例求出AP=2a，然后根据勾股定理求出PC长，再根据两边成比例且夹角相等的的两三角形相似得到△AEN∽△APC，再根据面积比等于相似比的平方解答即可．
3．
项目式学习
问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．
【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．
【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）
【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米46810照明亮度的平方/勒克斯450300225180照明范围/平方米
（假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．
【问题探究】
（1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：　 　．
（2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度．
（3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．
（4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造　 　个路灯．
【答案】（1）米
（2）∵，
∴，
∴，
由题意可得米，米，米，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴米
（3）由表格数据得，
∴，
∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为
（4）18
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米，
故答案为：米；
（4）∵，
∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定，
∵，
∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米），
，则至少需要个路灯．
故答案为：．
【分析】（1）根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
（2）得到，得根据对应边成比例得到，然后推理得到，即可得，再根据线段的和差解答即可；
（3）根据表格数据可得乘积为定值，即可得到反比例函数解析式；
（4）先求出符合规定的路灯的高度，再根据此路灯高度下所照明范围的半径解答即可．
4．已知圆O的内接四边形ABCD，对角线 AC，BD 相交于点E.
（1）如图1，AC平分 求证：
（2）如图2，AC平分 AB为圆O的直径，若AD=3，AB=5，求 BC的值.
（3）如图3，点 F 在对角线BD 上，连结AF， 若 与的长度之和为 ，请用含 的代数式表示线段AC的长.
【答案】（1）证明：因为AC平分∠BAD，
所以∠CAD=∠BAC=∠BDC.
又因为∠DCE=∠ACD，
所以△ADC∽△DEC.
（2）解：如图，延长BC，AD相交于点 F.
因为AB是直径，
所以∠ADB=∠ACB=90°.
因为AC平分∠BAD，
所以∠F=∠ABF，
所以AB=AF=5，
所以DF=2.
在直角三角形ADB中，根据勾股定理可得DB=4.
在直角三角形BDF中，FB=2
（3）解：设圆O的半径为r.
因为∠BAF=∠CAD=∠CBD，
所以∠BAF+∠ABD=∠CBD+∠ABD，即∠AFE=∠ABC.
因为 tan∠AFE=k1，
所以
因为AC⊥BD.
所以∠ABD+∠BAC=90°，
所以AD与BCE的长度之和等于πr，所以r=k2.
过圆心O作AC 的垂线OG，连结 OA，
所以 sin∠ABC=
所以
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1) 利用圆周角定理(同弧所对圆周角相等)和角平分线性质，找到两组对应角相等，用 “AA” 判定相似；
(2) 由直径得直角，结合角平分线证等腰，用勾股定理求BD，再用相似或面积法求BC；
(3) 由弧长和得圆心角和，结合垂直、等角条件，用三角函数设参数，结合弧长公式与相似，用k1 ，k2 表示AC。
5．如图，正方形ABCD，直线DA绕点 D顺时针旋转α至DE (0°≤α≤45°)，作A关于直线DE的对称点F， AF交DE于点 G，连CF交DE于点 H，连BH交AC于点M．小明在探究∠DHC与α的大小关系时，发现其对应如下：
α 10° α
∠DHC ① ▲ ② ▲
（1）请填表，并证明结论②：
（2）求证： BH∥AF；
（3）在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比(用含α的式子表示)．
【答案】（1）45°； 45°
（2）证明：连接BD交AC于点O，连接AH， OH，如图：
由(1)可知∠AHC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴OH=OA=OC，
∴OH=OB=OD，
∴∠BHD=90°，
∴BH⊥DE，
∵DE⊥AF，
∴BH∥AF；
（3）解：设BH交AD于K，如图：
由(2)知∠BHD=90°，
∴∠KHD=∠KAB=90°，
∵∠HKD=∠AKB，
∴∠HDK=∠ABK=α，
∵AK∥BC，
∴△AKM∽△CBM，
∵AB=BC，
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：由表可知， 为定值 故 时， 当 时， 理由如下：
连接DF， AH，设CF交AD于N，如图：
∵A， F关于DE对称，
即
∴∠AHN=∠CDN=90°，
∴∠AHF=90°，
∵HF=HA， HG⊥AF，
∴∠FHE=∠AHE=45°，
∴∠DHC=∠FHE=45°；
故答案为： 45°； 45°；
【分析】(1)由表可知， 为定值 连接DF， AH，设CF交AD于N，由A， F关于DE对称，可证明 即可得 即可得到结论
(2)连接BD交AC于点O，连接AH， OH，由(1)可知 而四边形ABCD是正方形，有OA=OC=OB=OD，可得 从而得到结论；
(3)设BH交AD于K，证明 可得由，即可解答
6． 如图，在四边形ABCD中， 过点A， B， C作⊙O交CD边于点E，连结AE，且.AD=AE.
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形.
（2）若
①求四边形ABCD 的面积.
②延长BC至点 G，连结DG，使 在线段CG上取点 F，过点 F作 交DG于点 H，求 GH的最大值.
【答案】（1）证明：如图1，
∵AD=AE， ∴∠1=∠2.
∵AD∥BC， ∴∠1=∠DCG， ∴∠2=∠DCG.
∵∠2+∠AEC=180°， ∠B+∠AEC=180°，
∴∠2=∠B， ∴∠DCG=∠B， ∴AB∥CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
（2）解：①如图2，连结AO并延长交BC于点I.
∵四边形ABCD 是平行四边形， AD=AE=6，
∴BC=AD=6.
∴四边形ABCD 的面积=BC×AI=6×12=72.
②如图3，分别过点A， D， H作BG的垂线于点I， M， N，
则四边形AIMD 为矩形， ∴IM=AD=6， DM=AI=12.
设NH=3a，则
∵∠AIF=∠FNH=90°， ∠IAF=∠NFH，
∴△AIF∽△FNH，
令IF=b，则
即
∴由二次函数 的图象得a≤1 (a≥49舍去) ，
∴当a=1时， GH的最大值为 ，此时b=6符合题意.
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；圆与四边形的综合；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质得到∠2=∠DCG，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到∠DCG=∠B=∠2，即可得到，进而证明结论；
（2）①连结并延长交于点I，根据垂径定理可得BI=IC=3，利用勾股定理求出的长，然后根据平行四边形的面积公式计算即可；
②分别过点A，D，H作的垂线于点I，M，N， 即可得到四边形为矩形，根据正切的定义求出IG长，设NH=3a，IF=b，然后根据两脚对应相等得到，根据对应边成比例即可得到，把b看作主元，根据方程有诗书根据得到，求出a的最大值解答即可．
7．在矩形中，，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交于点H．
（1）证明：．
（2）连结交于点K，若，求的值．
（3）作的外接圆，且．
①若与矩形的边相切时，求的长．
②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出的面积．
【答案】（1）证明：在矩形中，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴
（2）解：如图，过点K作于点M，则，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：①根据题意得：，，
当与边相切时，此时点H为切点，
如图，设与交于点R，连接，，则，
∵，
∴为的直径，
∴点O，F，R共线，且，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当与边相切时，则与边也相切，此时 F，G 为切点，为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
当与边相切时，设与边的另一个交点为点Q，设切点为点N，连接，则，
∵，
∴为直径，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，即，
∴，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴， ，
∴，
∴，
在中，，
解得：或（舍去），即；
综上所述，的长为或或；
②
【知识点】矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（3）②由题意可得如下图，连接，过点H作于点R，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据矩形的性质，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点K作于点M，则，根据两角对应相等得到，然后可得利用对应边成比例求出，再根据平行线分线段成比例解答即可；
（3）①由题意可分当与边相切；当与边相切时；当与边相切三种情况画图，根据相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例解答即可
②连接，过点H作于点R，根据折叠的性质可得，证明四边形是矩形，即可得到，然后根据正切的定义求出RH长，利用三角形的面积公式计算解答即可．
8． 如图1，在菱形ABCD中， E是对角线BD上一点，连结AE，设 将 沿AE 折叠得到 连结DG 并延长交BC于点H。
（1）用含α的代数式表示
（2）求证： ①∠BDH=∠BAE； ②BH=BE。
（3）如图2，当DG： GH=2：1时，求DE： BE的值。
【答案】（1）解：因为菱形ABCD，
所以∠DAB=∠C=60°，
因为折叠，
所以∠GAE=∠BAE=α，
所以∠DAG=∠DAB-∠GAE-∠BAE=60°-2α，
（2）证明：①因为AD=AG，
所以
因为AD=AB，
所以△ABD为正三角形，
所以∠BDH=∠ADH-∠ADB=α=∠EAB
②因为AD∥BC ，
所以∠ABC=180°-∠DAB=120°，
所以
又因为△ABD为正三角形，
所以AB=DB，
所以△ABE≌△DBH ，
所以BH=BE。
（3）解：如图，连结EH，延长EG交CD于 K，作KM⊥DB于M。
由(2)得BH=BE ， ∠EBH=60°，
所以△BEH为正三角形，
所以EH=BE=GE ，
因为∠BHE=∠C=60°，
所以EH∥CD，
所以△DGK∽△HGE，
所以
设 EH=GE=x ，则 DK=KG=2x ，KE=KG+GE=3x 。
在 Rt△DMK 中，可得
所以
所以
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得，利用折叠的性质可，然后根据角的和差解答即可；
（2）①根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出，然后得△ABD为正三角形，再根据角的和差解答即可；
②根据菱形的性质可得，根据AAS得到，根据对应边相等证明结论；
（3）连接，延长交于，作于，得到△BEH为正三角形，即可得到，根据平行线可得，根据对应边成比例设，根据角的性质得求出DM和KM的值，进而根据勾股定理求出，即可得到DM长，求出比值解答即可．
9．如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接．
（1）求的值；
（2）求的最大值；
（3）当时，的取值范围是，且，求的值．
【答案】（1）解：把代入
得，，
解得，
把代入
得，，
解得，
∴．
（2）解：过点作交于，交于点，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴
∴当时，有最大值为．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴当有最大值时，取到最大值，
∴的最大值为
（3）解：由得，∴顶点为，即当时，有最大值4，
∵抛物线对称轴为，
∴当时或时，值相等，即，
①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得（舍），；
②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，
∴，不符合题意；
③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴都不符合，舍去；
综上所述，
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题以二次函数与一次函数的综合为背景，考查了待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数最值的求解以及二次函数在给定区间上的取值范围分类讨论。
（1）将点 A 和 B 的坐标代入抛物线解析式，联立方程组求出 a 和 b；再将点 B 代入直线解析式求出 k。
（2）过点 P 作 PD AB 交 BC 于点 H，用 m 表示 P 和 H 的纵坐标，得到 PH 关于 m 的二次函数，求出其最大值。再通过证明，得到 PQ 与 PH 的比例关系，从而求出 PQ 的最大值。
（3）将抛物线化为顶点式，得到对称轴和最大值。根据 m 与对称轴及区间端点的位置关系分三种情况讨论，结合的值列方程，求解得到 m 的值。
（1）解：把代入得，，
解得，
把代入得，，
解得，
∴．
（2）解：过点作交于，交于点，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴
∴当时，有最大值为．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴当有最大值时，取到最大值，
∴的最大值为．
（3）解：由得，
∴顶点为，即当时，有最大值4，
∵抛物线对称轴为，
∴当时或时，值相等，即，
①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得（舍），；
②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，
∴，不符合题意；
③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴都不符合，舍去；
综上所述，．
10．已知二次函数，m为实数．
（1）若，求该函数图象的对称轴．
（2）当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值．
（3）若点，，且，，试比较与大小．
【答案】（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题以二次函数为背景，综合考查了二次函数的对称轴、开口方向、在给定区间上的最值问题、以及利用中点坐标与对称轴的位置关系比较函数值大小，涉及分类讨论思想。
（1）将m=1代入解析式化简为y=x2-4x+3，利用对称轴公式x=求得对称轴为直线x=2。
（2）先将解析式化为一般式y=x2-(2m+2)x+m2+2m，对称轴为x=m+1，开口向上。由自变量范围m+2 x 3得m1，此时对称轴x=m+1 m+2，因此在区间上函数随x增大而增大。最小值在x=m+2处，值为0；最大值在x=3处，值为m2-4m+3。由最大值与最小值之差为8得方程m2-4m+3-0=8，解得m=5（舍去，不满足m 1）或m=-1，故m=-1。
（3）由中点坐标公式得A、B两点横坐标的中点为2m-3，对称轴为x=m+1。开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大。比较中点与对称轴的位置：若中点等于对称轴（2m-3=m+1即m=4），则两点关于对称轴对称，；若中点小于对称轴（m<4），则点A到对称轴的距离大于点B，故；若中点大于对称轴（m>4），则点A到对称轴的距离小于点B，故。注意由可确定A在左、B在右，从而正确判断距离大小。
（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为；
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
11．已知：在△ABC中，
（1）如图1，求△ABC的面积.
（2）如图2，点D在边AC上，将△ABC沿射线BD方向平移至△A1DC1，使得点B与点D重合.
①连结AA1，CA1.求△AA1C的面积.
②如图3，将△A1DC1绕点D旋转至△A2DC2，边A2C2与线段BD的延长线交于点E，连结CE.当CD=2AD时，求的最小值.
【答案】（1）解：过点作于点，则：
，，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的面积为：．
（2）解：①如图2，连接，
∵沿射线方向平移至，
∴，，，
∴，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积．
②如图3，过点作于点，
由（1）得：，
当时，，
∴，
∴，
过点作于点，则的面积为：，
∵的面积为：，
∴，解得，
∴，
∵，
∴只需最小，则最小，
∵绕点旋转至，
∴，
∴的最小值，
∴的最小值为：．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据正切的定义设，则，根据勾股定理求出CF长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
（2）①如图2，连结，根据平移得到四边形是平行四边形，再根据的面积的面积解答即可．
②如图3，过点作于点，即可得到，过点作于点，根据△BCD的面积求出CG长，根据勾股定理，根据二次函数的最值解答即可．
12．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=30°，以AB，BC为边作 ABCD.
（1）如图1，当AB经过圆心O时，求∠D的度数.
（2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为1，求□ABCD与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.
【答案】（1）因为AB为⊙O的直径，
所以∠ACB=90°，
因为∠BAC=60°，
所以∠B=90-30=60°，
在平行四边形ABCD中，∠D=∠B=60°.
（2）连结OC交AB于点B，连结OA，
因为CD与⊙O相切，
所以OC⊥CD，
所以BE=AE，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
所以OC⊥AB，
因为∠BAC=30°，
所以∠OCA=60°，
因为OA=OC，
所以△OAC为等边三角形，
因为OA=AC，AB⊥OC，
所以OE=CE，
所以△AOE≌△BCE（SAS），
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，然后根据直角三角形的两锐角互余求出∠B的度数，然后根据平行四边形的对角互补解答即可；
（2）连接交于点，连接，根据相切的性质可得，然后根据平行四边形的性质得到为等边三角形，然后根据SAS得到△AOE≌△BCE，再利用解答即可．
13．已知菱形ABCD的面积为
（1）如图1，求菱形ABCD的边长.
（2）如图2，若点E是射线AD上的一点（不与端点A，D重合），连结EB，BC.点A关于BE的对称点为点A'，BA'交射线AD于点F，
①当点A'落在线段EC上时，求AF的长.
的最大值为 ▲ .
【答案】（1）解：如图1，过点作于点，
，
设，则，，
菱形的面积为，
，
解得或（舍去），
菱形的边长为；
（2）解：①点关于的对称点落在线段上，
，，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
如图2，过点作于点，则，
由（1）知，，，
，
；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；圆-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）②作，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴当最小时，的值最大，
作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，
取的中点，连接，则，，
∴当三点共线时，的值最小，
在中，由勾股定理，得，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
故答案为：.
【分析】（1）过点作于点，根据∠ABC的余弦值设，即可得到，根据勾股定理求出AH长，再根据菱形的面积公式求出a的值解答即可；
（2）①根据菱形的性质和等腰三角形的性质易得到，过点作于点，则，根据求出，从而求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可；②作，交于点，证明，得到，进而得到，，得到当最小时，的值最大，作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接，证明，得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，求出的最小值即可．
14．如图1，AB为⊙O的直径，⊙O的周长为4厘米.动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P 出发1秒后，动点Q也从A 点出发，以x厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点 P 运动t(秒)时，点P，Q与点A 之间较短的弧长分别为y1，y2.y1，y2与t的函数图象如图2所示.
（1）求x的值.
（2）当2≤t≤4时，求y1关于t的一次函数表达式.
（3）若点C为图2中两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求出此时点P，点Q之间的劣弧长.
【答案】（1）根据函数图象可知，动点圆周上运动一周所用的时间为秒，
所以．
（2）解：设当2≤x≤4时， y1关于t的一次函数表达式为
∵图象经过(2， 2)和(4， 0)，
解得：
∴y1关于t的一次函数表达式为
（3）设当时，关于的一次函数表达式为．
因为函数图象经过和（，可得
，解得，
所以关于的一次函数表达式为．
根据题意，可得
，解得，
所以点C的坐标为．
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；弧长的计算；动点问题的函数图象；圆-动点问题
【解析】【分析】
（1）根据函数图象可知动点圆周上运动一周所用的时间为秒，根据路程÷时间爱你=速度计算即可；
（2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）根据待定系数法求出关于的一次函数解析式，联立两解析式，求出交点坐标，然后求出弧长解答即可．
15．如图， AB为⊙O直径， C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连结AC， BC，点M为中点，连结BM，与AC相交于点 N．
（1）如图1，连结OM，求证： OM∥BC；
（2）如图2，连结 ON， AM，当ON⊥BM时，求tan∠BAC的值；
（3）如图3，作 MH⊥AB于 H， ∠BMK=∠BAC，与⊙O交于点K(点K在AB下方)， MK与AB交于点E．若 求： ①⊙O的直径； ②EK的长．
【答案】（1）证明：∵点M为中点，
∴，
∵为直径，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，连接交于点，
∵点M为中点，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①延长交于点，
∵点M为中点，
∴，
∵，且为直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，，
∴，
由①可得：，，
∵，
∴，
过点作于点，
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论得到，再由直径所对的圆周角是直角得出，再根据平行线的判定证明即可；
（2）连接交于点，想得到，，进而可得为的中位线，根据中位线定理得到，再由垂径定理可得，再根据AAS得到，得到，根据勾股定理求出，得到，再根据正切的定义解答即可；
（3）①延长交于点，得到，，即可得到，跟模弧、弦、圆心角的关系得到，再根据勾股定理解答；
②设，先得到，根据对应边成比例求出AH和BH长，根据勾股定理可得AM和BM长，求出，过点作于点，设，求出，，，由勾股定理可得，连接，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可.
16．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC.
（1）如图1，求证：∠BAC=∠DAC；
（2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF=CG；
（3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD=4，求线段CF的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵DC切O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAC
（2）证明：如图，连接OC，
由（1）知：∠OCE=∠OCD=90°，∠CAO=∠ACO，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OCE，
∴∠BCE=∠ACO，
∴∠CAO=∠BCE，
∵EF是∠AEC的平分线，
∴∠CEF=∠AEF，
∴∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，
∴∠CFG=∠CGF，
∴CF=CG
（3）解：如图，取CE的中点Q，连接QG，
∵G是EF的中点，
∴GQ//CF，
∴∠CGQ=∠ACB=90°
由(2)知：CF=CG，
∴，
由(2)知：∠DAC=∠BAC=∠BCE，
∴
∴
∴
∴AD=8
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，AD=8，
∴
∴
∵∠CAE=∠GCE，∠FEA=∠CEG
∴△AFE∽△CGE，
∴
∴AF=2CG
∵CF=CG
∴AF=2CF，
∵
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)连接OC，易证∠ACO=∠DAC=∠BAC，即可得证；
(2)先证∠CAO=∠BCE，再根据∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，据此得证；
(3)取CE的中点Q，连接QG，根据，可得AD=8，进而可求AC、AB、BC，再证△AFE∽△CGE，即可得解.
17．如图，在矩形ABCD中，以AB为直径的⊙O交 CD于点E， F，连结OE，过点O作OG⊥OE交 于点 G，过点G作GH⊥CD于点 H，连结GF， GC.
（1）求证： GH=FH；
（2）若FH=1， BC=2，求AB的长；
（3）若CG是⊙O的切线，求证：
【答案】（1）证明： ∵OG⊥OE，
∴∠EOG=90°，
∵GH⊥CD，
∴∠GHF=90°，
∴∠HGF=180°-∠GHF-∠H
∴GH=FH；
（2）解：延长GH交AB于M，过E作EN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB， ∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠BMH=90°，
∴四边形ENBC，四边形HMBC是矩形，
∴EN=HM=BC=2，
∵HG=FH=1，
∴GM=3，
∵∠ENO=∠EOG=∠GMO=90°，
∴∠OEN+∠EON=∠EON+∠GOM=90°，
∴∠OEN=∠GOM，
∵OE=OG，
∴△OEN≌△GOM(AAS)，
∴ON=GM=3，
（3）证明： ∵CG是⊙O的切线，
∴OG⊥CG，
∵OG⊥OE，
∴OE∥CG，
∴∠GCH=∠OEC，
∵CD∥AB，
∴∠OEC=∠EON，
∵∠ONE=∠CHG，
∴△OEN∽△CGH，
由(1)(2)知， EN=HM=BC， ON=GM=GN+HM， GH=FH，
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
(2)延长GH交AB于M，过E作 于N，根据矩形的性质得到求得∠ ，根据矩形的性质得到EN=HM=BC=2，得到HG=FH=1，求得GM=3，根据全等三角形的性质得到ON=GM=3，根据勾股定理即可得到结论；
(3)根据切线的性质得到根据平行线的性质得到 根据相似三角形的性质即可得到结论.
18．如图，在四边形ABCD中， 且 ，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连结AE， AC， ED，设AC， ED交于点F，且满足
（1）求证：
（2）若EC=2，EF=1，求圆的半径r；
（3）若 求 的值(用含n的代数式表示)．
【答案】（1）证明：
又∵
（2）解：由(1)知
∴△ACD是等腰三角形，
如图1，过A作AH⊥CD，交⊙O于点G，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴∠BCD=90°，
∴ED是直径，
∴ED和AG交点即圆心O，
∵∠BCD=∠AHD=90°，
∴AH∥BC，
∴△ECF∽△OAF，
∵FO=r-EF=r-1，
解得r=2；
（3）解：设AB=1， BE=a，
∴AD=n.
∵∠B=∠BCH=∠AHC=90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AB=CH=1.
∵AG是直径， AG⊥CD，
∴CH=DH=1，
∵ED是直径，
∴∠EAD=90°，
∵∠BAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠B=∠ADH=90°，
∴△ABE∽△ADG，
即
∴DG= an，
∵AO=OG， EO=DO， ∠AOE=∠DOG，
∴△AOE≌△GOD(SAS)，
∴AE=DG= an，
即
∵∠BAE=∠DAG=∠CAG=∠CDG，
∴sin∠BAE=sin∠CDG，
由(2)知，
即
【知识点】矩形的判定与性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义得到 然后等量代换得到结论即可；
(2)过A作 交⊙O于点G，根据平行线的性质和判定得到AH∥BC，即可得到AF，然后根据对应边成比例解答即可；
(3)先得到四边形ABCH是矩形，然后根据两角对应相等得到 进而得到DG=an，然后根据SAS得到△AOE≌△GOD，即可得到AE=DG= an，进而得到求出AH长，根据（2）终结论 根据对应边成比例解答即可.
19．如图，在 中， D 是边AB上一点(不与点A， B 重合)， ⊙O经过点A， C， D.
（1）如图1，连结OC， OD， CD，若
① 求 的度数；
② 若又满足tanB=1，OD=2，求AB的长.
（2）如图2，过点 D 作 交⊙O于点E，连 结OE，若 求证：DE=AC.
【答案】（1）解： ① 解：因为∠DOC=150°， OD=OC，
所以∠ODC=15°，
因为∠DOC=150°，
所以∠A=75°，
因为CD=CA，
所以∠ADC=∠A=75°，
所以∠ADO=∠ADC-∠ODC=60°.
② 解：如图，延长CO交AB 于点 M，
因为∠OCD+∠ADC=15°+75°=90°，
所以CM⊥AB，
因为CD=CA，
所以AM=DM，
因为∠ADO=60°，
所以AM=DM=OD·cos60°=1， OM=OD·sin60°=
所以
因为tanB=1，
所以
所以
（2）证明：如图，连结CE， AO，
设∠AEO=α，
因为∠ACB=2∠AEO，
所以∠ACB=2α，
因为AO=OE，
所以∠AOE=180°-2α，
所以
因为 DE∥BC，
所以∠B=∠ADE=90°-α，
因为∠ACB=2α，
所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°-α，
所以∠B=∠BAC，
所以AC=BC，
因为∠DEC=∠BAC=90°-α，
所以∠DEC=∠ADE，
所以CE∥BA，
所以四边形BCED是平行四边形，
所以BC=DE，
所以AC=DE.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—含30°角直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ODC=15°，再根据圆周角定理求出∠A=75°，进而求出∠ADC的度数，利用角的和差解答即可；
②延长CO交AB 于点 M，先求出CM⊥AB，然后根据三线合一得到AM=DM，然后根据解直角三角形求出AM和OM的值，再根据正切的定义求出BM长，利用线段的和差解答即可；
（2）连结CE， AO，设∠AEO=α，即可得到∠ACB=2α，根据三角形的内角和定理和等边对等角求出∠AOE的度数，然后根据圆周角定理求出∠ADE的度数，进而得到∠B=∠BAC，可以得到AC=BC，再推理得到∠DEC=∠ADE，即可得到CE∥BA，进而证明四边形BCED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等证明解即可.
20．如图， △ABC内接于⊙O， AB=AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D.连结AO， AD， CD.
（1）求证： ∠ABC=∠ADB.
（2）若∠ACB=55°，求∠OAC的度数.
（3）若 求AE的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
由圆周角定理得：，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
由圆周角定理得：，
∵，
∴．
（3）解：如图，延长，交于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（负值已舍），
设，则，
∴，
∴，，
由圆周角定理得：，
∴，即，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
解得（负值已舍），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，即，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，根据圆周角定理的推论得到，等量代换得到结论即可；
（2）连接，根据等边对等角得到∠ABC的度数，再根据圆周角定理求出，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理解答即可；
（3）延长，交于点，连接，根据圆周角定理的推论和垂直的定义，利用两角对应相等得到，根据对应边成比例设，然后推理得到，根据对应边成比例求出的长，然后在中根据勾股定理解答即可．
21． 如图1，已知△ABC的高 点E是边AB上的动点，以DE为直径作圆O，交边AB于F，交线段BD于N，交线段AD于M．
（1）求证： ∠DAB=∠FDB．
（2）如图2，连结CF，若CF恰好经过点M．
①求 的值．
②求DN的长．
【答案】（1）证明：是直径，
，则，
为三角形的高，
，
；
（2）解：①，，
，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
四边形内接于圆，
，
，
，且，
，
则；
②，
∴设
作于点，则，
，，
，则，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由圆周角定理的推论得到，再根据同角的余角相等证明即可；
（2）①先根据正切的定义求出，根据勾股定理求出AB长，再根据正弦的定义求出，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可；
②作于点，则，设即可得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到，再推理得到，求出，即可得到NP长，解答即可．
22．如图1，点E是⊙O的弦BD上一动点，过点E作AC⊥BD交⊙O于点A， C，连结AB，BC， CD， AD，过点B作BF⊥AD于点 F，交AC于点G.
（1）如图2，若BF经过点O.
①求证： BG=BC.
②若 求⊙O的半径.
（2）若 求y关于x的函数表达式.
【答案】（1）解：①∵AC⊥BD， BF⊥AD，
∴∠BEG=∠AFG=90°.
∵∠BGE=∠AGF，
∴∠GBE=∠GAF.
∵∠CBD=∠GAF，
∴∠GBE=∠CBD.
∵∠BEG=∠BEC=90°，BE=BE，
∴△BEG≌△BEC.
∴BG=BC.
②连结OD，
∵BF⊥AD， BF经过点O，
∴AF=DF.
∴BF 垂直平分AD，
∴∠ABF=∠DBF.
∴∠ABF=∠CBD，
∵AB=BD，BG=BC，
∴△ABG≌△BCD.
∴GF=1，AF=2.
∵∠ABF=∠DBF=∠GAF，
∴在 Rt△ABF中：
∴BF=4.
令OB=r，则OF=4-r.
DF=AF=2.
∴在 Rt△OFD 中，
解得r=2.5.
（2）解：①当点E靠近点 D时，
∵AC=BD，
.
∴∠BAE=∠DBA=∠EDC=∠ECD.
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠CED=90°.
∴△ABE 和△CDE 均为等腰直角三角形.
∴AE=BE，DE=CE.
由①得 BG=BC.
∵BE⊥GC，
∴GE=CE.
∴GE=CE=DE，
设GE=CE=DE=a，则AG= ax，
∴AE=AG+GE= ax+a.
∴BE=AE= ax+a.
∴BD=BE+DE= ax+2a.
②当点 E 靠近点 B时，
同理可证△BEC 和△AED 均为等腰直角三角形，令 BE=CE=EG=a，
∴AG= ax，AE=DE= ax+a，
∴BD=BE+DE= ax+2a，
∴综合上得： 或
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①根据等角的余角相等可得，根据得到，即可得到结论；
②连结，根据垂径定理和等边对等角得到，再根据SAS得到，即可得到，根据正切的定义和勾股定理得到GF和AF的长，即可求出．然后在 Rt△OFD 中根据勾股定理求出半径即可 ．
（2）分当点E靠近点D和当点E靠近点B两种情况，先得到和为等腰直角三角形．分别求出和长，求出关于x的函数解析式即可．
23．如图，在△ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线交AB 延长线于点 D，AE 垂直DC 的延长线于点 E，交半圆O于点 F，连结CF.
（1）求证： ∠BAC=∠ECF.
（2）若AE=3， DE=4，
①求半圆O的半径；
②若P是AC上一点，连结 PO， PB，求 PO+PB的最小值.
【答案】（1）证明：∵为半圆的直径，
∴，
∴，
∵四边形内接于半圆，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，
在中，，，
∴，
∵是半圆的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即半圆的半径为；
②如图，作点关于直线的对称点，作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即是的平分线，
∴点在上，
由对称的性质可得，，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值，
在中，，，，
∴，，
∴在中，，，
∴，
∴由勾股定理可得，，
∴的最小值是．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据圆内接四边形的性质得到，然后根据等角的余角相等得到结论；
（2）①连接，根据勾股定理求出AD长，再根据切线的性质得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例计求出的值解答即可；
②作点关于直线的对称点，作于点，根据等边对等角和平行线的性质可得，则点在上，可知，当、、三点共线时，取到得最小值．然后解直角三角形求出AH，O'H长，再根据勾股定理求出最小值即可．
24．问题提出
（1）如图①，为上一点，连接、，当时，　 　．
（2）问题探究
如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值．
（3）问题解决
如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设．
（i）求与之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积．
【答案】（1）90
（2）解：是等边三角形，，
，．
，
，
，
．
设，则，
为的中点，
，
，整理得，
当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3
（3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作，
根据题意可知，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
设．
，
，
整理得．
（ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．
由（i）可知，，
当时，取得最大值为，
即当时，有最大值为，
，
设，，
，
，
，
．
，
，
，，，，
，
∴当最大时，的面积为
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：90；
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余解答；
（2）根据等边三角形的性质，利用两角对应相等得到，设，利用相似三角形的性质可得，即可得到，根据二次函数的顶点式求出最值解答；
（3）（i）延长至点，使得，连接，过点作，根据勾股定理求出CF长，然后根据正切的定义得到，即可得到，设，根据相似三角形的性质列式解答．
（ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知时，有最大值为，设，，根据勾股定理可得的长，从而得出和的长，进而根据解答即可．
1 / 1【浙江三轮】2026年中考数学知识点·考点一遍过专题16 解答题压轴题
一、解答题
1．如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），点B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M，满足∠CAE=∠MAE.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：
（3）若射线BM切⊙O于点A，DC=3，tan∠AED=，求BD的长.
2．如图，在△ABC中，AB=AC，D，P分别为AC，BC的中点，连结BD，E为BD的中点，过点D作DM⊥BC，垂足为点M，交EP的延长线于点N，连结AE，AN。
（1）若AB=8，求EP的长；
（2）证明：CD=PN；
（3）当AE⊥EN时，求的值。
3．
项目式学习
问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．
【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．
【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）
【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米46810照明亮度的平方/勒克斯450300225180照明范围/平方米
（假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．
【问题探究】
（1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：　 　．
（2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度．
（3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．
（4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造　 　个路灯．
4．已知圆O的内接四边形ABCD，对角线 AC，BD 相交于点E.
（1）如图1，AC平分 求证：
（2）如图2，AC平分 AB为圆O的直径，若AD=3，AB=5，求 BC的值.
（3）如图3，点 F 在对角线BD 上，连结AF， 若 与的长度之和为 ，请用含 的代数式表示线段AC的长.
5．如图，正方形ABCD，直线DA绕点 D顺时针旋转α至DE (0°≤α≤45°)，作A关于直线DE的对称点F， AF交DE于点 G，连CF交DE于点 H，连BH交AC于点M．小明在探究∠DHC与α的大小关系时，发现其对应如下：
α 10° α
∠DHC ① ▲ ② ▲
（1）请填表，并证明结论②：
（2）求证： BH∥AF；
（3）在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比(用含α的式子表示)．
6． 如图，在四边形ABCD中， 过点A， B， C作⊙O交CD边于点E，连结AE，且.AD=AE.
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形.
（2）若
①求四边形ABCD 的面积.
②延长BC至点 G，连结DG，使 在线段CG上取点 F，过点 F作 交DG于点 H，求 GH的最大值.
7．在矩形中，，点E是对角线上任意一点，过点E作的垂线分别交于点F，G，作平行交于点H．
（1）证明：．
（2）连结交于点K，若，求的值．
（3）作的外接圆，且．
①若与矩形的边相切时，求的长．
②作点E关于的对称点，当落在上时，直接写出的面积．
8． 如图1，在菱形ABCD中， E是对角线BD上一点，连结AE，设 将 沿AE 折叠得到 连结DG 并延长交BC于点H。
（1）用含α的代数式表示
（2）求证： ①∠BDH=∠BAE； ②BH=BE。
（3）如图2，当DG： GH=2：1时，求DE： BE的值。
9．如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接．
（1）求的值；
（2）求的最大值；
（3）当时，的取值范围是，且，求的值．
10．已知二次函数，m为实数．
（1）若，求该函数图象的对称轴．
（2）当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值．
（3）若点，，且，，试比较与大小．
11．已知：在△ABC中，
（1）如图1，求△ABC的面积.
（2）如图2，点D在边AC上，将△ABC沿射线BD方向平移至△A1DC1，使得点B与点D重合.
①连结AA1，CA1.求△AA1C的面积.
②如图3，将△A1DC1绕点D旋转至△A2DC2，边A2C2与线段BD的延长线交于点E，连结CE.当CD=2AD时，求的最小值.
12．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=30°，以AB，BC为边作 ABCD.
（1）如图1，当AB经过圆心O时，求∠D的度数.
（2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为1，求□ABCD与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积.
13．已知菱形ABCD的面积为
（1）如图1，求菱形ABCD的边长.
（2）如图2，若点E是射线AD上的一点（不与端点A，D重合），连结EB，BC.点A关于BE的对称点为点A'，BA'交射线AD于点F，
①当点A'落在线段EC上时，求AF的长.
的最大值为 ▲ .
14．如图1，AB为⊙O的直径，⊙O的周长为4厘米.动点P从点A出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点P 出发1秒后，动点Q也从A 点出发，以x厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点 P 运动t(秒)时，点P，Q与点A 之间较短的弧长分别为y1，y2.y1，y2与t的函数图象如图2所示.
（1）求x的值.
（2）当2≤t≤4时，求y1关于t的一次函数表达式.
（3）若点C为图2中两个函数图象的交点，求点C的坐标，并求出此时点P，点Q之间的劣弧长.
15．如图， AB为⊙O直径， C为圆O上一动点，且C在直径AB上方，连结AC， BC，点M为中点，连结BM，与AC相交于点 N．
（1）如图1，连结OM，求证： OM∥BC；
（2）如图2，连结 ON， AM，当ON⊥BM时，求tan∠BAC的值；
（3）如图3，作 MH⊥AB于 H， ∠BMK=∠BAC，与⊙O交于点K(点K在AB下方)， MK与AB交于点E．若 求： ①⊙O的直径； ②EK的长．
16．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC.
（1）如图1，求证：∠BAC=∠DAC；
（2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF=CG；
（3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD=4，求线段CF的长.
17．如图，在矩形ABCD中，以AB为直径的⊙O交 CD于点E， F，连结OE，过点O作OG⊥OE交 于点 G，过点G作GH⊥CD于点 H，连结GF， GC.
（1）求证： GH=FH；
（2）若FH=1， BC=2，求AB的长；
（3）若CG是⊙O的切线，求证：
18．如图，在四边形ABCD中， 且 ，过点A、C、D作⊙O交BC于点E，连结AE， AC， ED，设AC， ED交于点F，且满足
（1）求证：
（2）若EC=2，EF=1，求圆的半径r；
（3）若 求 的值(用含n的代数式表示)．
19．如图，在 中， D 是边AB上一点(不与点A， B 重合)， ⊙O经过点A， C， D.
（1）如图1，连结OC， OD， CD，若
① 求 的度数；
② 若又满足tanB=1，OD=2，求AB的长.
（2）如图2，过点 D 作 交⊙O于点E，连 结OE，若 求证：DE=AC.
20．如图， △ABC内接于⊙O， AB=AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D.连结AO， AD， CD.
（1）求证： ∠ABC=∠ADB.
（2）若∠ACB=55°，求∠OAC的度数.
（3）若 求AE的长.
21． 如图1，已知△ABC的高 点E是边AB上的动点，以DE为直径作圆O，交边AB于F，交线段BD于N，交线段AD于M．
（1）求证： ∠DAB=∠FDB．
（2）如图2，连结CF，若CF恰好经过点M．
①求 的值．
②求DN的长．
22．如图1，点E是⊙O的弦BD上一动点，过点E作AC⊥BD交⊙O于点A， C，连结AB，BC， CD， AD，过点B作BF⊥AD于点 F，交AC于点G.
（1）如图2，若BF经过点O.
①求证： BG=BC.
②若 求⊙O的半径.
（2）若 求y关于x的函数表达式.
23．如图，在△ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线交AB 延长线于点 D，AE 垂直DC 的延长线于点 E，交半圆O于点 F，连结CF.
（1）求证： ∠BAC=∠ECF.
（2）若AE=3， DE=4，
①求半圆O的半径；
②若P是AC上一点，连结 PO， PB，求 PO+PB的最小值.
24．问题提出
（1）如图①，为上一点，连接、，当时，　 　．
（2）问题探究
如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值．
（3）问题解决
如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设．
（i）求与之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：∵DE为△ADE外接圆⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，
∴∠EAM+∠BAD=∠EAC+∠DAC=90°，
∵∠CAE=∠MAE，
∴∠BAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC
（2）证明：连接AO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，OAD=∠OA
∴∠B=∠OAC，
∵∠AOB=∠COA，
∴△AOC∽△BOA，
；
（3）∵射线BM与⊙O相切于点A，
∴∠OAB=90°，由（2）知，△AOC∽△BOA，
在中，，
∴，
解得，
由，得BD=5.
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等角的余角相得得到，即可证明结论；
（2）根据等边对等角得到，根据三角形的外角得到，即可得到，根据对应边成比例得到，证明结论；
（3）根据切线的性质和相似三角形的性质可得∠ACO=∠OAB=90°，然后根据正切的定义求出DC长，进而求出OE长，代入（2）的结论解答即可．
2．【答案】（1）解：∵D为AC的中点，
∵E，P分别为BD，BC的中点，
（2）如图，连结AP，
∵AB=AC，P为BC中点，
∴AP⊥BC，
∵DM⊥BC，
∴AP∥DM，
∵AD=CD，
∴PM=MC。
∵EP∥CD，
∴∠C=∠MPN，∠CDM=∠PNM，
∴△CDM≌△PNM，
∴CD=PN。
（3）解：∵E、P分别为BD、BC中点，
∴EP∥AC，
∴∠CAP=∠APE，
∵∠AEP=∠APC=90°，
∴△AEP∽△CPA，
∴
设EP=a，则AC=2CD=4EP=4a，
代入得
a，
【知识点】相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】
（1）根据中点求出CD长，再根据三角形的中位线定理解答即可；
（2）连接，根据三线合一得到AP⊥BC，进而得到AP∥DM，然后根据平行线分线段成比例求出PM=MC，然后根据ASA得到，利用全等三角形的对应边相得到结论；
（3）设EP=a，两角对应相等得到△AEP∽△CPA，利用对应边成比例求出AP=2a，然后根据勾股定理求出PC长，再根据两边成比例且夹角相等的的两三角形相似得到△AEN∽△APC，再根据面积比等于相似比的平方解答即可．
3．【答案】（1）米
（2）∵，
∴，
∴，
由题意可得米，米，米，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴米
（3）由表格数据得，
∴，
∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为
（4）18
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米，
故答案为：米；
（4）∵，
∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定，
∵，
∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米），
，则至少需要个路灯．
故答案为：．
【分析】（1）根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
（2）得到，得根据对应边成比例得到，然后推理得到，即可得，再根据线段的和差解答即可；
（3）根据表格数据可得乘积为定值，即可得到反比例函数解析式；
（4）先求出符合规定的路灯的高度，再根据此路灯高度下所照明范围的半径解答即可．
4．【答案】（1）证明：因为AC平分∠BAD，
所以∠CAD=∠BAC=∠BDC.
又因为∠DCE=∠ACD，
所以△ADC∽△DEC.
（2）解：如图，延长BC，AD相交于点 F.
因为AB是直径，
所以∠ADB=∠ACB=90°.
因为AC平分∠BAD，
所以∠F=∠ABF，
所以AB=AF=5，
所以DF=2.
在直角三角形ADB中，根据勾股定理可得DB=4.
在直角三角形BDF中，FB=2
（3）解：设圆O的半径为r.
因为∠BAF=∠CAD=∠CBD，
所以∠BAF+∠ABD=∠CBD+∠ABD，即∠AFE=∠ABC.
因为 tan∠AFE=k1，
所以
因为AC⊥BD.
所以∠ABD+∠BAC=90°，
所以AD与BCE的长度之和等于πr，所以r=k2.
过圆心O作AC 的垂线OG，连结 OA，
所以 sin∠ABC=
所以
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1) 利用圆周角定理(同弧所对圆周角相等)和角平分线性质，找到两组对应角相等，用 “AA” 判定相似；
(2) 由直径得直角，结合角平分线证等腰，用勾股定理求BD，再用相似或面积法求BC；
(3) 由弧长和得圆心角和，结合垂直、等角条件，用三角函数设参数，结合弧长公式与相似，用k1 ，k2 表示AC。
5．【答案】（1）45°； 45°
（2）证明：连接BD交AC于点O，连接AH， OH，如图：
由(1)可知∠AHC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴OH=OA=OC，
∴OH=OB=OD，
∴∠BHD=90°，
∴BH⊥DE，
∵DE⊥AF，
∴BH∥AF；
（3）解：设BH交AD于K，如图：
由(2)知∠BHD=90°，
∴∠KHD=∠KAB=90°，
∵∠HKD=∠AKB，
∴∠HDK=∠ABK=α，
∵AK∥BC，
∴△AKM∽△CBM，
∵AB=BC，
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：由表可知， 为定值 故 时， 当 时， 理由如下：
连接DF， AH，设CF交AD于N，如图：
∵A， F关于DE对称，
即
∴∠AHN=∠CDN=90°，
∴∠AHF=90°，
∵HF=HA， HG⊥AF，
∴∠FHE=∠AHE=45°，
∴∠DHC=∠FHE=45°；
故答案为： 45°； 45°；
【分析】(1)由表可知， 为定值 连接DF， AH，设CF交AD于N，由A， F关于DE对称，可证明 即可得 即可得到结论
(2)连接BD交AC于点O，连接AH， OH，由(1)可知 而四边形ABCD是正方形，有OA=OC=OB=OD，可得 从而得到结论；
(3)设BH交AD于K，证明 可得由，即可解答
6．【答案】（1）证明：如图1，
∵AD=AE， ∴∠1=∠2.
∵AD∥BC， ∴∠1=∠DCG， ∴∠2=∠DCG.
∵∠2+∠AEC=180°， ∠B+∠AEC=180°，
∴∠2=∠B， ∴∠DCG=∠B， ∴AB∥CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
（2）解：①如图2，连结AO并延长交BC于点I.
∵四边形ABCD 是平行四边形， AD=AE=6，
∴BC=AD=6.
∴四边形ABCD 的面积=BC×AI=6×12=72.
②如图3，分别过点A， D， H作BG的垂线于点I， M， N，
则四边形AIMD 为矩形， ∴IM=AD=6， DM=AI=12.
设NH=3a，则
∵∠AIF=∠FNH=90°， ∠IAF=∠NFH，
∴△AIF∽△FNH，
令IF=b，则
即
∴由二次函数 的图象得a≤1 (a≥49舍去) ，
∴当a=1时， GH的最大值为 ，此时b=6符合题意.
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；圆与四边形的综合；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质得到∠2=∠DCG，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到∠DCG=∠B=∠2，即可得到，进而证明结论；
（2）①连结并延长交于点I，根据垂径定理可得BI=IC=3，利用勾股定理求出的长，然后根据平行四边形的面积公式计算即可；
②分别过点A，D，H作的垂线于点I，M，N， 即可得到四边形为矩形，根据正切的定义求出IG长，设NH=3a，IF=b，然后根据两脚对应相等得到，根据对应边成比例即可得到，把b看作主元，根据方程有诗书根据得到，求出a的最大值解答即可．
7．【答案】（1）证明：在矩形中，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴
（2）解：如图，过点K作于点M，则，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：①根据题意得：，，
当与边相切时，此时点H为切点，
如图，设与交于点R，连接，，则，
∵，
∴为的直径，
∴点O，F，R共线，且，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当与边相切时，则与边也相切，此时 F，G 为切点，为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
当与边相切时，设与边的另一个交点为点Q，设切点为点N，连接，则，
∵，
∴为直径，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，即，
∴，，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴， ，
∴，
∴，
在中，，
解得：或（舍去），即；
综上所述，的长为或或；
②
【知识点】矩形的性质；切线的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（3）②由题意可得如下图，连接，过点H作于点R，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）根据矩形的性质，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点K作于点M，则，根据两角对应相等得到，然后可得利用对应边成比例求出，再根据平行线分线段成比例解答即可；
（3）①由题意可分当与边相切；当与边相切时；当与边相切三种情况画图，根据相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例解答即可
②连接，过点H作于点R，根据折叠的性质可得，证明四边形是矩形，即可得到，然后根据正切的定义求出RH长，利用三角形的面积公式计算解答即可．
8．【答案】（1）解：因为菱形ABCD，
所以∠DAB=∠C=60°，
因为折叠，
所以∠GAE=∠BAE=α，
所以∠DAG=∠DAB-∠GAE-∠BAE=60°-2α，
（2）证明：①因为AD=AG，
所以
因为AD=AB，
所以△ABD为正三角形，
所以∠BDH=∠ADH-∠ADB=α=∠EAB
②因为AD∥BC ，
所以∠ABC=180°-∠DAB=120°，
所以
又因为△ABD为正三角形，
所以AB=DB，
所以△ABE≌△DBH ，
所以BH=BE。
（3）解：如图，连结EH，延长EG交CD于 K，作KM⊥DB于M。
由(2)得BH=BE ， ∠EBH=60°，
所以△BEH为正三角形，
所以EH=BE=GE ，
因为∠BHE=∠C=60°，
所以EH∥CD，
所以△DGK∽△HGE，
所以
设 EH=GE=x ，则 DK=KG=2x ，KE=KG+GE=3x 。
在 Rt△DMK 中，可得
所以
所以
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得，利用折叠的性质可，然后根据角的和差解答即可；
（2）①根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出，然后得△ABD为正三角形，再根据角的和差解答即可；
②根据菱形的性质可得，根据AAS得到，根据对应边相等证明结论；
（3）连接，延长交于，作于，得到△BEH为正三角形，即可得到，根据平行线可得，根据对应边成比例设，根据角的性质得求出DM和KM的值，进而根据勾股定理求出，即可得到DM长，求出比值解答即可．
9．【答案】（1）解：把代入
得，，
解得，
把代入
得，，
解得，
∴．
（2）解：过点作交于，交于点，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴
∴当时，有最大值为．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴当有最大值时，取到最大值，
∴的最大值为
（3）解：由得，∴顶点为，即当时，有最大值4，
∵抛物线对称轴为，
∴当时或时，值相等，即，
①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得（舍），；
②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，
∴，不符合题意；
③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴都不符合，舍去；
综上所述，
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题以二次函数与一次函数的综合为背景，考查了待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数最值的求解以及二次函数在给定区间上的取值范围分类讨论。
（1）将点 A 和 B 的坐标代入抛物线解析式，联立方程组求出 a 和 b；再将点 B 代入直线解析式求出 k。
（2）过点 P 作 PD AB 交 BC 于点 H，用 m 表示 P 和 H 的纵坐标，得到 PH 关于 m 的二次函数，求出其最大值。再通过证明，得到 PQ 与 PH 的比例关系，从而求出 PQ 的最大值。
（3）将抛物线化为顶点式，得到对称轴和最大值。根据 m 与对称轴及区间端点的位置关系分三种情况讨论，结合的值列方程，求解得到 m 的值。
（1）解：把代入得，，
解得，
把代入得，，
解得，
∴．
（2）解：过点作交于，交于点，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴
∴当时，有最大值为．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴当有最大值时，取到最大值，
∴的最大值为．
（3）解：由得，
∴顶点为，即当时，有最大值4，
∵抛物线对称轴为，
∴当时或时，值相等，即，
①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得（舍），；
②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，
∴，不符合题意；
③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴都不符合，舍去；
综上所述，．
10．【答案】（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题以二次函数为背景，综合考查了二次函数的对称轴、开口方向、在给定区间上的最值问题、以及利用中点坐标与对称轴的位置关系比较函数值大小，涉及分类讨论思想。
（1）将m=1代入解析式化简为y=x2-4x+3，利用对称轴公式x=求得对称轴为直线x=2。
（2）先将解析式化为一般式y=x2-(2m+2)x+m2+2m，对称轴为x=m+1，开口向上。由自变量范围m+2 x 3得m1，此时对称轴x=m+1 m+2，因此在区间上函数随x增大而增大。最小值在x=m+2处，值为0；最大值在x=3处，值为m2-4m+3。由最大值与最小值之差为8得方程m2-4m+3-0=8，解得m=5（舍去，不满足m 1）或m=-1，故m=-1。
（3）由中点坐标公式得A、B两点横坐标的中点为2m-3，对称轴为x=m+1。开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大。比较中点与对称轴的位置：若中点等于对称轴（2m-3=m+1即m=4），则两点关于对称轴对称，；若中点小于对称轴（m<4），则点A到对称轴的距离大于点B，故；若中点大于对称轴（m>4），则点A到对称轴的距离小于点B，故。注意由可确定A在左、B在右，从而正确判断距离大小。
（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为；
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
11．【答案】（1）解：过点作于点，则：
，，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的面积为：．
（2）解：①如图2，连接，
∵沿射线方向平移至，
∴，，，
∴，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积．
②如图3，过点作于点，
由（1）得：，
当时，，
∴，
∴，
过点作于点，则的面积为：，
∵的面积为：，
∴，解得，
∴，
∵，
∴只需最小，则最小，
∵绕点旋转至，
∴，
∴的最小值，
∴的最小值为：．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据正切的定义设，则，根据勾股定理求出CF长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
（2）①如图2，连结，根据平移得到四边形是平行四边形，再根据的面积的面积解答即可．
②如图3，过点作于点，即可得到，过点作于点，根据△BCD的面积求出CG长，根据勾股定理，根据二次函数的最值解答即可．
12．【答案】（1）因为AB为⊙O的直径，
所以∠ACB=90°，
因为∠BAC=60°，
所以∠B=90-30=60°，
在平行四边形ABCD中，∠D=∠B=60°.
（2）连结OC交AB于点B，连结OA，
因为CD与⊙O相切，
所以OC⊥CD，
所以BE=AE，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
所以OC⊥AB，
因为∠BAC=30°，
所以∠OCA=60°，
因为OA=OC，
所以△OAC为等边三角形，
因为OA=AC，AB⊥OC，
所以OE=CE，
所以△AOE≌△BCE（SAS），
所以
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，然后根据直角三角形的两锐角互余求出∠B的度数，然后根据平行四边形的对角互补解答即可；
（2）连接交于点，连接，根据相切的性质可得，然后根据平行四边形的性质得到为等边三角形，然后根据SAS得到△AOE≌△BCE，再利用解答即可．
13．【答案】（1）解：如图1，过点作于点，
，
设，则，，
菱形的面积为，
，
解得或（舍去），
菱形的边长为；
（2）解：①点关于的对称点落在线段上，
，，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
如图2，过点作于点，则，
由（1）知，，，
，
；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；圆-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）②作，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴当最小时，的值最大，
作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，
取的中点，连接，则，，
∴当三点共线时，的值最小，
在中，由勾股定理，得，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
故答案为：.
【分析】（1）过点作于点，根据∠ABC的余弦值设，即可得到，根据勾股定理求出AH长，再根据菱形的面积公式求出a的值解答即可；
（2）①根据菱形的性质和等腰三角形的性质易得到，过点作于点，则，根据求出，从而求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可；②作，交于点，证明，得到，进而得到，，得到当最小时，的值最大，作交的延长线于点，在射线上取一点，使，连接，证明，得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，求出的最小值即可．
14．【答案】（1）根据函数图象可知，动点圆周上运动一周所用的时间为秒，
所以．
（2）解：设当2≤x≤4时， y1关于t的一次函数表达式为
∵图象经过(2， 2)和(4， 0)，
解得：
∴y1关于t的一次函数表达式为
（3）设当时，关于的一次函数表达式为．
因为函数图象经过和（，可得
，解得，
所以关于的一次函数表达式为．
根据题意，可得
，解得，
所以点C的坐标为．
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；弧长的计算；动点问题的函数图象；圆-动点问题
【解析】【分析】
（1）根据函数图象可知动点圆周上运动一周所用的时间为秒，根据路程÷时间爱你=速度计算即可；
（2）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（3）根据待定系数法求出关于的一次函数解析式，联立两解析式，求出交点坐标，然后求出弧长解答即可．
15．【答案】（1）证明：∵点M为中点，
∴，
∵为直径，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，连接交于点，
∵点M为中点，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①延长交于点，
∵点M为中点，
∴，
∵，且为直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，，
∴，
由①可得：，，
∵，
∴，
过点作于点，
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论得到，再由直径所对的圆周角是直角得出，再根据平行线的判定证明即可；
（2）连接交于点，想得到，，进而可得为的中位线，根据中位线定理得到，再由垂径定理可得，再根据AAS得到，得到，根据勾股定理求出，得到，再根据正切的定义解答即可；
（3）①延长交于点，得到，，即可得到，跟模弧、弦、圆心角的关系得到，再根据勾股定理解答；
②设，先得到，根据对应边成比例求出AH和BH长，根据勾股定理可得AM和BM长，求出，过点作于点，设，求出，，，由勾股定理可得，连接，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可.
16．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵DC切O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAC
（2）证明：如图，连接OC，
由（1）知：∠OCE=∠OCD=90°，∠CAO=∠ACO，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OCE，
∴∠BCE=∠ACO，
∴∠CAO=∠BCE，
∵EF是∠AEC的平分线，
∴∠CEF=∠AEF，
∴∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，
∴∠CFG=∠CGF，
∴CF=CG
（3）解：如图，取CE的中点Q，连接QG，
∵G是EF的中点，
∴GQ//CF，
∴∠CGQ=∠ACB=90°
由(2)知：CF=CG，
∴，
由(2)知：∠DAC=∠BAC=∠BCE，
∴
∴
∴
∴AD=8
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，AD=8，
∴
∴
∵∠CAE=∠GCE，∠FEA=∠CEG
∴△AFE∽△CGE，
∴
∴AF=2CG
∵CF=CG
∴AF=2CF，
∵
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)连接OC，易证∠ACO=∠DAC=∠BAC，即可得证；
(2)先证∠CAO=∠BCE，再根据∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，据此得证；
(3)取CE的中点Q，连接QG，根据，可得AD=8，进而可求AC、AB、BC，再证△AFE∽△CGE，即可得解.
17．【答案】（1）证明： ∵OG⊥OE，
∴∠EOG=90°，
∵GH⊥CD，
∴∠GHF=90°，
∴∠HGF=180°-∠GHF-∠H
∴GH=FH；
（2）解：延长GH交AB于M，过E作EN⊥AB于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB， ∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠BMH=90°，
∴四边形ENBC，四边形HMBC是矩形，
∴EN=HM=BC=2，
∵HG=FH=1，
∴GM=3，
∵∠ENO=∠EOG=∠GMO=90°，
∴∠OEN+∠EON=∠EON+∠GOM=90°，
∴∠OEN=∠GOM，
∵OE=OG，
∴△OEN≌△GOM(AAS)，
∴ON=GM=3，
（3）证明： ∵CG是⊙O的切线，
∴OG⊥CG，
∵OG⊥OE，
∴OE∥CG，
∴∠GCH=∠OEC，
∵CD∥AB，
∴∠OEC=∠EON，
∵∠ONE=∠CHG，
∴△OEN∽△CGH，
由(1)(2)知， EN=HM=BC， ON=GM=GN+HM， GH=FH，
【知识点】圆周角定理；切线的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
(2)延长GH交AB于M，过E作 于N，根据矩形的性质得到求得∠ ，根据矩形的性质得到EN=HM=BC=2，得到HG=FH=1，求得GM=3，根据全等三角形的性质得到ON=GM=3，根据勾股定理即可得到结论；
(3)根据切线的性质得到根据平行线的性质得到 根据相似三角形的性质即可得到结论.
18．【答案】（1）证明：
又∵
（2）解：由(1)知
∴△ACD是等腰三角形，
如图1，过A作AH⊥CD，交⊙O于点G，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴∠BCD=90°，
∴ED是直径，
∴ED和AG交点即圆心O，
∵∠BCD=∠AHD=90°，
∴AH∥BC，
∴△ECF∽△OAF，
∵FO=r-EF=r-1，
解得r=2；
（3）解：设AB=1， BE=a，
∴AD=n.
∵∠B=∠BCH=∠AHC=90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AB=CH=1.
∵AG是直径， AG⊥CD，
∴CH=DH=1，
∵ED是直径，
∴∠EAD=90°，
∵∠BAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠B=∠ADH=90°，
∴△ABE∽△ADG，
即
∴DG= an，
∵AO=OG， EO=DO， ∠AOE=∠DOG，
∴△AOE≌△GOD(SAS)，
∴AE=DG= an，
即
∵∠BAE=∠DAG=∠CAG=∠CDG，
∴sin∠BAE=sin∠CDG，
由(2)知，
即
【知识点】矩形的判定与性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆内接四边形的对角互补和邻补角的定义得到 然后等量代换得到结论即可；
(2)过A作 交⊙O于点G，根据平行线的性质和判定得到AH∥BC，即可得到AF，然后根据对应边成比例解答即可；
(3)先得到四边形ABCH是矩形，然后根据两角对应相等得到 进而得到DG=an，然后根据SAS得到△AOE≌△GOD，即可得到AE=DG= an，进而得到求出AH长，根据（2）终结论 根据对应边成比例解答即可.
19．【答案】（1）解： ① 解：因为∠DOC=150°， OD=OC，
所以∠ODC=15°，
因为∠DOC=150°，
所以∠A=75°，
因为CD=CA，
所以∠ADC=∠A=75°，
所以∠ADO=∠ADC-∠ODC=60°.
② 解：如图，延长CO交AB 于点 M，
因为∠OCD+∠ADC=15°+75°=90°，
所以CM⊥AB，
因为CD=CA，
所以AM=DM，
因为∠ADO=60°，
所以AM=DM=OD·cos60°=1， OM=OD·sin60°=
所以
因为tanB=1，
所以
所以
（2）证明：如图，连结CE， AO，
设∠AEO=α，
因为∠ACB=2∠AEO，
所以∠ACB=2α，
因为AO=OE，
所以∠AOE=180°-2α，
所以
因为 DE∥BC，
所以∠B=∠ADE=90°-α，
因为∠ACB=2α，
所以∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°-α，
所以∠B=∠BAC，
所以AC=BC，
因为∠DEC=∠BAC=90°-α，
所以∠DEC=∠ADE，
所以CE∥BA，
所以四边形BCED是平行四边形，
所以BC=DE，
所以AC=DE.
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形—含30°角直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ODC=15°，再根据圆周角定理求出∠A=75°，进而求出∠ADC的度数，利用角的和差解答即可；
②延长CO交AB 于点 M，先求出CM⊥AB，然后根据三线合一得到AM=DM，然后根据解直角三角形求出AM和OM的值，再根据正切的定义求出BM长，利用线段的和差解答即可；
（2）连结CE， AO，设∠AEO=α，即可得到∠ACB=2α，根据三角形的内角和定理和等边对等角求出∠AOE的度数，然后根据圆周角定理求出∠ADE的度数，进而得到∠B=∠BAC，可以得到AC=BC，再推理得到∠DEC=∠ADE，即可得到CE∥BA，进而证明四边形BCED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等证明解即可.
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
由圆周角定理得：，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
由圆周角定理得：，
∵，
∴．
（3）解：如图，延长，交于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（负值已舍），
设，则，
∴，
∴，，
由圆周角定理得：，
∴，即，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
解得（负值已舍），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，即，
解得或（舍去），
∴．
【知识点】线段垂直平分线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，根据圆周角定理的推论得到，等量代换得到结论即可；
（2）连接，根据等边对等角得到∠ABC的度数，再根据圆周角定理求出，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理解答即可；
（3）延长，交于点，连接，根据圆周角定理的推论和垂直的定义，利用两角对应相等得到，根据对应边成比例设，然后推理得到，根据对应边成比例求出的长，然后在中根据勾股定理解答即可．
21．【答案】（1）证明：是直径，
，则，
为三角形的高，
，
；
（2）解：①，，
，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
四边形内接于圆，
，
，
，且，
，
则；
②，
∴设
作于点，则，
，，
，则，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由圆周角定理的推论得到，再根据同角的余角相等证明即可；
（2）①先根据正切的定义求出，根据勾股定理求出AB长，再根据正弦的定义求出，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可；
②作于点，则，设即可得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到，再推理得到，求出，即可得到NP长，解答即可．
22．【答案】（1）解：①∵AC⊥BD， BF⊥AD，
∴∠BEG=∠AFG=90°.
∵∠BGE=∠AGF，
∴∠GBE=∠GAF.
∵∠CBD=∠GAF，
∴∠GBE=∠CBD.
∵∠BEG=∠BEC=90°，BE=BE，
∴△BEG≌△BEC.
∴BG=BC.
②连结OD，
∵BF⊥AD， BF经过点O，
∴AF=DF.
∴BF 垂直平分AD，
∴∠ABF=∠DBF.
∴∠ABF=∠CBD，
∵AB=BD，BG=BC，
∴△ABG≌△BCD.
∴GF=1，AF=2.
∵∠ABF=∠DBF=∠GAF，
∴在 Rt△ABF中：
∴BF=4.
令OB=r，则OF=4-r.
DF=AF=2.
∴在 Rt△OFD 中，
解得r=2.5.
（2）解：①当点E靠近点 D时，
∵AC=BD，
.
∴∠BAE=∠DBA=∠EDC=∠ECD.
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠CED=90°.
∴△ABE 和△CDE 均为等腰直角三角形.
∴AE=BE，DE=CE.
由①得 BG=BC.
∵BE⊥GC，
∴GE=CE.
∴GE=CE=DE，
设GE=CE=DE=a，则AG= ax，
∴AE=AG+GE= ax+a.
∴BE=AE= ax+a.
∴BD=BE+DE= ax+2a.
②当点 E 靠近点 B时，
同理可证△BEC 和△AED 均为等腰直角三角形，令 BE=CE=EG=a，
∴AG= ax，AE=DE= ax+a，
∴BD=BE+DE= ax+2a，
∴综合上得： 或
【知识点】垂径定理；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①根据等角的余角相等可得，根据得到，即可得到结论；
②连结，根据垂径定理和等边对等角得到，再根据SAS得到，即可得到，根据正切的定义和勾股定理得到GF和AF的长，即可求出．然后在 Rt△OFD 中根据勾股定理求出半径即可 ．
（2）分当点E靠近点D和当点E靠近点B两种情况，先得到和为等腰直角三角形．分别求出和长，求出关于x的函数解析式即可．
23．【答案】（1）证明：∵为半圆的直径，
∴，
∴，
∵四边形内接于半圆，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，
在中，，，
∴，
∵是半圆的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即半圆的半径为；
②如图，作点关于直线的对称点，作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即是的平分线，
∴点在上，
由对称的性质可得，，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值，
在中，，，，
∴，，
∴在中，，，
∴，
∴由勾股定理可得，，
∴的最小值是．
【知识点】圆内接四边形的性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据圆内接四边形的性质得到，然后根据等角的余角相等得到结论；
（2）①连接，根据勾股定理求出AD长，再根据切线的性质得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例计求出的值解答即可；
②作点关于直线的对称点，作于点，根据等边对等角和平行线的性质可得，则点在上，可知，当、、三点共线时，取到得最小值．然后解直角三角形求出AH，O'H长，再根据勾股定理求出最小值即可．
24．【答案】（1）90
（2）解：是等边三角形，，
，．
，
，
，
．
设，则，
为的中点，
，
，整理得，
当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3
（3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作，
根据题意可知，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
设．
，
，
整理得．
（ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．
由（i）可知，，
当时，取得最大值为，
即当时，有最大值为，
，
设，，
，
，
，
．
，
，
，，，，
，
∴当最大时，的面积为
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：90；
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余解答；
（2）根据等边三角形的性质，利用两角对应相等得到，设，利用相似三角形的性质可得，即可得到，根据二次函数的顶点式求出最值解答；
（3）（i）延长至点，使得，连接，过点作，根据勾股定理求出CF长，然后根据正切的定义得到，即可得到，设，根据相似三角形的性质列式解答．
（ii）过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．根据（i）所得关系式可知时，有最大值为，设，，根据勾股定理可得的长，从而得出和的长，进而根据解答即可．
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