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第4章 平行四边形
单元复习
（浙教版）八年级
下
01
知识梳理
02
例题剖析
03
综合训练
01
知识梳理
第一部分
知识梳理
01
知识梳理
知识点1：多边形的相关定义及定理
1.多边形的定义：
在平面内，由任意两条都不在同一条直线上的若干条线段（不少于3条）首尾顺次相接形成的图形叫作多边形。
内角：多边形相邻两边组成的角.
2.多边形的边、顶点、内角、外角、对角线：
顶点
边
外角：多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角.
n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段.
01
知识梳理
知识点1：多边形的相关定义及定理
3.四边形的内角和：
四边形的内角和等于 360°
4.多边形的内角和：
对于n边形，从某一个顶点出发的（n－3）条对角线把n边形划分成（n－2）个三角形，所以 n 边形的内角和就等于这（n－2）个三角形的所有内角之和。
n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3）
5.多边形的外角和：
在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.
任何多边形的外角和为360°。
02
例题剖析
例1 下列图形中，不是多边形的是( )
C
A. B. C. D.
例2 在四边形中，与 互补， ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
例3 若一个边形的内角和为 ，则 的值是( )
D
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
02
例题剖析
例4 已知一个多边形的内角和是外角和的 ，则这个多边形的
边数是( )
B
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
例5 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 ，
则原多边形的边数是( )
D
A. 17 B. 16
C. 15 D. 15或16或17
01
知识梳理
知识点2：平行四边形及其性质
1.平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
A
B
D
C
几何语言表述：
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
字母按照图形的顺时针或逆时针写
平行四边形的表示：符号“ ”表示，
如图，平行四边形ABCD可记作“ ABCD”。
01
知识梳理
知识点2：平行四边形及其性质
2.平行四边形的性质定理：
平行四边形的对角相等。
平行四边形的对边相等。
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
在平行四边形ABCD中，
AB ＝ CD，AD ＝ BC.
∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
几何语言：
∴ AB = CD,BC = AD；
∠A = ∠C，∠B = ∠D.
A
B
D
C
01
知识梳理
知识点2：平行四边形及其性质
2.平行四边形的性质定理：
平行四边形的对角线互相平分．
3.平行四边形具有不稳定性。
B
O
D
A
C
符号语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）.
或
或
AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO.
在　 ABCD中，
OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）.
01
知识梳理
知识点2：平行四边形及其性质
4.平行线的性质定理：夹在两条平行线间的平行线段相等。
5.平行线的性质定理推论：夹在两条平行线间的垂线段相等。
几何语言：
因为直线 ， ，
所以 。
几何语言：
因为直线 ， ， ，
所以 。
说明：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。
01
知识梳理
知识点2：平行四边形及其性质
6.两条平行线之间的距离：
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离。
如图，a∥ b，A是a上的任意一点，AB⊥b，垂足为B，线段AB的长就是平行线a，b之间的距离.
B
a
b
A
02
例题剖析
例6 如图，在中， ，
，，相交于点 ，则图中的
平行四边形有( )
A
A. 9个 B. 8个 C. 6个 D. 4个
例7 在中，，则 的度数
是( )
C
A. B. C. D.
02
例题剖析
例8 已知一个平行四边形两邻边的长分别为10和6，那么它的
周长为( )
C
A. 16 B. 60 C. 32 D. 30
例9 如图，在中，与相交于点 ，
，，，则 的长是( )
D
A. 6 B. C. 4 D.
02
例题剖析
例10 如图所示，已知， 与
的平分线交于点，于点 ，
且.则直线与 之间的距离等
于( )
B
A. B.
C. D. 或
01
知识梳理
知识点3：图形的旋转
1.旋转的定义：
一般地，在平面内，一个图形变为另一个图形的运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫作图形的旋转。这个固定的点叫作旋转中心。
01
知识梳理
知识点3：图形的旋转
O
A'
B'
C'
A
B
C
θ
如图，△ABC绕点O旋转θ度，得到△A'B'C'.
定点O叫做旋转中心，
转动的角度θ叫做旋转角，
原图形上一点A旋转后为点A′，这样的两个点叫做对应点.
旋转中心
旋转角
B的对应点B'，
C的对应点C'.
旋转中心可以在图形上，也可以不在图形上.
01
知识梳理
知识点3：图形的旋转
2.旋转作图的基本步骤：
（1）明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
（2）找出关键点;
（3）作出关键点的对应点;
（4）作出新图形;
（5）写出结论.
3.图形的旋转的性质：
图形经过旋转所得的图形和原图形全等。
对应点到旋转中心的距离相等。
任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。
01
知识梳理
知识点3：图形的旋转
4.中心对称图形：
如果一个图形绕着一个点旋转 180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫对称中心。
5.中心对称图形的性质：
对称中心平分连结两个对称点的线段。
6.两个图形关于点 O 成中心对称：
如果一个图形绕着点O旋转180°后，能够和另外一个图形互相重合，我们就称这两个图形关于点 O 成中心对称。
02
例题剖析
例11 下列说法中，正确的是（　C　）
A. 旋转改变图形的形状和大小
B. 在旋转过程中，图形的每个点移动的距离相等
C. 经过旋转，图形的对应线段、对应角分别相等
D. 经过旋转，图形的对应点的连线平行且相等
C
例12 如图，将一块直角三角尺AOB绕直角顶点O按顺时针方向旋转α°（0＜α＜180）后得到△COD. 若∠AOD＝120°，则α＝ 　30或150　.
30或150　
02
例题剖析
例13 如图，△A1B1C1和△ABC关于点O成中心对称，点A的对称点是A1.若AO＝4cm，则AA1＝ 　8　cm；若∠CBO＝20°，则∠C1B1O的度数为 　20°　.
8　
20°　
01
知识梳理
知识点4：平行四边形的判定定理
1.平行四边形的判定定理（定义法）：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
符号语言:
∵ AD∥ BC，AB∥ CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
01
知识梳理
知识点4：平行四边形的判定定理
2.平行四边形的判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
D
A
B
C
符号语言表示：
∵AB//CD，AB=CD；
∴四边形ABCD是平行四边形.
01
知识梳理
知识点4：平行四边形的判定定理
3.平行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
D
A
B
C
符号语言表示：
∵AB=DC，AD=BC；
∴四边形ABCD是平行四边形.
01
知识梳理
知识点4：平行四边形的判定定理
4.平行四边形的判定定理：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言表示：
∵OA=OC，OB=OD；
∴四边形ABCD是平行四边形.
D
A
B
C
O
02
例题剖析
例14 如图，在四边形中， ，若添加一个条件，
使四边形 为平行四边形，则下列正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
例15 已知四边形 ，从下列四个条件中任意选取两个，能
使四边形 是平行四边形的选法有( )
； ；； .
B
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
02
例题剖析
例16 如图，四边形
中，，对角线， 相交于点
，于点，于点 ，连
结，，若 ，则下列结论：
； ；③图中共有四对全等三角形；④
四边形 是平行四边形.其中正确的结论是________.
①②④
01
知识梳理
知识点5：三角形的中位线
1.三角形中位线定义：
像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
A
B
C
D
E
F
2.三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
D
E
A
B
C
.
.
符号语言表示：
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC．
02
例题剖析
例17 为双减赋能，某校开展
劳动实践课程，协助工人测量公园假山上
两点， 之间的距离.如图所示，在地面
上取一点，使到， 两点均可直接到
达，找到和的中点，，测得 的
D
A. B. C. D.
长为，则假山上两点， 之间的距离为( )
02
例题剖析
例18 如图，在中，，分别为，的中点， 平分
，交于点，若，则 的长为( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
01
知识梳理
知识点6：反证法
1.反证法的定义：
在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫作反证法。
2.用反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设命题：假设命题的反面成立;
（2）推出矛盾：从假设出发,经过推理得出与已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾;
（3）肯定结论：得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确。
01
知识梳理
知识点6：反证法
3.平行线的传递性：
在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
符号语言：
如图，若a∥b，b∥c，则a∥c.
（ ）
平行于同一条直线的两条直线平行
a
b
c
02
例题剖析
例19 用反证法证明“ 中至少有两个锐角”，第一步应为
( )
A
A. 假设 中至多有一个锐角
B. 假设 中有一个直角
C. 假设 中有两个直角
D. 假设 中有两个锐角
例20 用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程
有有理数根，则，， 中至少有一
个偶数”.第一步应假设___________________.
，，都不是偶数
01
知识梳理
第二部分
综合训练
03
综合训练
1. 一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列说法正确的是（　D　）
A. 边数一定不变
B. 内角和度数一定不变
C. 对角线条数一定不变
D. 外角和度数一定不变
2. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是 　7　.
D
7　
03
综合训练
3. 如图，与关于点 成
中心对称，连结， .下列结论不一定成立的是( )
C
A.
B.
C.
D.
03
综合训练
4. 如图，下列条件，不能判断四边形是平行四边形的是( )
D
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
5.如图，在 ABCD中，AE平分∠DAB，交边BC于点E，∠D＝110°，则∠AEC的度数是（　D　）
A. 110° B. 125°
C. 135° D. 145°
D
03
综合训练
6. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是（　B　）
A. 28 B. 14 C. 10 D. 7
B
7. 对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”.当用反证法证明这个命题时，第一步应假设 　四边形ABCD是平行四边形　.
四边形ABCD是平行四边形
03
综合训练
8. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠DCB＝90°，E，F分别是AD，BC的中点，分别以AB，CD为直径作半圆，这两个半圆的面积和为8π，则EF的长为 　4　.
4　
03
综合训练
9. 如图①，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD.
（1） 求证：四边形ABCD是平行四边形.
解：（1） 因为∠BCA＝∠CAD，所以AD∥BC. 在△AOD和△COB中， 所以△AOD≌△COB. 所以AD＝CB.
又因为AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形
03
综合训练
（2） 如图②，E，F，G分别是OB，OC，AD的中点，连结EF，GE，GF. 若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长.
解：（2） 连结DF. 由（1），得四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝ AC＝8.
因为BD＝2AB，所以AB＝OD. 所以OD＝CD.
又因为F是OC的中点，所以OF＝ OC＝4，DF⊥OC.
所以AF＝OA＋OF＝12.因为DF⊥AC，所以∠AFD＝90°.
03
综合训练
（2） 如图②，E，F，G分别是OB，OC，AD的中点，连结EF，GE，GF. 若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长.
在Rt△AFD中，由勾股定理，得DF＝ ＝ ＝9.
因为在Rt△AFD中，G是AD的中点，所以DG＝GF＝ AD＝7.5.
因为E，F分别是OB，OC的中点，所以EF是△OBC的中位线.
所以EF＝ BC＝7.5，EF∥BC. 所以EF＝DG，EF∥AD.
所以四边形GEFD是平行四边形.
所以GE＝DF＝9.所以△EFG的周长为 GE＋GF＋EF＝9＋7.5＋7.5＝24
Thanks!
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