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第5章 特殊平行四边形
单元复习
（浙教版）八年级
下
01
知识梳理
02
例题剖析
03
综合训练
01
知识梳理
第一部分
知识梳理
01
知识梳理
知识点1：矩形的定义、性质及判定
1.矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（长方形）.
2.矩形的性质定理1：
矩形的四个角都是直角．
A
D
B
C
符号语言表示：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
01
知识梳理
知识点1：矩形的定义、性质及判定
2.矩形的性质定理2：
矩形的对角线相等．
A D
B C

O
符号语言表示：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
01
知识梳理
知识点1：矩形的定义、性质及判定
3.矩形的判定定理1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形的判定定理2：
有三个角是直角的四边形是矩形．
符号语言表示：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
01
知识梳理
知识点1：矩形的定义、性质及判定
3.矩形的判定定理3：
对角线相等的平行四边形是矩形.
D C
A B
O
符号语言表示：
∵四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
02
例题剖析
例1 如图，在矩形 中，对角线
，相交于点 ，如果
，那么 的度数
为( )
A
A. B. C. D.
例2 若矩形的一条对角线与一边的夹角是 ，则两条对角线
相交所成的锐角是( )
C
A. B. C. D.
01
知识梳理
知识点2：菱形的定义、性质及判定
1.菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
平行四边形
一组邻边相等
菱形
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
01
知识梳理
知识点2：菱形的定义、性质及判定
2.菱形的性质定理1：
菱形的四条边都相等。
A
B
C
O
D
符号语言表示：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD.
菱形的性质定理2：
菱形的对角线互相垂直。
符号语言表示：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD.
01
知识梳理
知识点2：菱形的定义、性质及判定
3.菱形的判定定理1：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的判定定理2：
四条边相等的四边形是菱形．
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
几何语言：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
01
知识梳理
知识点2：菱形的定义、性质及判定
3.菱形的判定定理3：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
02
例题剖析
例3 下面性质中菱形有而矩形没有的是( )
D
A. 邻角互补 B. 内角和为
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直
例4 如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的
菱形构成.已知菱形的边长为，当挂钩， 间
的距离是时，挂钩， 间的距离是( )
D
A. B. C. D.
01
知识梳理
知识点3：正方形的定义、性质及判定
1.正方形的定义：
把有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
平行四边形
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
01
知识梳理
知识点3：正方形的定义、性质及判定
2.正方形的判定定理：
有一组邻边相等
且有一个角是直角
平行四边形
正方形
菱形
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线垂直
菱形
矩形
正方形
一个角是直角
或对角线相等
定义法
矩形法
菱形法
01
知识梳理
知识点3：正方形的定义、性质及判定
3.正方形的性质定理1：
正方形的四个角都是直角，四条边相等。
符号语言：
因为四边形ABCD是正方形，
所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
01
知识梳理
知识点3：正方形的定义、性质及判定
3.正方形的性质定理2：
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。
符号语言：
因为四边形ABCD是正方形
所以AC⊥BD,AC=BD,
OA=OB=OC=OD
A
B
C
D
O
01
知识梳理
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一组邻边相等
或对角线互相垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
02
例题剖析
例5 已知菱形的对角线相交于点 ，下列条件中，能够
判定菱形 为正方形的是( )
B
A. B.
C. D.
例6 如图，正方形的对角线，
交于点，为边上一点，且 ，
则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
01
知识梳理
第二部分
综合训练
03
综合训练
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E. 若∠BOE=30°,BO=2,则AO的长为(　B　)
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
B
2. 如图,将矩形纸片沿AB折叠.若∠ABC=36°,则∠D1AD的度数为 (　C　)
A. 48° B. 66°
C. 72° D. 78°
C
03
综合训练
3. 如图,有下列条件:① AC⊥BD,OC=OA;② ∠1=∠2=∠3=∠4;③ OA=OC,OB=OD,AC⊥BD;④ AB=BC=CD,AC⊥BD. 其中,一定能判定四边形ABCD为菱形的共有(　C　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
03
综合训练
4.如图,在矩形ABCD中,点E在BC的延长线上,AE与CD相交于点G,F是DG的中点.若要知道△AEF的面积,则需要知道(　B　)
A. CE的长
B. 矩形ABCD的面积
C. 梯形ABCG的面积
D. ∠EAF的度数
B
03
综合训练
5. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确
定的四边形，当内角度数发生变化时，其形
状也会随之改变.如图，改变正方形 的
C
A. 1 B. C. D.
内角，正方形变为菱形.若 ，则菱
形的面积与正方形 的面积之比是( )
03
综合训练
6.如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OC上一点,连结BE并延长,交CD于点F. 若BA=BE,BF=4 ,DF=2 ,则BC= 　 　.
　
03
综合训练
7. 如图①,四边形ABCD是正方形,P是对角线BD上一点,连结PA,PC,点E在AD的延长线上,PA=PE,PE交CD于点F.
(1) 求证:PC=PE.
解:(1) 因为四边形ABCD是正方形,所以AB=CB,易得∠ABP=∠CBP=45°.在△ABP和△CBP中, 所以△ABP≌△CBP. 所以PA=PC. 因为PA=PE,所以PC=PE
03
综合训练
(2) 求∠CPE的度数.
解:(2) 因为四边形ABCD是正方形,所以∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°.由(1)知,△ABP≌△CBP,所以∠BAP=∠BCP. 所以∠BAD-∠BAP=∠BCD-∠BCP,即∠DAP=∠DCP. 因为PA=PE,所以∠DAP=∠E. 所以∠DCP=∠E. 因为∠PFC=∠DFE,所以180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,即∠CPE=∠EDF=180°-∠ADC=90°　
03
综合训练
(3) 如图②,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连结CE. 试探究线段PA与线段CE之间的数量关系,并说明理由.
解:(3) PA=CE　理由:因为四边形ABCD是菱形,所以AB=CB=AD=CD,∠ADC=∠ABC=120°,易得∠ABP=∠CBP= ∠ABC=60°.所以
∠BAP=∠BCP,∠DAP=∠DCP. 同(1),证得△ABP≌△CBP. 所以PA=PC. 因为PA=PE,所以∠DAP=∠PED. 所以∠DCP=∠PED.因为∠PFC=∠DFE,所以180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠PED. 所以∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°.因为PA=PE,PA=PC,所以PC=PE. 所以△EPC是等边三角形.所以PC=CE. 所以PA=CE.
Thanks!
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