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专题2.2 函数的单调性与最值
一、核心知识：
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义:设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数；当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
（2）函数的单调区间:若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
（3）函数单调性的性质：若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
①与（C为常数）具有相同的单调性；
②与的单调性相反；
③当时，与单调性相同；当时，与单调性相反；
④若≥0，则与具有相同的单调性；
⑤若恒为正值或恒为负值，则：
当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性.
⑥与的和与差的单调性（相同区间上）:↗↗↗;↘↘↘;↗﹣↘=↗;↘﹣↗=↘.
（4）复合函数的单调性：
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，则若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
2.函数的最值
一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足
①，都有；②，使得，则M是函数的最大值；
②，都有；②，使得，则M是函数的最小值.
3.不等恒成立问题转化方法
（1）对于一次函数，则：
如果；如果.
（2）设，
上恒成立或；上恒成立或；
（3）设一元二次函数
当时，如果上恒成立；
当时，如果上恒成立.
当时，如果上恒成立；
当时，如果上恒成立.
4.不等能成立（有解）问题的解法：
（1）若函数在区间上存在最小值或最大值，则：
不等式在区间上有解；不等式在区间上有解；
不等式在区间上有解；不等式在区间上有解；
（2）若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则:
（或）在区间上有解；（或）在区间上有解；
5.双变量不等恒（能）成立问题的解法：
对同时含有“任意”、“存在”等量词的不等式成立条件下，求参数的取值范围问题.
（1）对任意，总存在，使得；
（2）若存在，对任意，使得；
（3）对任意，任意，使得；
（3）若存在，存在，使得.
二、考点聚焦：
考点一：函数单调性判断与应用
经典例题：
1．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．和 C． D．和
3．（2020·北京·三模）以下函数中在区间上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
4．已知定义域为的函数，，，，都有，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021年全国II卷）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西·二模）已知是定义域为上的单调增函数，且对任意，都有，则的值为（ ）
A．12 B．14 C． D．18
7．（2022·山东淄博·三模）设．若，则 ．
8．（2023·河南洛阳·一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·吉林长春·二模）写出一个符合“对，当时，”的函数 ．
强化训练：
1．函数的单调递增区间为 ．
2．（2020·北京·一模）下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为的是（ ）
A． B． C． D．
3．（20-21高三上·上海浦东新·期中）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）下列函数中，满足对任意，有的是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021·北京延庆·模拟预测）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．定义在上的函数满足，若，则满足的解集是 ．
8．（2026高三·全国·专题）已知函数的定义域为R，对任意的且，总有，则的解集是 ．
9．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·山西·模拟预测）已知是定义在上的单调函数，，则（ ）
A．114 B．116 C．134 D．136
考点二：函数的单调性求参
经典例题：
1．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
3.若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
4．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·江苏泰州·模拟预测）已知函数，对任意的，，有，则实数k的取值范围是 .
8.（2024·广东佛山·二模）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知函数，对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·江西·二模）已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
强化训练：
1．（2023·山东·模拟预测）若函数的图像经过点，且在上是减函数，则 ．
2．若函数与在上都是减函数，则函数在上（ ）
A．是增函数 B．是减函数 C．先增后减 D．先减后增
3．（2020·河南·模拟预测）已知函数是上的增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三·全国·专题）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 .
5．（2020·山东·模拟预测）函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（21-22高三下·福建福州·阶段）函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·江西南昌·一模）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024年全国Ⅰ卷）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23高三上·江西鹰潭·阶段）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·甘肃兰州·模拟预测）命题在上为增函数，命题在单调减函数，则命题q是命题p的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点三：复合函数的单调性
经典例题：
1．函数的单调增区间是 ．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递增区间为 ．
4.（2024·高三·甘肃·开学考）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数x的最大整数，例如，，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若函数，则当时，的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023年全国Ⅰ卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020年全国Ⅱ卷）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
强化训练：
1．（2021·上海浦东新·三模）函数的单调递减区间为 .
2.函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·高三·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·浙江·一模）已知函数的图象如图所示，则的解析式最有可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·广东湛江·一模）已知函数，若在为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点四：求函数的最值（值域）
经典例题：
1．函数的最小值和最大值分别是（ ）
A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6
2．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．函数，的最小值为（ ）
A． B．0 C．5 D．+4
4．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三·全国·专题）（多选）若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023·四川泸州·一模）已知的值域为，则的最小值为（ ）
A．0 B．2 C． D．1
强化训练：
1．函数在区间上的值域为 ．
2．函数在区间的最大值为 .
3．函数的最小值是 ．
4．函数的最小值为 ．
5．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三·全国·专题）函数的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．函数的最小值为 ．
8．（多选）下列函数中，最小值为2的函数有（ ）．
A． B． C． D．
9．（2025·湖北·模拟预测）函数的最小值为 ，此时 .
考点五：不等恒（能）成立问题
经典例题：
1．（2024·贵州遵义·模拟预测），关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
2．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
3．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ．
4．（2023·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ．
5．（多选）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
6．若命题为真命题，则m的取值范围为 .
7．已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 .
8．已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是 .
10．（2025高三·全国·专题）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
强化训练：
1．（24-25高三上·山东·阶段）已知不等式的解集为空集，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏连云港·模拟预测）（多选）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
3．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高三下·黑龙江哈尔滨·开学考）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川成都·二模）若函数对恒成立，则的取值范围是 .
6．（2022·湖北武汉·三模）若，使成立，则实数的取值范围是 ．
7．（22-23高三上·河北·阶段）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是 .
8．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
9．已知，若，对均有成立，则实数m的取值范围为 .
10．已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
三、达标检测：
《函数的单调性与最值》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知过点，则在区间内的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数x的最大整数，例如，，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若函数，则当时，的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．若函数在上不单调，则实数的值可以是（ ）
A．-6 B．-4 C．0 D．4
11．已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．若函数在区间上单调递增，则的最小值为 ．
13．已知，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
14．已知函数，若且，则的取值范围是 ．
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:专题2.2 函数的单调性与最值
一、核心知识：
1.函数的单调性
（1）单调函数的定义:设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数；当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
（2）函数的单调区间:若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
（3）函数单调性的性质：若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
①与（C为常数）具有相同的单调性；
②与的单调性相反；
③当时，与单调性相同；当时，与单调性相反；
④若≥0，则与具有相同的单调性；
⑤若恒为正值或恒为负值，则：
当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性.
⑥与的和与差的单调性（相同区间上）:↗↗↗;↘↘↘;↗﹣↘=↗;↘﹣↗=↘.
（4）复合函数的单调性：
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，则若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
2.函数的最值
一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足
①，都有；②，使得，则M是函数的最大值；
②，都有；②，使得，则M是函数的最小值.
3.不等恒成立问题转化方法
（1）对于一次函数，则：
如果；如果.
（2）设，
上恒成立或；上恒成立或；
（3）设一元二次函数
当时，如果上恒成立；
当时，如果上恒成立.
当时，如果上恒成立；
当时，如果上恒成立.
4.不等能成立（有解）问题的解法：
（1）若函数在区间上存在最小值或最大值，则：
不等式在区间上有解；不等式在区间上有解；
不等式在区间上有解；不等式在区间上有解；
（2）若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则:
（或）在区间上有解；（或）在区间上有解；
5.双变量不等恒（能）成立问题的解法：
对同时含有“任意”、“存在”等量词的不等式成立条件下，求参数的取值范围问题.
（1）对任意，总存在，使得；
（2）若存在，对任意，使得；
（3）对任意，任意，使得；
（3）若存在，存在，使得.
二、考点聚焦：
考点一：函数单调性判断与应用
经典例题：
1．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误．
2．（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．和 C． D．和
【答案】B
【详解】，则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；当，的单调递减区间为，故的单调递减区间是和.故选：B
3．（2020·北京·三模）以下函数中在区间上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A选项，当时，，该函数在上单调递增；对于B选项，函数在上单调递减；对于C选项，函数在上单调递减；对于D选项，当时，，该函数在上单调递减.故选：A.
4．已知定义域为的函数，，，，都有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，，则，且，可得，即，可知是上的减函数，且，所以．故选：B.
5．（2021年全国II卷）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，即.故选：C.
6．（2022·陕西·二模）已知是定义域为上的单调增函数，且对任意，都有，则的值为（ ）
A．12 B．14 C． D．18
【答案】B
【详解】因为是定义域为上的单调增函数，且对任意，都有，所以必是常数，设（k为常数），得，所以，解得，∴，因此.故选：B
7．（2022·山东淄博·三模）设．若，则 ．
【答案】
【详解】由在上递增，在上递增，所以，由，则，
故，可得.故答案为：
8．（2023·河南洛阳·一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】可知函数在上是减函数，所以，解得．故选：B
9．已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，且，都有，则在上单调递减，又函数是定义在上的奇函数，则在上单调递减，由，则，且，
故或时，或时，所以的解集为.
故选：D
10．（2021·吉林长春·二模）写出一个符合“对，当时，”的函数 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】设，，则，由单调性的定义可知，函数是定义域为的减函数，所以函数满足题意．故答案为：．
强化训练：
1．函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【详解】原函数式变形为，因此增区间为
2．（2020·北京·一模）下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于，图象如下图所示：则函数在定义域上不单调，错误；对于，的图象如下图所示：则在定义域上单调递增，且值域为，正确；对于，的图象如下图所示：则函数单调递增，但值域为，错误；对于，的图象如下图所示：则函数在定义域上不单调，错误.故选：.
3．（20-21高三上·上海浦东新·期中）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A:因为为减函数，所以为增函数；B: 对称轴为，图象开口向上，所以在上为增函数；C:因为在定义域上为减函数，所以在定义域上为增函数；D:当时，为减函数，当时，为减函数，且，所以在定义域上为减函数.故选:D.
4．（多选）下列函数中，满足对任意，有的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】对任意，有，则函数在区间上为减函数，对于A，，由二次函数的图象与性质可知函数在区间上为减函数，故A正确；对于B，，根据幂函数的性质，函数在区间上为增函数，故B错误；对于C，，函数在区间上为减函数，故C正确；对于D，，当时，递增，所以函数在区间上不是单调函数，故D错误．故选：AC
5．（多选）下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】因为对任意，，且，都有，所以在区间上单调递增，对于选项A，因为在区间上单调递减，所以选项A错误，对于选项B，由反比函数的性质知，在区间上单调递增，所以选项B正确，对于选项C，因为的对称轴为，所以在区间上单调递增，故选项C正确，对于选项D，易知在区间上单调递增，故选项D正确，故选：BCD.
6．（2021·北京延庆·模拟预测）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A选项，的定义域为，在定义域上没有单调性，不符合题意.对于B选项，，定义域为，在定义域上没有单调性，不符合题意.对于C选项，的定义域为，在上递增，不符合题意.对于D选项，的定义域为，在上递减，符合题意.故选：D
7．定义在上的函数满足，若，则满足的解集是 ．
【答案】
【详解】因为函数满足，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，所以由，得或解得．
8．（2026高三·全国·专题）已知函数的定义域为R，对任意的且，总有，则的解集是 ．
【答案】
【详解】依题意，不妨设，则，即，因此函数是定义在R上的增函数，由，得，解得，所以的解集为.故答案为：
9．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，故在上单调递增，由，有，即.故选：A.
10．（2023·山西·模拟预测）已知是定义在上的单调函数，，则（ ）
A．114 B．116 C．134 D．136
【答案】D
【详解】由题意可知是一个常数，设，则，因为，所以，因为在上单调递增，且，
所以，所以，则.故选：D.
考点二：函数的单调性求参
经典例题：
1．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由函数的对称轴是，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，又因为，因此，所以的取值范围是.故选：A．
3.若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】由题意，， 令，解得，令，解得或，所以在上单调递减，在，上单调递减，若函数在区间上单调，则或或，解得或或，即或.故选：C.
4．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得，所以的取值范围为.故选：C
5.（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增．又函数在区间上不单调，所以，故选：B．
6．（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增．又函数在区间上不单调，所以，故选：B．
7．（2020·江苏泰州·模拟预测）已知函数，对任意的，，有，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意，得在R上递减，则在递减，且，即，解得，所以实数k的取值范围是，故答案为.
8.（2024·广东佛山·二模）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减，因此，而，则或，解得或，所以实数a的取值范围为.故选：D
9．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知函数，对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由任意，都有可知函数在上单调递增，
故有得．故选：D
10．（2022·江西·二模）已知函数若，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，解得a＝－1，故，可知在上单调递增.
故选：D
强化训练：
1．（2023·山东·模拟预测）若函数的图像经过点，且在上是减函数，则 ．
【答案】
【详解】因为函数的图像经过点，且在上是减函数，所以，且，
得或（舍去）．故答案为：．
2．若函数与在上都是减函数，则函数在上（ ）
A．是增函数 B．是减函数 C．先增后减 D．先减后增
【答案】B
【详解】由于函数与在上均为减函数，故，，故二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，故函数在上是减函数．故选：B．
3．（2020·河南·模拟预测）已知函数是上的增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数的对称轴为，且开口向上，因为在上的增函数，
所以，解得：.故选：B
4．（2025高三·全国·专题）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得，所以实数a的取值范围为.故答案为：
5．（2020·山东·模拟预测）函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，函数在上单调递减，所以，的递增区间是，所以，即.故选:B.
6．（21-22高三下·福建福州·阶段）函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，故在上单调递减，由题意得解得，故选：B
7．（2020·江西南昌·一模）已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，因此，实数的取值范围是．故选：B.
8．（2024年全国Ⅰ卷）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.
9．（22-23高三上·江西鹰潭·阶段）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】显然当时，为单调减函数，，当时，，则对称轴为，，若是上减函数，则 解得，故选：A.
10．（2023·甘肃兰州·模拟预测）命题在上为增函数，命题在单调减函数，则命题q是命题p的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若 在为增函数，则，解得；在为减函数，则，即或，因为“”能推出“或”，反之不成立，所以命题q是命题p的必要不充分条件，故选：B．
考点三：复合函数的单调性
经典例题：
1．函数的单调增区间是 ．
【答案】
【详解】，解得，所以的定义域为.
的对称轴为，开口向下，在上递增，根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间是.故答案为：
2.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数的单调递增区间是.故选：A
3．函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【详解】因为，所以所以函数的定义域为， 设，所以在上单调递减，在上单调递增，而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.故填：．
4.（2024·高三·甘肃·开学考）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，由题意单调递减，且，
则，解得，，所以的单调递减区间是.故选：D.
5．高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数x的最大整数，例如，，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若函数，则当时，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，解得，则的定义域为，当时，令，函数在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的值域为，又因，所以根据高斯函数定义可知的值域为．故选：C
6．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，可得或，即函数的定义域为，又因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， .故选：D.
7．（2023年全国Ⅰ卷）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.
故选：D
8．（2020年全国Ⅱ卷）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得或，所以的定义域为，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以.故选：D
9.若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，解之得，即的定义域为，又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性，可得：，解得．故选D
强化训练：
1．（2021·上海浦东新·三模）函数的单调递减区间为 .
【答案】(或都对)
【详解】令，则，在单调递减，在单调递增，根据复合函数的单调性可得：在单调递减，故答案为：.
2.函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，解得或，由图象的对称轴为，则在上单调递增，故的单调递减区间为，故选C
3.（2024·高三·浙江绍兴·期末）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，解得或，所以函数的定义域为，令，则函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为.故选：C.
4．（2020·浙江·一模）已知函数的图象如图所示，则的解析式最有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】选项B、D的函数定义域为，和图象不匹配，错误；
选项C函数为减函数，和图象不匹配，错误；
选项A函数的定义域为R，且为增函数，正确.
故选：A
5．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意；当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意；当时，在单调递增，在单调递减，故在上单调递减，则.故选：C
6．（2020·广东湛江·一模）已知函数，若在为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在上为增函数，且函数在上为增函数，在上为增函数，且．当时，在上为减函数，不符合题意，故.当时，，解得．故选：C．
7.（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数，则．①若，则在定义域上单调递减．又在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故对任意的恒成立．又，所以对任意的显然成立．又因为对任意恒成立，所以0，故．②若，则在定义域上单调递增．又在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故对任意的恒成立．因为抛物线的开口向上，所以不可能对任意的恒成立．所以的取值范围为．故选：A．
8.（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则．当时，在上单调递增，则由复合函数的单调性可知在上单调递增，且在上恒成立，所以，解得或（舍去）．所以在上单调递增，则，解得．当时，在上单调递减，则由复合函数的单调性可知在上单调递减，且在上恒成立，所以，解得或（舍去）．
所以在上单调递减，则，解得，与矛盾．
综上所述，.故选：C．
考点四：求函数的最值（值域）
经典例题：
1．函数的最小值和最大值分别是（ ）
A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6
【答案】C
【详解】函数在区间上单调递减，所以．
2．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，，当时，函数单调递增，当时，函数取得最小值，最小值为；当时，函数取得最大值，最大值为，函数的值域为.故选：A.
3．函数，的最小值为（ ）
A． B．0 C．5 D．+4
【答案】B
【详解】由在上单调递增，所以.故选：B
4．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】化简可得：，设,则.由对勾函数的性值可知：
函数是奇函数，在上单调递减，上单调递增，当时，在处取得最小值，当或时，，所以的值域为，所以函数值域为，故选：C.
5．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，则的定义域为．易得是增函数，所以，即的值域为．故选： B.
6．（2025高三·全国·专题）（多选）若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】ABC
【详解】由，得函数的对称轴为，当时，函数取的最小值为，当或时，函数值为，函数的定义域为，值域为，所以，实数的值可能为．故选：ABC
7．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】求导得，要满足函数在区间上单调递增，
则，即，因为，所以，即，故选：B.
8．（2023·四川泸州·一模）已知的值域为，则的最小值为（ ）
A．0 B．2 C． D．1
【答案】D
【详解】因为的值域为，当时，显然值域不为，故舍去；当时函数单调递减，即，又，函数的值域不为，故舍去；所以，此时当时，函数单调递增，又函数在上单调递减，在上单调递增，且时，当时，只需满足，解得，当时，只需满足，解得，综上可得，即的最小值为.故选：D
强化训练：
1．函数在区间上的值域为 ．
【答案】
【详解】令，，，则，在上单调递增，则当时，，当时，，即在区间上的值域为.故答案为：.
2．函数在区间的最大值为 .
【答案】
【详解】（1）由，所以的定义域,
令，开口向下，对称轴，根据复合函数的单调性可知，
的单调递增区间是；单调递减区间是,在区间的最大值为.
3．函数的最小值是 ．
【答案】
【详解】由得的定义域为．又函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增．所以．
4．函数的最小值为 ．
【答案】
【详解】由，可得，所以函数的定义域为，与在上均为增函数，在上为单调递增函数，∴当时，．故答案为.
5．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，即．又在上单调递增，故当时，函数取最大值为，即的值域为．故选：A.
6．（2024高三·全国·专题）函数的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】设，，则，则函数等价于，，
∵在上是增函数，．∴函数的最小值是3．
故选：A．
7．函数的最小值为 ．
【答案】3
【详解】令，则，可得，由对勾函数的性质，易知函数在上单调递减，则，所以函数的最小值为3.故答案为：3.
8．（多选）下列函数中，最小值为2的函数有（ ）．
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】对于A，时等号成立，故A正确；
对于B，时等号成立，故B正确；
对于C，由可知：，所以由基本不等式有，
当且仅当，即时，等号成立；故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：AB
9．（2025·湖北·模拟预测）函数的最小值为 ，此时 .
【答案】
【详解】由
所以可知当，即时，函数取到最小值，
故答案为：①；②.
考点五：不等恒（能）成立问题
经典例题：
1．（2024·贵州遵义·模拟预测），关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意可知，，得.故答案为：
2．（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】.
【详解】当时，不等式恒成立，所以当时，恒成立，则，令，则在单调递增，所以，所以.
故答案为：.
3．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ．
【答案】
【详解】根据已知条件，令对任意的成立.对函数求导得：.当时，，即，此时，该函数在上单调递增；当时，，即，此时，该函数在上单调递减.若，即时，该函数在上单调递增，在上单调递减.此时函数在内的最小值为.解得，因为，所以此时的范围为：.若，即时，该函数在上的最小值为，符合题意.综上所述，的取值范围为.所以的最小值为.故答案为：.
4．（2023·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由不等式对恒成立，可转化为对恒成立，即，而，当时，有最大值，所以，故答案为：．
5．（多选）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】由，即，，故在上有解，设，则，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，，则的最大值为，故.故选：AB.
6．若命题为真命题，则m的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意，不等式有解，即不等式有解，设，则函数图象开口向上，要使不等式有解，则函数图象与轴有交点，则，化简得，解得或．
7．已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为函数的对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以，因为存在，使得不等式成立，所以有，或，因此实数的取值范围为，故答案为：
8．已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当，有.，，使得成立，
等价于，.即在上恒成立，参变分离可得.
当，，当且仅当时取等号，所以，故选:C.
9．已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】当，有，则，，使得成立，
等价于，，即，在上恒成立，参变分离可得，，而当，，当且仅当，即时取等号，所以.
10．（2025高三·全国·专题）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以，因为，所以在上是增函数，因为，所以，因为对任意的，总存在，使得成立，所以，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：.
强化训练：
1．（24-25高三上·山东·阶段）已知不等式的解集为空集，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】不等式的解集为空集，不等式在上恒成立，，，即的取值范围是.故选：D.
2．（2023·江苏连云港·模拟预测）（多选）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】ABD
【详解】当时，不等式为恒成立，故满足题意；当时，要满足，而，所以解得；综上，实数a的取值范围是；
所以对比选项得，实数a可能是，0，1.故选：ABD.
3．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，而当时，，当且仅当，即时取等号，则，所以m的取值范围是.故选：C
4．（22-23高三下·黑龙江哈尔滨·开学考）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为对任意的，都有恒成立，∴对任意的恒成立．设，，，当，即时，，∴实数a的取值范围是.故选：D.
5．（2024·四川成都·二模）若函数对恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为在上恒成立.设，，则在恒成立.则.故答案为：
6．（2022·湖北武汉·三模）若，使成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由可得，，因为，所以，根据题意，即可，设，易知在单调递减，在单调递增，所以，所以，故答案为：
7．（22-23高三上·河北·阶段）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】不等式在区间内有解，即不等式在区间内有解，设，，即，即不大于函数在区间上的最大值，函数的图象为开口向上，对称轴是直线的抛物线，∴，，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∵，，∴，∴，即实数的取值范围为.故答案为：.
8．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由不等式以及可得，依题意可知即可，令，又，由可得，利用二次函数性质可知，即可得；即实数的取值范围是.故答案为：
9．已知，若，对均有成立，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【详解】令，因为，对均有成立，
所以，因为，所以函数在上单调递增，
所以当时，，当时，在上单调递增，所以，所以，所以；当时，在上恒成立，所以，所以，符合题意；当时，在上单调递减，所以，所以，所以.综上，满足题意的实数m的取值范围为.故答案为：.
10．已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，使得成立，，又由在上单调递增，，即对恒成立，，
即对恒成立，，又由在上单调递增，
时，时，，.故选：B．
三、达标检测：
《函数的单调性与最值》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知过点，则在区间内的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可得，解得，故，所以函数在区间内单调递减，
则，故的值域为．故选：A.
2．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】有意义，则，解得．设，其图象开口向下，对称轴为直线，当时，单调递增，当时，单调递减．又在定义域内单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当单调递增时，单调递增．
3．已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，因为在上的最小值为，所以时，，所以，易知反比例型函数在单调递减.所以在处取到的最小值为，即 ，所以.故选：D
4．已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由函数是上的减函数，又，所以，解得.故选：C
5．设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】函数的对称轴为，由函数在上单调递增可得，即，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A
6．高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数x的最大整数，例如，，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．若函数，则当时，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，解得，则的定义域为，当时，令，函数在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的值域为，又因，所以根据高斯函数定义可知的值域为．故选：C
7．已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是定义在上的增函数，所以，解得.故选：B
8．已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，使得成立，，又由在上单调递增，，即对恒成立，，
即对恒成立，，又由在上单调递增，
时，时，，.故选：B．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】ABC
【详解】由，得函数的对称轴为，当时，函数取的最小值为，当或时，函数值为，函数的定义域为，值域为，所以，实数的值可能为．故选：ABC
10．若函数在上不单调，则实数的值可以是（ ）
A．-6 B．-4 C．0 D．4
【答案】BC
【详解】函数图像开口向上，对称轴为，若函数在上不单调，则.故选：BC.
11．已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】由，即，，故在上有解，设，则，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，，则的最大值为，故.故选：AB.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．若函数在区间上单调递增，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为在区间上单调递增，所以，即，因为，所以的最小值为.故答案为：.
13．已知，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由可知，函数对称轴为，当时，在上单调递增，，所以要使恒成立，即，即，解得；当时，在上单调递增，所以，则，解得；综上所述，的取值范围是.故答案为：
14．已知函数，若且，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】时，是增函数，且，时，是增函数，且，如图，且，则，，由得（负值舍去），因此，，，，，所以时，取得最大值，时，取得最小值，所以的取值范围是．
故答案为：．
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案: A A D C A C B B
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: ABC BC AB 答案: 1

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