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专题2.3 函数基本性质及其应用
一、核心知识：
1.函数的单调性
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值：
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数；
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。
2.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称
3. 函数的周期性
（1）周期函数的定义:对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
4. 函数的对称性
（1）关于线对称
若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数．
（2）关于点对称
若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数．
5.函数的对称性与周期性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称；
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为.
二、考点聚焦：
考点一：函数基本性质的判断
经典例题：
1．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，，即取时的函数值不互为相反数，A不是；对于B，，即取时的函数值不互为相反数，B不是；对于C，是偶函数，且，即不恒为0，C不是；对于D，函数的定义域为，而，函数是奇函数，D是.故选：D
2．下列判断正确的是( )
A. 函数是奇函数　　B. 函数是偶函数
C. 函数是偶函数　　D. 函数既是奇函数又是偶函数
【答案】C
【详解】A中函数定义域，定义域不对称，不是奇函数，B中定义域，，因此不是偶函数，C中定义域，函数化简为是偶函数，D中函数是偶函数.
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】B
【详解】对于A，，且，的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故A错误；对于B，
且，所以的定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，故B正确；对于C，，且，的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故C错误；对于D，，且，所以的定义域关于原点对称，又，所以函数是奇函数，故D错误.故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数
【答案】D
【详解】对于A，因为或均为有理数，所以，故没有零点，A错误，对于B，因为，所以，故不是单调函数，B错误，对于C，因为和同为有理数或同为无理数，所以，故是偶函数，C错误，对于D，设为任意非零有理数，则和同为有理数或同为无理数，所以，故是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确，故选：D.
5．已知函数是定义在上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①为偶函数；②为非奇非偶函数；③为奇函数；④ 为偶函数．其中正确判断的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】根据偶函数的定义，可知，①对；，②错；，③对；，④错。
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，设甲：的图象关于轴对称；乙：是奇函数或偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】令，若是奇函数或偶函数，则，所以是偶函数，所以的图像关于轴对称，必要性成立；反之，不妨令则，所以的图像关于轴对称，但是是非奇非偶函数，充分性不成立，则甲是乙的必要条件但不是充分条件．故选：B．
7．（2025高三·全国·专题）已知函数的定义域为，若，则下列选项不正确的有（ ）
A． B． C．函数是增函数 D．函数是奇函数
【答案】C
【详解】在中，令，则，因为，所以．令，则，所以，故A对．令，则，则，所以，故B对．是减函数，故C错．，所以是奇函数，故D对．故选：C．
8．（2025高三·全国·专题）已知函数的定义域均为，且的图象关于直线对称，则以下说法不正确的是（ ）
A．和均为奇函数 B． C． D．
【答案】A
【详解】对于B，由，得，又，，
的图象关于直线对称，，，
，则是周期函数，且周期为，所以，故B正确；对于A，的图象关于直线对称，是偶函数，若为奇函数，则恒成立，不满足，故A错误；对于C，由，得，，因为，则，所以是周期函数，且周期为，则，故C正确；对于D，由，得，又，由，得，故D正确.故选：A.
9．（2025·四川成都·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，函数定义域为，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，又时，，所以，且恒成立，则，所以只有D满足.故选：D
10．（23-24高三下·甘肃·开学考试）（多选）已知函数（，其中表示不大于的最大整数），则（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数 C．在上单调递增 D．的值域为
【答案】BD
【详解】由题意，表示不大于的最大整数，则，所以，则函数是以3为周期的函数，当时，，当时，，则，又是以3为周期的函数，则的值域为和D均正确；，所以，故不是奇函数，A错误；
当时，，故在上无单调性，C错误.故选：BD.
强化训练：
1．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是；对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是；对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是；对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是.故选：A
2．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于函数，定义域为，而，∴该函数不是奇函数.故A错误.
对于函数，定义域为，，∴该函数是偶函数，不是奇函数.故B错误.对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为，不是.故C错误.对于函数，定义域为，，∴该函数是奇函数.当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；并且函数在定义域内是连续的，值域为.故D正确.故选:D.
3．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，对于A，，定义域不关于原点对称，
所以不是奇函数，故A错误；对于B，所以，则，令，定义域关于原点对称，，所以B正确；对于C，，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故C错误；对于D，所以，则，令，定义域关于原点对称，，所以不是奇函数，所以D不正确；故选：B.
4．（2025·江西·二模）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据得，可得，故为奇函数
故选：A
5．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为的定义域为R，又因为，所以是偶函数，不符合题意；
令，则，所以是偶函数，不符合题意；令，则，所以是偶函数，不符合题意；令，则，所以是奇函数，符合题意．故选：D．
6．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．
【答案】B
【详解】因为函数的定义域为，，函数是奇函数，则对任意的，，可得，所以，函数的图象关于直线对称，则的值不确定，C错；因为函数的图象关于直线对称，令，所以，，即对任意的，，即，所以，函数为奇函数，即函数的图象关于点对称，B对；因为，而不一定等于零，故函数不一定是偶函数，A错；因为函数的图象关于直线对称，则，因为函数的图象关于点对称，则，所以，，则，故，D错.故选：B.
7．（2024·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C． D．是奇函数
【答案】C
【详解】由，所以，又，所以，且，所以，故A正确
由A可得，，所以的图象关于直线对称，故B正确
由A可得，是周期为8的函数，，又由，得，所以，故C错误
对于D，由的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，故D正确，
故选：C.
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】D
【详解】对于A：令，得，即，所以或．
当时，不恒成立，故，故A错误．对于B：解法一：令，得，又，所以，故，故B错误．
解法二 ：令，得，又，所以，故B错误．对于C、D：由B选项可知，则，所以为奇函数，故C错误，D正确．故选：D.
9．（2025·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数 C． D．
【答案】C
【详解】令，得，即，故函数的图象关于对称．又的图象关于直线对称，故，的图象关于直线对称．，是以4为周期的周期函数．对于A，的图象是将的图象向左平移2个单位，故的图象关于轴对称，是偶函数，故A错误；对于B，的图象是将的图象向左平移1个单位，故的图象关于原点对称，是奇函数，故B错误；对于C，由，得；由，得，，故C正确；对于D，依题意，得，，，故D错误．故选：C．
10．（2021·黑龙江大庆·二模）函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以函数是奇函数，故排除D选项；
又，故排除B选项；又，故排除C选项；所以A符合条件，故选：A.
考点二：根据函数性质求值
经典例题：
1．（2023·广西·一模）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【详解】因为是函数的一个零点，则，于是，即，而函数是奇函数，则有，所以.故选：D
2．（2021·山东临沂·二模）已知奇函数，则（ ）
A． B． C．7 D．11
【答案】C
【详解】，故选：C.
3．已知定义域为的奇函数，则的值为 ．
【答案】0
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且，解得且．所以．
4．（2020·陕西西安·一模）已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，满足，即，又是定义域为的奇函数，，即，因为当时，，，
故.故选：
5．（2023·广西·一模）是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】A
【详解】是定义在R上的函数，为奇函数，则.∴.故选：A
6．（2023·广西北海·一模）已知奇函数的定义域为,且对任意恒成立,若,则 .
【答案】2
【详解】由题知,所以周期为4,因为奇函数,所以,因为,所以,所以,因为,所以,又,所以,因为,所以.故答案为:2
7．（2021年全国II卷）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.
8．（2023·广西南宁·一模）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．0
【答案】B
【详解】∵，∴以为对称中心，且；∵即，∴为偶函数，以轴为对称轴；∴，即，
由知，，∴，，从而，即，∴的周期为4，∴的周期为4；故．故选：B.
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】C
【详解】因为函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数;因为对任意，都有，令，得，又函数为奇函数，故，解得，则，即，所以4是函数的一个周期；所以.故选:C.
10．（2024·吉林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【详解】由题意知函数的定义域为，且，，令，则，即，故为偶函数；又，令，则，又由，得，即的图象关于点成中心对称，则；，即，又结合为偶函数，
则，故，即4为的周期，故，故，故选：D
强化训练：
1．（2025·河北·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由偶函数的性质可知，，得，即时，，.故选：C
2．（2025·广东·一模）若函数是奇函数，则 ．
【答案】3
【详解】因为函数为奇函数，所以，设，则，所以，所以，则，所以.故答案为：3
3．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数，满足.若，则（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】因为，所以，所以的周期为2，，，则.又，所以.又函数的周期为2，所以.故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知不恒为零的函数为定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【详解】由于函数为偶函数，则，即，又为定义在上的奇函数，所以，且，所以，则，故的一个周期为4，则.故选：B．
5．（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】C
【详解】因为，所以．又因为，所以，所以，即，所以，所以函数是周期为4的函数．在中令，得，即，所以
．故选:C．
6．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的奇函数是单调函数，且，若曲线，和轴交于同一个点，则 ．
【答案】
【详解】因为奇函数的定义域为且是单调函数，所以，则曲线，与轴均交于原点，因此，即，得，则．故答案为：.
7．（2025·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且，
，的图象关于直线对称，当时，，则（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2025
【答案】B
【详解】由，得，又因为，所以，故，，所以，所以是以4为周期的周期函数，由，得，所以，所以也是以4为周期的周期函数，因为当时，，所以.因为的图象关于直线对称，所以.又因为，所以，所以.故选：B.
8．（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由为奇函数，得，得的图象关于点对称，所以.又因为是定义域为的偶函数，所以，，所以的周期为4，所以.故选：A.
9．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（ ）
A．4036 B．4040 C．4044 D．4048
【答案】D
【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，因为，所以，则，
因为关于直线对称，所以，又因为关于点对称，所以，
又因为，又因为，所以，
所以，故D正确.故选：D.
10．（2024·江苏徐州·一模）若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，则，即函数的周期为4，
由是R上的奇函数，得，即，
于是，，即，
因此，AB错误；
由，取，得，则，
因此，取，得，
于是，
则，C错误，D正确.
故选：D
考点三：根据函数性质求参求解析式
经典例题：
1．（2023年全国Ⅱ卷）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.
故选：B.
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是奇函数，则 ．
【答案】
【详解】当时，，所以，即，则，．故答案为：
3．（2022·全国·模拟预测）已知是奇函数，且当时，．若，则 ．
【答案】1
【详解】因为是奇函数，，所以，因为当时，，所以，所以，解得.故答案为：1.
4．（2024·广东佛山·一模）已知为奇函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，因为为奇函数，所以对恒成立，所以，代入函数表达式得，所以，则，所以在处的切线方程为，即.故选：A
5．（2023·吉林长春·一模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，则.故选：A
6．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则，所以，又函数是奇函数，所以，即，.即.故选：C
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【详解】由函数是奇函数，函数是偶函数，，故，即，将该式和相减可得，则，故选：C
8.（2025·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，∴.
∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，
∴，，∴，
∴，.
∴.
故选：D.
9．（2023·安徽马鞍山·三模）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，解得，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.
10．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是奇函数，是偶函数，所以，解得，由，当时，则，所以，同理：当时，，以此类推，可以得到的图象如下：由此可得，当时，，由，得，解得或，又因为对任意的，恒成立，所以，所以实数的最大值为.故选：B.
强化训练：
1．（2021年全国I卷）已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，
故答案为：1
2．（2024·广西南宁·一模）已知为奇函数，则（ ）
A．3 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】由题意可得，即，且，且，由于为奇函数，故其定义域关于原点对称，故，此时，定义域关于原点对称，满足，即为奇函数，符合题意，故，故选：B
3．（2023·全国·模拟预测）“”是“函数是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，则，，且，所以是奇函数；若函数 在其定义域上为奇函数，则，解得，∴是函数 在其定义域上为奇函数的充分不必要条件，故选：A.
4．（2024·内蒙古包头·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则 ．
【答案】/
【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，所以， 又，所以，解得，经检验符合题意，所以，则.故答案为：.
5．（2024·辽宁·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【详解】，故，故，解得.故选：B.
6．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】已知满足，∴为奇函数，当时，，因此，则x＞0时，，曲线在点处的切线斜率，又，∴曲线在点，即(1，0)处的切线方程为，整理得﹒故选：C．
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【详解】由函数是奇函数，函数是偶函数，，故，即，将该式和相减可得，则，故选：C
8．（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数为奇函数，即，所以，可得①，因为函数是偶函数，即，所以，可得②，联立①②可得，因此.故选：C.
9．（2023·江苏南通·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的最小值为.故选：B.
10．（2023·广东湛江·二模）已知奇函数则 ．
【答案】
【详解】当时，，，则．故答案为：.
考点四：根据函数性质解不等式
经典例题：
1．（2022·山东济南·二模）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】因为时，单调递增，又因为为偶函数，故可以做出的图像如图所示，由图像可知，若，则或.故选：C
2．（2023·广西北海·一模）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，在上单调递减．若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】奇函数的定义域为，，且在上单调递增，在上单调递减，可作出的大致图象：由图象可知解集为．故选：B
3．（2020年全国Ⅰ卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或，解得或，
所以满足的的取值范围是.故选：D.
4．（2025·全国·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，则，则；；当即时，，，成立；当时，，，；当时，，，；当即时，，所以的取值范围是．故选：D．
5．（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【详解】由于是偶函数，根据偶函数的定义，.因此，不等式可以转化为.函数在上单调递增，在上单调递减，所以，解得或.故选：C.
6．（24-25高三下·河南·阶段）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为奇函数在上有定义，所以，所以，所以，解得.所以的取值范围为.故选：D.
7．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是奇函数，则可化为．又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减．则，解得或，即实数a的取值范围是．故选：C
8．（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，易知其定义域为，由
，则函数为偶函数，，由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递减，在上单调递增，即函数在上单调递增，在上单调递减，由，则，即，整理可得，分解因式可得，解得.故选：A
9．（2025·湖南·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】已知是定义在上的奇函数，则.当时，，那么，所以.当时，，则，所以.因此. 分情况讨论：因为恒成立，所以.由可得，即，解得.又因为，所以不等式在上的解集为.故选：A.
10．（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为当时，都有成立，不妨令，则都有成立，即对任意，且，都有成立，所以函数在上单调递增，因为是定义在上的奇函数，所以，所以函数是偶函数，所以函数在上单调递减，又，则，
所以不等式或或，解得或.
所以不等式的解集为.故选：B
强化训练：
1．（2023·广西梧州·一模）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】偶函数在上单调递减，则在单调递增，因为，则当时，，即，故或，解得或，或与取交集得，则当时，，即，故，解得，与取交集，解集为空集，综上：不等式的解集为
．故选：D．
2．（2023·广西梧州·一模）已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由函数为偶函数，知函数关于对称，又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，由，知，作出函数的图象，如下：
由图可知，当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；所以不等式的解集为，故选C
3．（2025·海南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，则函数在上为增函数，且，
由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且，
当时，由，可得；由，可得；
当时，由，可得；由，可得.
接下来解不等式，
当时，即当时，则可得或，可得；
当时，即当时，则可得或，可得.
综上所述，不等式的解集为.故选：C.
4．（2024·上海闵行·二模）已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为为奇函数，所以等价于，即；当时，，即，解得；当时，，可得，所以，解不等式，可得，综上可得集合可表示为.故选：D
5．（2023·广东·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，则，则，所以，则当时，，当时，，则，
则当时，不等式为，解得，当时，不等式为，
解得，故不等式的解集为，故选：A.
6．（2023·四川成都·模拟预测）设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 .
【答案】
【详解】因为是定义在上的偶函数，且当时，，设，则，所以，又，所以，所以，则，所以不等式，即，即，即，即，解得，即不等式的解集为.故答案为：
7．（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】易知函数定义域为，又，故为偶函数，当时，，所以，令，结合对勾函数在单调递增，在单调递增，由复合函数的单调性可知：在上单调递增，又在上单调递增，故在上单调递增，易知在上单调递增，结合函数为偶函数，所以由可得，平方得，解得或，所以不等式的解集为，故选：D
8．（2025高三·全国·专题）已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 .
【答案】
【详解】由是定义在上的奇函数，得，是上的偶函数，由，得，则，由在上递增，得在上递减，当时，，不等式成立，因此；当时，，解得；当时，，解得，所以不等式的解集为.故答案为：
9．（2022·湖北省·模拟预测）已知是奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是奇函数，当时，；所以当时，；
当时，则，所以.因为是奇函数，所以，所以.即当时，.综上所述：.
令，则，所以不等式可化为.
当时，不合题意舍去.当时，对于.因为在上递增，在上递增，所以在上递增.又，
所以由可解得：，即，解得：.故选：C
10．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】构造函数，其中，则，故函数为偶函数，
当、且时，都有成立，不妨设，则，即，
故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数，
因为，则，
当时，由得，即，解得；
当时，由得，即，解得.
综上所述，不等式的解集为.故选：B.
三、达标检测：
《函数基本性质及其应用》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】已知的定义域是，不是奇函数，所以A错误.已知，定义域为，且，是奇函数，，所以在区间上单调递增，所以B正确.已知，则，在区间上单调递减，所以C错误.已知，则，令，即，解得，所以在上单调递减，所以D错误.故选：B.
2．设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为是奇函数，所以有①，令，则有，即.因为是偶函数，所以有，令，则有，在①式中，令，则有，.故选：A
3．已知定义域为的函数不是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】若是奇函数，则；若不是奇函数，则．
故选：B．
4．函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得的定义域为R，，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B，D．又，排除选项C.故选：A．
5．已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数为偶函数，当时，，则当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程是，即.故选：A
6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意是奇函数，所以，即，则，，当时，令，解得或，根据对称性，当时，，故满足的的取值范围是．故选：C．
7．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】,设，的定义域为R，
，所以为奇函数，则，
又因为在R上均为减函数，所以在R上为减函数，由可得，即，所以，解得：或.故选：D.
8．定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，的定义域为，∵，∴为奇函数，∵，且在上为减函数，∴在上为增函数.
∵，∴，∴，解得，即的取值范围为.故选：B.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．已知，则（ ）
A．是偶函数 B．一个周期是 C．的最大值是2 D．的最小值是0
【答案】ABD
【详解】A选项，的定义域为，又，故为偶函数，A正确；
B选项，，故的一个周期为，B正确；
C选项，，由于函数定义域为，故取不到，故取不到2，C错误；D选项，由C可知，当时，取得最小值0，D正确.故选：ABD
10．已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．在上单调递增，在上单调递减 D．
【答案】ABD
【详解】A：当时，则，因为是定义域为的偶函数，所以，故A正确；
B：令，由题意，即，所以的图象关于点对称.当时，则，所以，故B正确；
C：由选项AB知，当时，当时，又因为函数在R上单调递减，所以在上单调递减.又为偶函数，所以在上单调递增.由，，得，即，所以，所以4为的一个周期.从而在上单调递增，故C错误；
D：由选项C知，，故D正确.
故选：ABD
11．已知函数下列命题正确的是（ ）
A．若是奇函数，则 B．若是奇函数，则
C．若是减函数，则的取值范围为 D．若是减函数，则的取值范围为
【答案】AC
【详解】当时，.若是奇函数，则，解得，当时，时，，也满足奇函数，故A正确.若是减函数，则，解得，C正确.故选：AC
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知函数对任意，都有，则函数为 函数．（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）
【答案】奇
【详解】由题意得函数的定义域为R，定义域关于原点对称，令，则，故．令，则，故．故为奇函数．
故答案为：奇
13．已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为 ．
【答案】
【详解】设，，因为函数是偶函数，所以，
当时，，，，所以在处的切线方程为，即.故答案为：
14．若函数为奇函数，则函数，的值域为 .
【答案】
【详解】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为.故答案为：.
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案: B A B A A C D B
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: ABD ABD AC 答案: 奇专题2.3 函数基本性质及其应用
一、核心知识：
1.函数的单调性
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值：
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数；
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。
2.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称
3. 函数的周期性
（1）周期函数的定义:对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．
4. 函数的对称性
（1）关于线对称
若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数．
（2）关于点对称
若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数．
5.函数的对称性与周期性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称；
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为.
二、考点聚焦：
考点一：函数基本性质的判断
经典例题：
1．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．下列判断正确的是( )
A. 函数是奇函数　　B. 函数是偶函数
C. 函数是偶函数　　D. 函数既是奇函数又是偶函数
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数
4．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数
5．已知函数是定义在上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①为偶函数；②为非奇非偶函数；③为奇函数；④ 为偶函数．其中正确判断的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，设甲：的图象关于轴对称；乙：是奇函数或偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．（2025高三·全国·专题）已知函数的定义域为，若，则下列选项不正确的有（ ）
A． B． C．函数是增函数 D．函数是奇函数
8．（2025高三·全国·专题）已知函数的定义域均为，且的图象关于直线对称，则以下说法不正确的是（ ）
A．和均为奇函数 B． C． D．
9．（2025·四川成都·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高三下·甘肃·开学考试）（多选）已知函数（，其中表示不大于的最大整数），则（ ）
A．是奇函数 B．是周期函数 C．在上单调递增 D．的值域为
强化训练：
1．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江西·二模）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，且，则下列结论错误的是（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C． D．是奇函数
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．为奇函数
9．（2025·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数 C． D．
10．（2021·黑龙江大庆·二模）函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点二：根据函数性质求值
经典例题：
1．（2023·广西·一模）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
2．（2021·山东临沂·二模）已知奇函数，则（ ）
A． B． C．7 D．11
3．已知定义域为的奇函数，则的值为 ．
4．（2020·陕西西安·一模）已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广西·一模）是定义在R上的函数，为奇函数，则（ ）
A．－1 B． C． D．1
6．（2023·广西北海·一模）已知奇函数的定义域为,且对任意恒成立,若,则 .
7．（2021年全国II卷）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广西南宁·一模）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．0
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
10．（2024·吉林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
强化训练：
1．（2025·河北·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东·一模）若函数是奇函数，则 ．
3．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数，满足.若，则（ ）
A．2 B． C．0 D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知不恒为零的函数为定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（2024·全国·模拟预测）已知定义域为的函数满足，则（ ）
A． B． C．0 D．3
6．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的奇函数是单调函数，且，若曲线，和轴交于同一个点，则 ．
7．（2025·全国·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且，
，的图象关于直线对称，当时，，则（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2025
8．（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则=（ ）
A．4036 B．4040 C．4044 D．4048
10．（2024·江苏徐州·一模）若定义在R上的函数满足，是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
考点三：根据函数性质求参求解析式
经典例题：
1．（2023年全国Ⅱ卷）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是奇函数，则 ．
3．（2022·全国·模拟预测）已知是奇函数，且当时，．若，则 ．
4．（2024·广东佛山·一模）已知为奇函数，则在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·吉林长春·一模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（ ）
A． B． C．0 D．
8.（2025·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2023·安徽马鞍山·三模）函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
强化训练：
1．（2021年全国I卷）已知函数是偶函数，则 .
2．（2024·广西南宁·一模）已知为奇函数，则（ ）
A．3 B． C．0 D．
3．（2023·全国·模拟预测）“”是“函数是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·内蒙古包头·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，且，则 ．
5．（2024·辽宁·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
6．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知满足，且当时，，则曲线在点处的切线方程为( )
A． B． C． D．
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（ ）
A． B． C．0 D．
8．（2025·云南·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·江苏南通·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·广东湛江·二模）已知奇函数则 ．
考点四：根据函数性质解不等式
经典例题：
1．（2022·山东济南·二模）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2023·广西北海·一模）已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，在上单调递减．若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020年全国Ⅰ卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·全国·模拟预测）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
6．（24-25高三下·河南·阶段）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·湖南·一模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则不等式在上的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
强化训练：
1．（2023·广西梧州·一模）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广西梧州·一模）已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·海南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·上海闵行·二模）已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川成都·模拟预测）设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 .
7．（2025·河北石家庄·一模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三·全国·专题）已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 .
9．（2022·湖北省·模拟预测）已知是奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
三、达标检测：
《函数基本性质及其应用》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ）
A． B． C． D．
3．已知定义域为的函数不是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知是定义在上的奇函数，当时，，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．已知，则（ ）
A．是偶函数 B．一个周期是 C．的最大值是2 D．的最小值是0
10．已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．在上单调递增，在上单调递减 D．
11．已知函数下列命题正确的是（ ）
A．若是奇函数，则 B．若是奇函数，则
C．若是减函数，则的取值范围为 D．若是减函数，则的取值范围为
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知函数对任意，都有，则函数为 函数．（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）
13．已知为偶函数，且当时，，则在处的切线方程为 ．
14．若函数为奇函数，则函数，的值域为 .
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