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专题2.5 幂指对函数
一、核心知识：
1.指数幂与指数的运算
（1）若，且，则①；②
（2）分数指数幂：
；.
注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
（1）指数幂的运算：
；；．
2.对数与对数运算
（1）对数式与指数式的转换：ax＝N x＝logaN(a>0，且a≠1)；
特别的：①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1).
（2）运算法则：若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)
（3）换底公式： logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
（4）常用结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad.
3.幂函数
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数．
（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)．
4.幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
5.指数函数
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是指数函数的底数．
6.指数函数的图象与性质
图象
图像特征 在轴的上方，过定点
当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降
性质 定义域
值域
单调性 在上是增函数 在上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，；
7.指数函数的底数对图象的影响:
函数的图象
如图所示：观察图象，我们有如下结论：
(1)底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快；
当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
8.对数函数
函数（，且）叫做对数函数，定义域为．其中，以10为底的函数叫常用对数函数；以无理数e为底的函数叫做自然对数函数.
8.对数函数的图象与性质
图象 a＞1 0＜a＜1
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数
9．对数函数图象的常用结论
（1）函数y＝logax与的图象x轴对称；
（2）对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
二、考点聚焦：
考点一：指数对数的运算
经典例题：
1．（2025·河南新乡·二模）（ ）
A．16 B． C．32 D．
【答案】A
【详解】由.故选：A
2．计算（ ）
A．2 B．1 C． D．0
【答案】C
【详解】，故选：C．
3．化简的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】=.故选：D
4．（2025·天津·二模）化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题得.故选：A
5．（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（ ）
A．15 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，又，所以.故选：C.
6．（2025·江西萍乡·三模）已知，则 .
【答案】
【详解】依题意，，故.故答案为：.
7．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．2 B．e C．3 D．
【答案】B
【详解】由解析式可得：，所以，所以，故选：B
8．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数满足，则 ．
【答案】15
【详解】因为，则．故答案为15.
9．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【详解】由题意得，所以.故答案为：.
10．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知当时，,故，满足题意；当时，令，即，解得，所以.综上，.故选：C
强化训练：
1．计算： ．
【答案】2
【详解】，故答案为：2.
2．计算的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【详解】.故选：C.
3．（2025·山西临汾·三模）已知，，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】由，可得，，则，故选：B
4．（2025·江西·模拟预测）若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】由有，令，则，
所以，故选：C.
5．（2025·重庆九龙坡·三模）已知 ，则 .
【答案】/0.5
【详解】由题意，所以.故答案为：
6．（2025·安徽·三模）已知，则 .
【答案】
【详解】由题意得，，故.故答案为: .
7．（2025·陕西安康·模拟预测）已知，，则 ．
【答案】
【详解】由已知得，，，
．故答案为：．
8．（2025·山东潍坊·一模）已知函数则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】将代入，得到，所以，将代入，得到.因此，.故选：B.
9．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数且，则（ ）.
A．. B．. C．2. D．4.
【答案】D
【详解】由题可知，解得，则.故选：D.
10．（2025·吉林·模拟预测）满足条件，且的一组为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【详解】设，，，，，，结合选项，ABC不符合，D符合，故选：D．
考点二：指对数的应用
经典例题：
1．（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A．21小时 B．22小时 C．23小时 D．24小时
【答案】A
【详解】当时，，当时，，所以，；当时，.故选：A.
2．（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（ ）（参考数据：）
A．100小时 B．300小时 C．1000小时 D．3000小时
【答案】C
【详解】由题意得，所以，即，两边同时取以10为底的对数，得，所以.故选：C.
3．（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．
（精确到1．参考数据：）
A．87 B．88 C．89 D．90
【答案】
【详解】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级.因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为，所以，且，所以，根据精确度要求精确到1，所以，故选：C.
4．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：，）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为，由题意可得，即，解得，同理，即，解得，
所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍.故选：B
5．（2025·福建莆田·模拟预测）点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（ ）（参考数据：）
A．6dB B．4dB C．3dB D．2dB
【答案】A
【详解】由，因为，所以，故答案为：A
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米
【答案】A
【详解】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米.由题意知，，即①.又，即，即②.由可得，解得.
故选：A.
7．（2025·陕西汉中·三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数6”的声强的（ ）
A．2倍 B．20倍 C．100倍 D．1000倍
【答案】C
【详解】当时，代入声强级数公式可得.可将上式变形为.那么，解得.当时，代入声强级数公式可得.则，可得，解得..故“声强级数”的声强是“声强级数”的声强的100倍.故选：C.
8．（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：）
A．75 B．77 C．79 D．81
【答案】C
【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为，当时，，代入得，解得，当学习率衰减到0.2以下（不含0.2）时，，则，即，则，所以所需的训练迭代轮数至少为79．故选：C.
9．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
【答案】C
【详解】由于，所以，依题意，则，则，由，即，所以，所以所需的训练迭代轮数至少为次．故选：C.
10．（2025·河南南阳·模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】D
【详解】因为衰减学习率模型为，所以根据已知条件可得：①②，用②式除以①式可得：,化简可得：.将代入①式中可得：.所以衰减学习率模型为.当学习率衰减到0.05以下时，即.
化简上述不等式得：，所以.因为为正数，所以最小值取34.故选D.
强化训练：
1．（2025·广西北海·模拟预测）Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（ ）
A．60 B．61 C．62 D．63
【答案】A
【详解】由题可得，则，故选：A．
2．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ）
A．300 B．450 C．600 D．750
【答案】C
【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.所以，所以，若，
则.故选：C.
3．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1） （ ）（注：，）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】C
【详解】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，由题意，.于是，
所以.故选：C.
4．（2025·贵州黔东南·三模）在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速度v（单位：）满足函数关系，则当芯片处理数据的运算速度为时，芯片处理数据的错误率约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当，则
.故选：B
5．（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（ ）
A．12年 B．13年 C．14年 D．15年
【答案】C
【详解】由题意可知，代入公式可得，所以所以，所以至少需要14年，故选：C
6．（2025·浙江·二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设有，，故即，故选：C.
7．（2025·云南·模拟预测）（多选）重幂在数学、计算机科学和物理学等领域都有广泛应用.例如，在组合数学中，重幂运算可以用来计算排列和组合的数量；在算法设计中，重幂运算可以用来计算复杂度分析中的阶乘和指数增长；在量子力学中，重幂运算可以用来表示量子态的多次叠加和演化.设，，定义，我们把“”称作“的重幂”，例如，，，则（ ）
A． B．的最小值为1 C． D．
【答案】ACD
【详解】对于选项A，根据指数幂的运算法则，，对于，先将变形，因为，所以，可得，所以，选项A正确. 对于选项B，令，两边取自然对数可得.设，，对求导， .令，即，解得.当时，，所以，单调递减；当时，，所以，单调递增.则在处取得最小值，，即，那么，所以的最小值为，而不是，选项B错误. 对于选项C，令，则，，.采用反证法，假设存在，使得.因为，根据对数函数的单调性，可得，又因为，所以.同理可得，以此类推，重复上面操作有限次后，必会得到，但已知，这产生了矛盾，所以假设不成立，即不存在，使得，选项C正确. 对于选项D，因为对于任意，恒成立，展开可得，即.根据对数函数与指数函数的关系，可得.所以，根据基本不等式，当且仅当，即时取等号，选项D正确. 故选：ACD.
8．（2025·天津·二模）目前很多手机都具有快充功能，其电池电量Q（单位：%）与充电时间（单位：分钟）的关系可表示为.现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据）（ ）
A．128分钟 B．64分钟 C．32分钟 D．16分钟
【答案】C
【详解】设充电时间为分钟，所以，即，同时取自然对数，因此最少需要约32分钟，故选：C
9．（2025高三·全国·专题）某飞行器启动反冲装置后，运动速率与时间近似满足指数函数模型（为常数）.已知某飞行器启动反冲装置后，经过1个单位时间，飞行器的运动速率衰减，若经过个单位时间后，飞行器的运动速率小于反冲装置启动前的运动速率的，则的最小值为 .（参考数据：）
【答案】8
【详解】设飞行器的运动速率在启动反冲装置时的原始量为1，经过个单位时间后，该飞行器的运动速率为，则由题意可得函数模型，因为当经过个单位时间后，飞行器的运动速率小于反冲装置启动前的运动速率的，所以，故，所以的最小值为8.故答案为：8.
10．（24-25高二下·河南商丘·期中）某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上的目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是，至少要有一枚导弹击中目标，才能说明目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁目标．至少需要 辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁．（参考数据：）
【答案】4
【详解】设至少需要辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁．则.所以至少需要4辆登陆艇同时发射导弹.故答案为：4
考点三：指对幂复合函数的值域（最值）
经典例题：
1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】易知为减函数，所以.所以函数的值域为，故选：A
2．（2025·安徽·一模）函数的值域为 .
【答案】
【详解】因为与在上均为减函数，且当时，，所以，故的值域为.故答案为：
3．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ．
【答案】
【详解】因为，因为，则，故，即函数的值域为，因为，所以，因此，函数的对称中心为.故答案为：；.
4．（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于，有，解得，对于，其图象开口向下，对称轴为，当时，，当时，，所以当时，，即，又在其定义域内单调递增，所以，则，
则的值域为.故选：D.
5．（2025·河南·三模）函数的定义域为 ，值域为 .
【答案】
【详解】因为，所以恒成立，由，得，则的定义域为，，故的值域为.故答案为：；
6．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 .
【答案】
【详解】因为
，当，即时，取到最小值，且.故答案为：
7．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得，函数在上单调递增，，
令，而函数在上单调递增，则，所以函数的值域为.故选：D
8．（2024·全国·模拟预测）函数的值域为 ．
【答案】
【详解】当时，，当时，，所以的值域为． 故答案为：.
9．（24-25高三下·山东·阶段）已知函数的值域为，且，则 .
【答案】
【详解】由指数函数的性质可知，若，则，为常数，不合题意；若，则，不合题意；若，则，因为函数的值域为，则，又，则，解得，所以.故答案为：.
10．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【详解】解法1：因为，所以，所以关于对称.因为，函数在区间上的值域为，所以.
解法2：因为在上递增，所以.解法3：取，因为在上递增，所以.故选D.
强化训练：
1．（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【详解】因为，所以，所以，最大值为1，故选：B.
2．（2024·陕西·一模）已知函数的定义域为，函数的值域为B，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，则且，可得的值域．故选：B.
3．（2022·上海·模拟预测）若，则函数的值域为 .
【答案】
【详解】因为，，令，
因此，即的值域为．故答案为：．
4．（2023·上海黄浦·三模）已知，设，则函数的值域为 ．
【答案】
【详解】由题意得，则，即的定义域为，故，令，则，函数在上单调递增，故，故函数的值域为，故答案为：
5．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ．
【答案】
【详解】设幂函数，代入点可得，即，可得，因为，可得，所以该幂函数的值域是.故答案为：.
6．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，因为函数在上单调递增，所以，此时；当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数，故，即在上的值域为.综上所述，函数的值域为.故选：A.
7．（2024·河南·三模）（多选）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．的单调递增区间为
【答案】ABC
【详解】对AB，由，得，则的定义域为，值域为，A，B均正确；对C，，C正确；对D，因为，所以，外层函数为增函数，，令，所以函数定义域为，内层函数，在上单调递增，上单调递减，所以的单调递增区间为不是D错误.故选：ABC
8．（2023·河北邯郸·一模）（多选）已知函数，则（ ）
A．的定义域是 B．有最大值
C．不等式的解集是 D．在上单调递增
【答案】AB
【详解】由题意可得，解得，即的定义域是，则A正确；，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则B正确；因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以不等式的解集是，则C错误；因为在上单调递减，所以D错误．故选：AB.
9．（2025·河北保定·二模）（多选）若函数，则（ ）
A．为减函数 B． C．的值域为 D．
【答案】BC
【详解】因为，，所以为增函数，的值域为，故选项A错误，选项C正确；，故选项正确；
，故选项错误.故选：BC.
10．（2025·广东茂名·一模）（多选）已知函数，则（ ）
A．当时，是增函数
B．当时，的值域为
C．当时，曲线关于点对称
D．当时，，则
【答案】ACD
【详解】对于A：因为定义域为，当时在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，所以在定义域上单调递增，故A正确；对于B：当时，但是，故B错误；对于C：当时，，
则，所以曲线关于点对称，故C正确；
对于D：当时，的图象是由图象向右平移个单位得到，所以的对称中心为，且在定义域上单调递增，所以，可得，即，从而，
即恒成立，所以，解得，故D正确.故选：ACD
考点四：根据函数值域求参数范围（最值）
经典例题：
1．已知幂函数图象过点，则该幂函数的值域是_____________．
【答案】
【详解】设幂函数的解析式为，因为幂函数图像过点，所以，
所以该幂函数的解析式为．
2．（2021·河南新乡·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】解：因为，，而函数在上的值域为，
所以结合函数的图像，可得的取值范围是.
3．（2012·北京西城·一模）已知函数 其中 ．若 的值域是 ，则c的取值范围是 ．
【答案】.
【详解】依题意作下图：，由于当时，，所以当时，是增函数，所以其值域为，由题意可知： ；故答案为：0，-1， .
4．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】第一空：当时，易知的值域为，若的值域为，则当时，的最大值需满足小于或等于2，因为在上单调递增，故需满足：即，解得：，故的一个取值为；第二空：当时，易知的值域为，若的值域为，则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2，又在上单调递增，则需满足即，解得：，所以的取值范围是.故答案为：，
5．（24-25高三上·浙江杭州·期末）设，且，函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为，当时，，则在上单调递减，所以，即；要使得函数的值域为，所以当时，，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：
6．若函数且的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】当时，，当且仅当时等号成立；当时，，当且仅当时等号成立，即，即的值域为.因为函数且的值域为，所以，解得.
7．（2024·贵州黔东南·二模）若函数的值域为.则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意可得要取遍所有正数，则需要求，因为，解得；
故.故选：C
8．（2020·河北张家口·一模）若函数有最小值，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】当时，函数单调递减，无最小值，无最大值，其值域为；当时，函数单调递减，其最小值为，所以若该函数有最小值，最小值只能在处取得，故．故答案为：．
9．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得函数的定义域为，当时，，要使得定义域和值域的交集为空集，则，又时，，若，则，此时显然不满足题意，
若，则在上单调递减，，故，所以，解得.故选：B.
10．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，当且仅当时取等号，
所以.故选：B
强化训练：
1．（2025·湖南·模拟预测）若函数在上的最大值为3，则a的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．e
【答案】B
【详解】设，则问题转化为函数在上的最大值为3，因为函数的对称轴为，当时，，不合题意；当时，，合题意，综上，的最大值为.故选：B.
2．（2022·四川宜宾·三模）若函数的值域为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，f(x)=，当时， ，故要使的值域是，则0≤≤1，解得．故选：C
3．（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设的值域分别为，当时，则，可得；因为的值域为，可知，则，且，可得，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.
4．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数()的值域是，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，，若，当时，则，与函数的值域为不符，若，当时，则，又函数的值域为，所以，又，所以，
综上，实数 的取值范围是.故选：A.
5．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，可知有解，且无最大值，即有解，且无最大值，
当时，有解，无最大值，符合题意；
当时，有解，但有最大值，不符合题意；
当时，有解需满足，解得，此时无最大值，满足题意.
综上，实数a的取值范围是.故选：A
6．（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由函数的值域为R，得函数的值域包含，因此，解得或，所以实数a的取值范围为.
7．（2025·山东日照·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数，当时，单调递增，所以值域为，
要使得分段函数的值域为，则当时，的取值包含的每一个取值，
所以，解得，故选：D
8．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题，在区间上单调递增，∴在区间上的值域为，时，，其对称轴为，要使的值域为R，则在区间上的值需取遍区间内所有值，，解得.故选：C．
9．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数，，，若，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【详解】由题意可知：的定义域为，令，解得；令，解得；则当时，，故，所以；当时，，故，所以，所以；故，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.
10．（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】，
令，，因为定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数，所以在区间上的最大值与最小值之和为0，则函数在区间上的最大值与最小值之和为2，即．又，，所以，
当且仅当，，即，，等号成立．故答案为：
考点四：比较大小
经典例题：
1．（24-25高三下·广西·开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，故；所以.
故选：D.
2．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，，所以.故选：A.
3．（2025·广东深圳·二模）若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，，又在上单调递增，，所以，所以，所以，所以.故选：B.
4．（2025·广东·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于，又，则，即.由于则故选：B
5．（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，所以，，所以，又，，故，所以.综上，.故选：D.
6．（2025·云南·一模）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，所以，即，即，又因为，以，即，综上，，故选:A.
7．（2025高三下·河北承德·专题）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】易知函数和在上单调递增，所以在上单调递增，
又，故，即．故选：D
8．（2022·河南安阳·模拟预测）已知函数，则a，b，c三者的大小关系是 ．
【答案】/
【详解】显然有，因为，所以该函数是偶函数，
当时，由函数的单调性的性质可知该函数单调递增，，，因为，所以，因为，所以，因此，所以有，即，故答案为：
9．（24-25高三上·山东青岛·期末）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为,,所以；因为，又因为；所以.
故选：A
10．（2025·河南鹤壁·二模）（多选）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为，所以，所以，因为，，所以，所以选项B、D错误，A、C正确.故选：AC.
强化训练：
1．（2025·四川·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因在上单调递增，，，所以.故选：B
2．（2025·山西太原·一模）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，.所以.
故选：B
3．（2025·安徽·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，A，B均错误.，C正确，D错误.故选：C
4．（22-23高三上·四川眉山·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为 .
【答案】
【详解】因为，，.故答案为：.
5．（22-23高三上·北京房山·期中）已知，则的大小关系是 ．（用“<”号联结）
【答案】
【详解】，所以，，所以，，所以，，所以，所以.故答案为：
6．（22-23高三上·陕西咸阳·阶段），则的大小关系为 .
【答案】
【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，且，即，所以，故答案为：.
7．（22-23高三上·陕西咸阳·阶段）已知，则a，b，c的大小关系为 .
【答案】
【详解】由题意，故a，b，c的大小关系为.故答案为：.
8．（23-24高三上·新疆喀什·期中）已知，则的大小关系是 （用“＜”表示）
【答案】
【详解】∵函数在R上单调递减，又∵，∴，即，
∵，∴，∴．故答案为：
9．（22-23高三·全国·对口高考）设，，，当时，用不等号将a、b、c由小到大依次连接为 ．
【答案】
【详解】由题意可得：在定义域内单调递减，当时，则；在定义域内单调递增，当时，则；在定义域内单调递减，当时，则；
综上所述：.故答案为：.
10．（2025·河南·二模）（多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A项，因为是减函数，而，所以，故A项正确；对于B项，因为在上单调递增，而，所以，故B项正确；对于C项，，因为，，，所以，即，故C项错误；对于D项，，因为，，，所以，即，故D项正确.故选：ABD.
三、达标检测：
《幂指对函数》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知，，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由对数运算性质可得，故选：D．
2．已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，即，解得或，所以函数的定义域为集合，则值域为集合，所以.故选：D
4． “”是“函数的值域为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若的值域为，则对有，解得或，
“”是“或”的既不充分也不必要条件.故选：D.
5．下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】A：，且定义域为R，满足；
B：，且定义域为，在上，故在上，不符合；
C：且定义域为R，不符合；
D：且定义域为，当时，，当且仅当时取等号，不符合.
故选：A
6． “”是“函数的值域为R”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，因为，所以函数的定义域为，故，所以函数的值域为R，即“”是“函数的值域为R”的充分条件；若函数的值域为R，则对于二次函数，其值域包含，即，解得或，即“”不是“函数的值域为R”的必要条件，综上，“”是“函数的值域为R”的充分不必要条件，故选：A.
7．若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当 时，，当 时，
要使 的值域为.则 ， .故选：C
8．已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】的值域为，当时，则，为增函数，，而时，为增函数，此时，不符题意；当时，则，为减函数，，而时，为减函数，此时，，因为的值域为，当且仅当时，满足题意，此时，，则，整理得，，解得；综上，时满足题意.故选：A
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，当时，，故D错误.故选：ABC.
10．若函数是幂函数，则实数m的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】是幂函数，则，解得或.故选：BC.
11．若，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】因为，，所以，故A正确；由可得（，等号不成立），故B错误；由可得（，等号不成立），故C正确；因为，故D正确.故选：ACD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．函数的值域为 .
【答案】
【详解】时，，时，，所以的值域为.
故答案为：
13．已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ．
【答案】
【详解】设幂函数，代入点可得，即，可得，因为，可得，所以该幂函数的值域是.故答案为：.
14．已知幂函数的图象过点，设，则a、b、c的大小用小于号连接为 ．
【答案】
【详解】幂函数的图象过点，则，所以幂函数的解析式为，且函数为单调递增函数，又，所以，即.故答案为：.
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:专题2.5 幂指对函数
一、核心知识：
1.指数幂与指数的运算
（1）若，且，则①；②
（2）分数指数幂：
；.
注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
（1）指数幂的运算：
；；．
2.对数与对数运算
（1）对数式与指数式的转换：ax＝N x＝logaN(a>0，且a≠1)；
特别的：①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1).
（2）运算法则：若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)
（3）换底公式： logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
（4）常用结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad.
3.幂函数
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数．
（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)．
4.幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
5.指数函数
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是指数函数的底数．
6.指数函数的图象与性质
图象
图像特征 在轴的上方，过定点
当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降
性质 定义域
值域
单调性 在上是增函数 在上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，；
7.指数函数的底数对图象的影响:
函数的图象
如图所示：观察图象，我们有如下结论：
(1)底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”.
当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快；
当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快.
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”.
在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低；
在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”；
8.对数函数
函数（，且）叫做对数函数，定义域为．其中，以10为底的函数叫常用对数函数；以无理数e为底的函数叫做自然对数函数.
8.对数函数的图象与性质
图象 a＞1 0＜a＜1
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数
9．对数函数图象的常用结论
（1）函数y＝logax与的图象x轴对称；
（2）对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
二、考点聚焦：
考点一：指数对数的运算
经典例题：
1．（2025·河南新乡·二模）（ ）
A．16 B． C．32 D．
2．计算（ ）
A．2 B．1 C． D．0
3．化简的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·天津·二模）化简（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（ ）
A．15 B． C． D．
6．（2025·江西萍乡·三模）已知，则 .
7．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．2 B．e C．3 D．
8．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数满足，则 ．
9．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则 ．
10．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
强化训练：
1．计算： ．
2．计算的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2025·山西临汾·三模）已知，，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
4．（2025·江西·模拟预测）若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
5．（2025·重庆九龙坡·三模）已知 ，则 .
6．（2025·安徽·三模）已知，则 .
7．（2025·陕西安康·模拟预测）已知，，则 ．
8．（2025·山东潍坊·一模）已知函数则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数且，则（ ）.
A．. B．. C．2. D．4.
10．（2025·吉林·模拟预测）满足条件，且的一组为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
考点二：指对数的应用
经典例题：
1．（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A．21小时 B．22小时 C．23小时 D．24小时
2．（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（ ）（参考数据：）
A．100小时 B．300小时 C．1000小时 D．3000小时
3．（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．
（精确到1．参考数据：）
A．87 B．88 C．89 D．90
4．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：，）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2025·福建莆田·模拟预测）点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（ ）（参考数据：）
A．6dB B．4dB C．3dB D．2dB
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米
7．（2025·陕西汉中·三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数6”的声强的（ ）
A．2倍 B．20倍 C．100倍 D．1000倍
8．（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：）
A．75 B．77 C．79 D．81
9．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
10．（2025·河南南阳·模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知）
A．31 B．32 C．33 D．34
强化训练：
1．（2025·广西北海·模拟预测）Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分随时间（单位：月）的变化满足对数型函数模型：，其中是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分为（ ）
A．60 B．61 C．62 D．63
2．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ）
A．300 B．450 C．600 D．750
3．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1） （ ）（注：，）
A．30 B．31 C．32 D．33
4．（2025·贵州黔东南·三模）在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速度v（单位：）满足函数关系，则当芯片处理数据的运算速度为时，芯片处理数据的错误率约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为，其中r为年收益率，t为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，为初始资金，为t年后的资金，已知某产品年收益率，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：）（ ）
A．12年 B．13年 C．14年 D．15年
6．（2025·浙江·二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·云南·模拟预测）（多选）重幂在数学、计算机科学和物理学等领域都有广泛应用.例如，在组合数学中，重幂运算可以用来计算排列和组合的数量；在算法设计中，重幂运算可以用来计算复杂度分析中的阶乘和指数增长；在量子力学中，重幂运算可以用来表示量子态的多次叠加和演化.设，，定义，我们把“”称作“的重幂”，例如，，，则（ ）
A． B．的最小值为1 C． D．
8．（2025·天津·二模）目前很多手机都具有快充功能，其电池电量Q（单位：%）与充电时间（单位：分钟）的关系可表示为.现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据）（ ）
A．128分钟 B．64分钟 C．32分钟 D．16分钟
9．（2025高三·全国·专题）某飞行器启动反冲装置后，运动速率与时间近似满足指数函数模型（为常数）.已知某飞行器启动反冲装置后，经过1个单位时间，飞行器的运动速率衰减，若经过个单位时间后，飞行器的运动速率小于反冲装置启动前的运动速率的，则的最小值为 .（参考数据：）
10．（24-25高二下·河南商丘·期中）某集团军举行登岛演习，演习要求该集团军的导弹旅捣毁岛上的目标，导弹旅的每辆登陆艇每次发射一枚导弹，由于受到天气以及“敌方”反导弹的拦截，命中率是，至少要有一枚导弹击中目标，才能说明目标被捣毁，因此采用多辆登陆艇同时发射导弹的方法去捣毁目标．至少需要 辆登陆艇同时发射导弹，才能有不小于的把握保证目标被捣毁．（参考数据：）
考点三：指对幂复合函数的值域（最值）
经典例题：
1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽·一模）函数的值域为 .
3．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ．
4．（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河南·三模）函数的定义域为 ，值域为 .
6．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 .
7．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）函数的值域为 ．
9．（24-25高三下·山东·阶段）已知函数的值域为，且，则 .
10．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
强化训练：
1．（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．（2024·陕西·一模）已知函数的定义域为，函数的值域为B，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海·模拟预测）若，则函数的值域为 .
4．（2023·上海黄浦·三模）已知，设，则函数的值域为 ．
5．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ．
6．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河南·三模）（多选）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．的单调递增区间为
8．（2023·河北邯郸·一模）（多选）已知函数，则（ ）
A．的定义域是 B．有最大值
C．不等式的解集是 D．在上单调递增
9．（2025·河北保定·二模）（多选）若函数，则（ ）
A．为减函数 B． C．的值域为 D．
10．（2025·广东茂名·一模）（多选）已知函数，则（ ）
A．当时，是增函数
B．当时，的值域为
C．当时，曲线关于点对称
D．当时，，则
考点四：根据函数值域求参数范围（最值）
经典例题：
1．已知幂函数图象过点，则该幂函数的值域是_____________．
2．（2021·河南新乡·一模）已知函数在上的值域为，则的取值范围是 .
3．（2012·北京西城·一模）已知函数 其中 ．若 的值域是 ，则c的取值范围是 ．
4．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ．
5．（24-25高三上·浙江杭州·期末）设，且，函数的值域为，则实数的取值范围是 .
6．若函数且的值域为，则实数的取值范围是 .
7．（2024·贵州黔东南·二模）若函数的值域为.则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·河北张家口·一模）若函数有最小值，则实数a的取值范围为 ．
9．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
强化训练：
1．（2025·湖南·模拟预测）若函数在上的最大值为3，则a的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．e
2．（2022·四川宜宾·三模）若函数的值域为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数()的值域是，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ．
7．（2025·山东日照·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知函数，，，若，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
10．（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ．
考点四：比较大小
经典例题：
1．（24-25高三下·广西·开学考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广东深圳·二模）若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·云南·一模）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三下·河北承德·专题）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·河南安阳·模拟预测）已知函数，则a，b，c三者的大小关系是 ．
9．（24-25高三上·山东青岛·期末）设，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·河南鹤壁·二模）（多选）设，则（ ）
A． B． C． D．
强化训练：
1．（2025·四川·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西太原·一模）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高三上·四川眉山·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为 .
5．（22-23高三上·北京房山·期中）已知，则的大小关系是 ．（用“<”号联结）
6．（22-23高三上·陕西咸阳·阶段），则的大小关系为 .
7．（22-23高三上·陕西咸阳·阶段）已知，则a，b，c的大小关系为 .
8．（23-24高三上·新疆喀什·期中）已知，则的大小关系是 （用“＜”表示）
9．（22-23高三·全国·对口高考）设，，，当时，用不等号将a、b、c由小到大依次连接为 ．
10．（2025·河南·二模）（多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
三、达标检测：
《幂指对函数》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知，，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的定义域为集合，值域为集合，则（ ）
A． B． C． D．
4． “”是“函数的值域为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（ ）．
A． B． C． D．
6． “”是“函数的值域为R”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．若函数是幂函数，则实数m的值可能是（ ）
A． B． C． D．
11．若，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．函数的值域为 .
13．已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ．
14．已知幂函数的图象过点，设，则a、b、c的大小用小于号连接为 ．
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:

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