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专题3.1导数的概念及其几何意义
一、核心知识：
1.导数的概念：
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
2.导数的几何意义：
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3.导数的物理意义：
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
4.导数的运算
（1）求导的基本公式：
基本初等函数 导函数
（为常数）
（2）导数的四则运算法则：
函数和差求导法则：；
函数积的求导法则：；
函数商的求导法则：，则．
（3）复合函数求导数：复合函数的导数和函数，的导数间关系为.
5.在点的切线方程：
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
6.过点的切线方程：
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）.注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
7.高考常考的切线方程：
（1）是的切线，同时是的切线，也是和的切线.
（2）是的切线，是y=tan x的切线.
（3）是的切线，是的切线.
二、考点聚焦：
考点一：函数求导运算与求值
经典例题：
1.已知下列四个命题，其中正确的个数有
①，②，③（，且），④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【详解】①，所以①错误；②，所以②错误；③（，且），所以③错误；④，所以④错误.故选A
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，故，故.故选：A
3.（2025·江苏盐城·三模）若，则（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．－4
【答案】C
【详解】因为，所以，所以，则.故选：C.
4.（23-24高三上·贵州·开学考试）已知函数，则（ ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【详解】，则，故，解得，
，所以.故选：C
5.（2023·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【详解】由题意可知，所以，令，则，
所以，由题意可知函数的对称中心为，
所以，即，
所以，
所以
，
所以.
故选：C
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，为的导函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，得．由为奇函数可得，得，又，所以，所以，，故，故选：A.
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则 ．
【答案】
【详解】为定义在上的奇函数，，即，恒成立，，解得，，，.故答案为：.
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数，且满足，，，则（ ）
A．28 B． C． D．
【答案】B
【详解】由，知函数为奇函数，（提示：的图象关于点中心对称，故函数为奇函数），又的定义域R，所以，得．由得，所以，，由，，得，得，所以，于是.故选：B．
9.（2021·全国·模拟预测）已知二项展开式，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【详解】因为，两边同时求导可得，令得．故选：C
10．（多选）（2021·全国·模拟预测）若，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】二项式的通项公式为：，
因为
且，所以，得或舍去．
令，可得，所以A正确；可求得，所以B不正确；令，可得，所以C正确；对，两边同时求导，得，令，可得，所以D不正确．故选：AC．
变式训练：
1．下列求导运算正确的是
A． B． C．= D．
【答案】B
【详解】A、，故A错误；B符合对数函数的求导公式，故B正确；，故C错误；，故D错误．故选B．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【详解】由题意知,所以，解得，则，故．故选：B
3．（2021·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，则，解得，故，则.故选：C.
4．（2022·全国·模拟预测）记函数的导函数为.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，则，所以，故选：A.
5．已知，且，则实数a的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，∴，，，．故选D．
6．（2014·全国·一模）已知函数，若，则 .
【答案】
【详解】由已知，它是奇函数，∴．故答案为：．
7.（2024·全国·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】易知的定义域为．因为函数为奇函数，所以，显然是奇函数，满足题意，所以，故，故选:A．
8.（22-23高三上·江苏·期末）若函数满足对一切实数恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，对上式求导可得，即，所以关于对称，因为，所以图像的开口向上，对称轴为，由，得，解得.故选：C.
9．（2023·全国·模拟预测）记函数在处的导数为，则 ．
【答案】
【详解】，，即，.故答案为.
10．已知，设，则 ．
【答案】8
【详解】已知 ，设 ，把等式两边同时对x求导数，可得 ，再令，可得，故答案为8．
11．（多选）（2025·江西上饶·二模）若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】对于A，令，得；令，得，
因此，A错误；
对于B，，因此，B正确；
对于C，令，即，得，C错误；
对于D，原等式两边求导得，
令，得，D正确.
故选：BD
考点二：导数与抽象函数综合
经典例题：
1．（2021年全国新高考II卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【详解】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数及其导数的定义域为，记，且都为奇函数．若，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【详解】因为为奇函数，则，即，可知的图象关于点对称，可得，即，可知的图象关于对称，则，又因为为奇函数，则，可得，可知的周期为4，所以.故选：C．
3．（22-23高三上·全国·阶段）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【详解】∵为偶函数，∴，即，两边同时对x求导得，即，令，则，∵为奇函数，∴，又，即，联立得，即，∴，故选C．
4.（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若，都是奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由为奇函数可得，两边分别求导可得， 即，故，所以，
又为奇函数，所以，可得，故，从而，故是的一个周期，在中，分别令和可得：，，所以，由为奇函数可得，故，所以．故选：A.
5.（多选）（2022年新高考全国I卷）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.
[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，
所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.
6.（2023·广西南宁·一模）已知，分别为定义在R上的，的导函数，且，，若是偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．3是的一个周期 D．
【答案】B
【详解】因为，，所以，所以函数的对称中心为点，又，所以函数的图象关于点对称，A不正确；是偶函数，所以，所以，即为奇函数，对称中心为，函数的另一个对称中心为点，所以的周期为2，C不一定正确；函数及的周期与相同，周期为2，的图象关于点对称，，所以，函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，B正确；因为，，故，D不正确．故选：B.
变式训练：
1．（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．2023
【答案】C
【详解】因为，所以两边求导，得，即①
因为为定义在上的奇函数，则，所以两边求导，得，所以是定义在上的偶函数，所以，结合①式可得，，所以，两式相减得，，所以是周期为4的偶函数，所以.由①式，令，得，所以.故选：C.
2．（2023·广西南宁·二模）已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为偶函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【详解】依题意，因为为定义在为偶函数，所以，所以，所以为奇函数且，因为，，令，则有，解得.因为，所以，又，所以，
由得，所以是以4为周期的周期函数，所以，
所以，故A，B，C错误.故选：D.
3．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】为奇函数，.即，两边求导得，则，可知关于直线对称，又为奇函数，所以，即，可知关于直线对称，令，可得，即，由，可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知为的周期.可知,,所以.故选：B.
4．（23-24高三上·四川·阶段）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，令，得，所以，由为奇函数，得，所以，故①．又②，
由①和②得，即，所以，③
令，得，得，令，得，得，又④，由③④得，即，所以函数是以8为周期的周期函数，故，所以，所以.故选：B．
5．（2025·河北·二模）已知定义在上的函数的导函数为，为偶函数，且，则 ．
【答案】
【详解】由为偶函数得，则．两边同时求导，得①．所以的图象关于点对称，即，
由的图象关于点对称，得②．①-②，得，所以，又，所以，即的周期为4，，，．故答案为．
6．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若，均为奇函数，且，则（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称 C．的周期为4 D．
【答案】BCD
【详解】对于A，由为奇函数可得，
故关于对称，故A错误，对于B，由于为奇函数，故，故关于点对称，B正确，对于C，由和可得，令，故，故，因此，结合关于对称可得，故的周期为4，C正确，
对于D，由于，故，且，由于，令，则，
，故D正确，故选：BCD
7．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，，，分别是函数，的导函数，在上单调递减，则（ ）
A． B．
C．的图像关于直线对称 D．
【答案】ACD
【详解】对于选项A：因为是奇函数，则，两边同时求导可得，故A正确；对于选项B：因为，则，可得，，又因为，，所以，故B错误；对于选项C：因为，所以的图像关于直线对称，故C正确；对于选项D：因为，在上单调递减，且，所以，故D正确；故选：ACD．
8．（多选）（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ）
A．
B．关于点对称
C．
D．
【答案】BD
【详解】假设，则，则，与都为偶函数，
则所设函数符合题意，此时，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
令，则，所以关于点对称，故B正确；
因为为偶函数，所以，
所以函数的图象关于直线对称，即，即，
因为，所以，所以，
则，故，
所以，所以，又，，
所以，所以无法确定的值，所以C错误；
又，，所以，
由，得，则，所以，
由知函数周期为4，则的周期也为4，则
，所以 D正确.
故选：BD.
9．（多选）（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（ ）
A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D．
【答案】ACD
【详解】由，得①，②，得③，由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确；由，得，令，得；由，得，令，得，∴④，又⑤，令，得，故B错误；④⑤两式相加，得，得，所以，即函数的周期为4，故C正确；由，令，得，所以，所以，故D正确.故选：ACD
考点三：求切线方程
经典例题：
1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）函数在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．e D．
【答案】C
【详解】，故.故选：C
2．（2022·广西·模拟预测）设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，那么（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】由题得，，所以.故选：C
3.（2025·福建福州·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知，则，即切线斜率，又，所以切线方程为，即，故选：D.
4．（20-21高三下·全国·阶段）已知函数的导函数为偶函数，则的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题得，，由为偶函数，得，所以，
所以的图象在点处的切线的斜率为，，所求的切线方程为，即.故选：.
5．（2022·广西·模拟预测）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知，所以，，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：A.
6.（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ．
【答案】
【详解】[方法一]：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
7.（2025·江西·二模）已知函数，则在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，当时，，则，
所以，，则所求切线方程为，即.
故选：A
8.（2025·内蒙古·模拟）过点且与抛物线有且仅有1个公共点的直线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】如图，直线与抛物线有且仅有1个公共点，符合题意，
将求导可得，设切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，
代入点可得，解得或，可知过点的切线有2条，综上所述：符合题意的直线有3条.故选：D.
9．（2021·陕西西安·一模）已知直线l是曲线在点处的切线，点是直线l上位于第一象限的一点，则的最小值为（ ）
A．4 B．9 C．25 D．16
【答案】B
【详解】的导数为，可得在点处的切线的斜率为，
切点为，切线的方程为，即为，则，所以，当且仅当时，取得等号．则的最小值为9.故选：B.
变式训练：
1．（2021·广西·模拟预测）函数的图象在点处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以所求切线的斜率为.故选：A
2．（2022·广东广州·一模）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵∴，所以，又当时，，
所以在点处的切线方程为：，即.故选：A.
3．（2025·青海海东·三模）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，求导得，则，所以所求切线方程为，即.故选：B
4．（2022·广西·模拟预测）设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，那么（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】由于的图象在点处的切线方程为，所以.故选：C
5．（2024·全国·模拟预测）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当时，，此时故处的斜率为．又切点为，所以切线方程为，即，故选：B．
6．（2020·广西·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．； B．； C．； D．
【答案】B
【详解】因为，所以，所以，又，所以所求切线方程为：，即.故选：B
7．（2020·陕西西安·模拟预测）若是函数的极值点，则曲线在（1，）处的切线方程是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得：，因为是函数的极值点，所以，解得，所以，可得，切点为，斜率，所以切线为：.故选：A
8．（2021·广西钦州·二模）函数的图象在点处的切线为l，则l在y轴上的截距为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【详解】，故，所以曲线在处的切线方程为：.令，则，故切线的纵截距为.故选：D.
9．（2025·广西南宁·三模）过点的直线l与曲线相切于点B，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】依题意，设，由，则，则，
化简得，解得，故，故．故选：B．
考点四：切线方程求参
经典例题：
1．（2023·河北邯郸·二模）已知直线是曲线的切线，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】函数，求导得，令直线与曲线相切的切点为，于是且，所以.故选：B
2.（2025·陕西安康·模拟预测）已知曲线与倾斜角为且横截距为a的直线l相切，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】倾斜角为且横截距为a的直线l为，即得，曲线与直线l相切，设切点为，因为，所以且，所以，所以，
设，因为，所以，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以，所以，所以，即得.故选：B.
3.（2024年新课标全国Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】
【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：
4．（20-21高三下·全国·阶段）设曲线与有一条斜率为1的公切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，又因为切线的斜率为1，所以，解得，，所以切线方程为，因为，所以，解得，代入切线方程得，再将代入，解得，故选：B.
5．（2021·四川雅安·三模）直线与曲线相切于点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，∴，∵直线与曲线相切于点，
∴，∴.故选：D.
6.（2021年全国新高考I卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知. .故选：D.
7.（2024·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数．则抛物线上的各点处的曲率最大值为（ ）
A． B．p C． D．
【答案】C
【详解】由题可知抛物线方程为：，则，，则该抛物线在各点处的曲率，当时，取最大值.故选：C.
8.（2021年全国新高考II卷）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意，，则，
所以点和点，,所以，
所以，所以，
同理,所以.
故答案为：
变式训练：
1．（22-23高三上·江苏南京·阶段）若直线与曲线相切，则实数的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】设直线与曲线的切点，由于直线斜率为，则，又， 所以，得，所以，则切点为，切线方程为，所以.
故选：C.
2．（2022·广西贵港·三模）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【详解】，，∴，∴．将代入得，∴．故选：C．
3．（2021·广西·模拟预测）若曲线与有一条斜率为2的公切线，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，由点斜式得切线方程：，对曲线，，代入得，，将代入，得：.故选：A.
4．（2021·广西·二模）函数在处的切线与直线平行，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】函数的导函数为 ，函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，且切线与直线平行，则有 ，可得 .故选：C
5．（2023·全国·二模）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设该切线的切点为，则切线的斜率为，所以切线方程为，又切线过点，则，整理得.要使过点的切线有3条，需方程有3个不同的解，即函数图象与直线在R上有3个交点，设，则，令，令或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减，且极小值、极大值分别为，如图，，由图可知，当时，函数图象与直线在R上有3个交点，即过点的切线有3条.所以实数a的取值范围为.故选：B.
6．（2022·广西柳州·三模）若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】由题设，，则，而，所以处的切线方程为，则，故，令，则，当时，，即递增；当时，，即递减；所以，故的最大值.故选：A
7．（2024·广西·二模）记函数的导函数为，的导函数为，则曲线的曲率．若函数为，则其曲率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为，，，所以曲线的曲率，，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，曲率取得最大值.故选：C.
8．（2021·陕西宝鸡·三模）若函数在处的切线方程为，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，则，由题意可得，解得，，，由可得，即，解得.故选：A.
9．（2020·辽宁辽阳·二模）若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，所以，
由，得，设该导函数值域为B，
(1)当时，导函数单调递增，，由题意得，故，解得；
(2)当时，导函数单调递减，，同理可得，与矛盾，舍去；
（3）当时，不符合题意.
综上所述：的取值范围为.故选：.
10．（2024·河北邢台·一模）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导，可得，将点代入，得，解得，故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为，故B正确.故选：B
三、达标检测：
《导数的概念及其几何意义》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知，的值为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．16
【答案】C
【详解】因为，则.故选：C.
2．（2022·广西·模拟预测）设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，那么（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】由于的图象在点处的切线方程为，所以.故选：C
3．（2022·湖南长沙·模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A． B．± C． D．±
【答案】C
【详解】因为，所以，当时，，此时，
∴．故选：C.
4．（2020·安徽芜湖·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】曲线的导数为，可得在处的切线斜率为，切点为，则切线的方程为，
设直线与相切的切点为，由的导数为，可得切线的斜率为，则，，解得，，故选：．
5．（2021·福建福州·模拟预测）过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】抛物线，即，则由切线斜率，设切点，则，又，所以切线方程为，即 ，
同理切线方程为，两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，故.故选：C.
6．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.
7．（2021·陕西宝鸡·三模）若函数在处的切线方程为，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，则，由题意可得，解得，，，由可得，即，解得.故选：A.
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：因为，所以，设切点为，所以在切点处的切线方程为，又在切线上，所以，
即，整理得，解得或，所以过点可作曲线的切线的条数为2.故选：C．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．（2022·福建漳州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的切线斜率可以是1
B．曲线的切线斜率可以是
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
【答案】AC
【详解】因为函数，所以
A.令，得 ，所以曲线的切线斜率可以是1，故A正确；
B.令无解，所以曲线的切线斜率不可以是，故B错误；
C. 因为在曲线上，所以点是切点，则，所以切线方程为，即，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故C正确；
D.设切点，则切线方程为，因为点在切线上，所以，解得，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故D错误；
故选：AC
10．（2022·全国·模拟预测）已知反双曲正切函数，则（ ）
A．是奇函数 B．的定义域是
C．曲线在点处的切线方程为 D．函数有且仅有3个零点
【答案】AC
【详解】由，可得，即定义域为，故B错误；
由，所以是奇函数，故A正确；
令，则，所以，
所以在x=0处切线斜率，又，所以切线方程为，即，故C正确；
，所以，因为，所以，，，所以，即在上为单调增函数，又为奇函数，为奇函数，所以为奇函数，即，所以仅有一个零点，故D错误
故选：AC
11．（2024·河南新乡·模拟预测）已知函数的定义域为，且其图象是一条连续不断的曲线，，记为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．若，则 D．若在上单调递减，则恰有三个零点
【答案】ABD
【详解】对于A，令，则，故A正确；
对于B，令，得，令，得，所以，即为奇函数，故B正确；
对于C，令，得，令，得，所以，故C错误；
对于D，因为在上单调递减，又，所以存在，满足在上单调递增，在上单调递减，因此在上只有一个零点1，又是奇函数，
所以恰有三个零点，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【详解】解：由得，，，则，即切线的斜率为2，
所以切线方程为，即.故答案为：.
13．（22-23高三上·河北石家庄·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
【答案】
【详解】由可得：，设直线与曲线相切于，则有.
所以切线方程可表示为，即.由可得：，设直线与曲线相切于，则有.所以切线方程可表示为，即.所以，消去s，整理得：，解得：，所以.所以斜率.故答案为：
14．（20-21高三下·河南新乡·阶段）已知曲线和直线，点在曲线上，点在直线上，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】由曲线，可得，则，由直线的斜率为，得，解得，因为曲线关于坐标原点对称，不妨取，结合，解得，所以在曲线上与直线平行的切线的切点坐标为，因此的最小值即为该点到直线的距离，即，即的最小值是.故答案为：.
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案: C C C B C D A C
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: AC AC ABD 答案:专题3.1导数的概念及其几何意义
一、核心知识：
1.导数的概念：
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
2.导数的几何意义：
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3.导数的物理意义：
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
4.导数的运算
（1）求导的基本公式：
基本初等函数 导函数
（为常数）
（2）导数的四则运算法则：
函数和差求导法则：；
函数积的求导法则：；
函数商的求导法则：，则．
（3）复合函数求导数：复合函数的导数和函数，的导数间关系为.
5.在点的切线方程：
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
6.过点的切线方程：
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）.注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
7.高考常考的切线方程：
（1）是的切线，同时是的切线，也是和的切线.
（2）是的切线，是y=tan x的切线.
（3）是的切线，是的切线.
二、考点聚焦：
考点一：函数求导运算与求值
经典例题：
1.已知下列四个命题，其中正确的个数有
①，②，③（，且），④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
3.（2025·江苏盐城·三模）若，则（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．－4
4.（23-24高三上·贵州·开学考试）已知函数，则（ ）
A．e B． C． D．
5.（2023·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，为的导函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则 ．
8．（2023·全国·模拟预测）已知函数，且满足，，，则（ ）
A．28 B． C． D．
9.（2021·全国·模拟预测）已知二项展开式，则（ ）
A． B．3 C． D．5
10．（多选）（2021·全国·模拟预测）若，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．下列求导运算正确的是
A． B． C．= D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
3．（2021·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测）记函数的导函数为.若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且，则实数a的值为( )
A． B． C． D．
6．（2014·全国·一模）已知函数，若，则 .
7.（2024·全国·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
8.（22-23高三上·江苏·期末）若函数满足对一切实数恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·模拟预测）记函数在处的导数为，则 ．
10．已知，设，则 ．
11．（多选）（2025·江西上饶·二模）若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点二：导数与抽象函数综合
经典例题：
1．（2021年全国新高考II卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数及其导数的定义域为，记，且都为奇函数．若，则（ ）
A．0 B． C．2 D．
3．（22-23高三上·全国·阶段）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
4.（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若，都是奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
5.（多选）（2022年新高考全国I卷）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
6.（2023·广西南宁·一模）已知，分别为定义在R上的，的导函数，且，，若是偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．3是的一个周期 D．
变式训练：
1．（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．2023
2．（2023·广西南宁·二模）已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为偶函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．（2024·福建漳州·一模）已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·四川·阶段）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河北·二模）已知定义在上的函数的导函数为，为偶函数，且，则 ．
6．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若，均为奇函数，且，则（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称 C．的周期为4 D．
7．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，，，分别是函数，的导函数，在上单调递减，则（ ）
A． B．
C．的图像关于直线对称 D．
8．（多选）（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ）
A．
B．关于点对称
C．
D．
9．（多选）（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（ ）
A．关于直线对称 B． C．的周期为4 D．
考点三：求切线方程
经典例题：
1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）函数在处的切线斜率为（ ）
A．0 B．1 C．e D．
2．（2022·广西·模拟预测）设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，那么（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2025·福建福州·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（20-21高三下·全国·阶段）已知函数的导函数为偶函数，则的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广西·模拟预测）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6.（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ．
7.（2025·江西·二模）已知函数，则在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8.（2025·内蒙古·模拟）过点且与抛物线有且仅有1个公共点的直线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2021·陕西西安·一模）已知直线l是曲线在点处的切线，点是直线l上位于第一象限的一点，则的最小值为（ ）
A．4 B．9 C．25 D．16
变式训练：
1．（2021·广西·模拟预测）函数的图象在点处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东广州·一模）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·青海海东·三模）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广西·模拟预测）设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，那么（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·广西·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．； B．； C．； D．
7．（2020·陕西西安·模拟预测）若是函数的极值点，则曲线在（1，）处的切线方程是（ ）.
A． B． C． D．
8．（2021·广西钦州·二模）函数的图象在点处的切线为l，则l在y轴上的截距为（ ）
A． B．1 C．2 D．
9．（2025·广西南宁·三模）过点的直线l与曲线相切于点B，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
考点四：切线方程求参
经典例题：
1．（2023·河北邯郸·二模）已知直线是曲线的切线，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2.（2025·陕西安康·模拟预测）已知曲线与倾斜角为且横截距为a的直线l相切，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2024年新课标全国Ⅰ卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
4．（20-21高三下·全国·阶段）设曲线与有一条斜率为1的公切线，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·四川雅安·三模）直线与曲线相切于点，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
6.（2021年全国新高考I卷）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
7.（2024·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数．则抛物线上的各点处的曲率最大值为（ ）
A． B．p C． D．
8.（2021年全国新高考II卷）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
变式训练：
1．（22-23高三上·江苏南京·阶段）若直线与曲线相切，则实数的值为（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2022·广西贵港·三模）已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（2021·广西·模拟预测）若曲线与有一条斜率为2的公切线，则=（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·广西·二模）函数在处的切线与直线平行，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
5．（2023·全国·二模）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广西柳州·三模）若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
7．（2024·广西·二模）记函数的导函数为，的导函数为，则曲线的曲率．若函数为，则其曲率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·陕西宝鸡·三模）若函数在处的切线方程为，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·辽宁辽阳·二模）若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·河北邢台·一模）如果方程能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如下：在方程中，把y看成x的函数，则方程可看成关于x的恒等式，在等式两边同时对x求导，然后解出即可．例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对x求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得．那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
三、达标检测：
《导数的概念及其几何意义》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知，的值为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．16
2．（2022·广西·模拟预测）设函数在上存在导函数，的图象在点处的切线方程为，那么（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．（2022·湖南长沙·模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A． B．± C． D．±
4．（2020·安徽芜湖·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数（ ）
A． B．1 C．2 D．
5．（2021·福建福州·模拟预测）过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
7．（2021·陕西宝鸡·三模）若函数在处的切线方程为，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．（2022·福建漳州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的切线斜率可以是1
B．曲线的切线斜率可以是
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
10．（2022·全国·模拟预测）已知反双曲正切函数，则（ ）
A．是奇函数 B．的定义域是
C．曲线在点处的切线方程为 D．函数有且仅有3个零点
11．（2024·河南新乡·模拟预测）已知函数的定义域为，且其图象是一条连续不断的曲线，，记为的导函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．若，则 D．若在上单调递减，则恰有三个零点
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．曲线在点处的切线方程为 .
13．（22-23高三上·河北石家庄·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
14．（20-21高三下·河南新乡·阶段）已知曲线和直线，点在曲线上，点在直线上，则的最小值是 ．
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:

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