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专题2.6 函数零点与方程的根
一、核心知识：
1.函数的零点
（1）函数零点的概念：
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系:
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
2.函数零点存在定理
（1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
（2）两个重要推论
推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
3.一元二次函数的零点
当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：
的实数根 （其中） 方程无实数根
的图象
的零点 函数无零点
二、考点聚焦：
考点一：函数的零点
经典例题：
1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（ ）
A．2 B． C．-2 D．2或-1
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（ ）
A．1 B．0 C．e D．
3．（2022·陕西西安·一模）函数的零点为（ ）
A．4 B．4或5 C．5 D．或5
4．（20-21高三上·上海嘉定·期中）函数的零点为 .
5．（2022·江西景德镇·模拟预测）若，则函数的零点为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·二模）已知函数的图象关于直线对称，则下面不是的零点为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则函数的零点为（ ）
A． B．，0 C． D．0
8．（2021·全国·模拟预测）设，定义符号函数，则方程的解是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或或
9．（2025·全国·模拟预测）我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点.例如：函数的零点为1和.若函数的零点是和，则函数的零点是 .
10．（2020·全国·模拟预测）对任意的实数，表示不大于的最大整数，则函数的零点为 .
强化训练：
1．（2021·上海普陀·二模）函数的零点为 ．
2．（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．（2023·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2023·上海徐汇·一模）函数的零点是 ．
5．（2023·广西·一模）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
6． 的零点为 ．
7．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）定义符号函数，则方程的解是（ ）
A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或
8．（2023·河南开封·一模）若函数的一个零点为，则 ．
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点为 .
10．（2022·四川广安·模拟预测）已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（ ）
A．10 B．12 C．32 D．33
考点二：函数零点个数与零点和
经典例题：
1．（2021·云南·模拟预测）函数在上的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025·广西·一模）曲线与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025·上海·三模）函数的零点个数为 .
4．（2024高三·全国·专题）函数的零点个数为 ．
5．已知函数，则函数的零点个数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（21-22高三·云南·阶段）函数在上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数关于直线对称，则函数的所有零点之和为 ，的最小值为 .
8．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知函数和的零点分别为，则 .
9．（2021·河南·模拟预测）方程的所有实数根的平方和为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·湖南长沙·一模）定义函数，则函数在区间内的所有的零点之和为 .
强化训练：
1．（2025·山东枣庄·二模）函数在区间上的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（24-25高三上·山东济南·期末）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·全国·模拟预测）函数在上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西萍乡·二模）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A． B． C．2 D．0
5．（2021·福建厦门·二模）已知函数则函数的所有零点之和为 .
6．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则 ．
7．已知函数在内恰有两个不同的零点，则 ， .
8．（2024·河北·模拟预测）函数在区间内所有零点的和为（ ）
A．0 B． C． D．
9．（2022·四川广安·模拟预测）已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（ ）
A．10 B．12 C．32 D．33
10．（23-24高三上·河北廊坊·期中）（多选）若函数在上的零点从小到大排列后构成等差数列，则的取值可以为（ ）
A．0 B．1 C． D．
考点三：由零点个数求参
经典例题：
1．（2024·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是 ．
3.（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是 .
5.（2024年全国Ⅱ卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2023·广西北海·一模）已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河南郑州·郑州一模）已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围 ．
8．（24-25高三上·江苏南通·期中）若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是 .
9．（2023·广西梧州·一模）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 ．
10．（2023·全国·模拟预测）已知，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
强化训练：
1．（2024·高三·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）若方程在区间上有解，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（21-22高三上·广东·阶段）设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·安徽合肥·二模）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·模拟预测）已知函数，，若恰有1个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·模拟预测）若函数存在2个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数．若的零点恰有个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国·模拟预测）已知函数．若的零点恰有个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·广西南宁·一模）已知函数，若函数，存在5个零点，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．
三、达标检测：
《函数与方程》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（ ）
A．0或 B．0 C． D．0或
3．已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.已知函数. 若有零点；，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数，函数，若两函数的图象恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数有且仅有3个零点，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
10．关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称
C．若则 D．有且仅有两个零点
11．是定义在R上的奇函数，对任意，均有，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．4是函数的一个周期 B．当时，
C．当时，的最大值为 D．函数在上有1012个零点
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．函数的零点为 .
13．定义函数，设，若含有3个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
14．已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根，则a的取值范围为 .
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:专题2.6 函数零点与方程的根
一、核心知识：
1.函数的零点
（1）函数零点的概念：
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系:
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
2.函数零点存在定理
（1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
（2）两个重要推论
推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
3.一元二次函数的零点
当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：
的实数根 （其中） 方程无实数根
的图象
的零点 函数无零点
二、考点聚焦：
考点一：函数的零点
经典例题：
1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（ ）
A．2 B． C．-2 D．2或-1
【答案】A
【详解】由题意令，因为，所以，即.故选：A.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（ ）
A．1 B．0 C．e D．
【答案】C
【详解】由可得，由可得，，解得.故选：C.
3．（2022·陕西西安·一模）函数的零点为（ ）
A．4 B．4或5 C．5 D．或5
【答案】C
【详解】由题意，解得，故的定义域为，令，得，则，解得或，又∵，所以．故选：C.
4．（20-21高三上·上海嘉定·期中）函数的零点为 .
【答案】
【详解】设, 令,去分母得：,整理得,即,∵,∴,即，∴,故答案为：.
5．（2022·江西景德镇·模拟预测）若，则函数的零点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以,解得或（舍去），则，解得.故选：D
6．（2021·全国·二模）已知函数的图象关于直线对称，则下面不是的零点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，所以，代入选项验证可知.都是函数的零点，不是函数的零点，故选：C.
7．已知函数，则函数的零点为（ ）
A． B．，0 C． D．0
【答案】D
【详解】函数，当时，令，解得，当时，
令，解得（舍去），综上函数的零点为0.故选：D．
8．（2021·全国·模拟预测）设，定义符号函数，则方程的解是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或或
【答案】C
【详解】当时，方程可化为，化简得，解得；当时，方程可化为，无解；当时，方程可化为，化简得，解得（舍去）或；综上，方程的解是1或.
故选：C.
9．（2025·全国·模拟预测）我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点.例如：函数的零点为1和.若函数的零点是和，则函数的零点是 .
【答案】和
【详解】先将二次函数展开得到.根据韦达定理，若方程的两根为和，得出，.已知，令，解得,.故答案为：和.
10．（2020·全国·模拟预测）对任意的实数，表示不大于的最大整数，则函数的零点为 .
【答案】
【详解】由题意得，.令得，，所以，解得或，从而或.当时，，解得，，与矛盾，故舍去；当时，，，符合题意.故函数的零点为.故答案为：.
强化训练：
1．（2021·上海普陀·二模）函数的零点为 ．
【答案】
【详解】令，得，两边平方得：，解得，所以函数的零点为1.故答案为：1.
2．（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】因为，令，解得，即函数的零点为1.故选：B.
3．（2023·陕西西安·模拟预测）函数的零点为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】令，得，则．故选：A
4．（2023·上海徐汇·一模）函数的零点是 ．
【答案】/0.5
【详解】由题意可得函数的定义域为.，令可得，解得或（舍），故答案为：.
5．（2023·广西·一模）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【详解】因为是函数的一个零点，则，于是，即，
而函数是奇函数，则有，所以.故选：D
6． 的零点为 ．
【答案】
【详解】令，则或，解得.故答案为：
7．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）定义符号函数，则方程的解是（ ）
A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或
【答案】D
【详解】依题意，当时，方程为：，解得或，因此或，
当时，方程为：，解得，于是无解，当时，方程为：，解得或，因此，所以方程的解是或或.故选D
8．（2023·河南开封·一模）若函数的一个零点为，则 ．
【答案】
【详解】 函数的一个零点为,,, 函数,.故答案为: .
9．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点为 .
【答案】和
【详解】当时，令，解得；当时，则在上单调递增，且，故在内有且仅有一个零点2；上所述：函数的零点为和.故答案为：和.
10．（2022·四川广安·模拟预测）已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（ ）
A．10 B．12 C．32 D．33
【答案】B
【详解】因为，为函数的两个零点，所以，所以或,所以，当时，，，当时，，，
所以，.故选：B
考点二：函数零点个数与零点和
经典例题：
1．（2021·云南·模拟预测）函数在上的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】由，得，作出函数在上的图象如图所示，
，因为，所以由图可知直线与图象有3个交点，从而在上有3个零点.故选：B
2．（2025·广西·一模）曲线与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】函数在R上单调递减，当时，；当时，，由，得，因此曲线与直线的交点横坐标必在上，令，，求导得，由，得，存在，使得，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，又，，因此函数在上各有一个零点，所以曲线与直线的交点个数为3.故选：C
3．（2025·上海·三模）函数的零点个数为 .
【答案】3
【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，
时，函数取最大值，时函数的值为，
又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点.所以的零点个数为个.故答案为：.
4．（2024高三·全国·专题）函数的零点个数为 ．
【答案】4
【详解】令，得或．设，，在平面直角坐标系中先画出的图象，保留轴上方的部分图象并把轴下方的图象向上翻折即得的图象，再作出的图象，如图所示，由图可知两者共有3个交点.综上所述，函数共有4个零点．故答案为4.

5．已知函数，则函数的零点个数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】由可得.当时，，或（舍去），当时，或.故是的零点，是的零点，是的零点.综上所述，共有个零点.故选：C
6．（21-22高三·云南·阶段）函数在上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得，，故在上的零点从小到大排成首项为、公差为的等差数列．由得，即该数列共有项，所以所有零点之和为，故选：D．
7．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数关于直线对称，则函数的所有零点之和为 ，的最小值为 .
【答案】
【详解】由题意的定义域为，由函数关于直线对称，得，令，则，即，令，则，即，联立，解得，则，令，解得，所以函数的所有零点之和为；，令，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以时，有最小值，最小值为，则，
所以，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
由，得，解得，所以复合函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此，结合函数的对称性可知，当或时，函数值最小，即的最小值为.故答案为：；.
8．（24-25高三上·江西鹰潭·期中）已知函数和的零点分别为，则 .
【答案】2
【详解】令，则函数和的图象与函数交点的横坐标分别为，又易得和的图象关于对称，
设和与的交点坐标分别为，可知交点坐标也关于直线对称，所以，即.故答案为：2.
9．（2021·河南·模拟预测）方程的所有实数根的平方和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则方程化为，即，故原方程等价于，利用幂函数的单调性知，函数是上的增函数，任取方程的实数根，
若，则必有，与题意矛盾；若，则必有，与题意矛盾，所以，即，即，可知原方程的所有根为，，，其平方和为.故选：A.
10．（2020·湖南长沙·一模）定义函数，则函数在区间内的所有的零点之和为 .
【答案】
【详解】当1≤x时，f（x）＝12x﹣12，所以，此时当x时，g（x）max＝0；
当x≤2时，f（x）＝24﹣12x，所以＜0；由此可得1≤x≤2时，g（x）max＝0．
下面考虑2n﹣1强化训练：
1．（2025·山东枣庄·二模）函数在区间上的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】函数，由，得或，当时，，因此函数在上的零点个数为4.故选：B
2．（24-25高三上·山东济南·期末）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】令当时故是的一个根.当时令则所以在上单调递增，所以所以时即方程在无实数根.当时在上单调递减，且如图所示与的图象在上有两个交点，所以方程在有两个不同的根.综上所述，曲线与的交点个数为故选：C
3．（2021·全国·模拟预测）函数在上的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，得．分别画出函数的图象，，由图可知，的对称轴为，的对称轴为．所以所有零点之和为．故选：B．
4．（2022·江西萍乡·二模）已知函数，则的所有零点之和为（ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】D
【详解】令，则时，，得；时，由，得或，所以四个零点和为.故选：D.
5．（2021·福建厦门·二模）已知函数则函数的所有零点之和为 .
【答案】
【详解】时，，，由，可得或，或；时，，，由，可得或，或；函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为.故答案为：．
6．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则 ．
【答案】2
【详解】由，得， 函数与互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示，则，，由反函数性质知A，B关于对称，则，.故答案为：.
7．已知函数在内恰有两个不同的零点，则 ， .
【答案】 /
【详解】由题.令，得，则或，解得或.由，得或，所以.不妨取，则.
8．（2024·河北·模拟预测）函数在区间内所有零点的和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，
，由，得或或（不符合题意，舍去），函数是偶函数，在上的所有零点关于数0对称，它们的和为0，正弦函数的周期为，方程在的两根和为，在上的两根和为，因此在上的两根和构成首项为，末项为的等差数列，共有项，所有根的和为.故选：B
9．（2022·四川广安·模拟预测）已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（ ）
A．10 B．12 C．32 D．33
【答案】B
【详解】因为，为函数的两个零点，所以，所以或,所以，当时，，，当时，，，
所以，.故选：B
10．（23-24高三上·河北廊坊·期中）（多选）若函数在上的零点从小到大排列后构成等差数列，则的取值可以为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】ABD
【详解】因为函数有零点，所以．画出函数与的图象，如图所示．
当或1时，经验证，符合题意．当时，由题意得．
因为，所以．故选：ABD.
考点三：由零点个数求参
经典例题：
1．（2024·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若函数在区间上存在零点，由函数在的图象连续不断，且为增函数，则根据零点存在定理可知，只需满足，即，解得，
所以实数的取值范围是.故选：D.
2．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当时，，符合题意，
当时，二次函数的判别式为：，
若，此时函数的零点为，符合题意；
当时，只需，所以且；
当时，，经验证符合题意；当时，，经验证符合题意；
所以实数a的取值范围为.故答案为：
3.（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】法一：因为，且有两个零点，所以方程在上有两个不同的解，所以解得．
法二：由得，因为有两个零点，所以直线与函数的图像有两个交点．函数的图像如图，由图可知．
故选：D．
4．（2021·全国·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由函数有两个不同的零点，可知与的图象有两个不同的交点，故作出如下图象，当与的图象相切时，，即，由图可知，故相切时，因此结合图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，即当时，函数有两个不同的零点.故答案为：.
5.（2024年全国Ⅱ卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，
若，令，可得，因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：.故选：D.
解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.
6．（2023·广西北海·一模）已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，令，由题意在上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得．
故选：D．
7．（2024·河南郑州·郑州一模）已知函数求使方程的实数解个数为3时取值范围 ．
【答案】
【详解】当时，函数在是递减，函数值集合为，
在上递增，函数值集合为，当时，是增函数，函数值集合为R，
方程的实数解个数，即为函数与直线的交点个数，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，观察图象，当时，直线与函数的图象有3个交点，所以方程的实数解个数为3时取值范围是.
故答案为：
8．（24-25高三上·江苏南通·期中）若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】当时，，有解，∴有正根，即，令，则，故当时，，当单调递增，，故在单调递减，单调递增，，∴.故答案为：.
9．（2023·广西梧州·一模）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】当，，则，令，得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，，作出函数的大致图象，设，则有两个不同的实数根，由可知，与异号，不妨设，要使方程有3个不同的实数根，则或，①当时，，得；②当时，设，则，得，综上，的取值范围为．故答案为：．
10．（2023·全国·模拟预测）已知，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数有且仅有2个零点，则有且仅有2个解，
设，根据符号作出的草图如下：
则或，故选：D.
强化训练：
1．（2024·高三·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若函数存在1个零点位于内，单调递增,又因为零点存在定理，.故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）若方程在区间上有解，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，即在区间上有解，设函数，则函数图像与直线在区间上有交点．因为，所以，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．当时，在区间上，，，则，解得．当时，因为，，．则，解得，又，所以，则，解得，
综上，实数的取值范围为．故选：A．
3.（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数有两个零点可转化为函数的图像与直线有两个交点．
因为函数的图像与轴交于点，且函数在点处的切线方程为，所以直线与该切线平行，且该直线与轴交于点，所以点在点上方，即，解得，即实数的取值范围是．故选：D．
4．（21-22高三上·广东·阶段）设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，由，即，得，
当时，，又，则，因为在的零点为，且在内恰有3个零点，所以或，
解得，故选：D
5．（2024·安徽合肥·二模）已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，作出函数的图象，如图所示：由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增，且，，又因为关于的方程至少有两个不同的实数根，所以至少有两个不同的实数根，即的图象与至少有两个不同的交点，所以，又因为当时，，令，可得；当时，，令，解得，又因为，所以，解得．故选:D．
6．（2020·全国·模拟预测）已知函数，，若恰有1个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】恰有1个零点即与的图像恰有一个交点，恒过点，由得，所以曲线在点处的切线的斜率为1，由得，所以曲线在点处的切线的斜率为1，所以结合图像可知，恰有1个零点当且仅当.故选：D
7．（2021·全国·模拟预测）若函数存在2个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，且f(2)=0，即f(x)在(1，+∞)上有一个零点，函数存在2个零点，当且仅当f(x)在(-∞，1]有一个零点，x≤1时，，即函数在(-∞，1]上的图象与直线y=m有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y=m和函数的图象，如图：而在(-∞，1]上单调递减，且有，则直线y=m和函数的图象有一个公共点，.故选：A
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数．若的零点恰有个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可知，当时，，在上单调递增，；当时，，在上单调递减，，画出函数和的图象（如图），可知，故选：C
9．（2021·全国·模拟预测）已知函数．若的零点恰有个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可知的定义域为．，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．令，可得或．
在同一坐标系中作出函数的图象，
因为函数恰有个零点，结合图象可知或．故选：C
10．（2023·广西南宁·一模）已知函数，若函数，存在5个零点，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】A
【详解】如图，先画出函数的图象.已知有5个零点，即方程有五个实数根.
令，方程有两个实数根，由的图象可知，当时，有两个实数根，有三个实数根，可满足有五个零点.将代入中，得，解得或.又因为，所以当时，，不满足题意；当时，，满足题意，故选：A.
三、达标检测：
《函数与方程》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知，可知为增函数，且，，
根据零点存在定理，函数在有零点，且零点是唯一的.故选：B
2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（ ）
A．0或 B．0 C． D．0或
【答案】A
【详解】因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，所以b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．
令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－．故选：A
3．已知函数的零点位于区间内，则整数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】因为函数与在上均为增函数，所以函数在上为增函数，因为，，，所以函数的零点位于区间内，故.故选：B.
4.已知函数. 若有零点；，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为有零点，所以，即.又，显然不能推出，但能够推出.所以是的必要不充分条件.故选：B.
5．已知函数，函数，若两函数的图象恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知，设切点为，则切线方程为．将代入可得，故与（）相切时，,，故由两函数的图象有两个不同交点可得，即，故选:A．
6．已知函数有且仅有3个零点，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】因为，所以，故为奇函数，且为的零点，所以在上有且只有1个零点，又，，，故零点均位于区间内，当时，，，故存在使得，又，故存在使得，所以在上至少存在两个零点，故不符合题意；当时，由，可得，作出函数与函数的大致图象， ，由图形可知函数与函数的有3个交点，即函数有且仅有3个零点，适合题意，所以的最大值为4.故选：C．
7．已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意知函数与函数的图象有两个交点．当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，取得极大值，且，作出函数的图象与的图象，如图．当时，，则，所以，故曲线在处的切线方程为，易知．当时，，则，所以，故曲线在处的切线方程为，易知．综上所述，实数a的取值范围为．故选：D．
8．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，当时，．当时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且．作出函数的大致图象，如图所示，由图可知，是的零点，要使有两个不同的零点，则方程有两个不相等的实数根，等价于有1个非零实数根.由图可知或或，即.故选：C．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】的定义域为，B选项错误.在区间上是增函数，
，所以是的唯一零点，所以AC选项正确，D选项错误.故选：AC
10．关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称
C．若则 D．有且仅有两个零点
【答案】ABD
【详解】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．故选：ABD．
11．是定义在R上的奇函数，对任意，均有，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．4是函数的一个周期 B．当时，
C．当时，的最大值为 D．函数在上有1012个零点
【答案】AD
【详解】对于A项，由对任意，均有，得，即，
所以函数的图象关于直线对称.而是定义在R上的奇函数，所以，所以，于是，因此4是函数的一个周期，A正确；对于B项，当时，，而当时，，所以.又，所以，，B错误；对于C项，当时，，根据奇函数的性质可得，求导得，，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以函数在上单调递减，于是，C错误；对于D项，当时，由，得，由，得，且.
又是定义在R上的奇函数，结合C项在上的单调性，可得函数在上递减，在上递增，结合对称性得函数在上只有0和2两个零点.由知，函数在上只有2和4两个零点，因此函数在上只有2个零点，在上有个零点，D正确.故选：AD.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．函数的零点为 .
【答案】10
【详解】令，即，所以，因此，所以函数的零点为，故答案为：.
13．定义函数，设，若含有3个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【详解】设，，由，解得，；由于含有3个不同的实数根，所以有两个相等的实根或者两个相异的实根，则，即，解得，或.当时，，解得，又，满足题意；当时，如下图，的对称轴方程，，则有4个根，不合题意，舍去；当时，，解得，即，含有2个不同的实数根，不满足题意；当时， 如下图，，若含有3个不同的实数根，则，解得；综上，或.故答案为：或.
14．已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根，则a的取值范围为 .
【答案】
【详解】由函数可知，其函数图象如下图所示：
若关于x的方程有5个不同的实数根，即方程有5个不同的实数根，即和共有5个不同的实数根，所以和与函数共有5个不同的交点；由图可知，与函数最多有三个交点，且；所以，当，与函数有2个不同的交点，需满足 与函数有3个不同的交点，所以，解得；当时，与函数有3个不同的交点，需满足 与函数有2个不同的交点，所以，解得；综上可知，，所以，a的取值范围为.
故答案为：
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案: B A B B A C D C
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: AC ABD AD 答案: 10 或

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