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专题3.2 导数与函数的单调性
一、核心知识：
1. 利用导数研究函数的单调性
（1）导数与函数的单调性的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对 x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零．
2.含参函数单调性讨论依据
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
3.已知函数的单调性求参数
（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点
（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点
4.构造函数法解决函数问题中的常见类型
关系式为“加”型构造：
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意的符号）
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意的符号）
（10） 构造
二、考点聚焦：
考点一：单调区间的判断与求解
经典例题：
1．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A． B． C． D．
4．在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·四川内江·三模）函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·陕西咸阳·三模）已知函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．（2023·吉林长春·模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·北京丰台·二模）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·北京昌平·期末）下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的单调递减区间是 ．
7．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是 ．
8．函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·湖南长沙·模拟预测）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·天津和平·一模）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点二：构造函数比较大小
经典例题：
1．（2020·全国·三模）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·山东潍坊·模拟预测）函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广西·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广西·一模）已知、、，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广西梧州·一模）已知，，，其中，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广西·模拟预测）已知是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，都有.记，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．（2021·广西玉林·模拟预测），则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022年新高考全国I卷）设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川成都·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西·模拟预测）设，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则有（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·陕西西安·一模）已知，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山东济南·二模）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·四川·模拟预测）已知函数为上的奇函数，且在上单调递减，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·江苏南通·模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
考点三：利用函数单调性解不等式
经典例题：
1．（24-25高三上·湖北武汉·期中）设函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川绵阳·二模）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．定义在(－1,1)上的函数f(x)＝-3x＋sinx，如果f(1－a)＋f(1－a2)>0，则实数的取值范围为 ．
2．（2022·吉林·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 .
3．（21-22高三上·山东济宁·期末）已知定义域为R的函数，满足，则实数a的取值范围是 ．
4．（24-25高三下·云南·期中）设函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·山东临沂·期中）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·山西吕梁·一模）设函数，则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·福建南平·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，对任意的，都有，当时，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点四：由函数的单调性求参数范围
经典例题：
1．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川内江·模拟预测）若对任意的、，且，，则的最小值是 ．
5．（24-25高三上·江西抚州·阶段）函数在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南大理·模拟预测）若函数在为增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东济宁·一模）已知函数，则使得成立的x的取值范围是 .
4．（2024·江西上饶·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
5．已知函数在区间上是严格减函数，则的取值范围是 ．
6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）设函数，若在上是减函数，则a的取值范围为 ．
7．（2021·江西·模拟预测）已知函数，且当时，，则实数的取值范围为 .
8．（2023·陕西榆林·模拟预测）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·湖北·一模）已知函数是减函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·全国·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、达标检测：
《导数与函数的单调性》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①-2是函数的极值点；②1是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零；④函数在区间上单调递增.则正确命题的序号是( )
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
3．（2017·江西南昌·三模）函数的图象的大致形状是
A． B． C． D．
4．（2021·全国·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川凉山·二模）已知，则a，b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·广西·一模）已知、、，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的偶函数，对，都有，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点
10．（2023·安徽阜阳·三模）已知函数，为的导函数，则（ ）
A．的最小值为2 B．在单调递增
C．直线与曲线相切 D．直线与曲线相切
11．已知函数，以下四个命题中真命题是（ ）
A．，有 B．，且，有
C．，，有 D．，
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数的一个零点为3，则的单调减区间是 ．
13．（2023·辽宁鞍山·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
14．（20-21高三上·河南·期末）已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为 .
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:

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