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专题2.5 函数的图象
一、核心知识：
1.基本初等函数的图像
一次函数
图象
定义域 R R
值域 R R
单调性 增 减
对称性 不固定 不固定
二次函数
图象
定义域 R R
值域
单调性 先减后增 先减后增
对称性 关于对称 关于对称
反比例函数：
图象
定义域
值域
单调性 两个减区间 两个减区间
对称性 关于原点对称，是奇函数 关于原点对称，是奇函数
指数函数：
图象
定义域 R R
值域
单调性 增 减
对称性 无 无
对数函数：
图象
定义域
值域 R R
单调性 增 减
对称性 无 无
常用指数函数与对数函数图象：
幂函数：
图象
七、三角函数：
正弦函数： 正弦函数： 正弦函数：
图象
定义域 R R
值域 R
单调性 增： 减： 增： 减： 增：
对称性 对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 对称中心：
对勾函数：
图象
定义域
值域
单调性 增区间：； 减区间： 增区间：
对称性 对称中心： 对称中心：
绝对值函数：
图象
定义域
值域
单调性 增区间：；减区间： 增区间：；减区间：
对称性 对称轴：轴 对称轴：轴
2.图像的变换
（1）平移变换
①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；
②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；
③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；
④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于坐标原点对称；
②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有
或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；
若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有
③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）．
注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数与的图像关于对称．
（3）伸缩变换
①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到．
②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到．
3.函数图象常用结论：
（1）若恒成立，则的图像关于直线对称．
（2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称．
（3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称．
（4）函数与函数的图象关于直线对称．
（5）函数与函数的图象关于直线对称．
（6）函数与函数的图象关于点中心对称．
（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
二、考点聚焦：
考点一：图象变换与作图
经典例题：
1．利用函数的图象，作出下列各函数的图象．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
2．作出下列函数的图像：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)．
3．（2023·四川成都·模拟预测）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
4．（2025·湖南娄底·模拟预测）（多选）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（ ）
A． B． C． D．
5.（2025高三·全国·专题）（多选）已知函数是定义在上的增函数，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·湖南·二模）将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7.若函数的定义域为，则函数与的图象关于（ ）
A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称
8．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23高三上·湖南长沙·阶段）若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（ ）
A． B． C． D．3
10．（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
强化训练：
1．如图所示，函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，则函数的图像是（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·阶段）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）（多选）下列曲线平移后可得到曲线的是（ ）
A． B． C． D．
5.（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．4
6．（2023高三·全国·专题）（多选）函数 且的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·河北保定·期中）（多选）函数的图象经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（22-23高三上·湖南娄底·期末）（多选）函数 的图象的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
9．（2013·陕西·模拟预测）已知函数f(x)=x-4+，x∈(0，4)，当x=a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)=的图象为（ ）
A．B． C． D．
10．（2020高三下·山东·学业考）已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（ ）
A．B． C． D．
考点二：函数图象与解析式
经典例题：
1．（24-25高三上·重庆·开学考试）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3.函数的图象是下列的（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北邢台·三模）函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6.（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
7.（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
8.（2024·湖南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·河南·二模）已知是减函数，则函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
强化训练：
1．（2025·四川成都·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河南·三模）函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高三上·云南·阶段）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A． B． C． D．
8.（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
9.（2024·陕西安康·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高三·全国·专题）已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ）
A． B． C．D．
考点三：函数图象的应用
经典例题：
1．（2026高三·全国·专题）不等式的解集是 ．
2．（2025·河北邢台·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题）若，则满足的的取值范围是 ．
5．（2025高三下·全国·专题）已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三·全国·专题）已知函数，其中表示中的较大者.则不等式的解集为 .
7．（2025·陕西汉中·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 .
9．已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·海南·模拟预测）对于函数，若存在两点，其中，则称两点为函数的一对“隐对称点”，若函数，则共有（ ）对“隐对称点”．
A．1 B．2 C．3 D．4
强化训练：
1．（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2.（2023秋·山东省烟台·高三期末）已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
3．定义运算，已知函数，若恒成立，则的取值范围为 ．
4．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（2025·河北·三模）（多选）已知函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．最小值为14
7．已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9.（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
10. （2023·北京·统考高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是____________．
三、达标检测：
《函数的图象》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2.将函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象的大致形状是( )
A． B． C． D．
5．函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的部分图象如图，则函数的解析式可能为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．对于函数与的图象，下列说法错误的是（ ）
A．与有三个交点 B．与有两个交点
C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方
10．（2025·湖南郴州·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．是增函数
C．不等式的解集为
D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为
11．已知函数，则正确的是（ ）
A．的值域为
B．的解集为
C．的图象与的图象关于轴对称
D．若关于的方程有且仅有一实根，则
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.把函数的图象向右平移个单位，再把横坐标缩小为原来的，所得图象的函数解析式是__________．
13．若函数的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是 ．
14．对于任意实数，定义符号，其意义为：当时，；当时，；若，函数，有4个零点，则取值范围为 .
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:专题2.5 函数的图象
一、核心知识：
1.基本初等函数的图像
一次函数
图象
定义域 R R
值域 R R
单调性 增 减
对称性 不固定 不固定
二次函数
图象
定义域 R R
值域
单调性 先减后增 先减后增
对称性 关于对称 关于对称
反比例函数：
图象
定义域
值域
单调性 两个减区间 两个减区间
对称性 关于原点对称，是奇函数 关于原点对称，是奇函数
指数函数：
图象
定义域 R R
值域
单调性 增 减
对称性 无 无
对数函数：
图象
定义域
值域 R R
单调性 增 减
对称性 无 无
常用指数函数与对数函数图象：
幂函数：
图象
七、三角函数：
正弦函数： 正弦函数： 正弦函数：
图象
定义域 R R
值域 R
单调性 增： 减： 增： 减： 增：
对称性 对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 对称中心：
对勾函数：
图象
定义域
值域
单调性 增区间：； 减区间： 增区间：
对称性 对称中心： 对称中心：
绝对值函数：
图象
定义域
值域
单调性 增区间：；减区间： 增区间：；减区间：
对称性 对称轴：轴 对称轴：轴
2.图像的变换
（1）平移变换
①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；
②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；
③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；
④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于坐标原点对称；
②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有
或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；
若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有
③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）．
注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数与的图像关于对称．
（3）伸缩变换
①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到．
②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到．
3.函数图象常用结论：
（1）若恒成立，则的图像关于直线对称．
（2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称．
（3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称．
（4）函数与函数的图象关于直线对称．
（5）函数与函数的图象关于直线对称．
（6）函数与函数的图象关于点中心对称．
（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
二、考点聚焦：
考点一：图象变换与作图
经典例题：
1．利用函数的图象，作出下列各函数的图象．
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
【详解】（1）把的图象关于轴对称得到的图象，如图：
（2）保留图象在轴右边部分，去掉轴左侧的，并把轴右侧部分关于轴对称得到的图象，如图：
（3）把图象向下平移一个单位得到的图象，如图：
（4）结合（3），保留上方部分，然后把下方部分关于轴翻折得到的图象，如图：

（5）把图象关于轴对称得到的图象，如图：
（6）把的图象向右平移一个单位得到的图象，如图：
2．作出下列函数的图像：
(1)； (2)； (3)； (4)；
(5)；(6)；(7)．
【详解】（1）函数，则其图象可看作由反比例函数的图象，
先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图示：
（2），其图象如图：
（3）设，其图象如图：
（4）设，其图象如图：
（5）设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则图象如图示：
（6）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，图象如图：
（7）设，则其图象可由的图象向左平移1个单位，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图：
3．（2023·四川成都·模拟预测）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【详解】由向右平移个单位，则.故选：D
4．（2025·湖南娄底·模拟预测）（多选）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确；对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确；对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误；对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，故D正确．故选：ABD
5.（2025高三·全国·专题）（多选）已知函数是定义在上的增函数，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】因为是上的偶函数，又因为函数是定义在上的增函数，则是上的增函数，所以图象是关于对称的，且在单调递增，故选:BC．
6．（2020·湖南·二模）将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】．因为，即，所以为奇函数，排除A；令，解得，即有唯－的零点，排除C；由解析式可知，排除D．只有B符合条件．故选：B．
7.若函数的定义域为，则函数与的图象关于（ ）
A．直线对称 B．直线对称 C．直线对称 D．直线对称
【答案】C
【解析】因为函数的图象是的图象向右平移1个单位得到的，的图象是的图象也向右平移1个单位得到的；又因为与的图象是关于轴（直线）对称，所以函数与的图象关于直线对称.故选：.
8．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，，所以在上递减，是偶函数，所以在上递增.注意到，所以B选项符合.故选：B
9．（22-23高三上·湖南长沙·阶段）若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【详解】的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，
分和两种情况分别作图.当时，图象如下图所示：此时需要，即，所以；当时，图象如下图所示：此时需满足，都符合条件；综上可知, 的取值范围为或，所以的取值不可以是D.故选：D
10．（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】当时， ，故是的一个周期，又时，，则，作出函数和的函数图象，
因， ，结合图象可知，和的函数图象交点个数为.故选：B
强化训练：
1．如图所示，函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，∴时，，当时，函数为上的单调递增函数，且，当时，函数为上的单调递减函数，且，故选：B
2．已知函数，则函数的图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，由解析式，作出的图像如图.，从而可得图像为D选项.故选：D.
3．（21-22高三上·黑龙江哈尔滨·阶段）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【详解】由题意得，所以只需将函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象.故选：B
4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）（多选）下列曲线平移后可得到曲线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，曲线向右平移3个单位可得到曲线，故A正确；对于B，曲线向上平移3个单位可得到曲线，故B正确；对于C，曲线横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线，故C错误；对于D，曲线，向左平移个单位可得到曲线，故D正确；故选：ABD
5.（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【详解】函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向下平移4个单位长度得到的图象，再将的图象向左平移1个单位长度得到的图象，即，故.故选:D.
6．（2023高三·全国·专题）（多选）函数 且的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】当时，，显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
函数图象的渐近线为，而，故A，B不符合；对于C，D，因为渐近线为，故，故时，，故选项C符合，D不符合；当时，，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数图象的渐近线为，而，故B符合，A，C，D不符合；故选：BC.
7．（24-25高三上·河北保定·期中）（多选）函数的图象经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABC
【详解】由于，所以，函数在上单调递增，的图象向下平移个单位，得到的图象，所以函数的图象不经过第四象限，经过第一、二、三象限.
故选：ABC
8．（22-23高三上·湖南娄底·期末）（多选）函数 的图象的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】因为，当时，在上单调递增，且当趋于时，趋于；在上单调递减，当趋于时，趋于,故排除D；当时，在上单调递减，当趋于时，趋于；在上单调递增，当趋于时，趋于,故排除C.故选：AB.
9．（2013·陕西·模拟预测）已知函数f(x)=x-4+，x∈(0，4)，当x=a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)=的图象为（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【详解】因x∈(0，4)，则x＋1>1，于是得，当且仅当，即x=2时取等号，f(x)的最小值为1，则a=2，b=1，函数，其图象关于直线x=-1对称，当时，单调递减，只有B选项满足.故选：B
10．（2020高三下·山东·学业考）已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，在单调递减，在单调递增，故可得在时，取得最大值.故，，又图象可以由的图象经过关于轴的翻折变换，再向左平移1个单位得到.故满足的函数图象是选项.故选：
考点二：函数图象与解析式
经典例题：
1．（24-25高三上·重庆·开学考试）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】定义域为R，，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除AB；又，排除D.故选：C.
2．（2025·天津和平·三模）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于，故为奇函数，其图象关于原点对称，此时可排除CD,又，故排除B，故选：A
3.函数的图象是下列的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域为，解得：，故B错误.
，则函数为奇函数，故C，D错误；故选：A.
4．（2025·河北邢台·三模）函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数的定义域为，故排除A；，，所以，，故非奇非偶函数，故排除B，D.故选：C
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知，定义域为，且，所以函数为偶函数，故图象关于轴对称，又，排除B，D选项；当时，，排除C，故A正确．故选：A．
6.（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于B，当时，，易知，，则，不满足图象，故B错误；对于C，，定义域为，又，则的图象关于轴对称，故C错误；对于D，当时，，由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；检验选项A，满足图中性质，故A正确.故选：A.
7.（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且，对于A，，为偶函数，故A错误；对于B，，故B错误；
对于C，，为奇函数，当时，，因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确；对于D，当时，，，所以时，，单调递增，当时，，单调递减，故D错误，故选：C.
8.（2024·湖南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；由图可知，当时，，而对于D选项，当时，，故排除D.故选：A.
9．（2025·河南·二模）已知是减函数，则函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是减函数，且是增函数，所以，因为，
又当时，，所以函数的图象是对称轴为直线，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意.故选：B.
10．（2025·湖南长沙·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由可知，，故，故函数与函数的单调性相同，故选：B.
强化训练：
1．（2025·四川成都·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，函数定义域为，且，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，又时，，所以，且恒成立，则，所以只有D满足.故选：D
2．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，由余弦函数性质可知，又，且函数在上单调递增，得.所以当时，，BD错误.又时，，得，A错误.故选：C.
3．（2025·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，知的定义域为，排除A，C；，当增大时，减小，也减小，即在上单调递减，排除D.故选：B.
4．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，可得的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项；，排除C项；当时，，排除A项.故选：D.
5．（2025·河南·三模）函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】的定义域为，排除D；因为，所以为偶函数，图象关于y轴对称，排除C；当时，，排除A．
故选：B.
6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据图象可知，函数关于对称，且当时，，故排除B、D两项；当时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当时，单调递减，故排除C项.故选：A.
7．（25-26高三上·云南·阶段）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由图象过点可知，AC选项满足，BD选项不满足，故排除BD；对A，，而对于C，，故排除C.故选：A
8.（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于选项A：因为，与图象不符，故A错误；对于选项B：因为，与图象不符，故B错误；对于选项C：因为，与图象不符，故C错误；故选：D.
9.（2024·陕西安康·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图象可得函数为偶函数，且，，当且仅当时，，对于A，因为，，所以函数是偶函数，又，，则，所以函数在上单调递增，所以，故解析式可能为A，故A正确；对于B，由，不合题意，故B错误；对于C，因为，所以且，所以函数是非奇非偶函数，故C错误；对于D，由，不合题意，故D错误.故选：A.
10．（2025高三·全国·专题）已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【详解】因，故，故，而与关于对称，
各选项中只有B满足，故选：B.
考点三：函数图象的应用
经典例题：
1．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】在同一直角坐标系中作出函数和的大致图象，如图所示，
当时，解得，由图象知，的解集是．故答案为：.
2．（2025·河北邢台·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数是定义在上的奇函数且，所以当时，，则；当时，，则，
所以；函数的图象可由函数的图象向左严移1个单位长度得到，
作出函数在上的图象，如图所示，，由图可知不等式在上的解集为．故选：A．
3．（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，结合题意作出的大致图象，如图所示，
由图可知，不等式的解集为.故选：B.
4．（2024高三·全国·专题）若，则满足的的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，即的图象在图象的下方，由图可知，．
故答案为：.
5．（2025高三下·全国·专题）已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】作出函数与的图象，如图，当时，，作出函数与的图象，由图象可知，此时解得；当时，，作出函数与的图象，它们的交点坐标为，，结合图象知此时．所以不等式的解集为．故选：C.
6．（2025高三·全国·专题）已知函数，其中表示中的较大者.则不等式的解集为 .
【答案】
【详解】解：因为，作出的大致图象，如图所示，当时，由，得；当时，由，得，所以的解集为.故答案为：
7．（2025·陕西汉中·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】曲线与的图像如下，所以交点个数为3，故选：B.
8．（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】作出函数的图象，设，依题意，，且，，解得，，故，因函数在上单调递减，故，即的取值范围是.故答案为：.
9．已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将的图象向下平移1个单位得到，再将的图象的轴下方的图象以轴为对称轴翻转至轴上方可得到，将的图象向右平移1个单位得到，所以的图象如图所示， 由图可知，当时，函数与图象有且仅有三个不同的交点.故选：B.
10．（2025·海南·模拟预测）对于函数，若存在两点，其中，则称两点为函数的一对“隐对称点”，若函数，则共有（ ）对“隐对称点”．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】等价转化为函数与函数的图像的交点个数，作出函数的大致图象如图所示，再作出曲线关于y轴对称的曲线C：的图像，数形结合可知曲线与曲线C有3个交点，所以图象上“隐对称点”有3对．故选：C．
.
强化训练：
1．（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，结合题意作出的大致图象，如图所示，
由图可知，不等式的解集为.故选：B.
2.（2023秋·山东省烟台·高三期末）已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象，因为，所以的图象如图实线所示：由可得，由可得，由图知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，当时，，所以的最小值为，故选：B.
3．定义运算，已知函数，若恒成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由，得，因为函数和都是上的增函数，所以在上单调递增，又时，，所以方程有唯一解；函数和的图象如下： ，根据，可得，函数的图象如下： 由恒成立，得恒成立，即，由图可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；所以，则，解得或，则的取值范围是.故答案为：．
4．（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】若函数恰有3个零点，即函数与的图象有3个交点，，当时，，当时，，函数的图象如下， 结合图象可得.故选：A.
5．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】当时，函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为；当时，在上递增，函数值集合为R，在直角坐标系内作出函数的图象与直线， 由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个实数解.故选：C.
6．（2025·河北·三模）（多选）已知函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．最小值为14
【答案】ACD
【详解】对于A，的图象是由的图象向右平移2个单位长度而得到，如图：
，显然A正确；对于B，，所以，即，故B不正确；对于C，由选项B可知，即，解得，当且仅当时取等号，，，故C正确；对于D，，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：ACD.
7．已知实数，是函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意的零点，即函数与函数的交点如图，由图可得，，，，，，综上，.故选：B.
8．（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】当时， ，故是的一个周期，又时，，则，作出函数和的函数图象，因， ，结合图象可知，和的函数图象交点个数为.故选：B
9.（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】设，，由可得.要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或.
当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.
10. （2023·北京·统考高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】②③
【详解】依题意，，当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取，则的图像如下， 显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，当时，；当时，显然取得最大值；当时，，综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小， 当时，，当且接近于处，，此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下， 因为，结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，联立，解得，则，显然在上，满足取得最小值，即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
三、达标检测：
《函数的图象》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【详解】因为，，所以，为了得到函数的图象，只需将指数函数的图象向右平移个单位，故选：D.
2.将函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移三个单位，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】关于直线对称的函数为，将向下平移三个单位得到，将向左平移一个单位得到，即，
故.故选：D
3.已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，
又因为，所以，，整理可得，因为且，解得.故选：D.
4．函数的图象的大致形状是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.故选：C.
5．函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】的定义域是，关于原点对称，排除选项D，因为，所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，
当时，，（等号条件为即，故等号不成立），
当时，，（等号条件为即，故等号不成立），排除C，只有选项B符合题意.故选：B.
6．函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以函数是奇函数，排除选项A；因为，当时，，排除选项D；由知函数在时的第一个零点为，且，由图中所标的单位长度可知，选项B正确，选项C错误．故选：B．
7．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由函数图像关于轴对称可得，函数为偶函数，又选项C对应的函数为奇函数，则排除选项C，又，显然选项B不满足题意，即排除选项B，又，显然选项A不满足题意，即排除选项A，即的解析式可能为D，故选：D.
8．已知函数的部分图象如图，则函数的解析式可能为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于图像关于原点对称，所以为奇函数，对于B：由，得：，为偶函数，故可排除B；对于C：由，得：，为偶函数，故可排除C；
由图知图象不经过点，而对于D：，故可排除D；故选：A
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．对于函数与的图象，下列说法错误的是（ ）
A．与有三个交点 B．与有两个交点
C．，当时，恒在的下方 D．，当时，恒在的上方
【答案】BC
【详解】由，，，，可在同一坐标系内作出两函数图象如下图所示，显然两函数有三个交点，故A正确，B错误；由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以当时，恒在的上方，故C错误，D正确.故选：BC.
10．（2025·湖南郴州·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．是增函数
C．不等式的解集为
D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为
【答案】CD
【详解】的大致图象如图所示：由图象可知：的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；在定义域内不单调，故B错误；若，则或，即不等式的解集为，故C正确；令，则，原题意等价于与有2个交点，则，所以的取值范围为，故D正确；故选：CD.
11．已知函数，则正确的是（ ）
A．的值域为
B．的解集为
C．的图象与的图象关于轴对称
D．若关于的方程有且仅有一实根，则
【答案】AC
【详解】A：因为的值域为，所以的值域为，故A正确；B：因为，且在上单调递增，所以，解得，故B错误；C：关于轴对称的函数为，即为，所以的图象与的图象关于轴对称，故C正确；D：作出的图象如下图所示，当与仅有一个交点时，此时关于的方程有且仅有一实根，由图象可知，或，故D错误；故选：AC.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12.把函数的图象向右平移个单位，再把横坐标缩小为原来的，所得图象的函数解析式是__________．
【答案】
把函数的图象向右平移个单位，得函数，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象.故答案为：
13．若函数的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】函数的图象与x轴有公共点，即有实数解．由于，故，解得．
14．对于任意实数，定义符号，其意义为：当时，；当时，；若，函数，有4个零点，则取值范围为 .
【答案】
【详解】由，作出它们的图象，如图所示，则作图如图，令，即，由图象可知，当时，与有4个交点，故有4个零点，故的取值范围为.故答案为：
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案: D D D C B B D A
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: BC CD AC 答案:

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