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专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
一、核心知识：
1．角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，
构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2．弧度制
定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线
4．同角三角函数基本关系式
（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1；（2）商数关系：＝tan α.
5．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
二、考点聚焦：
考点一：任意角与弧度制
经典例题：
1．的角度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【详解】.故选：B.
2．已知角，则弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，弧度数为.故选：A
3．角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.故选：A.
4．下列叙述正确的是(　　)
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．钝角是第二象限角
C．第二象限角比第一象限角大 D．不相等的角终边一定不同
【答案】B
【详解】∵直角不属于任何一个象限，故A 不正确；钝角属于是第二象限角,故B正确；
由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故 C不正确；由于20°与360°+20°不相等，但终边相同，故D不正确.故选B
5．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又分针走过了10分钟，走过的角度大小为，综上，分针走过的角度是．故选：D．
6．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课上课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】8点时，时钟的时针正好指向“8”，分针正好指向“12”，由于时钟的每两个相邻数字之间的圆心角是，即，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是．
变式训练：
1．的弧度数是（　　 ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】弧度，弧度，则弧度弧度，故选C.
2．把化成弧度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.故选：C.
3．下列命题中错误的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角 D．钝角比第三象限角小
【答案】ACD
【详解】当三角形为直角三角形时，一内角为直角，直角不属于第一、二象限角，故A错误；始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；取角为第四象限角，但不是负角，故C错误；取为钝角，为第三象限角，但，故D错误，故选：
4．下列说法错误的是（ ）
A．终边与始边重合的角是零角 B．终边与始边都相同的两个角一定相等
C．小于90°的角是锐角 D．若，则是第三象限角
【答案】ABC
【详解】对于A. 终边与始边重合的角的集合为,故A错误，对于B，终边与始边都相同的两个角不一定相等，比如的终边和始边相同，但两个角不相等，故B错误，对于C，锐角为的角，所以小于90°的角不一定是锐角，故C错误，对于D，，则是第三象限角，故D正确，故选：ABC
5．钟的时针和分针一天内会重合（ ）
A．21次 B．22次 C．23次 D．24次
【答案】B
【详解】一天24小时中时针转2圈，分针转24圈，所以分针比时针多转的圈数是24-2=22，又因为每多转一圈，分针就与时针相遇一次，所以钟的时针和分针一天内会重合22次，故选：B
6．已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转30°，2秒钟后，OP转过的角等于（ ）
A．－60° B．－30° C．60° D．30°
【答案】A
【详解】∵点P在圆O上按顺时针方向旋转，则OP转过的角为负角，又每秒转30°，∴2秒钟后，OP转过的角等于．故选:A．
考点二：终边相同角
经典例题：
1．把角化为的形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，故选：D.
2．与2022°终边相同的角是（ ）
A． B． C．222° D．142°
【答案】C
【详解】∵2022°＝360°×5＋222°，∴与2022°终边相同的角是222°.故选：C.
3．角是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】因为，根据终边相同角的集合知，与终边相同，又是第二象限角.故选：B.
4．在~0范围内所有与30角终边相同的角为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】与角终边相同的角为：，当时，；当时，.本题正确选项：
5．集合中的最大负角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以集合中的最大负角为.故选：C.
6．“角的终边在同一条直线上”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由角的终边在同一条直线上，得，即，所以.反之，由，得，当为偶数时，角的终边在同一条射线上；当为奇数时，角的终边在同一条直线上.综上，“角的终边在同一条直线上”是“”的充要条件.故选 ：C.
7．已知角与的终边关于轴对称，则与的关系为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】D
【详解】由角与的终边关于轴对称，得（），即（），
故选D．
8．已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， ．
【答案】 （答案不唯一，符合，或，，即可）
【详解】因为角的终边关于直线对称，所以，，又，所以或，，所以，或，，，取可得或，所以的一组取值可以是，故答案为：，，（答案不唯一，符合，或，，即可）
9．若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ）.
A． B． C．D．
【答案】C
【详解】当取偶数时，，，故角的终边在第一象限.
当取奇数时，，，故角的终边在第三象限.故选：C.
变式训练：
1．将化为的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.故选：A.
2．（多选）与终边相同的角的表达式中，正确的是
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】弧度和角度不能在同一个表达式中，故选项A，B错误;因为,所以正确;因为,所以正确.故选.
3．下列与角的终边一定相同的角是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于选项C：与角的终边相同的角为，C满足.对于选项B ：当时， 成立；当时，不成立.对于选项D：不成立.故选: C
4．角是第 象限角．
【答案】二
【详解】，则与是终边相同角. 显然是第二象限角，故角是第二象限角.故答案为：二.
5．与1°角终边相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】角的表示方法要保持一致，排除A， D；选项B表示错误；而180°角与角对应，于是1°角与角对应，根据终边相同的角的公式得选C．故选：C
6．若角的终边与角的终边关于轴对称，且，则角的值为 ．
【答案】或/或
【详解】如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于x轴对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{|＝k·360°－75°，k∈Z}．又－360°<α<360°，令k＝0或1，得α＝－75°或285°.故答案为：－75°或285°
7．已知，的终边与的终边关于x轴对称，则 ．
【答案】．
【详解】因为，所以的终边与的终边相同．又因为的终边与的终边关于x轴对称，所以的终边与的终边相同，所以．故答案为：
8．若，且与的终边互相垂直，则 .
【答案】
【详解】因为与的终边互相垂直，所以或 .因为，所以令，可得或或或.故填：
9．设集合，，则集合M，N的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于，，所以 ，故选：B.
10．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么 .（用弧度制描述）
【答案】
【详解】角的终边在图中阴影所表示的范围为：，
即.故答案为：.
考点三： 扇形的弧长及面积公式
经典例题：
4．如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设圆的半径为，则有，可得，所以这个圆心角所对的弧长为，故选A．
5．已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．60
【答案】B
【详解】易知，由扇形弧长公式可得.故选：B
6．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【详解】设圆锥的母线为,则,所以,则圆锥的侧面积为.故答案为：.
7．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是 .　
【答案】
【详解】依题意，扇面（曲边四边形ABDC）的面积是.故答案为：
8．《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依组内角，下周三丈，高七尺，问积及为菽几何？”其意思为：“靠墙壁堆放大豆成半圆锥形，大豆堆底面的弧长为3丈，高为7尺，问大豆堆体积和堆放的大豆有多少斛？”已知1斛大豆立方尺，1丈尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（ ）
A．140斛 B．142斛 C．144斛 D．146斛
【答案】C
【详解】依题意，令锥体底面半圆半径为r，半圆弧长l，则有，即，圆锥体底面面积为，而尺，圆锥体的高尺，于是得圆锥体体积为(立方尺)，由得大豆有(斛)，所以堆放的大豆大约有(斛).故选：C
9．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π ，则其面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知得：，则，故扇形的面积为，法1：弓形的面积为，∴所求面积为．
法2： 扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，∴所求面积为．故选：D
10．短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m，直道长为28.85m．若跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据：取）（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】由题意跑道内圈的周长为，所以该扇形的圆心角为．故选C
变式训练：
1．(23-24高三上·黑龙江哈尔滨第九中学校·月考)已知扇形弧长为，圆心角为2，则该扇形面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】设扇形所在圆的半径为，因为扇形弧长为，圆心角为，可得，可得，由扇形的面积公式，可得.故选：B.
2．(23-24高三下·浙江L16联盟·)半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】设圆弧所对的圆心角为，因为半径为2的圆上圆弧长度为4，可得，所以.
故选：B.
3．(22-23高三上·浙江名校协作体·)已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A．1 B．4 C．2 D．3
【答案】AB
【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为S，圆心角为，则，，解得，或，，则或1．故C，D错误.故选：AB．
4．(22-23高三上·浙江名校协作体·)一个扇形的周长是6厘米，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是 ．
【答案】2平方厘米
【详解】设扇形的半径为厘米，弧长为厘米，（厘米），扇形的周长是6厘米
（厘米），即（厘米），（平方厘米）.
故答案为：平方厘米
5．(22-23高三上·浙江名校协作体·)已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为 cm.
【答案】6π＋40
【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，∴由扇形的弧长公式，可得弧长，∴扇形的周长为.
6．(22-23高三上·浙江名校协作体·)在周长为定值的扇形中，扇形的面积最大时半径是 .
【答案】
【详解】设扇形的所在圆的半径为，弧长为，可得，则，则扇形的面积为，根据二次函数的性质，可得时，面积取得最大值.
故答案为：.
7．(22-23高三上·浙江名校协作体·)如图是杭州年第届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设（弧度），则，；因为，所以，，，所以.
故选：C.
8．中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比，则扇子的圆心角应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设圆的半径为，剪下的扇形的圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为，由题意可得：，解得.故选：A.
9．如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若，则该月牙形图形的面积为（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】D
【详解】记月牙形图形的面积为，曲线AFC与弦AC围成的弓形面积为，连接OC，因为，所以．故选：D．
10．机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知，．得，则莱洛三角形的周长是.故选A．
11．羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为，由相似得，即，∴可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为.故选：C．
考点四： 三角函数的定义及其应用
经典例题：
1．已知角的终边与单位圆相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵已知角的终边与单位圆相交于点，∴.故选：A.
2．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】由角的终边经过点，得点到原点的距离，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：AC
3．(19-20高三上·上海北中学·期中)已知角的终边经过点,其中,则等于
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵角的终边经过点,其中,∴时，，，∴；时，，，∴；
∴.故选B
4．(19-20高三上·上海北中学·期中)角的终边经过点，且，则 ．
【答案】
【详解】角终边经过点，且，，则，故答案为．
5．已知α为第四象限的角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】为第四象限的角，且，..故选：.
6．已知角的终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设知：，即，且，所以，而终边在第二或四象限，所以.故选：C
7．如果，则可能是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【答案】BC
【详解】根据余弦函数的定义，，其中，所以，即，所以在象限角中，可能是第二象限角或第三象限的角.故选：BC
8．已知角的终边上一点的坐标为，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，而，所以角的终边上点的坐标可写为：，所以，因此的最小正值为.故选：D
9．已知点为角终边上一点，绕原点将顺时针旋转，点旋转到点处，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，可得，由三角函数的定义，可得，又由绕原点将顺时针旋转，可得且射线为角的终边，所以，
，所以点的坐标为.故选：B.
10．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与的非负半轴重合，将角的终边按逆时针旋转后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题设，由.
故选：A
变式训练：
1．(21-22高三下·河南顶级名校·)已知角的终边经过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为角的终边经过点，所以，所以，故选：A
2．(21-22高三下·河南顶级名校·)已知角的终边过点，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意．故选：B．
3．(21-22高三下·河南顶级名校·)在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】点到原点的距离，由三角函数的定义可得：，
故选：D
4．(21-22高三下·河南顶级名校·)若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】角的终边经过点，.故选：B.
5．角的终边经过点，且，则 ．
【答案】4
【详解】由，可得.故答案为：4
6．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边上的一点为（），则下列各式一定为负值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】由题意知：(1)若m > 0时，有
∴
(2)若m < 0时，有，∴
综上，知：一定为负值的有、，故答案为：AB
7．(21-22高三·四川资阳·)已知，则等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【详解】=.故选：C
8．(21-22高三·四川资阳·)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上的一点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，.故选：B
9．(22-23高三下·江苏苏锡常镇四·调研)已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，角的终边绕原点逆时针旋转后经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意得，所以，故选：B
10．(22-23高三下·江苏苏锡常镇四·调研)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，，所以.故选：B
11．(22-23高三下·江苏苏锡常镇四·调研)1．在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为 .
【答案】
【详解】易知在单位圆上，记终边在射线上的角为，如下图所示：根据三角函数定义可知，；绕原点顺时针旋转得到线段，则终边在射线上的角为，所以点B的横坐标为.故答案为：
三、达标检测：
《任意角和弧度制、三角函数的概念》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．的角度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【详解】.故选：B.
2．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题得，，.故选：A
3．若角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，所以，，所以.故选：A
4．已知角的终边经过点，则的值是（ ）
A．1或 B．或 C．1或 D．或
【答案】B
【详解】由题意得点与原点间的距离．
①当时，，∴，，∴．
②当时，，∴，，∴．
综上，的值是或．故选：B
5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴查合，点A是角的终边与单位圆的交点，若点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为点的横坐标为，所以，所以，故选:D.
6．已知角的顶点是坐标原点，始边是轴的正半轴，终边是射线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】角的终边是射线，，，.故选：B.
7．(12-13高三·甘肃“三校生”高考·一模)已知点在直线上，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，得，即，又因为，所以.故选D.
8．(12-13高三·甘肃“三校生”高考·一模)如图，一个无线电信号定向发射装置位于扇形的圆心处，其信号覆盖范围为扇形区域，扇形圆心角为．已知该扇形的阴影区域为弱信号区域，若在扇形内随机地选一地点，则该地点为弱信号区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设该扇形的半径为，则扇形的面积是，阴影面积扇形，故．故选：B．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．(12-13高三·甘肃“三校生”高考·一模)与－835°终边相同的角有( )
A．－245° B．245° C．－115° D．－475°
【答案】BCD
【详解】与－835°终边相同的角可表示为－835°＋360°k，k∈Z，k＝1时，为－475°；k＝2时，为－115°；k＝3时，为245°；k＝4时，为605°，故选：BCD.
10．在平面直角坐标系中，角顶点在原点，以正半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】由题意知角在第四象限，所以，，.选项A，；选项B，；选项C，；选项D，符号不确定.故选：AB.
11．下列说法正确的是（ ）
A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C．经过小时，时针转了
D．若角和角的终边关于对称，则有
【答案】ABD
【详解】对于A，因为角终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点的横坐标和纵坐标异号，故；因为，所以或，故角终边上点坐标对应为：或即或，所以角终边在第二象限或第四象限，综上，角终边在第二象限或第四象限的充要条件是，故A正确；对于B，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为，故B正确；对于C，钟表上的时针旋转一周是，其中每小时旋转，所以经过4小时应旋转，故C错误；对于D，角和角的终边关于直线对称，则，，故D正确
故选：ABD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知为钝角，，则 ．
【答案】
【详解】因为，所以,因为为钝角，所以.
故答案为：.
13．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为 .
【答案】
【详解】由弧长公式可得，所以扇形面积为，故答案为：
14．如图，在边长为2的正方形中，以的中点为圆心，以为半径作圆弧，交边于点，从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为 ．
【答案】
【详解】如图，正方形面积，因，故，所以，同理，所以，又，∴．∴从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为．故答案为．
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案: B A A B D B D B
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: BCD AB ABD 答案:专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
一、核心知识：
1．角的概念
（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，
构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2．弧度制
定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α
各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线
4．同角三角函数基本关系式
（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1；（2）商数关系：＝tan α.
5．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
二、考点聚焦：
考点一：任意角与弧度制
经典例题：
1．的角度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．已知角，则弧度数为（ ）
A． B． C． D．
3．角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
4．下列叙述正确的是(　　)
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．钝角是第二象限角
C．第二象限角比第一象限角大 D．不相等的角终边一定不同
5．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（ ）
A． B． C． D．
6．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课上课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是
A． B． C． D．
变式训练：
1．的弧度数是（　　 ）
A． B． C． D．
2．把化成弧度为（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中错误的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角一定是负角 D．钝角比第三象限角小
4．下列说法错误的是（ ）
A．终边与始边重合的角是零角 B．终边与始边都相同的两个角一定相等
C．小于90°的角是锐角 D．若，则是第三象限角
5．钟的时针和分针一天内会重合（ ）
A．21次 B．22次 C．23次 D．24次
6．已知点P在圆O上按顺时针方向每秒转30°，2秒钟后，OP转过的角等于（ ）
A．－60° B．－30° C．60° D．30°
考点二：终边相同角
经典例题：
1．把角化为的形式为（ ）
A． B． C． D．
2．与2022°终边相同的角是（ ）
A． B． C．222° D．142°
3．角是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在~0范围内所有与30角终边相同的角为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．集合中的最大负角为（ ）
A． B． C． D．
6．“角的终边在同一条直线上”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知角与的终边关于轴对称，则与的关系为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
8．已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， ．
9．若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合中的角的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（ ）.
A． B． C． D．
变式训练：
1．将化为的形式是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选）与终边相同的角的表达式中，正确的是
A． B． C． D．
3．下列与角的终边一定相同的角是（ ）
A． B． C． D．
4．角是第 象限角．
5．与1°角终边相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
6．若角的终边与角的终边关于轴对称，且，则角的值为 ．
8．若，且与的终边互相垂直，则 .
9．设集合，，则集合M，N的关系为（ ）
A． B． C． D．
10．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么 .（用弧度制描述）
考点三： 扇形的弧长及面积公式
经典例题：
4．如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为
A． B． C． D．
5．已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．60
6．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为 ．
7．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是 .　
8．《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依组内角，下周三丈，高七尺，问积及为菽几何？”其意思为：“靠墙壁堆放大豆成半圆锥形，大豆堆底面的弧长为3丈，高为7尺，问大豆堆体积和堆放的大豆有多少斛？”已知1斛大豆立方尺，1丈尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（ ）
A．140斛 B．142斛 C．144斛 D．146斛
9．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π ，则其面积是（　　）
A． B． C． D．
10．短道速滑，全称短跑道速度滑冰，是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动．如图，短道速滑比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m，直道长为28.85m．若跑道内圈的周长等于半径为27.78m的扇形的周长，则该扇形的圆心角为（参考数据：取）（ ）
A． B． C．2 D．
变式训练：
1．已知扇形弧长为，圆心角为2，则该扇形面积为（ ）
A． B． C． D．1
2．半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A．1 B．4 C．2 D．3
4．一个扇形的周长是6厘米，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是 ．
5．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为 cm.
6．在周长为定值的扇形中，扇形的面积最大时半径是 .
7．如图是杭州年第届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比，则扇子的圆心角应为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O，C为弧AB的中点，D为线段AC的中点，再以AC为直径构造半圆D，则由曲线AEC和曲线AFC所围成的图形为月牙形．若，则该月牙形图形的面积为（ ）
A．4 B． C． D．2
10．机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
11．羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是，底部所围成圆的直径是，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
考点四： 三角函数的定义及其应用
经典例题：
1．已知角的终边与单位圆相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知角的终边经过点,其中,则等于
A． B． C． D．
4．角的终边经过点，且，则 ．
5．已知α为第四象限的角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
7．如果，则可能是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
8．已知角的终边上一点的坐标为，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点为角终边上一点，绕原点将顺时针旋转，点旋转到点处，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与的非负半轴重合，将角的终边按逆时针旋转后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．已知角的终边经过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知角的终边过点，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
5．角的终边经过点，且，则 ．
6．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边上的一点为（），则下列各式一定为负值的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
8．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上的一点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，角的终边绕原点逆时针旋转后经过点，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点顺时针旋转得到线段，则点B的横坐标为 .
三、达标检测：
《任意角和弧度制、三角函数的概念》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．的角度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．若角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知角的终边经过点，则的值是（ ）
A．1或 B．或 C．1或 D．或
5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴查合，点A是角的终边与单位圆的交点，若点的横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知角的顶点是坐标原点，始边是轴的正半轴，终边是射线，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知点在直线上，则
A． B． C． D．
8．如图，一个无线电信号定向发射装置位于扇形的圆心处，其信号覆盖范围为扇形区域，扇形圆心角为．已知该扇形的阴影区域为弱信号区域，若在扇形内随机地选一地点，则该地点为弱信号区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．与－835°终边相同的角有( )
A．－245° B．245° C．－115° D．－475°
10．在平面直角坐标系中，角顶点在原点，以正半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于0的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C．经过小时，时针转了
D．若角和角的终边关于对称，则有
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知为钝角，，则 ．
13．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为 .
14．如图，在边长为2的正方形中，以的中点为圆心，以为半径作圆弧，交边于点，从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为 ．
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:

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