资源简介

专题4.2 三角恒等变换
一、核心知识：
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
2．二倍角公式
S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α tan 2α＝
3．辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)
或f(α)＝cos(α－φ) .
二、考点聚焦：
经典例题：
1．(23-24·安徽黄山·)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25高三上·中学生标准学术能力诊断性测试·)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．(23-24高三·河南新乡·一模)，，则（ ）
A． B． C． D．
4．(22-23高三·广西柳州高级中学、南宁第二中学·)的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则 ．
6．已知，分别为两个实根，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
7．(24-25·河北唐山·一模)已知，则 ．
8．(22-23高三上·安徽皖南八校·)已知，则 .
9．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知单位圆上一点，现将点绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则 ．
3．已知角，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则的值为（ ）
A．－2 B．2 C．－3 D．3
6．(24-25高三下·江苏南京、盐城·一模)（多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．(24-25高三下·湖北宜昌第一中学·) （多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的值为 ．
9．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
10．单位圆上位于第一象限的点按逆时针方向旋转后到点，若点横坐标为，则点横坐标为 ．
经典例题：
1．(22-23高三·西藏日喀则·模拟)已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．(22-23·江苏徐州·模拟)已知，则（ ）
A．－3 B． C．3 D．
3．(24-25高三·山西晋城·二模)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25高三下·甘肃白银实验中学·一模)已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则 ．
6．(24-25高三下·河北邯郸·)（多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．(23-24高三下·新疆·)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．(23-24高三·江苏·三模)若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．(23-24高三·江苏南通、扬州、泰州七·调研)已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．(23-24高三·陕西宝鸡实验高级中学·一模)已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
4．(22-23高三上·山东临沂郯城县郯城第二中学·期末)已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．(24-25高三·四川泸州合江县天立学校·)已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．(24-25高三·四川泸州合江县天立学校·)已知角的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知为锐角，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．(23-24高三·江苏·三模)设，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．(23-24高三·内蒙古呼和浩特·)已知，则（ ）
A． B．0 C． D．
10．(23-24高三·云南昆明第一中学·)已知，则 .
经典例题：
1．化简的值为 ．
2．化简：（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．若，则m的值为 ．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则 .
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．设，，且，则 .
变式训练：
1．的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．6
3．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A．5 B． C．2 D．4
6．已知，则 .
7．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．设，是方程的两根，且，则（ ）．
A． B． C．或 D．
11．若，，且，，则的值是 ．
12．已知，写出符合条件的一个角的值为 .
三、达标检测：
《三角恒等变换》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．若，则＝（ ）
A．－ B． C．－ D．
2．已知角顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，已知是单位圆上不同的两点，其中在第一象限，在第二象限，直线的倾斜角分别为，若点的横坐标分别为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知都是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
10．计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ，则以下等式可能成立的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．求值： .
13．若钝角满足，则 .
14．设，，则 ．
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案: C C D C D C C A
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
案: BC ABC AC 答案: -3 1专题4.2 三角恒等变换
一、核心知识：
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
2．二倍角公式
S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α tan 2α＝
3．辅助角公式
一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)
或f(α)＝cos(α－φ) .
二、考点聚焦：
经典例题：
1．(23-24·安徽黄山·)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】安徽省黄山市2023-2024学年高中毕业班第一次质量检测数学试题
【详解】因为，,
解得，因此，.
故选：B.
2．(24-25高三上·中学生标准学术能力诊断性测试·)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期10月测试数学试卷
【详解】，即，，即，
，，解得，
，.故选：D.
3．(23-24高三·河南新乡·一模)，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【来源】河南省新乡市2023-2024学年高三一模数学试题
【详解】由，得，即，而，
所以.故选：A
4．(22-23高三·广西柳州高级中学、南宁第二中学·)的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【来源】广西柳州高级中学、南宁市第二中学2022-2023学年高三联考数学（文）试题
【详解】，而，则，即有，
所以的值所在的范围是.故选：A
5．已知，则 ．
【答案】/
【详解】由，得，解得，所以．故答案为：
6．已知，分别为两个实根，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【详解】因为，分别为两个实根，则，
则.故选：C.
7．(24-25·河北唐山·一模)已知，则 ．
【答案】1
【来源】河北省唐山市2024-2025学年高考一模数学试题
【详解】由可得，所以，
所以.故答案为：.
8．(22-23高三上·安徽皖南八校·)已知，则 .
【答案】/
【来源】安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期第二次大联考数学试题
【详解】因为
，，，
因为，所以，所以，
故.故答案为：.
9．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由三角函数定义得，，
所以.故选：C
10．已知单位圆上一点，现将点绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令坐标原点为，以射线为终边的角为，则以射线为终边的角为，
则，，所以点的横坐标为.故选：C
变式训练：
1．(24-25高三下·浙江强基联盟·)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【来源】浙江省强基联盟2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题
【详解】由
，即，解得.故选：.
2．已知，则 ．
【答案】-1
【详解】将平方可得①，
将平方可得②，
将①②两式相加可得，所以.故答案为：-1
3．已知角，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，
，，
，故选：A.
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以.故选：B
5．已知，，则的值为（ ）
A．－2 B．2 C．－3 D．3
【答案】A
【详解】①，②，
由①②得，两式相除得.故选：A
6．(24-25高三下·江苏南京、盐城·一模)（多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【来源】江苏省南京市、盐城市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题
【详解】由，且，则，故A错误；
由，故B正确；由，故C正确；由，故D错误.
故选：BC.
7．(24-25高三下·湖北宜昌第一中学·) （多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【来源】湖北省宜昌市第一中学2024-2025学年高三下学期4月宜荆荆恩四校联考数学试卷
【详解】由，且，则，故A正确；由，故B错误；由，故C正确；由，故D正确.故选：ACD.
8．已知，则的值为 ．
【答案】
【详解】.故答案为：.
9．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，又因为，所以，
所以，所以由两角差的正弦公式得，
所以.故选：C.
10．单位圆上位于第一象限的点按逆时针方向旋转后到点，若点横坐标为，则点横坐标为 ．
【答案】
【详解】由题可设，则，
则由题，
所以，即，
解得，
又，所以.故答案为：
经典例题：
1．(22-23高三·西藏日喀则·模拟)已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【来源】西藏日喀则市2022-2023学年高三第一次联考模拟数学（文）试题
【详解】因为角的终边过点，又，所以、，
所以.故选：C
2．(22-23·江苏徐州·模拟)已知，则（ ）
A．－3 B． C．3 D．
【答案】B
【来源】江苏省徐州市2022-2023学年高考模拟数学试题
【详解】因为，所以.故选：B.
3．(24-25高三·山西晋城·二模)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【来源】山西省晋城市2024-2025学年高三第二次模拟考试数学试题
【详解】由，得．又，则，所以，所以．故选：C．
4．(24-25高三下·甘肃白银实验中学·一模)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【来源】甘肃省白银市实验中学2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题
【详解】..故选：D.
5．已知，则 ．
【答案】
【详解】由题意.
故答案为：
6．(24-25高三下·河北邯郸·)（多选）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【来源】河北省邯郸市2024-2025学年高三下学期省级联测考试数学试题
【详解】∵，选项A正确；∵，选项B不正确；
∵，选项C正确；，选项D正确.故选：ACD.
7．(23-24高三下·新疆·)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【来源】新疆维吾尔自治区2023-2024学年高三下学期第三次适应性检测数学试题
【详解】，因为，所以，，，所以，又，解方程组得.故选：D
8．(23-24高三·江苏·三模)若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，，又，则，解得.故选：D.
9．(23-24高三·江苏南通、扬州、泰州七·调研)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【来源】江苏省南通、扬州、泰州七市2023-2024学年高三第三次调研测试数学试题
【详解】展开得，两边同时平方有，
即，解得，故选：B.
10．(23-24高三·陕西宝鸡实验高级中学·一模)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【来源】陕西省宝鸡实验高级中学2023-2024学年高三一模理科数学试题
【详解】，所以，所以，.
故选：D
11．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得，即，
由题意可得，解得，
所以.
因此.故选：D.
变式训练：
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得，则．
故选：A.
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】．故选：A
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，平方可得，解得.故选：A.
4．(22-23高三上·山东临沂郯城县郯城第二中学·期末)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【来源】山东省临沂市郯城县郯城第二中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题
【详解】由题可知，将代入上式计算可得.故选：C
5．(24-25高三·四川泸州合江县天立学校·)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，解得，所以.
故选：B．
6．(24-25高三·四川泸州合江县天立学校·)已知角的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【来源】四川省泸州市合江县天立学校2024-2025学年高三考前押题卷数学试题
【详解】因为到原点的距离，根据三角函数定义可得，，
所以，，故选：D.
7．已知为锐角，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由诱导公式可得，由倍角公式有，所以，由为锐角，则.故选：D
8．(23-24高三·江苏·三模)设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【来源】江苏省2023-2024学年高三模拟测试
【详解】由，，
化简得，即，而，故，，
故选：A
9．(23-24高三·内蒙古呼和浩特·)已知，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【来源】内蒙古呼和浩特市2023-2024学年高三第二次质量数据监测理数试卷
【详解】由，得，解得，
所以.故选：C
10．(23-24高三·云南昆明第一中学·)已知，则 .
【答案】
【来源】云南省昆明市第一中学2023-2024学年高三第八次考前适应性训练数学试卷
【详解】由题意，，得，令，则，得，所以.故答案为：
经典例题：
1．化简的值为 ．
【答案】
【详解】
.
故答案为：
2．化简：（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】.故选：A．
3．若，则m的值为 ．
【答案】4
【详解】由，得，而，所以.
故答案为：4
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】．故选：A．
5．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，，因为，所以，所以，解得或舍，则故选：C
6．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
因为，则，所以，，故，所以，，则，故.故选：C.
7．已知，则 .
【答案】
【详解】由，即，整理得，解得或，又因为，，可得，所以
.故答案为：.
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，，
，，.，
，，，故选：D.
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，，，
，
，
，
.故选：A.
10．设，，且，则 .
【答案】
【详解】因为，
所以，即，又，，所以，
则可得，则故.故答案为：.
变式训练：
1．的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】.故选：D.
2．（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【详解】
.故选：A
3．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可得：，得或，又因为，所以，所以.故选：C.
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以
.故选：D
5．若，则（ ）
A．5 B． C．2 D．4
【答案】A
【详解】，所以，则，
所以.故选：A
6．已知，则 .
【答案】/
【详解】因为
，，，
因为，所以，所以，
故.故答案为：.
7．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，则，且，则，可得，，又因为，则，且，可得，，所以.故选：D.
8．设，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，因为，，且，
又，得.因为，则，又，所以，，.故选：A.
9．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，因为，所以，所以.故选：C.
10．设，是方程的两根，且，则（ ）．
A． B． C．或 D．
【答案】B
【详解】因为，是方程的两根，所以
所以，因为所以且，所以，所以，所以，故选:B.
11．若，，且，，则的值是 ．
【答案】
【详解】因为，所以，且，所以，则，且，由，所以，又，所以，则，所以
，又，所以.故答案为:.
12．已知，写出符合条件的一个角的值为 .
【答案】（答案不唯一）
【详解】，
故，，即，
故，故，即，
则，
则，可取.
故答案为：
三、达标检测：
《三角恒等变换》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．若，则＝（ ）
A．－ B． C．－ D．
【答案】C
【详解】依题意，，所以.故选：C
2．已知角顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为角的终边与单位圆相交于点，所以，，所以.故选：C
3．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】原式．故选：D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】故选：C
5．在平面直角坐标系中，已知是单位圆上不同的两点，其中在第一象限，在第二象限，直线的倾斜角分别为，若点的横坐标分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】单位圆方程为，将点的横坐标分别代入单位圆的方程，得，根据三角函数定义知，， 因此．
故选:D．
6．已知都是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为都是锐角，所以，又，所以，所以.故选：C.
7．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，所以，
所以，所以，所以
.故选：C
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知得，即，即，即.故选：A.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】A选项，已知，，则，A错误；B选项，，B正确；C选项，，所以，C正确；D选项，
，D错误；故选：BC.
10．计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】对于选项A，，故A项正确；
对于选项B，，故B项正确；对于选项C，，故C项正确；
对于选项D，
，故D项错误．故选：ABC．
11．已知 ，则以下等式可能成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】当时，满足，此时，故A正确；若，则，故B错误；因为，所以，所以，故C正确，D错误.故选：AC
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．求值： .
【答案】
【详解】.故答案为：.
13．若钝角满足，则 .
【答案】-3
【详解】，∵，∴.∵，∴.∴.
故答案为：-3
14．设，，则 ．
【答案】1
【详解】由，，，得，
所以，故．故答案为：1
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案: C C D C D C C A
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: BC ABC AC 答案: -3 1

展开更多......

收起↑