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专题1.1 集合
一、核心知识
1.集合与元素
（1）集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
（2）元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法
（4）常见数集的记法与关系图
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系
表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言
基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或
相等 集合A，B的元素完全相同
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
3.集合的基本运算
（1）集合交并补运算的表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言
（2）集合运算中的常用二级结论
并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
补集的性质：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ． U( UA)＝A；
U(A∪B)＝( UA)∩( UB)； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)．
二、考点聚焦
考点一：集合的基本运算
经典例题：
1．（2021·全国II卷）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国II卷）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国Ⅰ卷）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国Ⅰ卷 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·广东·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．R
8．（2025·湖北·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·贵州黔东南·三模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
强化训练：
1．（2020·全国卷Ⅱ）设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=（ ）
A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}
2．（2021·全国I卷）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国I卷）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A．{x|24．（2022·全国I卷）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山西晋城·一模）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖南长沙·一模）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·吉林延边·一模）若集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．32 D．31
9．（2024·广东深圳·一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·河北石家庄·一模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
考点二：由集合基本关系求参
经典例题：
1．（2022秋·陕西商洛·联考期中）设集合，若，则实数 ．
2．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2018·山西·一模）已知单元素集合，则（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2023·吉林延边·二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C．或0 D．无解
5．（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（ ）
A．0 B．或 C． D．
6．（2023·全国Ⅱ卷）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
7．（2021·河北石家庄·二模）已知集合，若，则（ ）
A． B．2 C． D．1
8．（2024·广东深圳·一模）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 .
9．（24-25·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
强化训练：
1．（2022秋·广东广州·联考）已知集合，且，则a等于（ ）
A．或 B． C．3 D．
2．（2023·河南·模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·上海虹口·模拟预测）已知集合，若，则实数 .
4．（2023·上海闵行·三模）已知，则 .
5．（2021·江西·模拟预测）已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
7．（2024·湖南株洲·一模）已知集合，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·青海西宁·二模）设集合,若,则（ ）
A． B． C．1 D．3
9．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1或2 B．或0 C．1 D．
10．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则（ ）
A．或2 B．或1 C． D．1
11．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 .
12．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，，且，则实数k的取值范围是 .
14．（2023·海南海口·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
三、达标检测
《集合》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知全集，，，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．下列各组集合不表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．若，则的取值范围是
B．若，则的取值范围是
C．若，则的取值范围是
D．若，则的取值范围是
11．已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知集合，集合，则 ．
13．已知集合，，若，则实数 ．
14．设集合.若且，则 .
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:专题1.1 集合
一、核心知识
1.集合与元素
（1）集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
（2）元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法
（4）常见数集的记法与关系图
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系
表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言
基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或
相等 集合A，B的元素完全相同
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
3.集合的基本运算
（1）集合交并补运算的表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言
（2）集合运算中的常用二级结论
并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
补集的性质：A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ ． U( UA)＝A；
U(A∪B)＝( UA)∩( UB)； U(A∩B)＝( UA)∪( UB)．
二、考点聚焦
考点一：集合的基本运算
经典例题：
1．（2021·全国II卷）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设可得，故，故选：B.
2．（2024·山西太原·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】阴影部分对应的集合为，∵全集，集合，
∴.故选：D.
3．（2022·全国II卷）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，故，故选：B.
4．（2024·全国Ⅰ卷）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，且注意到，从而.故选：A.
5．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为或，又，所以.
故选：A.
6．（2023·全国Ⅰ卷 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，而，所以．故选：C．
7．（2025·广东·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．R
【答案】C
【详解】由，或，所以.故选：C.
8．（2025·湖北·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，∴，，，故选：D.
9．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以.故选：C
10．（2025·贵州黔东南·三模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由可得，所以，则.
故选：C.
强化训练：
1．（2020·全国卷Ⅱ）设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=（ ）
A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}
【答案】C
【详解】因为A {2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，所以.故选：C
2．（2021·全国I卷）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设有，故选：B .
3．（2020·全国I卷）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A．{x|2【答案】C
【详解】.故选：C
4．（2022·全国I卷）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，故.故选：D
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，解得，所以，所以.故选：B
6．（2024·山西晋城·一模）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，所以．故选：A
7．（2024·湖南长沙·一模）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知，故选：A.
8．（2024·吉林延边·一模）若集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．32 D．31
【答案】A
【详解】对于集合可得，解得，所以，对于集合可得，解得，所以，所以，故的子集个数为.故选: A.
9．（2024·广东深圳·一模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，可得或，即，由，可得或，即，所以.故选：B．
10．（2024·河北石家庄·一模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解不等式，得，即，函数有意义，得，解得，则，所以.故选：C
考点二：由集合基本关系求参
经典例题：
1．（2022秋·陕西商洛·联考期中）设集合，若，则实数 ．
【答案】2
【详解】当时，，此时，不符合条件；当时，，此时，符合条件；若，即，无实根，不符合条件．所以．故答案为：2.
2．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可知且解得.故选：C.
3．（2018·山西·一模）已知单元素集合，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】由于只有一个元素,故判别式为零,即,故选D.
4．（2023·吉林延边·二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C．或0 D．无解
【答案】C
【解析】集合有一个元素，即方程有一解，当时，，符合题意，当时，有一解，则，解得：，综上可得：或，故选：C.
5．（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（ ）
A．0 B．或 C． D．
【答案】B
【详解】由题意知：为方程的根，当时，；当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时.故选:B.
6．（2023·全国Ⅱ卷）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.
7．（2021·河北石家庄·二模）已知集合，若，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【详解】集合，由，得，解得，此时集合中与矛盾；或，解得，此时，符合题意，所以.故选：D
8．（2024·广东深圳·一模）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意，集合，集合，若，则，解得，故实数的取值范围为，故答案为：
9．（24-25·天津滨海新·期中）已知集合，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当为空集时，时.解不等式，可得.因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得.
此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.
已知，，所以需满足，解得，又因为，所以.综上可得.故选： C.
10．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题得，因为，所以.
当时，，满足；
当时，，因为，所以或，解得1或，
综上的取值构成的集合为.故选：D.
强化训练：
1．（2022秋·广东广州·联考）已知集合，且，则a等于（ ）
A．或 B． C．3 D．
【答案】D
【详解】因为，当，得，则，不合题意，故舍去.当，故(舍去)或，此时，满足.故选：D
2．（2023·河南·模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，且，解得，故选：B
3．（2023·上海虹口·模拟预测）已知集合，若，则实数 .
【答案】1
【详解】由，可得，故答案为：1
4．（2023·上海闵行·三模）已知，则 .
【答案】3
【详解】因为，所以二次方程有两个相等的实数根，则①，且方程的根为1，所以②，联立①②解得：所以故答案为：.
5．（2021·江西·模拟预测）已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】①当时，，此时满足条件；②当时，中只有一个元素的话，，解得，综上，的取值集合为，．故选：D．
6．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
【答案】D
【详解】因为集合的元素之和为1，所以一元二次方程有等根时，可得，即，当方程有两不相等实根时，，即，综上，实数a 所有取值的集合为.故选：D
7．（2024·湖南株洲·一模）已知集合，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，解得．
8．（2024·青海西宁·二模）设集合,若,则（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【解析】由题意，,解得，此时，符合题意;若,解得,此时,不符合题意;若,解得,此时,不符合题意,综上所述,.故选:C.
9．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知集合，，若，则a的值是（ ）
A．1或2 B．或0 C．1 D．
【答案】C
【详解】由题设，可得或，当时，，满足题设；
当时，，不符合集合元素的互异性；所以.故选：C
10．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则（ ）
A．或2 B．或1 C． D．1
【答案】D
【详解】集合，，因为，所以，解得，故选：D.
11．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 .
【答案】/0.5
【详解】在中，，则且，而，，显然，因此，解得，所以.故答案为：
12．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】集合，，又，则，所以a的取值范围是.故选：B
13．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，，且，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为，所以，又，，所以.故答案为.
14．（2023·海南海口·一模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解不等式，得，于是，而，因为，则，因此，解得，所以实数的取值范围为.故选：B
三、达标检测
《集合》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以.故选：B.
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得：，所以，，，，故A、C、D错误，B正确.故选：B.
3．已知全集，，，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为全集，，，
则、，且，，且.故选：B.
4．已知集合，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以或，
若，则，此时，不满足集合的互异性；
若，则，此时，符合题意；
若，则，此时，不满足集合的互异性.
综上，.故选：C.
5．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】全集，集合，所以.故选：C
6．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，．
又，．故选：C
7．已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为或，解得或，即，
因为，所以.当时，，满足要求.当时，则，由，可得，即，当时，则，由，可得，即.综上所述，.故选:B.
8．已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题得，因为，所以.当时，，满足；当时，，因为，所以或，解得1或，综上的取值构成的集合为.故选：D.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．下列各组集合不表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，集合都是单元素集，而元素与不同，A不是；
对于B，集合的元素为有序实数对，而集合的元素为实数，B不是；
对于C，集合都含有两个元素4，5，只是排列顺序不同，而集合的元素具有无序性，C是；
对于D，集合有两个元素1，2，而集合只有一个元素，D不是.
故选：ABD
10．下列结论正确的是（ ）
A．若，则的取值范围是
B．若，则的取值范围是
C．若，则的取值范围是
D．若，则的取值范围是
【答案】BD
【详解】对于选项A和B，，，
若，则的取值范围是，所以A错误，B正确；
对于选项C和D，若，则的取值范围是，所以D正确，C错误.
故选：BD.
11．已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】因为集合，
可得，，且，
对于A中，由，，可得，所以A正确；
对于B中，由，可得，所以B不正确；
对于C中，由，可得，所以C正确；
对于D中， 由，，所以，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知集合，集合，则 ．
【答案】
【详解】因为，，所以，故答案为：
13．已知集合，，若，则实数 ．
【答案】
【详解】因为，所以或，或，又由集合中元素的互异性可知且且，且，综上.故答案为：.
14．设集合.若且，则 .
【答案】6
【详解】因为集合，若，则且，可得，解得，即有，又，所以，所以.故答案为：6
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案: B B B C C C B D
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: ABD BD ACD 答案: —2 6

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