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专题4.3 三角函数的图象与性质
一、核心知识：
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
二、考点聚焦：
经典例题：
1．的一个充分不必要条件是 .
【答案】（答案不唯一）
【详解】因为时，由可得,故的一个充分不必要条件是，故答案为：（答案不唯一）
2．，的图象与直线的交点的个数为（　　）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】函数在上单调递减，函数值从1递减到，在上单调递增，函数值从递增到1，函数在上的图象，如图， 观察图象知，，的图象与直线的交点的个数为2.故选：C
3．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】曲线与的图像如下，所以交点个数为3，故选B.
4．函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【详解】函数与都是偶函数，其中，，在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图，由图可知，两函数的交点个数为6.故选：D
5．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，
在坐标系中，由五点法作图画出两函数在上的图象，如图：
观测图象知，函数与在上的图象有8个交点.故选：D
6．函数在区间内的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】令，得，则；故，，所以在共有4个零点，故选： C.
7．若函数在上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，画出函数在区间上的图象如下图所示，要使函数在上有两个不同的零点，由图可知，的取值范围是.故选：C
8．已知函数的图象与直线在轴右侧交点的横坐标从小到大依次为，且满足，则的值为 .
【答案】或
【详解】由题设，易知.
当时，由题意，得，解得，所以，
当时，由题意，得，解得，所以，
的值为或.故答案为：或
9．若函数在区间上至少有2024个极值点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，即，．所以第2024个极值点为，令，得．故选：C．
变式训练：
1．已知余弦函数过点，则m的值为（ ）
A．0 B．－1 C． D．
【答案】C
【详解】.故选：C.
2．函数，的零点是 ．
【答案】，
【详解】令，则，，当时，；当时，.
函数，的零点是，.故答案为：
3．（多选）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象（ ）
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．两个正弦曲线关于点成中心对称 D．形状不同，位置不同
【答案】BC
【详解】因为是最小正周期为的函数，所以与的图象形状相同、位置不同，且两个正弦曲线关于点成中心对称．所以BC选项正确，AD选项错误.故选BC
4．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】当时，曲线与的图象如图所示，
由图可知，当时，曲线与的交点个数为4.故选：B.
5．函数在上的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】令函数，根据“勾函数”的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，且，.所以当时，，由，.
只有当时，的值分别对应.又因为在上各有2个解，
所以在上有6个零点.故选：C
6．已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，所以．又函数在上有且仅有2个零点，所以，解得，即的取值范围是．
故答案为：.
7．设，已知函数在区间内恰有2025个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，得，，所以，，又，所以，所以，，所以，，由题可得方程有2025个根，即曲线与直线，在区间内共有2025个交点.当时，，当时，，当时，，…，由题意及曲线在区间内的图象可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同，所以需，所以.
故选：D.
8．已知函数在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】由二倍角的余弦公式可得，因为，所以，又函数在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，即区间内恰好取得2次最大值和1次最小值，由余弦函数的图象可知，
解得，即的取值范围为.故答案为：.
经典例题：
1．函数的定义域为 .
【答案】
【详解】因为的定义域为 .故答案为：
2．函数的定义域为 .
【答案】
【详解】，则，解得，所以，即函数的定义域为.
故答案为：
3．函数在上的最大值是 .
【答案】1
【详解】，当时，，
所以由余弦函数的性质可知，当时，即时，有.故答案为：
4．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，令，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，当时，，所以，即的值域为.
故选：D.
5．已知函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】,,对称轴为,应用二次函数的对称性可知，当时,则的最大值为.故选：C.
6．函数的值域为 .
【答案】
【详解】由题可得：
，令，则，令，所以函数的值域等价于在区间上的值域，由于，所以当时，，，则函数的值域为，故答案为：
7．已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】由，可得：，令，由题意可知：在可取到，结合余弦函数的性质可知需满足：，解得，
所以的最小值为，故答案为：
8．已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，函数，既有最小值也有最大值，
①当函数最值取得1，最小值为时，结合函数图象可得，即；
②当取得最大值为，最小值为－1时，结合函数图象可得，解得，
综上所述，实数的取值范围为或．故选：D.
9．若函数在区间内没有最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，则且，所以在上没有最小值，若，可得，若且，可得，，所以，综上，.故选：D
10．已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】由，，则，因为在区间上没有最值，所以，则，解得，所以的最大值为.
故选：A.
变式训练：
1．函数的定义域为 .
【答案】
【详解】对于函数，令，即，所以，
所以函数的定义域为.故答案为：
2．在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为
【答案】
【详解】，由，得，∴当，即时，有，∴在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为.故答案为：.
3．函数的最小值为 ．
【答案】
【详解】，令，，且该二次函数的对称轴为直线，故函数在上单调递增，故，即函数的最小值为.故答案为：.
4．函数的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】，
当时，有最小值.故选：B
5．函数的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】当即时，，
因为，所以，所以，；当即时，，因为，所以，所以，；综上所述，.故选：B.
6．若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为“”是假命题，所以“”是真命题；即a要小于等于的最小值，又当时，，故.故选：C
7．已知函数，的最小值是，则实数 .
【答案】
【详解】由题意当时，，故在的值域为,
又因为最小值是-1，所以，故答案为.
8．已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意，在区间上的最小值为，
当时，；
当时，.
则的取值范围为或.故答案为：.
9．已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】D
【详解】由题意函数的周期为，最大值点满足，解得，
最小值点满足，解得，因为函数在区间上既有最大值又有最小值，区间的长度为9，对于A，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故A正确；对于B，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故B正确；对于C，若，当时，最大值点为，最小值点为2032，此时位于区间内，故C正确；对于D，若，当时，最大值点为，当时，最大值点为2038，此时不位于区间内，故D错误.故选：D
10．若函数在上的值域是，则α的取值范围为 ；的取值范围为 .
【答案】
【详解】当时，可得，所以，此时值域为，当时，可得，所以，此时值域为，因为函数在上为单调递减函数，且，要使得在上的值域为，则，所以的取值范围为；令，可得，则，令，则，其中，所以，当时，；当，，所以的取值范围为.
故答案为：；.
经典例题：
1．函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得，故的单调减区间为，对比各选项，只有C符合.故选：C.
2．函数单调递增的区间是 .
【答案】
【详解】函数，则函数在上的单增区间满足：，，解得，．函数单调递增的区间是．故答案为：．
3．下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，解得，令，可得.故选：A.
4．函数的一个单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】画出的图象，如下， 可以看出的一个单调减区间为，其他选项不合要求.故选：C
5．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令，可得．当时，函数单调递增．所以当时，单调递增．故在上单调递增．故选：A.
6．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题，，令，，则，，当时，，当时，，因为，所以是一个单调递增的区间，故选：A
7．下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
对于A，当时，，单调递增，A错误；
对于B，当时，，没有单调性，B错误；
对于C，当时，，单调递减，C正确；
对于D，当时，，没有单调性，D错误.
故选：C
8．令，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
【答案】C
【详解】根据辅助角公式，，于是．所以，
由均值不等式得，综上，．故选：C
9．已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为 ．
【答案】（不唯一）
【详解】由，因为在区间上单调递减，且，
所以有，因此的一个取值可以为，故答案为：
10．已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 .
【答案】1
【详解】由函数在区间内单调递增，可得，且，解得，所以的最大值为1.故答案为：1.
11．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，当时，，故，解得，时，，故，解得，
综上，的取值范围为.故选：C
12．已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则m的最大值为 .
【答案】
【详解】因为，所以，因为的零点是以为公差的等差数列，所以周期为，即，解得；当时，，因为在区间上单调递增，所以，解得.所以m的最大值为.故答案为：.
变式训练：
1．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，令，,故函数的单调递增区间为.故选：D．
2．已知，设函数，则的单调递减区间是 ．
【答案】（开区间，半开半闭区间也正确）
【详解】依题意，因为函数在上单调递减，令，解得，所以的单调递减区间是．故答案为：．
3．已知函数，，则函数的单调递减区间为 .
【答案】
【详解】由题意知，，由，得，令，得，令，则，即函数的单调递减区间为.故答案为：
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由三角函数的诱导公式，可得，因为，且在上是增函数,所以，即.故选：D.
5．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】由解得，，令，得，依题意，在区间上单调递增，则实数的取值范围为.故答案为：
6．已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，所以，又因为函数在区间上是单调的，所以，所以，解得，由函数在区间上是单调的，可知，即，又，所以或．所以的取值范围是．故答案为：.
7．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】令，，解得，，令，则其一个单调增区间为，则实数的取值范围为，故答案为：.
8．已知函数在上单调递增，且在上有最大值．则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由，可得，又函数在上单调递增，所以，所以，又函数在上有最大值，所以，即，综上，.故答案为：.
9．已知函数，，若当时，总有，则正实数的最大值为 .
【答案】
【详解】∵，∴令，由题意，在区间上单调递增，
由，，得，，∴的单调递增区间为，，当时，在单调递增，（在区间上单调递减）
∴若在区间上单调递增，的最大值为，∴若当时，总有，则正实数的最大值为.故答案为：.
10．已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ).
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，，则，因为，所以，又因为在区间上单调，所以，解得，则的最大值为.故选：B.
11．已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为相邻两个对称轴之间的距离为，则，即，则，则，由，得，
所以在上是增函数，由，得.故选：B
经典例题：
1．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，故选：B
2．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为的图象是由的图象将轴下方的图象翻折到轴上方和轴上方的图象组成的，所以的最小正周期是的最小正周期的一半，因为的最小正周期为，所以的最小正周期为．故选：C
3．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由
，
所以的最小正周期为．故选：C
4．函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以当时，函数取最小值，函数的最小正周期为．故选：C
5．函数的最小正周期为 ．
【答案】
【详解】因为，即，所以，所以，于是，易知，所求函数的最小值周期.故答案为：
6．现给出四个函数①，②，③，④，其中所有周期函数的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【详解】对于③，因为偶函数，其图象关于轴对称，又是周期为的奇函数，故不是周期函数；对于④，是周期为的函数；对于①，易知是周期为的函数；对于②，由可知是周期为的函数.故所有周期函数的序号是①②④.故选：C.
7．设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意得，，则，又，则，，
对于A，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故A错误；对于B，由得，满足条件，故B正确；对于C，由得，与矛盾，故C错误；
对于D，由得，与矛盾，故D错误.故选：B.
8．设函数，已知，，且的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设函数的最小正周期为，因为函数，已知，，且的最小值为，则，可得，故.故选：D.
9．记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】由题意得，所以.因为的图象关于点中心对称，所以，所以，由，得，所以，
所以.故选：C.
10．已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数的图象关于直线对称，得，所以，解得，所以，又由，，所以，所以的最小值为函数的最小正周期．故选：B.
变式训练：
1．函数的周期为 ．
【答案】/
【详解】由题意得的周期为，所以的周期为.故答案为：.
2．函数的最小正周期为 .
【答案】
【详解】因为，所以的最小正周期.故答案为：
3．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】易知，其中，由周期公式可得其最小正周期为.故选：A
4．函数的最小正周期为 ．
【答案】
【详解】，
故所求函数的最小正周期．故答案为：
5．函数的最小正周期为 ．
【答案】
【详解】的定义域为，，所以的最小正周期．故答案为：.
6．函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以当时，函数取最小值，函数的最小正周期为．故选：C
7．已知函数的最小正周期是，则 .
【答案】4
【详解】，所以最小正周期是，所以.故答案为：4
8．若函数的最小正周期为T，且的图象关于点对称，则 ．
【答案】/
【详解】，由，得，则，即.故答案为：.
9．已知函数（其中，）的最小正周期为，若，且图象上有一个最低点，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】因为，所以，解得：，图象上有一个最低点，且，故，且，则，，解得：，，
由可得：，解得：，因为，故，所以，故，所以.故选：C
10．函数恒有，且在上单调递增，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【详解】因为函数恒有,所以,解得，
又因为在，上单调递增，所以，且，所以，结合可得的值为或，经检验，当的值为时，由,
解得，所以在上单调递增，满足题意，当的值为时，
由,解得，所以在上单调递增，不满足题意，故选:A.
经典例题：
1．下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，，，则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，且不恒为0，则不是偶函数，故D错误.故选：B.
2．下列函数中，图象关于原点对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A，记，定义域为，关于原点对称，而，故其图象关于原点对称，A正确；对于B，记，定义域为，关于原点对称，而，故其图象关于轴对称，不关于原点对称，B错误；对于C，记，定义域为，关于原点对称，而，故其图象不关于原点对称，C错误；对于D，记，定义域为，关于原点对称，而，故其图象关于轴对称，不关于原点对称，B错误；故选：A
3．已知为偶函数，则实数（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】的定义域为，由是偶函数，得恒成立，可得，故.故选：C
4．已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ．
【答案】/
【详解】因为函数是偶函数，所以，解得，又，
所以当时，的最小值是.故答案为：.
5．已知函数为奇函数且，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【详解】函数为奇函数且，则，解得，于是，所以.故选：A
6．使函数为偶函数，则的一个值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，因为为偶函数，可得，所以，令，可得.故选：A.
7．若函数为奇函数，则 ．
【答案】
【详解】依题意，，其中锐角由确定，由为奇函数，得，即，所以.故答案为：
8．（多选）已知函数为奇函数，则参数的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】 是奇函数，并在 时有意义， ，
对于A， ，
又
； ，是奇函数，A正确；
对于B， ，B错误；
对于C， ，又 ； ，是奇函数，C正确；
对于D， ，D错误；
故选：AC.
9．已知函数同时满足性质：①；②当时，，则函数可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，知函数是偶函数，由当时，，知在上单调递减，对于A，函数在上单调递增，A不是；对于B，指数函数不具奇偶性，B不是；对于D，当时，在上单调递增，D不是；对于C，函数是偶函数，当时，，而余弦函数在上单调递减，即在上单调递减，C是.故选：C
10．已知定义在上的偶函数，对任意都有，当取最小值时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】，因为该函数为偶函数，所以有，因为，所以令，得，即，由
，，当时，，显然不符合这一条件；当时，，当时，取最小值，即
因此，故选：A
变式训练：
1．下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A：由函数定义域为，不关于原点对称，不可能为偶函数；
B：由，故不为偶函数；
C：且定义域为R，故为偶函数；
D：且定义域为R，故为奇函数.
故选：C
2．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】A
【详解】因为，所以，所以，最小正周期为，，所以函数是最小正周期为的奇函数．故选：A
3．已知函数是定义在上的奇函数，则实数（ ）
A．－1 B．0 C． D．1
【答案】C
【详解】为奇函数，，∴，即
∴，即，解得，故选：C．
4．已知函数为奇函数，则m＝（ ）
A．5 B．4 C． D．1
【答案】C
【详解】函数的定义域为，且是奇函数，则，而不恒为0，因此，所以．故选：C
5．已知函数为偶函数，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】B
【详解】根据题意，函数为偶函数，所以，即，
也就是，因为不恒为0，所以恒成立，即恒成立，则.故选：B
6．已知函数是偶函数，则实数 .
【答案】
【详解】定义域为，，
所以，故，故答案为：
7．已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【详解】函数的定义域为R，依题意，，则，，即，整理得，而不恒为0，，因此，所以.故答案为：1
8．设函数，若是偶函数，则t的一个可能值是 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：函数，，若是偶函数，则，，则，，当时，.故答案为：（答案不唯一）．
9．写出一个同时满足下列三个性质的函数 ．
①的定义域为；②是奇函数；③是偶函数．
【答案】（答案不唯一）
【详解】由的定义域为及是奇函数，可设，故.因为是偶函数，所以.令，可得，此时.故答案为：（答案不唯一）.
10．设函数对任意的均满足，则
【答案】1
【详解】因为，又因为，所以函数为偶函数，
即，，，所以.故答案为：
11．已知函数（）在区间上单调递减，且为偶函数，则 ．
【答案】
【详解】当时，，由在区间上单调递减，得，解得,因为，所以．因为为偶函数，所以，，解得，，又，所以．故答案为：.
经典例题：
1．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，得.故选：A.
2．已知曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则下列曲线的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，曲线：，B正确；显然的周期是，则与是不同函数，A错误；选项CD对应函数的周期都是，它们与是不同函数，CD错误.故选：B
3．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D．所有点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】，故只需将函数的图象所有点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，或先向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，只有D满足题意.故选：D
4．已知奇函数图像的相邻两个对称中心间的距离为2π，将的图像向右平移个单位得函数的图像，则的图像（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】B
【详解】相邻两对称中心的距离为，则，．已知为奇函数，根据可知，则，．令，，故A错误，B正确；令，，故C、D错误．
故选：B．
5．定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小正值是 ．
【答案】/
【详解】，向左平移个单位后得到，因为此时函数是偶函数，所以，则，所以当时，取得最小正值，此时.故答案为：
6．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象在区间上单调递增，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为,,时,，由题意，，即，的最大值是3.故选：D．
7．函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数在上单调递减
D．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称
【答案】C
【详解】由得，，所以，又，所以，故A错误；时，，所以，，故B错误；，令，则，时，，此时单调递增，单调递减，
故在上单调递减，故C正确；的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到，图象关于原点对称，故D错误.故选：C.
8．函数（，，）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由图知：，则，，所以，则，即.因为，所以，，即，.因为，得，所以.所以.故选：C
9．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【详解】由图象可知，得，所以，所以，，又因为在函数的图象上，所以，所以，，即，，又，所以，即.又在函数的图象上，所以，即，即.所以，所以.故选：D.
10．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
①函数的图象关于点成中心对称；②函数在上有8个极值点；③函数在区间上的最大值为1，最小值为；④函数在区间上单调递增.
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【详解】，因为将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，所以.
①：因为，所以函数的图象关于直线对称，因此本说法不正确；②：，因为，所以令，因此函数在上有8个极值点，所以本说法正确；
③：因为，所以，，因此本说法正确；
④：因为，所以令，显然当时，函数单调递减，因此本说法不正确，
故选：B
11．已知函数，下列变换与“变换到”不相同的是（ ）
A．变换到 B．变换到C．变换到 D．变换到
【答案】D
【详解】由题意可知“变换到”是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，对于A，B，C选项从变换到都是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，即；，
对于D项，从变换到是先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右移动个单位，该变换与题干中的变换不一致，D错误.故选：D
变式训练：
1．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 .
【答案】
【详解】函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得，即.
故答案为：
2．若将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则 ．
【答案】/
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，所以．故答案为：
3．将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以.故选：A
4．先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，写出图象的一条对称轴的方程： .
【答案】（答案不唯一）
【详解】先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，
向左平移个单位长度得到 ，令，，解得，，
可取，则.故答案为：（答案不唯一）.
5．若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则 ．
【答案】
【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，要使该函数为奇函数，则，，即，，又，则．
故答案为：.
6．已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，故，由于的图象关于y轴对称，则为偶函数，故,即，故的最小值为，故选：B
7．将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，写出一个符合条件的的值 .
【答案】（答案不唯一）
【详解】将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象对应的解析式为，由题意的图象关于轴对称，所以，解得，，令，得.故答案为：（答案不唯一）.
8．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，所以，因为为偶函数，所以，即，
当时，可以推导出函数为偶函数，而函数为偶函数不能推导出，所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.故选：A
9．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）,得到，对于A，由，得，所以函数在上单调递增，故A不符合；对于B，由，得，所以函数在上不单调，故B不符合；对于C，由，得，所以函数在上单调递减，故C符合；对于D，由，得，所以函数在上不单调，故D不符合.故选：C.
10．已知函数（）的图象与的图象的两相邻公共点间的距离为，将的图象向左平移（）个单位长度得到的图象，则的最小值为 .
【答案】/
【详解】由函数的图象与的图象的两相邻公共点间的距离为，可得，所以，解得，所以，又由，其向左平移（）个单位长度得：，则，解得，当时，取最小值.故答案为：.
11．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象与的图象完全重合，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】由题知，是函数周期的整数倍，所以，所以，所以正数的最小值为4.故选：B.
12．设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将的图象向左平移个单位长度后的图象所对应的函数表达式为
，注意到，则当时，，由题意在上有且仅有两个零点，这意味着，且显然，也就是说，解得.故选：A.
13．已知函数（为常数，）的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，所以，故，因为，，所以，，即 .又因为，解得.即.将的图像向左平移个单位长度，得到函数.故选：A
14．将函数的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由图像可得，函数的最小正周期为，所以，将点的坐标代入函数的解析式，且函数在附近递增，所以.则，得.因为，所以当时，，因此.函数的图象向右平移个单位长度，然后横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式为.故选：B.
15．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为 .
【答案】
【详解】由图象可知的周期为，代入可得，又，故，左移个单位长度得，
故.故答案为：-1
经典例题：
1．已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值3；当时，取得最小值.(1)求函数的单调递减区间；(2)若，求的最值，并写出取得最值时的值.
【详解】（1）依题意，
所以，，，
，由于，
所以，所以.
由解得，
所以的单调递减区间为.
（2）由（1）得，，
所以当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为.
2．已知函数.(1)若，求函数在上的零点；(2)已知，函数，，求函数的值域.
【详解】（1），，时，，
所以或时，，此时或，所以零点为和；
（2），，，
，则，，所以的值域是．
3．已知函数.(1)完善下面的表格并作出函数在上的图象：
0
1
(2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，解不等式.
【详解】（1）表格如下：
0
0
0 1 0
函数在上的图象如下：
（2）将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，
则，所以，即，
则，得，
所以不等式的解集为.
4．已知的一段图象如下图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调增区间；（3），求函数的值域．
【详解】（1）由题意知：，
，
，由于，所以，
所以函数的解析式：；
（2）由，得，增区间为；
（3），.．
∴函数在区间上的值域为．
5．已知函数能同时满足下列四个条件中的三个：①的最大值为2；②的最小正周期为；③的图象可由的图象平移得到；④．(1)请判定所满足的三个条件，并求出函数的解析式；(2)若的图象只有一个对称中心落在区间内，求实数的取值范围．
【详解】（1）若选①，则可知；若选②，由，可得，；若选③，则，仅通过平移不能改变函数的最值以及周期，此时可得，，这与①②都矛盾.故③不满足题意，应选择①②④.
由①②可得，.又由④可得，，所以.
又，所以，.
（2）因为，所以.
根据正弦函数的对称性可知，要使的图象只有一个对称中心落在区间内，
则应满足，所以.所以，实数的取值范围为.
6．已知向量，，函数.
（1）求函数的最大值，并指出取最大值时的取值集合；
（2）若，为锐角，，，求的值.
【详解】（1），
令，得，，
所以最大值为2，此时的取值集合为
（2）由，为锐角，，得，由得
∵，∴，又，∴，∴，
∴，
∴.
变式训练：
1．已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．(1)求的解析式和周期．(2)当 时，求的值域．
【详解】（1）解：由函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，
可得最小正周期，所以.
又由图象上一个最低点为，可得，
且，即，可得，
即，因为，所以，
所以函数的解析式为，且由最小正周期，
可得的周期为.
（2）解：由（1）知，当时，可得，
所以，当时，即时，函数取得最小值为；
当时，即，函数取得最大值为，所以函数的值域为.
2．已知函数，，.
（1）将函数化简成，（，，），的形式；
（2）求函数的值域.
【详解】（1）当时，，
，
所以；
（2）当时，，，所以，
即函数的值域为.
3．设函数．(1)求的单调递增区间；(2)若函数在内只有一个零点，求实数a的取值范围．
【详解】（1），则，
令，则，
则的单调递增区间为；
（2），则，
画出的图象如图，其中，
因函数在内只有一个零点，
则与图象只有一个交点，则或，
则实数a的取值范围为
4．已知函数（，）的最小正周期是，且满足．(1)求函数的解析式；(2)设函数．求在区间上的最大值和最小值．
【详解】（1）的最小正周期是，，解得，
，，，，
或，，，时，或（舍去），
．
（2），，
，，则，
又在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，，取得最大值，最大值为2，
当时，即，，，
当时，即，，，
在上的最大值为2，最小值为．
5．已知平面向量，，，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）求函数在区间上的最值．
【详解】（Ⅰ）.
由于图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，即，
由于，所以.所以.
由，解得，
所以的单调递减区间为.
（Ⅱ）因为，所以，
所以，，.
所以在区间上的最小值为，最大值为.
三、达标检测：
《三角函数的图象与性质》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知函数在处取得最大值，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【详解】由题设，则，，又，则.故选：D
2．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【详解】由解得，所以；的定义域为；所以且故选：D
3．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题得，，令，解得，当时，对称轴为，故选：B．
4．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.命题是偶函数，命题，则（ ）
A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件
C．是的充要条件 D．是的既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】依题意，，当时，是偶函数，即，若是偶函数，则，解得，显然不能推出，
所以是的必要不充分条件.故选：B
5．下列关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为R B．函数为奇函数
C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为
【答案】D
【详解】对于选项A，函数的定义域为，故选项A错误;对于选项B，函数的定义域为关于原点对称，又，则函数为偶函数，故选项B错误;对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，根据图象变换作出函数草图如下：由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误;
对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确.故选：D.
6．已知函数在上恰有2个零点，则的最小正周期的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当，则，有两个零点，则，所以，由知，最小正周期的最小值为.故选：D.
7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【详解】根据题意得，又因为函数在区间上单调递增，此时，所以，解得，所以的最大值为.故选：B.
8．已知函数，，则（ ）
A． B．
C．在上有3个零点 D．有3个零点
【答案】BCD
【详解】依题意，，则，而，则，函数，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，于是或，而，解得，C正确；对于D，由，得，则函数的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图：观察图象得函数的图象与直线有3个交点，因此有3个零点，D正确.故选：BCD
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】ABC
【详解】画出在的图像如下：则可得当或时，与的交点个数为0；当或时，与的交点个数为1；当时，与的交点个数为2.故选：ABC.
10．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．函数的周期为 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上的最小值为
【答案】AD
【详解】，，故数的周期为，A正确，
对于B. 函数，故不关于直线对称，B错误，
对C. 当则，故函数在区间不是单调递减，C错误，
对于D. 则，故当时，取最小值故D正确，
故选：AD
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】BD
【详解】由图象得，，解得，所以的最小正周期为，故A错；，则，将代入中得，则，，解得，，因为，所以，，，
所以是的对称轴，故B正确；当时，，因为在上不单调，所以在上不单调，故C错；该图象向右平移个单位可得，故D正确.故选：BD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．函数的最小正周期是 ．
【答案】
【详解】，所以函数的最小正周期.故答案为：
13．设，，将函数的图象左移个单位得到的图象，为偶函数，则 ．
【答案】/
【详解】由题意，将函数的图象左移个单位得到的图象，即，因为为偶函数，所以，，则，，而，故．故答案为：.
14．已知函数（）在区间上单调递减，且为偶函数，则 ．
【答案】
【详解】当时，，由在区间上单调递减，得，解得,因为，所以．因为为偶函数，所以，，
解得，，又，所以．故答案为：.
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:专题4.3 三角函数的图象与性质
一、核心知识：
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
二、考点聚焦：
经典例题：
1．的一个充分不必要条件是 .
2．，的图象与直线的交点的个数为（　　）．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．函数与的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
6．函数在区间内的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．若函数在上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象与直线在轴右侧交点的横坐标从小到大依次为，且满足，则的值为 .
9．若函数在区间上至少有2024个极值点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．已知余弦函数过点，则m的值为（ ）
A．0 B．－1 C． D．
2．函数，的零点是 ．
3．（多选）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象（ ）
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．两个正弦曲线关于点成中心对称 D．形状不同，位置不同
4．当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．函数在上的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是 ．
7．设，已知函数在区间内恰有2025个零点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数在区间上恰有2个极大值点和1个极小值点，则的取值范围为 .
经典例题：
1．函数的定义域为 .
2．函数的定义域为 .
3．函数在上的最大值是 .
4．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的值域为 .
7．已知函数在上的最小值为，则的最小值为 ．
8．已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若函数在区间内没有最小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，若在区间上没有最值，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
变式训练：
1．函数的定义域为 .
2．在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为
3．函数的最小值为 ．
4．函数的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
5．函数的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
6．若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，的最小值是，则实数 .
8．已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为 .
9．已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（ ）．
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
10．若函数在上的值域是，则α的取值范围为 ；的取值范围为 .
经典例题：
1．函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．函数单调递增的区间是 .
3．下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的一个单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
7．下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．
8．令，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
9．已知函数．若在区间上单调递减，则的一个取值可以为 ．
10．已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 .
11．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则m的最大值为 .
变式训练：
1．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，设函数，则的单调递减区间是 ．
3．已知函数，，则函数的单调递减区间为 .
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
6．已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是 ．
7．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 .
8．已知函数在上单调递增，且在上有最大值．则的取值范围为 ．
9．已知函数，，若当时，总有，则正实数的最大值为 .
10．已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ).
A． B． C． D．
11．已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
经典例题：
1．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的最小正周期为 ．
6．现给出四个函数①，②，③，④，其中所有周期函数的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
7．设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，已知，，且的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
9．记函数的最小正周期为.若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
10．已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式训练：
1．函数的周期为 ．
2．函数的最小正周期为 .
3．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的最小正周期为 ．
5．函数的最小正周期为 ．
6．函数的最小值和最小正周期分别为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的最小正周期是，则 .
8．若函数的最小正周期为T，且的图象关于点对称，则 ．
9．已知函数（其中，）的最小正周期为，若，且图象上有一个最低点，则（ ）
A． B． C．1 D．
10．函数恒有，且在上单调递增，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
经典例题：
1．下列函数是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，图象关于原点对称的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知为偶函数，则实数（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ．
所以当时，的最小值是.故答案为：.
5．已知函数为奇函数且，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．使函数为偶函数，则的一个值可以是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数为奇函数，则 ．
8．（多选）已知函数为奇函数，则参数的可能值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数同时满足性质：①；②当时，，则函数可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知定义在上的偶函数，对任意都有，当取最小值时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．
变式训练：
1．下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
3．已知函数是定义在上的奇函数，则实数（ ）
A．－1 B．0 C． D．1
4．已知函数为奇函数，则m＝（ ）
A．5 B．4 C． D．1
5．已知函数为偶函数，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
6．已知函数是偶函数，则实数 .
7．已知函数是偶函数，则 .
8．设函数，若是偶函数，则t的一个可能值是 ．
9．写出一个同时满足下列三个性质的函数 ．
①的定义域为；②是奇函数；③是偶函数．
10．设函数对任意的均满足，则
11．已知函数（）在区间上单调递减，且为偶函数，则 ．
经典例题：
1．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则下列曲线的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D．所有点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
4．已知奇函数图像的相邻两个对称中心间的距离为2π，将的图像向右平移个单位得函数的图像，则的图像（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称
5．定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小正值是 ．
6．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象在区间上单调递增，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．3
7．函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数在上单调递减
D．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称
8．函数（，，）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则（ ）
A． B． C． D．
9．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．1
10．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
①函数的图象关于点成中心对称；②函数在上有8个极值点；③函数在区间上的最大值为1，最小值为；④函数在区间上单调递增.
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
11．已知函数，下列变换与“变换到”不相同的是（ ）
A．变换到 B．变换到C．变换到 D．变换到
变式训练：
1．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 .
2．若将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则 ．
3．将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A． B． C． D．
4．先将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，写出图象的一条对称轴的方程： .
5．若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则 ．
6．已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．将函数图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，写出一个符合条件的的值 .
8．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数（）的图象与的图象的两相邻公共点间的距离为，将的图象向左平移（）个单位长度得到的图象，则的最小值为 .
11．若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象与的图象完全重合，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数（为常数，）的部分图像如图所示，若将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
14．将函数的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为 .
经典例题：
1．已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值3；当时，取得最小值.(1)求函数的单调递减区间；(2)若，求的最值，并写出取得最值时的值.
2．已知函数.(1)若，求函数在上的零点；(2)已知，函数，，求函数的值域.
3．已知函数.(1)完善下面的表格并作出函数在上的图象：
0
1
(2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，解不等式.
4．已知的一段图象如下图所示．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调增区间；（3），求函数的值域．
5．已知函数能同时满足下列四个条件中的三个：①的最大值为2；②的最小正周期为；③的图象可由的图象平移得到；④．(1)请判定所满足的三个条件，并求出函数的解析式；(2)若的图象只有一个对称中心落在区间内，求实数的取值范围．
6．已知向量，，函数.
（1）求函数的最大值，并指出取最大值时的取值集合；
（2）若，为锐角，，，求的值.
变式训练：
1．已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．(1)求的解析式和周期．(2)当 时，求的值域．
2．已知函数，，.
（1）将函数化简成，（，，），的形式；
（2）求函数的值域.
3．设函数．(1)求的单调递增区间；(2)若函数在内只有一个零点，求实数a的取值范围．
4．已知函数（，）的最小正周期是，且满足．(1)求函数的解析式；(2)设函数．求在区间上的最大值和最小值．
5．已知平面向量，，，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离是．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）求函数在区间上的最值．
三、达标检测：
《三角函数的图象与性质》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知函数在处取得最大值，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（ ）
A． B．且 C． D．且
3．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
4．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.命题是偶函数，命题，则（ ）
A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件
C．是的充要条件 D．是的既不充分也不必要条件
5．下列关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为R B．函数为奇函数
C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为
6．已知函数在上恰有2个零点，则的最小正周期的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．3
8．已知函数，，则（ ）
A． B．
C．在上有3个零点 D．有3个零点
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A．函数的周期为 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上的最小值为
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．函数的最小正周期是 ．
13．设，，将函数的图象左移个单位得到的图象，为偶函数，则 ．
14．已知函数（）在区间上单调递减，且为偶函数，则 ．
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:

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