资源简介

专题1.3 等式性质与不等式的性质
一、核心知识：
1. 等式的基本性质
性质 文字表述 性质内容 注意
1 对称性 可逆
2 传递性 同向
3 可加、减性 可逆
4 可乘性 同向
5 可除性 同向
2.比较两数（式）大小
（1）作差法：设，则；；；
（2）作商法：设，则；；
3.不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 同向
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
4．糖水不等式：若，，则，或者．
二、考点聚焦：
考点一：由作差法和作商法比较大小
经典例题：
1．（2025高三·全国·专题）已知，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·全国）设，则P，Q，R的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三·全国·专题）若，则与的大小关系是 ．（用“>”连接）
4．（2024高三·全国·专题）已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 .
5．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024·广西·二模）（多选）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三下·海南海口·阶段）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 (用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .
强化训练：
1．（25-26高一上·全国）已知，，设，，则与的大小关系为 ．
2．（24-25高三下·河北邯郸·开学考）已知是正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列不等式，其中恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
故选：BCD
5．（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（ ）
A． B． C． D．
6．已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 .（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
（2），，则M N（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
7．（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则
B．
C．若，，为三条边长，则
D．若，，为三条边长，则
8．（24-25高二下·河北邢台·阶段）（多选）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
考点二：由不等式性质的比较大小
经典例题：
1．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·海南海口·二模）设，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025·上海浦东新·三模），，请从以下选项中选出“”的充分条件（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·福建三明·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·上海杨浦·二模）已知实数满足，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江·三模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高三上·上海松江·期末）英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
10．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
强化训练：
1．（2021·江西鹰潭·模拟预测）如果，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山东济南·二模）（多选）已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河南·模拟预测）“，是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·福建·模拟预测）（多选）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
8．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
9．（2023·湖南张家界·二模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2021·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
考点三：由等式性质和不等式性质合成范围
经典例题：
1．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·福建宁德·开学考）已知，则的取值范围是 .
4.已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
5．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 .
6.（2024·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（ ）
A． B． C． D．
7. （多选）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
8．（2023高三·全国·专题）已知函数的两个零点一个大于2，一个小于2，且，则的取值范围为
9．（2024年全国Ⅰ卷）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（ ）
A．27 B．24 C．12 D．32
强化训练：
1．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·福建宁德·开学考）已知，则的取值范围是 .
3．已知则的取值范围为 ．
4．（24-25高三上·江苏南通·阶段）若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三·全国·专题）设为实数，满足，则的最大值是 ．
7.已知实数满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.（多选题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高三上·江苏淮安·阶段）已知 ，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．取值范围为
10．（2023·广西南宁·模拟预测）已知函数，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
三、达标检测
《等式性质与不等式性质》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
2． “”的一个必要非充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．设a，bR，则下列结论正确的是（ ）
A．若a>b，则 B．若aC．若a+b=2，则≥4 D．若，则a>b
5．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．取值范围为
7．下列命题为真命题的是（ ）
A．已知，若，则
B．，
C．，都不是4的倍数
D．若，，则的取值范围是
8．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知，则下列各选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知，且，则 （填“>”或“<”）.
13．已知，则的取值范围为 ．
14．已知不等式的解集是，则不等式的解集是 .
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:专题1.3 等式性质与不等式的性质
一、核心知识：
1. 等式的基本性质
性质 文字表述 性质内容 注意
1 对称性 可逆
2 传递性 同向
3 可加、减性 可逆
4 可乘性 同向
5 可除性 同向
2.比较两数（式）大小
（1）作差法：设，则；；；
（2）作商法：设，则；；
3.不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 同向
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
4．糖水不等式：若，，则，或者．
二、考点聚焦：
考点一：由作差法和作商法比较大小
经典例题：
1．（2025高三·全国·专题）已知，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以．故选：C
2．（25-26高一上·全国）设，则P，Q，R的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】因为，所以．
因为，
又，所以，所以．
3．（2025高三·全国·专题）若，则与的大小关系是 ．（用“>”连接）
【答案】
【【详解】方法一（作商法）：因为，所以，
所以．
方法二（作差法）：，即．
故答案为：
4．（2024高三·全国·专题）已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 .
【答案】aabb>abba
【详解】∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即>1.又abba>0，
∴aabb>abba.
5．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若，，则，则，即，充分性成立；若，，则，所以，必要性成立，所以如果，那么“”是“”的充要条件.故选：C
6．（2024·广西·二模）（多选）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】且，则，，则，A正确；因为，，所以，B错误；因为，，，当时，，则；当时，，则，当时，，则，故C错误；因为
，当且仅当时，等号成立，此时由可得，不符合，所以不成立，故，即，D正确.故选：AD
7．（24-25高三下·海南海口·阶段）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】这一事实表示为一个不等式为．证明：，
，又，，，即，即.故选：.
8．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 (用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .
【答案】
【解析】空1：因为，所以可得：；
空2：由空1可得：，即.
故答案为：；
强化训练：
1．（25-26高一上·全国）已知，，设，，则与的大小关系为 ．
【答案】
【详解】．因为，，所以，，，所以，所以．
2．（24-25高三下·河北邯郸·开学考）已知是正实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由，因为，所以，故“”是“”的充要条件.故选：C.
3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列不等式，其中恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】由，知A正确；由，知B错误；由，知C错误；由，知D正确．
4．（24-25高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，，因，则，故A错误；
对于B，，因，则，故B正确；
对于C，，因，则，故C正确；
对于D，，因，
故，故D正确.
故选：BCD
5．（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意得,,,,
对于A选项,
对于B选项,
对于C选项,
对于D选项,
故选：B.
6．已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 .（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
（2），，则M N（填“>，<，=，≥，≤”之一）.
【答案】
【解析】（1）∵，又∵，，
∴，即；
（2）因为，，故.
故答案为：；.
7．（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则
B．
C．若，，为三条边长，则
D．若，，为三条边长，则
【答案】BCD
【解析】A.由糖水不等式得：，时，，故A错误.
B.，故B正确.
C.，故C正确.
D.，，故D正确.
故选：BCD
8．（24-25高二下·河北邢台·阶段）（多选）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】，，，
，所以，，所以，所以，所以B、C、D正确，A错误.
故选：BCD
9．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，因为，当且仅当时取等号，所以，因为，所以，当时，，此时，，这与矛盾，所以，由，得，所以，当且仅当时取等号，由A选项知，当时，不符题意，所以，由，可得，因为，所以，所以，因为，所以，所以，由，得，则，因为，，所以，又因为，所以，所以，综上所述，.故选：A.
考点二：由不等式性质的比较大小
经典例题：
1．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若，，则，则，即，充分性成立；若，，则，所以，必要性成立，所以如果，那么“”是“”的充要条件.故选：C
2．（2023·海南海口·二模）设，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由且，可得,当，时，满足，但不满足且,
则“且”是“”的充分不必要条件,故选：A.
3．（2025·上海浦东新·三模），，请从以下选项中选出“”的充分条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A.若，满足，不满足，故A不是充分条件；
B.当满足，不满足，所以B不是充分条件；
C.若，又因为，所以，所以C是充分条件；
D.，，满足，不满足，故D不是充分条件.
故选：C
4．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，即，故选项A正确；当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误；当时，由可得，故选项D错误.故选:A．
5．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.
6．（2022·福建三明·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以的符号不能确定，当时，，故项错误；
因为，所以，故B项错误；
因为，所以，故C项正确；
因为，所以，所以，所以，故D项错误,
故选:C
7．（2024·上海杨浦·二模）已知实数满足，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于ABD，取，满足，显然，，，ABD错误；对于C，，则，C正确.故选：C
8．（2022·浙江·三模）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知：，又，则，显然异号，又，所以.故选：B.
9．（23-24高三上·上海松江·期末）英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【详解】对A：因为，可能，故错误；
对B：当时，若，则，故错误；
对C：当，时，则，故错误；
对D：若，，则，故正确.
故选：D.
10．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】A，当时，，A错误；
B，当时， 没意义，B错误；
C，由，知，所以，C正确；
D，当时，不成立，D错误.
故选：C
强化训练：
1．（2021·江西鹰潭·模拟预测）如果，那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于AB，当时，，，故AB错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：D.
2．（2024·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A, 由于，,故A错误，
对于B，由于关系不确定，故不一定成立，故B错误，
对于C，由于，所以，C错误，
对于D，由于，则，故，D正确，
故选；D
3．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错；
对于B选项，不妨设，，，则，B错；
对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对；
对于D选项，不妨设，，，则，D错.
故选：C.
4．（2025·山东济南·二模）（多选）已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】因为，所以，所以，故A对；因为，所以，由，所以，故B对；若，满足，显然不成立，故C错；当，则，必有，当，则，故，必有，故D对.故选：ABD
5．（2024·河南·模拟预测）“，是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】由于，的正负性不确定，由“，”不能推出“”，故充分性不成立；同时当“”时也不能推出“，”，故必要性也不成立.故选：D.
6．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误，对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误，对于选项C，由，得到，即，所以推不出，但可以得出，故选项C正确，对于选项D，由，得到，又，当且仅当时取等号，显然不满足题意，则，即，又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误，故选：C.
7．（2021·福建·模拟预测）（多选）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
【答案】BCD
【详解】对于A，当，时，满足且，此时，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，所以，所以，故C正确；
对于D，若且，则，所以，，故D正确.
故选：BCD.
8．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误.
对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确；
对于C：取，时，则，，，则，故C错误；
对于D：当，时，，，则，故D错误；
故选：B.
9．（2023·湖南张家界·二模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【详解】A：若，则，故A错误；
B：若，则，故，两边平方，可得，故B正确；
C：因为在上单调递增，所以若，则，故C正确；
D：若，不妨设，，显然不满足，故D错误.
故选：BC.
10．（2021·江苏·模拟预测）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，由题意可知，正确；
对于B，因为，所以，正确；
对于C，即，错误；
对于D，，正确.
故选：ABD
考点三：由等式性质和不等式性质合成范围
经典例题：
1．（2024·全国·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由可得，所以，故答案为：
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，则，又，所以，从而．故选：B．
3．（24-25高三上·福建宁德·开学考）已知，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】设，所以，解得，所以，又，所以，又所以上述两不等式相加可得，即，所以的取值范围是，故答案为：.
4.已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【详解】，由不等式的性质，，所以，所以，所以，当且仅当时，且已知，解得，即的最大值为.故选：A.
5．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为，故，由得，解得，
故.故答案为：
6.（2024·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以， 对于A，，,,综上可得，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：D.
7. （多选）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
【详解】利用不等式的性质直接求解.因为，所以.因为，所以，则，故A正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；因为，所以，则，故D正确.故选：ABD.
8．（2023高三·全国·专题）已知函数的两个零点一个大于2，一个小于2，且，则的取值范围为
【答案】
【详解】由的两个零点一个大于2，一个小于2可得，即，又，设，则，解得，即，且，故3b－8a的取值范围为.故答案为：.
9．（2024年全国Ⅰ卷）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为当时，所以，
又因为，则，
，
，
，，
则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.
10．（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（ ）
A．27 B．24 C．12 D．32
【答案】A
【详解】由，得，又，所以，所以，即，所以的最大值为27.故选：A
强化训练：
1．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得，故，故选：D
2．（24-25高三上·福建宁德·开学考）已知，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】设，所以，解得，所以，又，所以，又所以上述两不等式相加可得，即，所以的取值范围是，故答案为：.
3．已知则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】假设，则，解得，因为，所以；又因为，所以；由上两同向不等式相加得：，整理得：故答案为：
4．（24-25高三上·江苏南通·阶段）若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，故且，所以，故，由于，，所以，即，故最小值为，此时，故选：B.
5.已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知及三角形三边关系得，所以，则，两式相加得，所以.故选：C
6．（2024高三·全国·专题）设为实数，满足，则的最大值是 ．
【答案】32
【详解】由题设，则，所以的最大值是32.
故答案为：32
7.已知实数满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得：，记，，则．又，∴，∴，∴．
故选：A
8.（多选题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】依题意，，所以，所以，所以A选项错误，B选项正确.
所以，所以，所以C选项正确，D选项错误.故选：BC
9．（24-25高三上·江苏淮安·阶段）已知 ，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．取值范围为
【答案】D
【详解】A选项，，故，即，A正确；B选项，因为，所以，又，故，故，B正确；C选项，，故，即的取值范围为，C正确；D选项，因为，所以，又，故，即，D错误.故选：D
10．（2023·广西南宁·模拟预测）已知函数，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数中，，，可知一元二次方程有二相异根，分别位于区间和内则，即，即，由，可得，则，即，由，可得，则，则.综上，的取值范围为.故选：B
三、达标检测
《等式性质与不等式性质》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【详解】对A：因为，可能，故错误；对B：当时，若，则，故错误；
对C：当，时，则，故错误；对D：若，，则，故正确.
故选：D.
2． “”的一个必要非充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误，对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误，对于选项C，由，得到，即，所以推不出，但可以得出，故选项C正确，对于选项D，由，得到，又，当且仅当时取等号，显然不满足题意，则，即，又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误，故选：C.
3．已知，，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，得，，所以．故选：B．
4．设a，bR，则下列结论正确的是（ ）
A．若a>b，则 B．若aC．若a+b=2，则≥4 D．若，则a>b
【答案】C
【详解】对于A，取，满足，而，A错误；对于B，由，得，则，B错误；对于C，，，当且仅当a＝b＝1时取等号，C正确；对于D，取满足，而不成立，D错误.故选：C
5．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】这一事实表示为一个不等式为．证明：，
，又，，，即，即.故选：.
6．已知 ，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．取值范围为
【答案】D
【详解】A选项，，故，即，A正确；B选项，因为，所以，又，故，故，B正确；C选项，，故，即的取值范围为，C正确；D选项，因为，所以，又，故，即，D错误.故选：D
7．下列命题为真命题的是（ ）
A．已知，若，则
B．，
C．，都不是4的倍数
D．若，，则的取值范围是
【答案】C
【详解】对于A，当时，，故A不正确；对于B，若，故恒成立，故B不正确；对于C，当时，不是4的倍数，当时，也不是4的倍数，故C正确；对于D，∵，又，，∴，故D不正确.故选：C．
8．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为当时，所以，
又因为，则，，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，则，，所以，即，故A正确；对于B，由，假设，有，又，所以，故B错误；对于C，由，可知，，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以，故D正确.故选：ACD.
10．已知，则下列各选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】对于A，由，得，则，A正确；
对于B，取，满足，而，B错误；
对于C，由，得，则，因此，C正确；
对于D，取，满足，而，D错误．
故选：AC
11．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】由且得，所以，，A选项正确；，所以，，B选项正确；取，，，则，C选项错误；由得，所以，因为，所以，D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知，且，则 （填“>”或“<”）.
【答案】<
【详解】由题意知，，则，所以，即.故答案为：<
13．已知，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为，所以，所以，即的取值范围为.故答案为：
14．已知不等式的解集是，则不等式的解集是 .
【答案】
【详解】的解集为，，且，，，所以.
故答案为：
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案: D C B C D D C B
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: ACD AC ABD 答案: <

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