资源简介

专题1.4 基本不等式
一、核心知识：
1.基本不等式
（1）公式及其变形式：
（2）成立的条件：
（3）等号成立的条件：当且仅当时取等号．
（4）算术平均数与几何平均数：设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，
基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（5）利用基本不等式求最值：已知x>0，y>0，则
如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
2.常用不等式公式：
（1），当且仅当时取等；
（2），当且仅当时取等.
二、考点聚焦：
考点一：配凑法求最值（配凑法）
经典例题：
1．（22-23高三上·上海嘉定·期中）若，则的取值范围是 ．
2．（2023·山西忻州·模拟预测）已知，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为 .
5．（2021·天津高考）若，则的最小值为____________．
6．（2023春·湖南·高三联考）当时，的最小值为_________.
7．（22-23高三下·上海浦东·阶段）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为 ．
8．（2025·河南·二模）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9（2024·陕西西安·一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何 现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．60 B．61 C．75 D．76
10．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能
强化训练：
1．（2024·内蒙古赤峰·三模）下列函数最小值为4的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2025·新疆·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
4．（2023·陕西榆林·三模）若，则的最小值为 ．
5．（2021·全国·模拟预测）（多选）下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三上·广东湛江·期末）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则的最小值为2
C．若，则的最大值为2 D．若，则
7．（2023·河北邢台·模拟预测）已知，且，则的最小值为 .
8．（2025·广东珠海·模拟预测）已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为 ．
9．（2024·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（22-23高三上·宁夏银川·阶段）《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能
考点二：常用代换法求最值
经典例题：
1．（2022·上海嘉定·模拟预测）若、，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·四川广安·模拟预测）已知，当取最大值时，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．（2024·河南郑州·一模）（多选）设，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．恒成立.
4．（24-25高三上·湖南·阶段）（多选）已知，，下列结论正确的是（ ）
A． B．的最小值是
C．的最小值是8 D．的最小值是
5．（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
6．（2020·全国Ⅰ卷）（多选）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·广西河池·模拟预测）已知，，且是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（21-22高三上·江苏南通·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．8
9．（2022·陕西汉中·一模）已知直线过函数（，且）的定点T，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
10．（2024·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
强化训练：
1.（2024·上海崇明·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ．
2．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知，则的最小值为 .
3．（2023·广东深圳·模拟预测）（多选）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山东济南·一模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．24 B．25 C． D．
6．（20-21高三上·山东烟台·阶段）若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国II卷）（多选）若x，y满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·吉林通化·模拟预测）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．（24-25高三上·北京丰台·期中）已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
三、达标检测
《基本不等式》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．已知，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
4．已知，则下列选项中，能使取得最小值18的为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
6．用一段长为cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
7．现设计一个两邻边的长度分别为的矩形广告牌，其面积为，且，则当该广告牌的周长最小时， （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．下列函数中最小值为2的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知.若，则（ ）
A．的最小值为10 B．的最小值为9 C．的最大值为 D．的最小值为
11．若正数，满足，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值为
C．当时， D．的最小值为
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ．
13．已知，且，则的最小值是 .
14．若，则的取值范围是 ．
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案:
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: 答案:专题1.4 基本不等式
一、核心知识：
1.基本不等式
（1）公式及其变形式：
（2）成立的条件：
（3）等号成立的条件：当且仅当时取等号．
（4）算术平均数与几何平均数：设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，
基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（5）利用基本不等式求最值：已知x>0，y>0，则
如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)
如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
2.常用不等式公式：
（1），当且仅当时取等；
（2），当且仅当时取等.
二、考点聚焦：
考点一：配凑法求最值（配凑法）
经典例题：
1．（22-23高三上·上海嘉定·期中）若，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由可得：，当且仅当时，即时取等，
故答案为：.
2．（2023·山西忻州·模拟预测）已知，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为.故选：D
3．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】由，得，又，
当且仅当，即时等号成立.故选：A.
4．（2024·江西赣州·二模）已知，则的最小值为 .
【答案】
【详解】由题，所以
，
当且仅当，即，即时等号成立.故答案为：.
5．（2021·天津高考）若，则的最小值为____________．
【答案】
【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.
6．（2023春·湖南·高三联考）当时，的最小值为_________.
【答案】0
【详解】，当且仅当，时，，所以的最小值为0.故答案为：0.
7．（22-23高三下·上海浦东·阶段）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为 ．
【答案】8
【详解】因为的解集为，则，因为，所以，
∴．
当且仅当，即时，取到等号．故答案为：8
8．（2025·河南·二模）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，由知，，，所以，当且仅当，即时等号成立，则的最大值为.故选：B．
9（2024·陕西西安·一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何 现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．60 B．61 C．75 D．76
【答案】B
【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，所以，∴，当且仅当，即时取等号，∴当时取最小值为．故选B.
10．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能
【答案】B
【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克，则，解得，，当且仅当时，取到等号，而，所以.故选：B
强化训练：
1．（2024·内蒙古赤峰·三模）下列函数最小值为4的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】选项A，时，，最小值不是4，A错；选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确；选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错．故选：B．
2．（2025·四川德阳·二模）若，则函数的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【详解】若，则，所以函数，当且仅当即时等号成立.故选：C.
3．（2025·新疆·模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】A
【详解】由，得，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3.故选：A
4．（2023·陕西榆林·三模）若，则的最小值为 ．
【答案】7
【详解】因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为7．故答案为：7
5．（2021·全国·模拟预测）（多选）下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选:CD.
6．（23-24高三上·广东湛江·期末）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则的最小值为2
C．若，则的最大值为2 D．若，则
【答案】AD
【详解】因为，所以，因为，所以，所以，故A正确；因为的等号成立条件不成立，所以B错误；因为，所以，故C错误；因为，当且仅当，即时，等号成立，所以D正确.故选：AD
7．（2023·河北邢台·模拟预测）已知，且，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，解得：，则，当且仅当，时，“=”成立，故答案为：.
8．（2025·广东珠海·模拟预测）已知是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】令公差为，成等比数列，，，，．，当且仅当，即时取等号．故答案为：
9．（2024·福建南平·二模）关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】因为关于的实系数二次不等式的解集为，所以是一元二次方程的根，所以，解得，所以，所以，所以当且仅当时取等号.所以的最小值为.故选：C.
10．（22-23高三上·宁夏银川·阶段）《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能
【答案】A
【详解】由于天平两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设，第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为，由杠杆平衡定理可得，，，则，，，故顾客实际所得黄金大于．故选：．
考点二：常用代换法求最值
经典例题：
1．（2022·上海嘉定·模拟预测）若、，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.故选：A.
2．（2022·四川广安·模拟预测）已知，当取最大值时，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由已知可得，则，即，所以，当且仅当时取等号，即，，此时.故选：B．
3．（2024·河南郑州·一模）（多选）设，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．恒成立.
【答案】BC
【详解】由得：，A：，当且仅当时等号成立，A错误；B：，当且仅当时等号成立，B正确；C：，当且仅当时等号成立，C正确；D：，又，则，当且仅当时等号成立，而，显然不能恒成立，错误.故选：BC.
4．（24-25高三上·湖南·阶段）（多选）已知，，下列结论正确的是（ ）
A． B．的最小值是
C．的最小值是8 D．的最小值是
【答案】ACD
【详解】，由，解得，A正确；，当且仅当时，等号成立，而此时不存在，B错误；
由，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，C正确.由，得，则，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.故选：ACD.
5．（24-25高三上·山西·期末）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【详解】由题意知，当且仅当，且，即，时等号成立，即的最小值为.故选:A.
6．（2020·全国Ⅰ卷）（多选）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
7．（2023·广西河池·模拟预测）已知，，且是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为是与的等差中项，所以，所以，因为，，则，当且仅当时取等号.故选：A
8．（21-22高三上·江苏南通·期中）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．8
【答案】C
【详解】由题意方程的两个根为m，，则，解得：，故，，所以，当且仅当，即时取等号，则，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为2.故选：C.
9．（2022·陕西汉中·一模）已知直线过函数（，且）的定点T，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【详解】函数过定点，所以，将代入直线，得，即，因为，，所以，当且仅当，即，时“=”成立.故选：C.
10．（2024·四川遂宁·模拟预测）在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】D
【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以设，故，
即，又，故，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为9.故选：D
强化训练：
1.（2024·上海崇明·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ．
【答案】4
【详解】，当，即，时等号成立，则的最小值为4．
故答案为：4．
2．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知，则的最小值为 .
【答案】20
【详解】依题意，，由可得，所以，等号成立当且仅当.故答案为：20.
3．（2023·广东深圳·模拟预测）（多选）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，A正确；B选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，B错误；C选项，
，故恒成立，C正确；D选项，a是正实数，故，其中，故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.故选：AC
4．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
，当且仅当时等号成立
故选：D
5．（2024·山东济南·一模）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．24 B．25 C． D．
【答案】B
【详解】因为x，y为正实数，且，所以
，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25.故选：B
6．（10-11高三上·山东烟台·阶段）若，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，由可得，又，所以，即，当且仅当时等号成立，故A错误；对于B，由可得，即，所以，当且仅当时等号成立，即B错误；对于C，由可得，所以可得，即，当且仅当时等号成立，即C正确；对于D，易知，即；当且仅当时等号成立，可得D错误；故选：C
7．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】选项A：因为，，，所以，所以，故A正确．选项B：，当且仅当时取等号，（利用基本不等式时注意取等号的条件）,故B正确．选项C：，所以，当且仅当时取等号，故C错误．选项D：，
当且仅当时取等号，（另解：，当且仅当时取等号）,故D正确．
故选:ABD.
8．（2022·全国II卷）（多选）若x，y满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】因为（R），由得，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
9．（2023·吉林通化·模拟预测）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】因为，则，令，解得，即直线恒过点.又因为点A也在直线上，则，可得，且，则，即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故选：B.
10．（24-25高三上·北京丰台·期中）已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题设恒过点，则，所以，当且仅当时等号成立，所以目标式最小值为.故选：A
三、达标检测
《基本不等式》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为.故选：D
2．已知，且，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】因为，所以,又因为，当且仅当时取最小值9，
所以的最小值为5.故选：C.
3．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【详解】由题意知，当且仅当，且，即，时等号成立，即的最小值为.故选:A.
4．已知，则下列选项中，能使取得最小值18的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对选项A：由可知，，当且仅当等号成立，最小值不是18，故选项A不正确；对选项B：若，两边除以得，，则，当且仅当时，即时等号成立，故的最小值是18，故选项B正确；对选项C：由，得,
故，由二次函数的性质，可知：当时，的最大值为18，故选项C不正确；对选项D：，则当时，，故不能取得最小值18，故选项D不正确.故选：B
5．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【详解】因为的解集为，所以，且，是方程的两根，，得；，即，当时，，当且仅当，即时取等号，令，由对勾函数的性质可知函数在上单调递增，所以，的最小值为3.故选：D．
6．用一段长为cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设矩形的长为，宽为，，则，即，所以这个模型的面积为，当且仅当时取等号，所以这个模型的最大面积为.故选：C.
7．现设计一个两邻边的长度分别为的矩形广告牌，其面积为，且，则当该广告牌的周长最小时， （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】由题意知，且，所以，则该矩形的周长为，当且仅当，即时，取得等号，此时.故选：A.
8．《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．以上都有可能
【答案】A
【详解】由于天平两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设，第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为，由杠杆平衡定理可得，，，则，，，故顾客实际所得黄金大于．故选：．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．下列函数中最小值为2的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】由题意，A项，，故A正确；B项，在中，，所以，当且仅当时，等号成立，故B正确；C项，，，故，当且仅当即时等号成立，C错误；D项，，，只有当时才有，当且仅当即时等号成立，故D错误.故选：AB.
10．已知.若，则（ ）
A．的最小值为10 B．的最小值为9 C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】BC
【详解】对选项A，B，因为，所以，
当且仅当，即，取等号，故A错误，B正确.对选项C，D，，即，当且仅当，时等号成立，故C正确，D错误.故选：BC
11．若正数，满足，则（ ）
A．的最大值是 B．的最小值为
C．当时， D．的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；对于B，因为，，所以，所以的最小值为，当且仅当时，即时，等号成立，故选项B错误；对于C，因为，所以．当且仅当，即时，等号成立，又因为，所以，此时，故选项C正确；对于D，由题知，则，当时取最小值，最小值为，故选项D正确.故选：ACD．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ．
【答案】4
【详解】，当，即，时等号成立，则的最小值为4．
故答案为：4．
13．已知，且，则的最小值是 .
【答案】8
【详解】，当且仅当，即时取等号.故答案为：8.
14．若，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由可得：，当且仅当时，即时取等，
故答案为：.
答题卡
班级： 姓名： 总分：
题号: 1 2 3 4 5 6 7 8
答案: D C A B D C A A
题号: 9 10 11 题号: 12 13 14
答案: AB BC ACD 答案: 4 8

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