资源简介

专题2.1 函数概念及其表示
一、核心知识：
1.函数的概念：
一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.
2.相等函数：
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3.分段函数：
在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。
4.基本的函数定义域限制:
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
5.已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域:
（1）定义域是指自变量的取值范围；
（2）在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；
6.对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
7.基本初等函数的值域:
（1）的值域是．
（2）的值域：当时，值域为；当时，值域为．
（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
二、考点聚焦：
考点一：函数的概念
经典例题：
1．（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【答案】D
【详解】∵一个只能对应一个，∴①③符合题意，对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义；对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义.故选：D．
2．设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为定义域为，所以舍去A;因为值域为，所以舍去D;因为对于定义域内每一个x有且只有一个y值，所以去掉C；选B.
3．（2023高三·全国·专题）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数；对于C选项，当时，不存在，不是函数；
对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.故选：A
4．下列函数中，与是相同的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A选项，函数定义域为，其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数；对于B选项，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式一致，两个函数是同一函数；对于C选项，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数；对于D选项，的定义域为，但其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数.故选B.
5．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B中，函数和的定义域不同，不是同一函数；对于C中，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D中，函数的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.
6．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A，要使得根号下有意义，则，即定义域为，故A错误；对于B，要使得对数有意义，则真数，即定义域为，故B正确；对于C，由指数函数的定义可知其定义域为，故C错误；对于D，要使得正切函数有意义，则，即定义域为，故D错误；故选：B.
7．若函数的值域是，则此函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由函数的值域是，所以当时，，
当时， ，即，解得，所以函数的定义域为：，故选：D
8．函数的值域（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数的定义域为，，
所以函数的值域为.故选：D.
9．函数的值域是，则此函数的定义域为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知得，即.因为函数的值域是，所以或，解得或，所以此函数的定义域是.
10．（多选）下列函数中，在上的值域是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】函数在上单调递增，所以，值域为，选项A正确；函数，当时，，所以选项B错误；函数在上单调递增，所以，值域为，选项C正确；函数当时，，所以选项D错误.故选：AC.
强化训练：
1．（多选）下列所给图形可以是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】由函数的概念可知，
对于A，当时，每一个的值对应两个不同的值，因此不是函数；
对于B，当时，有两个值，因此不是函数；
对于C,D，每一个的值对应唯一的值，因此是函数.
故选：CD.
2．（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】由函数的定义可知，对任意的自变量，有唯一的值相对应，选项B中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况，其中选项A、C、D皆符合函数的定义，可以表示是函数.故选：ACD
3．（2024高三·全国·专题练习）下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A选项：当x为负数时，B中没有元素与之对应，故A选项不正确；
B选项：当x为零时，B中没有元素与之对应，故B选项不正确；
C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C选项不正确；
D选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D选项正确．
故选：D
4．（22-23高三上·福建宁德·阶段）（多选）下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】函数的定义域为R，A. ，定义域为R，解析式不同，故错误；B. ，定义域为R，故正确；C. ，定义域为，定义域不同，故错误；D. ，定义域为R，故正确；故选：BD
5．（2021·江西·模拟预测）（多选）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AB
【详解】A中两个函数定义域都是，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数；
B中两个函数定义域都是，对应法则都是取平方，是同一函数；
C中定义域是，的定义域是，不是同一函数；
D中的定义域是，的定义域是，不是同一函数．
故选：AB．
6．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是，但对应法则不同，所以不是同一个函数；对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数.故选：A．
7．函数在的值域为 .
【答案】
【详解】因为，则，可得，所以在的值域为.
故答案为：.
8．函数的值域为 .
【答案】
【详解】因为二次函数的值域为，所以的定义域是，值域为.故答案为：.
9．已知集合，，则 ．
【答案】
【详解】，又因，
所以，所以.即.故答案为：
10．（多选）下列函数中值域为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确；
对于B，函数，值域为，B正确；
对于C，函数的定义域为，值域为，C错误；
对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误．
故选：AB．
考点二：求函数定义域
经典例题：
1．（2024高三·广东·学考）函数的定义域为 .
【答案】
【详解】因为，所以,解得x≥1且x≠2，x≠3，即函数的定义域为 ，故答案为：.
2．（2024·四川南充·三模）函数的定义域为 .
【答案】
【详解】因为，所以且，解得且，
故函数的定义域为.故答案为：
3．（2020·上海虹口·二模）函数的定义域为 .
【答案】
【详解】由，得，解得.所以函数的定义域为.
故答案为：.
4．（2024·山东·一模）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】要使函数有意义，则，即，所以或，解得或，
所以函数的定义域为.故选：D.
5．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数的定义域为，所以，即，解得，
所以，函数的定义域为.故选：C
6．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数的定义域为，则，可得，所以函数的定义域为，对于函数，则有，解得，
因此函数的定义域为.故选：C.
7．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是
【答案】
【详解】由函数的定义域是，得，则，由，解得，所以的定义域是.故答案为：
8．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义，则有，
解得或，所以函数的定义域是.故选：C
9．若函数的定义域为，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】若函数的定义域为，则对任意恒成立．当时，不等式化为，恒成立；当时，需满足，解得．
综上所述，实数a的取值范围是．
10．（2021·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得，解得．因为有定义，所以当时，由，得；当时，由，得；当时，，恒成立．综上，实数的取值范围是．故选：D．
强化训练：
1．（2025·北京·二模）函数的定义域为 ．
【答案】
【详解】由函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为.故答案为：.
2．（2023·北京朝阳·二模）函数的定义域为 .
【答案】
【详解】令，可得，解得.故函数的定义域为.
故答案为:.
3．（2023·上海普陀·二模）函数的定义域为 ．
【答案】
【详解】，，或，所以定义域为：.
故答案为：
4．（2025·上海静安·模拟预测）已知集合，则 ．
【答案】
【详解】， ，所以.
故答案为：
5．（2025·湖南常德·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，，所以.故选：D.
6．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【详解】由函数的定义域为，则有，令，解得.
故答案为：.
7．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】∵函数的定义域为，所以，令，解得，即，即，∵，∴“”是“”的必要不充分条件，故选：C.
8．（2023·北京延庆·一模）已知函数的定义域为，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由，可知，解得，故答案为：.
9．（2024·河南信阳·一模）已知不等式的解集为，则函数的定义域为 .
【答案】
【详解】由不等式的解集为，可得和是方程的两个根，且，则，解得，所以函数，要使得函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.
10．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ．
【答案】2
【详解】函数，故，即，函数的定义域为，故.故答案为：2；
考点三：求函数解析式
经典例题：
1．（2022·山东济南·二模）已知函数，则 ．
【答案】
【详解】因为，所以，.
故答案为：.
2．（2022·河北石家庄·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，令，则，所以，因此，.故选：B.
3．（2022·全国·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【详解】解法一：令，可得，令，可得，
故．
解法二：令，可得，则，
故．故答案为：
4．已知f(x＋)＝x2＋，则函数f(x)＝ ．
【答案】x2－2(|x|≥2)
【解析】配凑法. f(x＋)＝x2＋＝(x2＋2＋)－2＝(x＋)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).
5．（2022·河北保定·二模）若函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以.
从而，当时，取得最小值，且最小值为.故选：D
6．（2020·安徽蚌埠·三模）已知函数是一次函数，且恒成立，则
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【详解】设，，则
因为恒成立，所以且，解得，所以，即有.故选：D.
7.已知，那么 ．
【答案】
【解析】∵，，∴．联立方程组，
解得．故答案为：.
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，将换成，可得，即，联立方程组，解得，
所以.故选：B.
9．已知二次函数满足，，则不等式的解集为 ．
【答案】．
【解析】由二次函数满足，设的表达式为（，为常数），
则；，
根据，得，解得，所以，
令，则，解得，所以的解集为．
故答案为：．
10．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则，因为，即，
则，解得，所以.故选：C.
强化训练：
1．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，，则，，所以，
所以的解析式为：.故选：B.
2．（2023·全国·模拟预测）已知，则 ．
【答案】/2.5
【详解】由题意得，，令，由，得，
∴．故答案为：.
3．一次函数在上单调递增，且，则 .
【答案】
【解析】设，则，，
则.又在上单调递增，即，所以，，则.
故答案为：
4．已知函数是一次函数，且，则的解析式为 .
【答案】或
【解析】设()，则，
则，解得，，或，，故或.
故答案为：或.
5．已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为 .
【答案】
【解析】根据题意可知，又恒相等，化简得到恒相等，所以，故，，，所以的解析式为.故答案为：.
6．（2022·全国·模拟预测）若函数满足关系式，则 .
【答案】6
【详解】因为，所以，解得，所以.
故选：6
7．（2023·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 .
【答案】
【详解】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故.故答案为：.
8．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数满足，，则下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，则，∴，．由，
有，即，∴．故选：D
9．（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则，所以，即，设，易知在上单调递增，所以，即，故，所以．故选：B．
10．（2023·浙江·二模）已知函数满足，则可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，，则，，不满足；
对于B，，则，，不满足；
对于C，，则，，不满足；
对于D，，当时，，故；当时，，故，即此时满足，D正确，
故选：D
考点四：分段函数
经典例题：
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【详解】由已知，当时，，所以．故选：D.
2．（2024·湖南益阳·一模）已知，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【详解】根据已知，所以.故选：.
3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数，则，所以.故选：A
4．（2025·江西·模拟预测）已知函数满足若，则（ ）
A．1 B．4 C．5 D．2024
【答案】A
【详解】因为，所以，，，，，，，，，，，，，，，…，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，，为3的倍数，则．故选：A
5．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数且，则（ ）.
A．. B．. C．2. D．4.
【答案】D
【详解】由题可知，解得，则.故选：D.
6．（2022·江西南昌·一模）已知，若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．0
【答案】B
【详解】作出函数的图象，在，上分别单调递增，
由，因为当时，不存在满足条件的a，所以，即，此时，，所以，即，解得或（不满足，舍去）此时满足题意，则，故选：B.
7．设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，不等式等价于或，解得或或，所以不等式的解集为.故选：B
8．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】,故选：C
9．（2024·山西·三模）已知是奇函数，当时，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】因为是奇函数，则，且，所以.故选：B.
10．（2024·北京东城·二模）设函数，则 ，不等式的解集是 .
【答案】1
【详解】由题意；因为，当，即时，则，可得，不合题意；当，即时，可得，解得或，所以；当，即或时，则，可得，符合题意；综上所述：不等式的解集是.故答案为：1；.
强化训练：
1．（2024·四川达州·二模）已知，则 .
【答案】1
【详解】.故答案为：1.
2．（2025·北京房山·一模）已知函数，则 .
【答案】4
【详解】，，故.故答案为：4
3．（2023·广西南宁·一模）已知函数，那么（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，故选D．
4．（2025·广西河池·二模）已知，求 .
【答案】9
【详解】，又.故答案为：
5．（2025·山东济宁·二模）已知函数则的值为 .
【答案】
【详解】由题意，所以，
故答案为.
6．（2024·山东泰安·二模）已知函数且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意知，当时，，得，又，所以方程无解；当时，，得，即，解得，所以.故选：D
7．已知函数若，则 ．
【答案】或
【详解】由题意知．当，即时，有，解得；当，即时，有，解得或（不合题意，舍去）．故或．
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】当时，由得，解得，此时，；当时，由得，即，解得，此时，.综上所述，不等式的解集是.故答案为：.
9．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= .
【答案】
【详解】由题意可得.故答案为：.
10．（2025·安徽黄山·二模）已知函数，则 ．
【答案】0
【详解】由，得.故答案为0.
三、达标检测：
《函数概念及其表示》小题检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，故选：B.
2.已知函数的定义域，值域，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，由题意可得，解得，
可得，故.故选：B.
3．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】要使函数有意义，则，即，所以或，解得或，
所以函数的定义域为.故选：D.
4．下列函数中与函数相等的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，选项A：函数，定义域为，不满足题意；选项B：函数，不满足题意；选项C：函数，不满足题意；选项D：函数，定义域为，与函数的定义域和对应关系均相同，满足题意.故选：D.
5．已知函数，那么（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，
故选：D．
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义，则有，解得或，所以函数的定义域是.故选：C
7．已知函数是一次函数，且恒成立，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【详解】设，，则
因为恒成立，所以且，解得，所以，即有.故选：D.
8．已知函数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，将换成，可得，即，联立方程组，解得，
所以.故选：B.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【详解】A选项，与定义域都为，定义域、解析式均相同，是同一函数；B选项，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；C选项，，与定义域、解析式均相同，是同一函数；D选项，的定义域为，，两函数定义域相同但解析式不同，不是同一函数.故选：AC
10．下列求函数定义域正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的定义域为
C．函数的定义域为 D．函数的定义域为
【答案】AD
【详解】对于A，对于，有，即，所以的定义域为，故A正确；
对于B，对于，有，解得，所以的定义域为，故B错误；对于C，对于，有，所以的定义域为，故C错误；
对于D，易知的定义域为，故D正确.故选：AD.
11．若函数的图象为如图所示的曲线m和线段n，曲线m与直线l无限接近，但永不相交，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在的定义域内任取一个值，总有唯一的y值与之对应
D．在的值域内任取一个值，总有唯一的x值与之对应
【答案】BC
【详解】由题意得：定义域为，A错误；的最小值为1，故值域为，B正确；
由函数定义及图象可知：在的定义域内任取一个值，总有唯一的y值与之对应，C正确，在的值域内任取一个值时，此时有两个x值与之对应，D错误.故选：BC
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．若函数，则 .
【答案】9
【详解】令，解得，所以，故答案为：9
13．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= .
【答案】
【详解】由题意可得.故答案为：.
14．已知函数的定义域为，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由，可知，解得，故答案为：.
附：常用基本初等函数图象及性质
一次函数
图象
定义域 R R
值域 R R
单调性 增 减
对称性 不固定 不固定
二次函数
图象
定义域 R R
值域
单调性 先减后增 先减后增
对称性 关于对称 关于对称
反比例函数：
图象
定义域
值域
单调性 两个减区间 两个减区间
对称性 关于原点对称，是奇函数 关于原点对称，是奇函数
指数函数：
图象
定义域 R R
值域
单调性 增 减
对称性 无 无
对数函数：
图象
定义域
值域 R R
单调性 增 减
对称性 无 无
常用指数函数与对数函数图象：
幂函数：
图象
七、三角函数：
正弦函数： 正弦函数： 正弦函数：
图象
定义域 R R
值域 R
单调性 增： 减： 增： 减： 增：
对称性 对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 对称中心：
对勾函数：
图象
定义域
值域
单调性 增区间：； 减区间： 增区间：
对称性 对称中心： 对称中心：
绝对值函数：
图象
定义域
值域
单调性 增区间：；减区间： 增区间：；减区间：
对称性 对称轴：轴 对称轴：轴

展开更多......

收起↑