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单元检测卷（三） 一元函数的导数及其应用
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数在上有极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】根据极值求参数
【分析】利用函数在某区间有极值等同于其导数在该区间有变号零点，之后分离参数结合二次函数的性质可得.
【详解】，
因为函数在上有极值，说明其导数在内有变号零点，
即方程在内有解，且解两侧导数符号不同，
令，则在有解，且不能是重根.
分离参数可得，
令，则，
所以，所以，
当时，，仅在处，
故在上单调递减，无极值.
所以的取值范围是.
故选：C.
2．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、函数与导函数图象之间的关系、由函数的周期性求函数值
【分析】利用函数的导数结合函数的奇偶性，对称性，周期性求解，结合函数奇偶性和对称性确定出的周期为4，即可求解．
【详解】因为为奇函数、则，则，
可知的图象关于点对称、可得，即，
可知的图象关于对称，则，
又因为为奇函数且定义域为R，则，可得，
可知的周期为4，所以，．
所以．
故选：C．
3．（2025·四川泸州·模拟预测）若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数
【分析】原方程等价于，令，利用导数求出其最大值为零后可得的值，从而可得正确的选项.
【详解】由题意，得，
令，则有，
又，故，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
又，故，所以，
所以.
故选：D.
4．（2024·四川泸州·二模）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】构造函数 进而利用单调性即得.
【详解】，， 构造函数且
当时,此时;
当时,此时.
故当单调递减,当单调递增.
故 故
又 即
故
故选: B
5．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )
A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】根据极值求参数
【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个变号零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，）．
故选B．
6．（2025高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】含参指数函数的最值、函数不等式恒成立问题
【分析】根据函数单调性求出函数的最小值，利用恒成立问题列出不等式求解.
【详解】因为，使得，所以
因为函数在上单调递减，所以，
因为函数在上单调递增，所以，
，解得，即实数的取值范围是.
故选：A.
7．已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
【解析】求出，根据已知在存在变号零点，即可求解.
【详解】∵，在内不是单调函数，
故在存在变号零点，即在存在零点，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查函数导数与函数单调性的关系，考查计算求解能力，属于基础题.
8．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．是递增数列
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】对数的运算、用导数判断或证明已知函数的单调性、判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式
【分析】由题意，，两式相减求出数列的通项公式，再结合对数的运算性质判断ABD，设，记，利用导数可得在上恒成立，进而利用放缩判断C.
【详解】因为，
所以,
两式相减得，则，
则，所以，A说法错误；
，，而，故B说法正确；
设，记，则
故，即在上恒成立，
所以，故C错误；
，
所以，故不是递增数列，D说法错误；
故选：B
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（2025·江苏镇江·模拟预测）设函数，则（ ）
A．是的一条切线
B．
C．当时，
D．若在区间上有最小值，则实数的范围为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用
【分析】借助导数的几何意义计算可得A；求导后计算可得B；构造函数，利用导数研究函数单调性后可得C；结合函数单调性利用最小值性质可得D.
【详解】对A：，
令，则或，
又，则在处的切线为，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：令，，
则，
故在上单调递增，又，
故，即，故C错误；
对D：由，则当时，，
当时，，
故在上单调递减，在、上单调递增，
又，且，
若在区间上有最小值，则有，
解得，故D正确.
故选：ABD.
10．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．若方程有两个不相等的实根，则
D．若不等式对恒成立，则
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】对于A，利用导数求出函数的单调区间，由单调性的应用即可判断；对于B，由即可判断；对于C,由题可得则,令,可得,,从而将问题转化为证,构造函数,结合导数研究函数的最小值即可求解；对于D，将问题转化为，当时，，由于在上单调递增可得，即在时恒成立，构造函数,结合导数求出函数的最小值即可求解.
【详解】对于A，,则,所以当,,则在上单调递减，当时，,则在上单调递增，所以,故A正确；
对于B,由于,由于,所以,则，故B不正确；
对于C，,由A选项不妨假设,则,则,令,则,所以,解得：,,
要证，即证,即证,设,则,所以在上单调递增，则，则,所以,故C正确．
对于D,在恒成立，即在恒成立，
则，当时，，由于在上单调递增，，
即在时恒成立，令,则,令,解得：,所以在上单调递增，
令,解得：,所以在上单调递减，则,所以,故D正确．
故选：ACD
11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【难度】0.4
【知识点】函数对称性的应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、判断零点所在的区间
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·广东·模拟预测）函数的极小值为 ．
【答案】3
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值
【分析】先求导，再根据导数正负判断单调性确定极值即可．
【详解】易得，
故当时，，单调递减；
时，，单调递增．
故的极小值为．
故答案为：3．
13．已知函数恰有一个零点，则 .
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究函数的零点
【分析】先通过，确定极值点得到，再验证的充分性即可；
【详解】解：易得，且当时，，当时，，所以要使恰有一个零点，
则在左侧附近单调递减，右侧附近单调递增，
即在处取到最小值，且又，
所以，解得
当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，即恒成立，
所以当且仅当时，恰有一个零点.
故答案为：
14．（2025·河北·模拟预测）已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知某点处的导数值求参数或自变量
【分析】首先利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】，，得，
当，，单调递增，，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小，
，得，即切点，
点到直线的距离为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数（，e为自然对数的底数）．
(1)求函数的极值；
(2)若方程在区间内有两个不相等的实数根，证明：．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析.
【难度】0.15
【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）根据极值的定义及利用导数求函数极值的步骤即可求解；
（2）根据已知条件转化为有两个根，利用导数法求函数的最值得出的范围，要证转化为证成立，利用分析法将问题转化为利用导数求函数的最值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，且.
当时，恒成立，在上单调递减，无极值.
当时，由，得，所以)在上单调递增；
由，得，所以在上单调递减.
所以当时，函数取得极大值，且极大值为.
综上所述，当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值.
（2）方程，即为方程.
由题意，得方程在区间内有两个不相等的实数，不妨设.
令，则.
令，即，解得.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
因为，所以即.
要证，只需证.
又因为，所以.
所以只需证，只需证.
因为，所以.所以.
所以只需证，只需证.
只需证， 只需证.
令，则，所以只需证.
令，则.
令，则恒成立.
所以在上单调递减.所以.
所以.所以在上单调递增.
所以.所以.
所以.
【点睛】解决此题的关键第一问直接利用导数法求函数的极值的步骤即可但要注意分类讨论，第二问，根据方程根问题利用分离参数法转化为函数交点问题，进而得出参数的范围从而将证明要证转化为证成立，逐步根据已知条件，利用分析法将问题转化为利用函数单调性求函数的最值即可.
16．（2025·湖北黄冈·一模）设函数的图象在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数的最小值．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】求指数型复合函数的值域、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、简单复合函数的导数
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）利用复合函数的值域即可求解.
【详解】（1），
依题意知：，
.
（2）
.
当，即时，取得最小值，
最小值为.
17．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若直线是曲线的一条切线，求的值；
(3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【难度】0.15
【知识点】已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间
【分析】（1）利用函数求导，根据参数分类讨论即得函数的单调性；
（2）设切点为，根据导数的几何意义，推得，设，通过求导判断其单调性，结合求得，回代即可求出的值；
（3）法一：利用变量分离将不等式化成，设，利用求导判断其单调性，推出当时，，即得参数的范围；法二：运用必要性探路、证明其充分性，利用函数的单调性进行验证即得.
【详解】（1）函数的定义域为，
因，令，
当时，在上单调递增，
则，故，此时函数在上单调递增：
当时，由，可得，
由，可得，
故当时，则函数在上单调递增；
当时，则函数在上单调递减.
故当时，在上单调递增，无减区间；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为是的切线，设切点为，
则，即 ①，
又，即 ②，
由②①并整理得：，
令，则，由可解得，
则当时，，则在上单调递减，
当时，则在上单调递增，
当，且，
则方程有唯一解为，将代入①式，可得.
（3）法一：由，可得，化简得，
设，可得，
设则因在上递增，
当时，
则在上递减，即有，
即，故在上递增；
当时，，由，可设，
若，可得在上递减，
可得，则，
故在上递减，即；
当，且时，
所以当时，，即，即的取值范围是.
法二：必要性探路、证明充分性
由，化简得：，
即恒成立，
恒成立，则，
则，
令，则，
设，则在恒成立，
则在上单调递增，又，
则由，由，
在上单调递减，在上单调递增，
，即恒成立，
实数的取值范围.
18．（2025高三上·云南·阶段练习）已知函数（a≠0）的对称中心为，记函数的导函数为，函数的导函数为，则．若函数的对称中心为．
(1)求函数的解析式；
(2)若过点可作三条直线与函数图象相切，求实数t的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【难度】0.65
【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则、求已知函数的极值、已知某点处的导数值求参数或自变量
【分析】（1）根据给定条件，求出导数并列出方程组，求解即得.
（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再将给定点代入切线方程，构造函数并借助导数求出极值，结合零点个数求出范围.
【详解】（1）函数，求导得，，
依题意，，解得，
所以函数的解析式.
（2）设过点的直线与函数图象相切于点，
则切线斜率，切线为，
由切线过点，得，整理得，
令，由过点可作三条直线与函数图象相切，得函数有三个零点，
求导得，由，得或，由，得，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
由有三个零点，得，解得，
所以实数t的取值范围是.
19．（2005·天津·高考真题）设函数．
(1)证明，其中k为整数；
(2)设为的一个极值点，证明；
(3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3)详见解析.
【难度】0.4
【知识点】函数图象的应用、三角恒等变换的化简问题、函数极值点的辨析、求已知函数的极值点
【分析】（1）根据函数解析式结合诱导公式即得；
（2）根据函数导数可得，然后根据同角关系式结合条件即得；
（3）由题可得极值点为第二或第四象限角，然后结合正切函数的性质讨论两极值点的差的范围即得.
【详解】（1）因为函数，
所以
；
（2）因为函数，
所以，
令，则，对满足方程的有，
所以，
由函数与函数的图象可知此方程一定有解，

故的一个极值点满足，
所以；
（3）设是的任意正实根，则，
则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角，
因为，
所以在第二或第四象限变化时，变化如下，
(为奇数) 0 +
(为偶数) + 0
所以满足的正根都为函数的极值点，
由题可知为方程的全部正实根且满足，
所以，
因为，，
则，
由，可得，
所以.单元检测卷（三） 一元函数的导数及其应用
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数在上有极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．（2025·四川泸州·模拟预测）若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川泸州·二模）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )
A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)
6．（2025高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．是递增数列
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（2025·江苏镇江·模拟预测）设函数，则（ ）
A．是的一条切线
B．
C．当时，
D．若在区间上有最小值，则实数的范围为
10．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．若方程有两个不相等的实根，则
D．若不等式对恒成立，则
11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025·广东·模拟预测）函数的极小值为 ．
13．已知函数恰有一个零点，则 .
14．（2025·河北·模拟预测）已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数（，e为自然对数的底数）．
(1)求函数的极值；
(2)若方程在区间内有两个不相等的实数根，证明：．
16．（2025·湖北黄冈·一模）设函数的图象在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数的最小值．
17．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若直线是曲线的一条切线，求的值；
(3)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（2025高三上·云南·阶段练习）已知函数（a≠0）的对称中心为，记函数的导函数为，函数的导函数为，则．若函数的对称中心为．
(1)求函数的解析式；
(2)若过点可作三条直线与函数图象相切，求实数t的取值范围．
19．（2005·天津·高考真题）设函数．
(1)证明，其中k为整数；
(2)设为的一个极值点，证明；
(3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明．

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