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单元检测卷（四） 三角函数与解三角形
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高三上·江苏宿迁·阶段练习）设集合{是等腰直角三角形}，{是等腰三角形}，{是等边三角形}，{是直角三角形}，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】判断两个集合的包含关系
【分析】由等腰直角三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念可判断.
【详解】直角三角形不一定是等腰直角三角形，故B错误；
等边三角形都是等腰三角形，故，故C正确；
等边三角形都不是等腰直角三角形，故A错误；
直角三角形不一定是等腰三角形，故D错误.
故选：C
2．（2024高三上·江苏无锡·期中）已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】相位变换及解析式特征、描述正（余）弦型函数图象的变换过程
【分析】根据三角函数的图象变换计算即可.
【详解】易知向右平行移动个单位长度可得
.
故选：A
3．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】特殊角的三角函数值、正弦定理解三角形
【分析】先根据正弦定理得出；再根据三角形中大边对大角及特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】由正弦定理可得：.
因为，
所以.
又因为，
所以或.
故选：C.
4．（2025高三上·江苏无锡·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式
【分析】利用倍角公式可求，根据诱导公式得到，利用同角三角函数的基本关系求出和，进而求出.
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
5．（2024高三上·江苏宿迁·阶段练习）中，，为的角平分线.若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式
【分析】根据角平分线先求出，由等腰三角形顶角和底角的关系，结合二倍角公式可得答案.
【详解】由题知，，则必为锐角，
由可知，
由二倍角公式，，
在等腰三角形中，底角显然是锐角，则
又，
则.
故选：D
6．（2025高三上·天津·阶段练习）已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．是函数的一个零点
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式
【分析】化简的解析式，根据的对称轴和对称中心的最小距离求得，根据三角函数的周期性、零点、最值、对称轴等知识确定正确答案.
【详解】，，
由于图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，
所以，所以，
A选项，函数的最小正周期为，A选项正确.
B选项，，所以是函数的一个零点，B选项错误.
C选项，，所以C选项错误.
D选项，，所以，D选项正确.
故选：C
7．（2025高三上·河北衡水·阶段练习）年“九·三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为.将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称
C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递减
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据三角函数平移变换可求得解析式，采用代入检验的方式，结合的对称轴和单调性依次判断各个选项即可.
【详解】由题意知：.
对于A，当时，，
不是的对称轴，不是的对称轴，A错误；
对于B，当时，，
不是的对称轴，不是的对称轴，B错误；
对于C，当时，，
在上单调递减，在上单调递减，C正确；
对于D，当时，，
在上不单调，在上不单调，D错误.
故选：C.
8．（2025高三上·重庆·阶段练习）已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题
【分析】利用三角恒等变换得，利用图像的变换得，由得，进而得，解出即可.
【详解】由题意有：，
所以，
由有，
又函数在区间上恰有4个零点，
所以，解得，即，
故选：B.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（2025高三上·广东深圳·专题练习）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．为函数图象的一条对称轴
B．在区间上单调递增
C．在区间上的值域为
D．在区间上有3个零点
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性、求函数零点或方程根的个数
【分析】对于A，通过判断是否在时，可取得最值，可判断选项正误；
对于BC，由正弦函数单调性可判断选项正误；对于D，当，，然后由正弦函数零点情况可判断选项正误.
【详解】对于A，时，，此时函数取最小值，故为函数图象的一条对称轴，故A正确；
对于B，时，，而在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
对于C，时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，故C正确；
对于D，，，因在上只有两个零点，
且由，即；由，即，
即在区间上有2个零点，故D错误.
故选：AC
10．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段练习）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．，在上单调递减
B．若且，则
C．若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
【答案】AC
【难度】0.4
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质逐项判断即可.
【详解】函数，
对于A，，当时，，
而函数在上单调递增，因此在上单调递减，A正确；
对于B，当时，的最小正周期为，，
由，得，B错误；
对于C，由，得，由在上有且仅有2个不同的解，
得，解得，C正确；
对于D，，要为奇函数，
当且仅当，而当时，，因此不可能是奇函数，D错误.
故选：AC
11．（2024·江苏常州·三模）已知函数，给出下列四个命题（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．的值域为
【答案】CD
【难度】0.85
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系、二倍角的正弦公式、求sinx型三角函数的单调性
【解析】对于A，利用周期的定义判断即可；对于B，判断是否成立即可；对于C，在区间上求出的解析式直接判断；对于D，把函数解析式化简后判断
【详解】解：对于A，因为，所以的最小正周期不是，所以A错误；
对于B，因为，所以的图象不关于直线对称，所以B错误；
对于C，当时，，所以 在区间上单调递增，所以C正确；
对于D，，所以的最大值为2，最小值为，所以的值域为，所以D正确，
故选：CD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，那么 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式
【分析】利用诱导公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.
【详解】由诱导公式可得，，
因此，.
故答案为：.
13．（25-26高三上·江苏宿迁·阶段练习）函数在区间内的零点个数为
【答案】3
【难度】0.65
【知识点】求正切（型）函数的对称中心、求函数零点或方程根的个数
【分析】由直接求出函数零点，然后结合区间即可得解.
【详解】由得，
令，解得，即，
所以函数在区间内有3个零点.
故答案为：3
14．已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是
【答案】
【难度】0.4
【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、辅助角公式
【分析】明确分段函数两段的性质，进而作出其图像，将方程恰有四个不同的实数解转化为的图象与直线有4个不同的交点，由图象确定，，，的范围，结合对勾函数单调性性质，即可求得答案.
【详解】由题意知，
当时，，
令，则；
当时，；
当时，，
令，则或4；令，则或2；
由此可作出函数的图象如图：

由于方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，
故的图象与直线有4个不同的交点，由图象可知，
不妨设，则，
且关于对称，所以，
又即，则，
故，
由于在上单调递增，故，
所以，
故的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题综合考查函数与方程的应用知识，涉及到知识点较多，综合性强，解答的关键时要明确分段函数的性质，进而作出其图象，数形结合，即可求解.
四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数
(1)求函数在上的值域；
(2)若，其中，求的值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、给值求值型问题
【分析】（1）利用辅助角公式可得，利用整体代换并结合正弦函数性质，即可求得答案；
（2）由，可得，继而求出，利用两角差的余弦公式，即可求得答案.
【详解】（1）根据题意，
设，因为，则，
所以，
所以的值域为．
（2）因为，所以，
可得，
因为，可得，所以，
所以
．
16．（2025高三上·上海·阶段练习）已知，其中.
(1)若，求函数，的值域；
(2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.4
【知识点】求cosx(型)函数的值域、根据极值点求参数
【分析】（1）把代入，求出时相位范围，再利用余弦函数性质求出值域.
（2）由已知可得，，再利用给定区间及极值情况求出范围即可得解．
【详解】（1）当时，，
因此，函数值域为.
（2）由题，应为极小值点的右侧第一个零点，
即，，因此.
又由区间长度可知，
其中，代入后解得.
因此.
17．（2025·天津和平·三模）在中，角、、所对的边分别为、、，，，
(1)求角的大小；
(2)求的值与的面积；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由正弦定理得出，结合余弦定理求出、的值，再利用三角形的面积公式即可求出的面积；
（3）利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的正弦公式可求出的值.
【详解】（1）由可得，可得，
因为，则，所以，解得.
（2）由正弦定理，有，所以，
由（1）知，由余弦定理得，
解得，，
所以的面积为.
（3）由余弦定理可得，
所以，
所以
.
18．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.
(1)根据条件具体写出关于的函数表达式；
(2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？
【答案】(1)；
(2)10分钟．
【难度】0.65
【知识点】三角函数在生活中的应用
【分析】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式；
（2）解不等式后可得．
【详解】（1）中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，，，
最低点到地面距离为10 m，
所以，，又，则，
所以所求表达式为；
（2），，
取一个周期内，有，，．
所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m．
19．（2025高三上·浙江嘉兴·期末）记的内角的对边分别为，已知三角形，角的平分线交边于点.
(1)证明：；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由结合三角形面积公式和余弦定理，解得，再根据角平分线和面积公式由得，化简既可；
（2）由内角平分线定理结合（1）中的结论，求出，再由余弦定理求，可得三角形周长.
【详解】（1）由可知，，
所以，又，故，如图所示，
所以，得，
化简整理得；
（2）因为，故，所以，又，
化简得，解得，又，
故，所以的周长为.单元检测卷（四） 三角函数与解三角形
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高三上·江苏宿迁·阶段练习）设集合{是等腰直角三角形}，{是等腰三角形}，{是等边三角形}，{是直角三角形}，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·江苏无锡·期中）已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度
C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
3．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ）
A． B． C．或 D．
4．（2025高三上·江苏无锡·期中）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·江苏宿迁·阶段练习）中，，为的角平分线.若，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·天津·阶段练习）已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．是函数的一个零点
C． D．
7．（2025高三上·河北衡水·阶段练习）年“九·三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为.将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称
C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递减
8．（2025高三上·重庆·阶段练习）已知将向左平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（2025高三上·广东深圳·专题练习）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．为函数图象的一条对称轴
B．在区间上单调递增
C．在区间上的值域为
D．在区间上有3个零点
10．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段练习）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．，在上单调递减
B．若且，则
C．若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
11．（2024·江苏常州·三模）已知函数，给出下列四个命题（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，那么 ．
13．（25-26高三上·江苏宿迁·阶段练习）函数在区间内的零点个数为
14．已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数
(1)求函数在上的值域；
(2)若，其中，求的值.
16．（2025高三上·上海·阶段练习）已知，其中.
(1)若，求函数，的值域；
(2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值.
17．（2025·天津和平·三模）在中，角、、所对的边分别为、、，，，
(1)求角的大小；
(2)求的值与的面积；
(3)求的值．
18．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.
(1)根据条件具体写出关于的函数表达式；
(2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？
19．（2025高三上·浙江嘉兴·期末）记的内角的对边分别为，已知三角形，角的平分线交边于点.
(1)证明：；
(2)若，求的周长.

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