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单元检测卷（五） 平面向量与复数
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】利用复数的除法求出，进而求出其共轭复数的虚部.
【详解】依题意，，
所以的虚部是.
故选：B
2．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据给定条件，利用复数除法求出即可得对应点的位置.
【详解】由，得，
所以在复平面内对应的点位于第二象限.
故选：B.
3．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知向量满足，且，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、坐标计算向量的模
【分析】由题意可得，，又，可得，可求.
【详解】因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，又，所以，
所以，所以，所以.
故选：D.
4．（23-24高三下·北京西城·开学考试）平面向量与的夹角是，且，，如果，，点是线段的中点，那么（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】平面向量的混合运算、已知数量积求模
【分析】利用向量模的计算公式可求.
【详解】因为是线段的中点，故，
故，
故选：A.
5．（24-25高三下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、解析法在向量中的应用
【分析】构建合适的直角坐标系，根据已知得，，设并结合数量积的坐标表示列方程求向量坐标，进而求模长.
【详解】由题意，得，设向量、的夹角为θ，
因为，所以，故．
以O为原点，以方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
使的起点与O重合，终点在第一象限，则，，
设，则，故，
所以，故．
故选：B
6．（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知平面向量满足，，且，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示
【分析】根据向量垂直得到向量的数量积，再将模长转化为数量积即可求得结果.
【详解】因为，所以，即，
因为，所以，
，又，
所以.
故选：C.
7．（24-25·河南·二模）已知，，，设与的夹角为，则（ ）
A．240° B．225° C．135° D．90°
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积
【分析】利用向量的平方等于模的平方来求解夹角即可.
【详解】由得：
因为，，所以，
即，
因为，所以，
故选：C.
8．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模
【分析】根据向量夹角公式求得，从而得解.
【详解】根据题意，，
又，则，
所以，
则，
又两向量夹角范围为，
所以向量与向量的夹角是.
故选：C
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】向量夹角的计算、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量
【分析】A.利用平面向量的数量积运算求解判断；B.利用平面向量的模公式求解判断；C.利用平面向量夹角公式求解判断；D.利用平面向量的投影向量的定义求解判断.
【详解】解：因为，，
所以，则，所以，故A正确；
，所以，故B错误；
，因为，所以，故C正确；
在方向上的投影向量是，故D错误；
故选：AC
10．（24-25·湖北黄石·模拟预测）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．已知，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
B．若，则
C．已知，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大
【答案】BCD
【难度】0.85
【知识点】向量夹角的计算、由已知条件判断所给不等式是否正确、组合数的计算、服从二项分布的随机变量概率最大问题
【分析】应用数量积公式结合夹角公式计算判断A，应用不等式性质计算判断B，应用组合数及排列数计算判断C，列不等式求解概率最大值判断D.
【详解】A.因为，两边同时平方，得，即，所以，
因此，因为，所以，
因此与的夹角为锐角或零角，故A错误，符合题意；
对于B，由于，故，故，B正确，
对于选项C：根据排列数和组合数的计算公式可得，，，
因为，所以有，即解得，故选项C正确；
对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，，
当时，对应的概率，
所以当时，，
令得，即，
因为，所以且，
令，可得，
所以，
即时，概率最大，故选项D正确．
故选：BCD．
11．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）在直角三角形中，⊥，为线段上一点，则下列说法正确的有（ ）
A．不存在直角三角形，使得是，的等差中项
B．若，，，则
C．若，，是的内切圆在上的切点，则
D．若，则存在直角三角形，使得是，的等比中项
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】正弦定理解三角形、数量积的运算律、等差中项的应用、等比中项的应用
【分析】举反例判断A，根据正弦定理求解判断B，利用等面积法求得的内切圆半径，然后利用向量法判断C，举出实例得到D正确.
【详解】对于A，，，，满足是，的等差中项，A错误；
对于B，直角三角形中，⊥，故，
由正弦定理可得，
又，，故，B正确；
对于C，设的内切圆为，
由三角形面积可知，则的内切圆半径，
由几何关系知，，，故，即，
所以，，
则，故C正确；
对于D，取，，则，，
故，
即存在直角三角形，使得是，的等比中项，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知在方向上的投影向量为，则 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量
【分析】由投影向量的定义，结合已知有，即可得.
【详解】由在方向上的投影向量，即，解得.
故答案为：
13．（24-25·安徽合肥·二模）已知为锐角三角形，且，，的面积为，则 ．
【答案】7
【难度】0.65
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】由面积和两边长,可以求出夹角A的正弦值，再利用同角三角函数关系求出余弦值，最后利用余弦定理求出另一边长即可.
【详解】由，得，
又为锐角三角形，所以角A为锐角，所以，
在中，由余弦定理，得：，
.
故答案为：7.
14．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则 .
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】正弦定理解三角形、几何图形中的计算
【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出.
【详解】设，在中，由正弦定理可得①，
由可得，则，，
在中，由正弦定理可得②，
①②两式相除，得，即，
整理得，故.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（24-25·天津河北·模拟预测）已知向量，，．
(1)求的坐标，的值；
(2)若，求实数k的值；
(3)若，求实数k的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3).
【难度】0.85
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、已知向量垂直求参数、利用坐标求向量的模
【分析】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求坐标和；
（2）由向量平行的坐标表示列方程求参数；
（3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数.
【详解】（1）由题设，；
（2）由题设，又，
所以，则，可得；
（3）由（2）及，则，可得.
16．（24-25·上海金山·三模）已知，函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，若，且的面积为，求．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】辅助角公式、余弦定理解三角形、数量积的坐标表示、求sinx型三角函数的单调性
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，进而利用正弦函数的单调性求解；
（2）由可求角，进而由可求的值，从而利用余弦定理求出的值.
【详解】（1）由题意，，
∴
.
由，可得，
所以的单调递增区间为.
（2）由，得，
因为，所以，所以，即.
因为，所以，得.
又，所以，
即，
所以
即．
17．（24-25·广西·模拟预测）已知向量，，设函数．
(1)化简并写出的最小正周期；
(2)在中，角对的边分别为，若，，的面积为，是线段的中点，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、数量积的运算律、数量积的坐标表示
【分析】（1）利用数量积的坐标表示结合诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简，再根据三角函数的周期公式求最小正周期即可；
（2）由求出，由三角形面积公式和余弦定理求出和，再根据是线段的中点可得，利用数量积的运算律求解即可.
【详解】（1）由题意可得
，
故最小正周期为．
（2）因为，且，
所以，解得，
由，得，
由余弦定理即，解得，
又因为是线段的中点，所以，
得，
故．
18．（24-25·北京·模拟预测）在中，角所对边分别为，已知：
(1)求；
(2)已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求的面积.
①；
②；
③.
【答案】(1)
(2)若选①不符题意，选②满足题意且，选③满足题意且
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积
【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理边化角即可求解；
（2）若选①，可余弦定理运算可知此时存在但不唯一，不符题意；若选②，由正弦定理可知此时，此时通过余弦定理可唯一解出满足题意，结合三角形面积公式求解即可；若选③，一方面有，另一方面，且，由此可唯一解出，进而也唯一，满足题意，结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）因为
所以，即，
所以.
（2）若选①，因为，，
所以由余弦定理有，整理得，
解得，此时存在但不唯一，不符题意；
若选②，则，
所以此时，
由余弦定理有，整理得，
解得或（舍去），此时存在且唯一，
且；
若选③，则，
又，且，
所以整理得，解得或（舍去），
此时存在且唯一，
且.
19．（24-25·广东广州·二模）设，集合（为向量），若，定义.
(1)若，且，写出所有的；
(2)若，且，设满足的的个数为，求的值；
(3)从集合中任取两个不同的向量，记，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)，，
(3)分布列见解析，
【难度】0.15
【知识点】二项式定理与数列求和、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、向量新定义
【分析】（1）设设，，，根据定义列方程求，由此可得结论；
（2）方法一：根据定义，由条件可得，由二项式定理可得，由此可求结论；
方法二：根据定义，由条件可得，结合组合数性质，分为奇数，为偶数两种情况结合裂项相消法分别求结论；
（3）方法一：根据定义确定随机变量的可能取值，再结合定义和计数原理求，由此可得分布列，结合期望公式可得，再分别计算，，化简可得结论；
方法二：根据定义确定随机变量的可能取值，再结合定义和计数原理求，由此可得分布列，结合期望公式可得，再分别计算，，，由此可求结论.
【详解】（1）设，，，
因为，，
所以，，
所以，
若，则，
若，则，或，，
所以满足的为：.
（2）解法1：因为，
则满足等价于向量的坐标中有个位置上的值为1，剩下个位置上的值为0，即.
由二项式定理，，
所以，
因此，，，
解法2：因为，
则满足等价于向量的坐标中有个位置上的值为1，剩下个位置上的值为0，即.
因为，所以，，，，，
所以，为奇数时，
.
为偶数时，
.
因此，，；
（3）解法1：若，则，，与为不相等的向量矛盾，
所以随机变量的可能取值有，
对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，
且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等，
此时所对应情况数为种.
中元素的个数为个，所以.
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望为.
首先计算.
设，
两边求导得，，
两边乘以后得，
令，得，
所以
所以.
下面计算
因为，
，
，
，
因为，
所以，所以.
所以.
解法2：由题意可知，，
对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，
且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等，
此时所对应情况数为种.
中元素的个数为个，所以.
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望为，
令，因为，
可得
其中，
因为，
所以，
，，
所以.单元检测卷（五） 平面向量与复数
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）复数满足 (为虚数单位)，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·山东济宁·期末）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知向量满足，且，则（ ）
A． B．2 C． D．3
4．（23-24高三下·北京西城·开学考试）平面向量与的夹角是，且，，如果，，点是线段的中点，那么（ ）
A． B． C．3 D．6
5．（24-25高三下·山西大同·期末）已知，是单位向量，且．若平面向量满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）已知平面向量满足，，且，则（ ）
A． B． C．2 D．1
7．（24-25·河南·二模）已知，，，设与的夹角为，则（ ）
A．240° B．225° C．135° D．90°
8．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量是
10．（24-25·湖北黄石·模拟预测）下列命题中，正确的命题是（ ）
A．已知，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
B．若，则
C．已知，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大
11．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）在直角三角形中，⊥，为线段上一点，则下列说法正确的有（ ）
A．不存在直角三角形，使得是，的等差中项
B．若，，，则
C．若，，是的内切圆在上的切点，则
D．若，则存在直角三角形，使得是，的等比中项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知在方向上的投影向量为，则 .
13．（24-25·安徽合肥·二模）已知为锐角三角形，且，，的面积为，则 ．
14．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则 .
四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（24-25·天津河北·模拟预测）已知向量，，．
(1)求的坐标，的值；
(2)若，求实数k的值；
(3)若，求实数k的值．
16．（24-25·上海金山·三模）已知，函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，若，且的面积为，求．
17．（24-25·广西·模拟预测）已知向量，，设函数．
(1)化简并写出的最小正周期；
(2)在中，角对的边分别为，若，，的面积为，是线段的中点，求的值．
18．（24-25·北京·模拟预测）在中，角所对边分别为，已知：
(1)求；
(2)已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求的面积.
①；
②；
③.
19．（24-25·广东广州·二模）设，集合（为向量），若，定义.
(1)若，且，写出所有的；
(2)若，且，设满足的的个数为，求的值；
(3)从集合中任取两个不同的向量，记，求的分布列与数学期望.

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