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单元检测卷（一） 集合、复数与简易逻辑
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求复数的实部与虚部
【分析】根据的幂次规律，，把化为复数标准形式，其虚部即为前
的系数.
【详解】因为，
代入原式得：，
所以复数标准形式中，虚部为3.
故选：D.
2．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）设集合，则的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】写出集合，计算真子集个数.
【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为.
故选：D.
3．（25-26·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算、集合新定义
【分析】求出后可求得，故可得正确的选项
【详解】由题设可得，，
因为，，，，
故，
故选：D.
4．（25-26·江苏镇江·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】先求出集合，再利用集合的交集运算即可求解.
【详解】由题意，
可得，则得，故A正确.
故选：A.
5．（25-26·辽宁大连·一模）已知函数，对于，若命题 命题，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】充要条件的证明
【分析】由充分条件和必要条件的单调性结合指数函数的单调性即可得出答案.
【详解】因为函数，所以在上单调递增，
所以由能推出，
又因为，所以
所以p是q的充要条件.
故选：A.
6．（25-26·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据集合的包含关系直接得到答案.
【详解】因为，所以解得，
即a的取值范围是.
故选：D.
7．（25-26高三上·湖北武汉·期中）“”是“，是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【解析】由命题“，是假命题”，利用二次函数的性质，求得实数的取值范围，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，命题“，是假命题”
可得命题“，是真命题”
当时，即时，不等式恒成立；
当时，即时，则满足，解得，
综上可得，实数，
即命题“，是假命题”时，实数的取值范围是，
又由“”是“”的必要不充分条件，
所以“”是“，是假命题”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】理解全称命题与存在性命题的含义时求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，把存在性命题为假命题转化为全称命题为真命题，结合二次函数的性质求得参数的取值范围，再根据充分、必要条件的判定方法，进行判定.
8．（25-26·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（ ）
A．，，，
B．
C．
D．或
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据题意逐一分析四个选项即可得到答案.
【详解】A的意思是不存在偶数不满足哥德巴赫猜想，与原命题等价，
B的意思是两个质数的和作为集合，包含了所有大于2的偶数的集合，与原命题等价，
C的意思是两个质数的和中不是偶数的部分为空集，也就是两个质数的和都是偶数，
因为是两个质数的和，但不是偶数，和命题矛盾，C错.
D的意思是要么一个偶数不大于2，要么存在一个质数使得该偶数减去质数之后还是一个质数．
故选：C．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（25-26·广东·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．当时，集合含有2个元素
B．集合中的元素个数可能为5
C．当时，
D．当时，
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】判断两个集合是否相等、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算
【分析】根据各选项的条件，可验证AD正确；通过举例子可判断B正确；通过举反例可排除C项.
【详解】对于A，当时，则，，此时，故A正确；
对于B，取，，则，，此时，故B正确；
对于C，取，，此时，，，而有，故C错误；
对于D，当时，，，
根据集合元素的互异性，必有，
若，则两集合除0外的元素也应相同，即，
这需要满足“且”（显然不成立）或“且”，后者要求，
与集合B元素互异性的要求矛盾，故假设不成立，因此，故D正确，
故选：ABD．
10．（25-26高三上·福建莆田·阶段练习）设为复数，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．若均为纯虚数，则为实数
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】利用共轭复数的意义、复数模的意义，结合复数运算逐项判断.
【详解】设，，
对于A，，则，A正确；
对于B，取，则，，B错误；
对于C，，
，则，C正确；
对于D，由均为纯虚数，得，，
则是实数，D正确.
故选：ACD
11．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）当一个含有非零实数的数集满足“如果，则”时，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法：①0和1是任何数域的元素；②；③集合是一个数域；④有理数集是最小的数域（即对于任意的数域G，都有
其中正确的选项有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ABD
【难度】0.4
【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、集合新定义
【分析】根据有理数定义逐一分析即可.
【详解】由题意可知对任意数域G，存在非零实数，
则由数域定义，所以0和1是任何数域的元素，故①正确；
由①知，所以，以此类推，所有的正整数均属于数域G中的元素，
所以，故②正确；
集合，则，但，不满足数域的定义，
故集合P不是一个数域，故③错误；
由①知所有正整数均属于数域G中的元素，又，
以此类推所有负整数均属于数域G中的元素，所以所有的整数均属于数域G中的元素，
所以对任意整数，有，
故对有理数集，有，
又对任意的，有，
所以有理数集是数域，且有理数集是最小的数域，故④正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（25-26高三上·上海·开学考试）已知为虚数单位，复数，则 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】复数的基本概念、求复数的模
【分析】根据复数模长的运算，即可求解.
【详解】根据题意，复数，根据复数模长的计算，可得.
故答案为：.
13．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为
【答案】
【难度】0.65
【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合
【分析】化简集合，然后根据集合补集和交集定义求解可得.
【详解】解不等式得或，所以或，
则，
图中阴影部分属于集合，但不属于集合，表示，
因为，所以.
故答案为：
14．（25-26高三·全国·专题练习）给出下列命题：
①两个不是实数的复数不能比较大小；
②复数的共轭复数是；
③若是纯虚数，则实数；
④若，则.
其中假命题的序号是 .
【答案】②③④
【难度】0.65
【知识点】判断命题的真假、复数的基本概念、已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算
【分析】对于①利用复数的概念即可判断，对于②根据共轭复数的定义即可判断，对于③由已知有且，解出即可判断，对于④，取即可判断.
【详解】对于①显然为真命题；对于②，复数的共轭复数是，所以该命题是假命题；
对于③，若是纯虚数，则且，所以，所以该命题是假命题；
对于④，若，可取，所以该命题是假命题.
故答案为：②③④.
四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知复数，，.
(1)当时，求和；
(2)设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求.
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】辅助角公式、复数的坐标表示、求复数的模、复数代数形式的乘法运算
【分析】（1）根据三角函数求复数标准式，由复数的乘法以及加减，结合模长公式，可得答案；
（2）由复数的几何意义写出点的坐标，根据数量积的坐标计算以及三角函数的辅助角公式，可得答案.
【详解】（1）当时，，，
所以，，
则.
（2）由已知得，，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，所以，即.
16．（25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知集合．
(1)若是的必要不充分条件，求a的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数
【分析】（1）由必要不充分条件的定义可得集合是集合的真子集，由集合关系列出不等式即可求解.
（2）由题可得，分类讨论的范围，求出集合，由集合关系列出不等式即可求解.
【详解】（1）不等式可化为，所以或，
所以，由于是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，
对于集合，设，其图像是开口向上的抛物线，要满足集合是集合的真子集，
则，即，解得：，
所以a的取值范围为：
（2）因为，则
当时， ，满足；
当时，，
要使，则，解得：；
当时，，
要使，则，解得：；
综上：实数m的取值范围为：
17．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)的取值范围为；
(2)的取值范围是.
【难度】0.65
【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数、分式不等式
【分析】（1）化简集合，由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得；
（2）由必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得.
【详解】（1）不等式可化为，
所以，
所以或，
所以或，
所以不等式的解集为，
所以，
由，可得，
因为，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为.
（2）由题意可得，是的必要不充分条件，故是的真子集，
又，，
则，解得，故实数的取值范围是．
18．（25-26高三上·江西赣州·开学考试）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2).
【难度】0.65
【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】（1）解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解.
（2）求出集合，再利用充分不必要条件定义列式求解.
【详解】（1）当时，，则或，
而，
所以.
（2）当时，，
由（1）知，由“”是“”成立的充分不必要条件，
得集合是集合的真子集，则或，解得或，
所以正实数m的取值范围中.
19．（24-25高一上·上海宝山·期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．
(1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由；
(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；
(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．
【答案】(1)是倒函数，不是倒函数
(2)没有正整数解，理由见解析
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】充要条件的证明、零点存在性定理的应用、函数新定义
【分析】（1）利用给定的定义进行判断；
（2）先求出时的解析式，利用零点存在定理验证即可；
（3）利用函数单调性的定义，倒函数的定义以及充分条件、必要条件的定义进行证明.
【详解】（1）对于定义域为，显然定义域中任意实数，都有成立，
又，所以是倒函数.
对于定义域为，
当时，，不符合倒函数的定义，
所以不是倒函数.
（2）令，则，由倒函数的定义，可得，
所以，所以，
要使有正整数解，则，
令，则函数在上单调递增，
因为，
，
由零点存在定理可知，方程的根所在的区间为，
所以没有正整数解.
（3）充分性：当时，且，
因为是增函数，所以，
即，，
所以.
必要性：当时，
有，
因为恒大于，所以，即，
所以，
因为是增函数，所以，即.
综上可得是的充要条件.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是理解所给倒函数的定义，使用进行转化.单元检测卷（一） 集合、复数与简易逻辑
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．3
2．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）设集合，则的真子集的个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
3．（25-26·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：.若集合， ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26·江苏镇江·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26·辽宁大连·一模）已知函数，对于，若命题 命题，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（25-26·河南许昌·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高三上·湖北武汉·期中）“”是“，是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（25-26·全国·模拟预测）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于2的偶数都可写成两个质数之和．定义为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（ ）
A．，，，
B．
C．
D．或
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（25-26·广东·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．当时，集合含有2个元素
B．集合中的元素个数可能为5
C．当时，
D．当时，
10．（25-26高三上·福建莆田·阶段练习）设为复数，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．若均为纯虚数，则为实数
11．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）当一个含有非零实数的数集满足“如果，则”时，我们称就是一个数域，以下关于数域的说法：①0和1是任何数域的元素；②；③集合是一个数域；④有理数集是最小的数域（即对于任意的数域G，都有
其中正确的选项有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（25-26高三上·上海·开学考试）已知为虚数单位，复数，则 .
13．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为
14．（25-26高三·全国·专题练习）给出下列命题：
①两个不是实数的复数不能比较大小；
②复数的共轭复数是；
③若是纯虚数，则实数；
④若，则.
其中假命题的序号是 .
四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知复数，，.
(1)当时，求和；
(2)设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求.
16．（25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知集合．
(1)若是的必要不充分条件，求a的取值范围；
(2)若，求实数m的取值范围．
17．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．（25-26高三上·江西赣州·开学考试）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．
19．（24-25高一上·上海宝山·期末）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．
(1)若，，判断函数和是否为倒函数，并说明理由；
(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；
(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．

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