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单元检测卷（九） 统计与成对数据的统计分析
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（24-25高三上·天津北辰·期末）下列命题中
①散点图不能直观地判断两个变量是否具有线性相关关系；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③回归直线一定经过样本中心点.
其中正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·辽宁·期末）某厂质检员利用随机数表对生产的600个产品进行抽样调查，先将这600个产品进行编号：001，002，003，…，600．从中抽取120个样本，下图是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第5列开始从左向右读取数据，则得到的第5个编号是（ ）
32 12 67 12 31 02 37 02 14 72 31 09 81 47 80 25 13 25 46 08
71 20 34 51 19 72 01 38 47 18 04 92 51 28 02 31 27 46 51 30
A．098 B．147 C．513 D．310
3．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知两个变量和之间具有较强的线性相关关系，且关于的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差＝观测值－预测值），则（ ）
A．0.28 B．0.56 C．0.34 D．0.48
4．（24-25高三上·广东·期末）已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为则b的值为（ ）
x 6 8 9 10 12
y 6 5 4 3 2
A．-0.6 B．-0.7 C．-0.8 D．-0.9
5．（24-25高三上·浙江台州·期末）下表为国家统计局统计的2014年～2023年我国各级各类学校教职工数的统计数据：
2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年
高等学校教职工数（万人） 234 237 240 244 249 257 267 275 284 292
高中阶段教职工数（万人） 365 365 368 375 381 391 403 395 407 418
初中阶段教职工数（万人） 396 398 400 408 420 435 450 469 475 482
小学阶段教职工数（万人） 549 549 554 565 573 585 597 622 625 626
则在这10年的时间里，教职工数的增长率（增长率×100%）最高的是（ ）
A．高等学校 B．高中阶段 C．初中阶段 D．小学阶段
6．（24-25高三上·天津·期末）有一散点图如图所示，在六组数据中去掉B点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．样本数据的两变量x，y正相关 B．相关系数r的绝对值更接近于0
C．残差平方和变大 D．变量x与变量y相关性变强
7．（24-25高三上·天津河西·期末）某中学组织高中学生参加数学知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数为（ ）
A．85 B．86 C．87 D．88
8．（25-26高三上·贵州·阶段练习）某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示：
年龄 62 50 43 32 30 28 25
人数 2 3 3 5 2 4 1
下列说法正确的是（ ）
A．29是这20人年龄的一个上四分位数 B．29是这20人年龄的一个下四分位数
C．31是这20人年龄的一个中位数 D．这20人年龄的众数是5
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（24-25高三上·山东日照·期末）下列说法正确的是（ ）
A．样本数据、、、、、、的分位数是
B．数据、、、的平均数为，则、、、的平均数为
C．若随机变量，则
D．若随机变量，且，则
10．（24-25高三上·广东·阶段练习）某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了份，将得分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在内的人数为10，则（ ）
A．
B．
C．估计参赛选手得分的平均分低于70分（同组数据用该组区间的中点值作代表）
D．估计参赛选手得分的中位数在内
11．（24-25高三上·山东淄博·期末）某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（ ）
A．若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B．甲得分的极差大于乙得分的极差
C．甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（24-25高三上·广东·阶段练习）甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有 种．
13．（24-25高三上·天津·期末）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 ；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为 .
14．（24-25高三上·河北唐山·期末）某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ．
附：，则，．
四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会．
(1)求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率；
(2)记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望．
16．（23-24高三下·广东江门·阶段练习）某店举行消费抽奖活动，顾客到店消费100元及以上，可参加一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有10张形状大小完全相同的卡片（7张红卡片，2张黄卡片，1张黑卡片）的抽奖箱中，一次性抽出3张卡片，其中1黑2黄，则全免单，1红1黄1黑，则享受5折优惠，1黑2红，则享受7折优惠，其余情况则享受8折优惠．
(1)若某位顾客消费价格为100元的商品，求该顾客实际付款金额的分布列与数学期望．
(2)若顾客通过抽奖享受8折优惠，则每消费满100元售货员可获得3元的提成；若顾客通过抽奖享受7折、5折或免单优惠，则每消费满100元售货员可获得2元提成若某售货员在某天可以接待100名消费满100元且不满200元的顾客，则该售货员可能获得的提成为多少元．
17．（24-25高三上·浙江杭州·期末）阿尔法狗是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗，三个阶段的阿尔法狗依次简记为甲、乙、丙.
(1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程.
(2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.
（ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值;
（ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M，证明：
18．（24-25高三上·河北·阶段练习）山海关，位于河北省秦皇岛市，素有“两京锁钥无双地，万里长城第一关”之称.野三坡，位于河北省保定市涞水县，享有“世外桃源”之称.已知某地居民中青少年 中年人 老年人的人数比例为，且他们寒假去山海关 野三坡旅游的概率如下表所示：
青少年 中年人 老年人
只去山海关旅游 0.2 0.2 0.1
只去野三坡旅游 0.1 0.3 0.3
既去山海关旅游，又去野三坡旅游 0.1 0.1 0.3
(1)若从该地居民（仅指青少年 中年人 老年人）中任选一人，求此人寒假去山海关旅游的概率；
(2)若甲 乙 丙分别是该地居民中的一位青年人 中年人 老年人，假设该地居民选择寒假旅游地相互独立，记这3人中寒假去野三坡旅游的人数为，求的分布列与数学期望.
19．（22-23高三下·辽宁·阶段练习）随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑（俗称“笔记本”）也非常流行．某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，在街头随机抽取了50人做调查研究，调查数据如下表所示．
男性 女性 合计
喜欢“台式机” 20 5 25
喜欢“笔记本” 10 15 25
合计 30 20 50
(1)是否有99%的把握认为喜欢哪种机型与性别有关？
(2)该公司针对男性客户做了调查，某季度男性客户中有青年324人，中年216人，老年108人，按分层抽样选出12人，又随机抽出3人的调查结果进行答谢，这3人中的青年人数设为随机变量，请求出的分布列与数学期望．
附：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.01
2.701 3.841 5.024 6.635单元检测卷（九） 统计与成对数据的统计分析
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（24-25高三上·天津北辰·期末）下列命题中
①散点图不能直观地判断两个变量是否具有线性相关关系；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③回归直线一定经过样本中心点.
其中正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】判断命题的真假、判断两个变量是否有相关关系、解释回归直线方程的意义
【分析】根据变量间的相关关系以及回归直线定义和性质即可判断选项.
【详解】对于①，散点图可以直观地判断两个变量是否具有线性相关关系，故错误；
对于②，回归直线也可能不过任何一个点，故错误；
对于③，回归直线一定经过样本中心点，故正确.
故选：B
2．（24-25高三上·辽宁·期末）某厂质检员利用随机数表对生产的600个产品进行抽样调查，先将这600个产品进行编号：001，002，003，…，600．从中抽取120个样本，下图是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第5列开始从左向右读取数据，则得到的第5个编号是（ ）
32 12 67 12 31 02 37 02 14 72 31 09 81 47 80 25 13 25 46 08
71 20 34 51 19 72 01 38 47 18 04 92 51 28 02 31 27 46 51 30
A．098 B．147 C．513 D．310
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】随机数表法
【分析】根据随机数表的读法读出前5个符合的编号即可得解.
【详解】由题意可知得到的编号依次为231，023，147，098，513，…，则得到的第5个编号是513.
故选：C.
3．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知两个变量和之间具有较强的线性相关关系，且关于的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差＝观测值－预测值），则（ ）
A．0.28 B．0.56 C．0.34 D．0.48
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】残差的计算、根据回归方程进行数据估计
【分析】由题意先求出时的预报值，通过残差列出方程，求解即得的值.
【详解】由题意，，解得.
故选：A.
4．（24-25高三上·广东·期末）已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为则b的值为（ ）
x 6 8 9 10 12
y 6 5 4 3 2
A．-0.6 B．-0.7 C．-0.8 D．-0.9
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】计算几个数的平均数、根据样本中心点求参数
【分析】由表格求出和，根据样本中心点必在线性回归直线上即可求得.
【详解】由表可知：，，
因样本中心点必在线性回归直线上，故有，
代入得：，解得.
故选：B.
5．（24-25高三上·浙江台州·期末）下表为国家统计局统计的2014年～2023年我国各级各类学校教职工数的统计数据：
2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年
高等学校教职工数（万人） 234 237 240 244 249 257 267 275 284 292
高中阶段教职工数（万人） 365 365 368 375 381 391 403 395 407 418
初中阶段教职工数（万人） 396 398 400 408 420 435 450 469 475 482
小学阶段教职工数（万人） 549 549 554 565 573 585 597 622 625 626
则在这10年的时间里，教职工数的增长率（增长率×100%）最高的是（ ）
A．高等学校 B．高中阶段 C．初中阶段 D．小学阶段
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据频率分布表解决实际问题
【分析】计算出各类计算各选项中的增长率即可得．
【详解】由已知高等学校增长率为，
高中阶段增长率为，
初中阶段增长率为，
小学阶段增长率为，
故选：A．
6．（24-25高三上·天津·期末）有一散点图如图所示，在六组数据中去掉B点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．样本数据的两变量x，y正相关
B．相关系数r的绝对值更接近于0
C．残差平方和变大
D．变量x与变量y相关性变强
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断正、负相关、相关系数的意义及辨析、残差的计算
【分析】由图可知，两变量负相关，去掉B点后，回归直线效果更好，据此判断，即可求解．
【详解】由图可知，样本数据的两变量负相关，故A错误；
由图可知，点B相对其它点，偏离直线远，
故去掉B点后，回归直线效果更好，故BC错误，D正确．
故选：D.
7．（24-25高三上·天津河西·期末）某中学组织高中学生参加数学知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数为（ ）
A．85 B．86 C．87 D．88
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计
【分析】由频率分布直方图的性质求出，再由百分位数的方法求解即可.
【详解】由题意可得，解得，
所以前两组的频率和为，前三组的频率和为，
设这组样本数据的分位数为，则，
解得.
故选：C.
8．（25-26高三上·贵州·阶段练习）某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示：
年龄 62 50 43 32 30 28 25
人数 2 3 3 5 2 4 1
下列说法正确的是（ ）
A．29是这20人年龄的一个上四分位数 B．29是这20人年龄的一个下四分位数
C．31是这20人年龄的一个中位数 D．这20人年龄的众数是5
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、总体百分位数的估计
【分析】对于AB，由上四分位数，下四分位数概念及计算方式，题目数据可判断选项正误；对于C，由中位数计算方式及题目数据可判断选项正误；对于D，由众数概念可判断选项正误.
【详解】对于A，上四分位数，即分位数，因，则上四分位数为从小到大排列第15个数和第16个数的平均数，为，故A错误；
对于B，下四分位数，即分位数，因，则下四分位数为从小到大排列第5个数和第6个数的平均数，为，故B正确；
对于C，这20人年龄的中位数是，故C错误；
对于D，这20人年龄的众数是32，故D错误.
故选：B
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（24-25高三上·山东日照·期末）下列说法正确的是（ ）
A．样本数据、、、、、、的分位数是
B．数据、、、的平均数为，则、、、的平均数为
C．若随机变量，则
D．若随机变量，且，则
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】平均数的和差倍分性质、独立重复试验的概率问题、特殊区间的概率、总体百分位数的估计
【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用平均数的性质可判断B选项；利用独立重复试验的概率公式可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项.
【详解】对于A选项，将样本数据由小到大排列依次为：、、、、、、，
因为，因此，这组样本数据的分位数是，A对；
对于B选项，数据、、、的平均数为，则、、、的平均数为，B错；
对于C选项，若随机变量，则，C错；
对于D选项，若随机变量，且，
则，D对.
故选：AD.
10．（24-25高三上·广东·阶段练习）某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了份，将得分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在内的人数为10，则（ ）
A．
B．
C．估计参赛选手得分的平均分低于70分（同组数据用该组区间的中点值作代表）
D．估计参赛选手得分的中位数在内
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数
【分析】由矩形的面积和为1可得A正确；由频率比组距可得B正确；由平均值的计算可得C错误；由中位数的计算可得D正确；
【详解】对于A、B，由，
得，则，故A，B正确；
对于C，估计参赛选手得分的平均分为x，
则，故C不正确；
对于D，因为，，
所以估计参赛选手得分的中位数在内，故D正确．
故选：ABD.
11．（24-25高三上·山东淄博·期末）某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对甲、乙的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（ ）
A．若去掉最高分和最低分，则甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B．甲得分的极差大于乙得分的极差
C．甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计
【分析】运用极差、中位数及百分位数的公式计算，和方差的意义逐项判断即可.
【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下：
甲：，乙：，
故去掉最高分和最低分可得甲的中位数为，乙的中位数为，故A正确；
甲的极差为，乙的极差为，故B正确；
，所以甲的第75百分位数为，乙的第75百分位数为，故C错误；
由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（24-25高三上·广东·阶段练习）甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有 种．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】根据分步乘法计数原理可得解.
【详解】先站甲、乙、丙人，共有种不同的站法，
再站剩余人，先将1人排到甲、乙、丙3人之间的空位中，
最后将剩余的1人排到前面4人之间的空位中，
共有种不同的站法，
根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种．
故答案为：40
13．（24-25高三上·天津·期末）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 ；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式
【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式求解第一空，利用条件概率公式求解第二空．
【详解】解：设事件A表示“茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格”，则事件表示“茶叶加工中三道工序都不合格”，
所以
设事件B表示“绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格”，事件C表示“杀青加工合格”，
则
所以
故答案为：；
14．（24-25高三上·河北唐山·期末）某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ．
附：，则，．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】二项分布的均值、指定区间的概率
【分析】利用二项分布的期望公式求解即可；利用公式把二项分布转化为标准的正态分布，然后利用正态分布的概率公式求解即可.
【详解】①根据题意：投篮命中的次数服从二项分布，
所以（次），
故该同学投中次数的期望为20次；
②由该同学n次投篮总得分在区间，
则该同学n次投篮命中次数在区间，
，
又因为，所以，
根据服从标准正态分布，可知，所以，
则n需满足，
故n的最小值为，
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会．
(1)求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率；
(2)记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【难度】0.65
【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）通过互斥事件的概率加法公式可求得答案；
（2）的所有可能取值为15，25，35，45，进而通过独立事件与互斥事件的概率公式求出相应的概率，进而得到分布列，最后求出期望.
【详解】（1）若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额，可知乙也得抽中银奖，此时概率．
若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额，此时概率．
故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率．
（2）记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为，则．
由题可知，，，
，，
则，，，．
的分布列为
15 25 35 45
．
16．（23-24高三下·广东江门·阶段练习）某店举行消费抽奖活动，顾客到店消费100元及以上，可参加一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有10张形状大小完全相同的卡片（7张红卡片，2张黄卡片，1张黑卡片）的抽奖箱中，一次性抽出3张卡片，其中1黑2黄，则全免单，1红1黄1黑，则享受5折优惠，1黑2红，则享受7折优惠，其余情况则享受8折优惠．
(1)若某位顾客消费价格为100元的商品，求该顾客实际付款金额的分布列与数学期望．
(2)若顾客通过抽奖享受8折优惠，则每消费满100元售货员可获得3元的提成；若顾客通过抽奖享受7折、5折或免单优惠，则每消费满100元售货员可获得2元提成若某售货员在某天可以接待100名消费满100元且不满200元的顾客，则该售货员可能获得的提成为多少元．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为元
(2)270元
【难度】0.94
【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、均值的性质、二项分布的均值
【分析】（1）可得付款金额可能为0，50，70，80，求出取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；
（2）可得100名顾客中享受8折优惠的人数，根据二项分布即可求出.
【详解】（1）该顾客实际付款金额为元，则可能为0，50，70，80．
；；
；
则的分布列为：
0 50 70 80
P
，
该顾客实际付款金额的数学期望为元．
（2）设100名顾客中享受8折优惠的人数为Y人，
则，
售货员获得的提成为Z元，
，
（元）
该售货员可获得的平均提成为270元．
17．（24-25高三上·浙江杭州·期末）阿尔法狗是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗，三个阶段的阿尔法狗依次简记为甲、乙、丙.
(1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程.
(2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立.
（ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值;
（ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M，证明：
【答案】(1)在第二局与甲比赛 p最大，判断过程见解析
(2)（i）分布列见解析，；（ii）证明见解析
【难度】0.4
【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记，，，分别求得在第二盘与甲、乙、丙比赛连胜两局的概率，即可求解.
（2）（ⅰ）求出X所有可能值，利用相互独立事件与互斥事件概率运算求得相应的概率，列出分布列并求得期望，再利用基本不等式并结合二次函数性质即可求得期望的最大值；（ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，则，利用相互独立事件概率运算即可求解.
【详解】（1）该棋手在第二局与甲比赛p最大，
该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，记，，，
该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则，
同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率，
该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率，
因为，所以该棋手在第二局与甲比赛 p最大.
（2）（ⅰ）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则，
由题意得X的所有可能取值为：2，4，5，
，
，
，
所以X的分布列为：
2 4 5
所以X的期望为：
，
由，得，当且仅当取等号，则，
因此，
所以的最大值为
（ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”.
由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数，
由题设可知前两局比赛结果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”，事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙各得1分”，当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同，
所以
，
因此，得，而，
所以
【点睛】关键点点睛：本题第2问第2小问，根据题意结合相互独立事件的概率公式分析得到是求解的关键.
18．（24-25高三上·河北·阶段练习）山海关，位于河北省秦皇岛市，素有“两京锁钥无双地，万里长城第一关”之称.野三坡，位于河北省保定市涞水县，享有“世外桃源”之称.已知某地居民中青少年 中年人 老年人的人数比例为，且他们寒假去山海关 野三坡旅游的概率如下表所示：
青少年 中年人 老年人
只去山海关旅游 0.2 0.2 0.1
只去野三坡旅游 0.1 0.3 0.3
既去山海关旅游，又去野三坡旅游 0.1 0.1 0.3
(1)若从该地居民（仅指青少年 中年人 老年人）中任选一人，求此人寒假去山海关旅游的概率；
(2)若甲 乙 丙分别是该地居民中的一位青年人 中年人 老年人，假设该地居民选择寒假旅游地相互独立，记这3人中寒假去野三坡旅游的人数为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)0.32；
(2)分布列见解析，数学期望为1.2.
【难度】0.65
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率
【分析】（1）由表中数据求出青少年 中年人 老年人去山海关旅游的概率，再利用全概率公式计算即得.
（2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【详解】（1）由表中数据知，青少年寒假去山海关旅游的概率为，
中年人寒假去山海关旅游的概率为，老年人寒假去山海关旅游的概率为，
由全概率公式得任选一人，此人寒假去山海关旅游的概率为.
（2）由表中数据知，青少年 中年人 老年人寒假去野三坡旅游的概率分别为0.2，0.4，0.6，
的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
0.192 0.464 0.296 0.048
数学期望.
19．（22-23高三下·辽宁·阶段练习）随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑（俗称“笔记本”）也非常流行．某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，在街头随机抽取了50人做调查研究，调查数据如下表所示．
男性 女性 合计
喜欢“台式机” 20 5 25
喜欢“笔记本” 10 15 25
合计 30 20 50
(1)是否有99%的把握认为喜欢哪种机型与性别有关？
(2)该公司针对男性客户做了调查，某季度男性客户中有青年324人，中年216人，老年108人，按分层抽样选出12人，又随机抽出3人的调查结果进行答谢，这3人中的青年人数设为随机变量，请求出的分布列与数学期望．
附：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.01
2.701 3.841 5.024 6.635
【答案】(1)有的把握认为喜欢哪种机型与性别有关
(2)分布列见解析，
【难度】0.65
【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）求出，再对照临界值表即可得出结论；
（2）先根据分层抽样求出各层人数，再写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.
【详解】（1），
所以有的把握认为喜欢哪种机型与性别有关；
（2）由题意，，
所以人中有青年人人，中年人人，老年人人，
则的所有可能取值为，
，，
，，
则分布列为：
.

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