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单元检测卷（六） 数列
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A． B． C．16 D．18
2．（2024高二下·重庆·期中）已知公比为正数的等比数列前n项和为，且，，则（ ）
A．或 B． C． D．
3．（2025高三下·重庆北碚·阶段练习）已知数列满足且，则的值为（ ）
A． B．216 C． D．
4．（2025·河南·模拟预测）记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12 B．21 C．28 D．36
5．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（ ）
A． B． C． D． E．均不是
6．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东汕头·三模）已知是数列的前n项和，则“对恒成立”是“是公比为2的等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知无穷数列{an}满足an+1＝an+t（t为常数），Sn为{an}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C． D．
10．（2025·山西临汾·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是单调递增数列
C．若为数列的前项和，则
D．若对任意，都有，则
11．（2025高二下·四川成都·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A． B．
C． D．!
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高三上·湖南长沙·阶段练习）设为数列的前项积，若，其中常数，数列为等差数列，则 ．
13．（2025高三下·江西南昌·阶段练习）若数列为等差数列，且，记为不超过x的最大整数，比如，，则 ．
14．（2025高三下·北京·阶段练习）已知无穷数列满足．给出下列四个结论：
①若且，则；
②若，则中有无穷多项是1；
③存在一组，使得单调递增；
④中一定存在一项．其中所有正确结论的序号为 ．
四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025·广东广州·二模）设为数列的前项和，且是和8的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，证明：.
16．（2025高三下·河南焦作·期中）记为数列的前n项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
17．（2025高三下·辽宁沈阳·专题练习）已知是等差数列，，，数列的前项和为且满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，求的最大值．
18．（2025高三下·云南·阶段练习）设正项数列的前项和为，满足.
(1)求；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的前100项的和.
19．（2025高三下·海南·阶段练习）如果（，）项数列，满足，，，则称数列是项“数列”.
(1)若数列既是项“数列”又是等比数列，求数列；
(2)已知数列是4项“数列”，记.求的分布列及期望；
(3)分别就及回答下列问题：是否存在2025项“数列”，满足？如果存在，请给出一个符合条件的数列；否则，请说明理由.单元检测卷（六） 数列
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A． B． C．16 D．18
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、利用等差数列通项公式求数列中的项
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
2．（2024高二下·重庆·期中）已知公比为正数的等比数列前n项和为，且，，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算
【分析】设等比数列的公比为q，利用等比数列求和公式列出方程组，解出即可.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，且，
所以，解得，
所以.
故选：C.
3．（2025高三下·重庆北碚·阶段练习）已知数列满足且，则的值为（ ）
A． B．216 C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列
【分析】由递推式得数列为公比的等比数列，再求出数列的通项公式，从而可得答案.
【详解】因为，
所以数列为公比的等比数列，
因为，所以，
通项公式为，
所以，，，
所以，
故选：D.
4．（2025·河南·模拟预测）记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．12 B．21 C．28 D．36
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算
【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式计算即可得解.
【详解】，，
，
，解得，
故选：C
5．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（ ）
A． B． C． D． E．均不是
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题
【分析】运用等差数列的等和性及等差数列前项和公式求解即可.
【详解】由等差数列的等和性可得，
.
故选：C.
6．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】等比数列片段和性质及应用
【分析】根据等比数列的性质求解即可.
【详解】因为为等比数列，所以也为等比数列，
则有，
设，则，所以，故.
故选：D.
7．（2024·广东汕头·三模）已知是数列的前n项和，则“对恒成立”是“是公比为2的等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】判断命题的必要不充分条件、等比数列的定义、前n项和与通项关系
【分析】根据等比数列以及充分必要条件的定义即可求解.
【详解】解：若，则，即，
根据等比数列的定义，是公比为2的等比数列不成立；
若是公比为2的等比数列，则，即，
所以成立；
所以“对恒成立”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件，
故选：B.
8．已知无穷数列{an}满足an+1＝an+t（t为常数），Sn为{an}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、求等差数列前n项和的最值
【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和的公式，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】∵an+1＝an+t，∴数列{an}为等差数列，且公差为t，
①当t≥0时，若t＝0，a1＝﹣2时，数列{an}为常数列，且an＝﹣2，
∴Sn＝﹣2n为减函数，无最小项，∴充分性不成立，
②当{an}和{Sn}都有最小项，
∵an＝a1+(n﹣1)t＝tn+(a1﹣t)，
Sn＝na1tn2+(a1)n，
则或t＞0，∴t≥0，∴必要性成立，
∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小项的必要不充分条件，
故选：B．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选型中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C． D．
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】求等差数列前n项和的最值、由定义判定等比数列、利用an与sn关系求通项或项
【分析】由得，所以数列是等差数列，又，可判断AB；根据题意求得，且当时，，当时，，从而是数列的最大项，判断CD.
【详解】选项A，B：由得，
即，所以数列是等差数列，
由，，得，，
故不是等比数列，故A正确，B错误；
选项C，D：设的公差为，由，得，即，
所以，所以，
当时，，当时，，
所以当时，，
当时，，
故，
故是数列的最大项，故有，
故C正确，D错误.
故选：AC
10．（2025·山西临汾·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是单调递增数列
C．若为数列的前项和，则
D．若对任意，都有，则
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】判断数列的增减性、裂项相消法求和、累乘法求数列通项、数列不等式恒成立问题
【分析】根据累乘法可得，即可判断A,根据即可求解B，根据裂项相消法即可求解C，根据单调性，对分奇偶即可求解D.
【详解】由，可得，
故,
也符合，
故，，A正确，
由于，故，因此是单调递增数列，B正确，
，
故，C正确，
由可定，
当为偶数时，则恒成立，由于单调递增，故，
当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故，
故对任意，都有，则，故D错误，
故选：ABC
11．（2025高二下·四川成都·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A． B．
C． D．!
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】由递推关系式求通项公式、求递推关系式、求等差数列前n项和
【分析】根据题意观察得，进而判断ABC，由，，即计算进而判断D.
【详解】由题意可得，，，，
，，
则，，故AC正确，B错误；
由，，可得，
即有!，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高三上·湖南长沙·阶段练习）设为数列的前项积，若，其中常数，数列为等差数列，则 ．
【答案】1或2/2或1
【难度】0.65
【知识点】判断等差数列、由递推关系证明数列是等差数列、等差中项的应用、利用等差数列的性质计算
【分析】由已知递推关系分别令，，即可求解，然后结合等差数列的性质即可求解，并检验.
【详解】因为为数列的前项积，，
当时，可得，
当时，，即，
当时，，则，
若数列为等差数列，则，
所以，整理得，
解得或，
当时，，则当时，，即，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，符合题意；
当时，，则当时，，即，
即，又，所以数列为常数列，
即，可得数列是等差数列，符合题意.
综上，或.
故答案为：或.
13．（2025高三下·江西南昌·阶段练习）若数列为等差数列，且，记为不超过x的最大整数，比如，，则 ．
【答案】506
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算
【分析】由等差数列通项公式得到，即可求解.
【详解】根据题意，设此等差数列的首项为，公差为d，根据已知等式，
得，
整理得，
即，
即，显然．
故答案为：506
14．（2025高三下·北京·阶段练习）已知无穷数列满足．给出下列四个结论：
①若且，则；
②若，则中有无穷多项是1；
③存在一组，使得单调递增；
④中一定存在一项．其中所有正确结论的序号为 ．
【答案】②④
【难度】0.4
【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】利用特殊值判断①；根据递推关系找到关系或，当时，通过计算前几项可发现数列具有周期性，周期为6，即可判断②；根据数列周期性与单调递增矛盾判断③；利用不等式关系判断④；
【详解】①若且，取，
，，不满足小于2，故①错误；
②，
化简或，
当时，通过计算前几项可发现数列具有周期性，周期为6：
其中均为1，故存在无穷多个1，②正确；
③存在一组，使得单调递增，由②可知，数列周期为6，若单调递增需满足矛盾，③错误；
④中一定存在一项，若初始值，
则，必然存在小于2的项，④正确.
故答案为：②④
四、解答题：本题共5小题，每小题77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025·广东广州·二模）设为数列的前项和，且是和8的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】裂项相消法求和、数学归纳法、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）解法1：由题意可求得，当时，求得，当时，，可得，可求通项公式；解法2：由题意可得，先求得前几项，猜想通项公式，再利用数学归纳法证明即可；
（2）由题意可得，可求得，可证结论.
【详解】（1）解法1：因为是和8的等差中项，
所以，即.①
当时，，得.
当时，，②
①－②得，得，即.
所以数列是以首项为8，公比为2的等比数列.
所以.
解法2：因为是和8的等差中项，
所以，即.
当时，，得.
当时，，得.
当时，，得.
猜想：.
（下面用数学归纳法证明）
1当时，可知猜想成立，
2假设时，猜想成立，即，
依题意，得，得，
又，得，
则，
得.
即当时，猜想也成立.
由1，2可知猜想成立，即.
（2）因为，
得，
所以.
由于，得，
得，
所以.
16．（2025高三下·河南焦作·期中）记为数列的前n项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）利用关系，化简计算可得数列为等比数列，即可得到答案；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和，即可得到答案；
【详解】（1）∵，，①
∴当时，，
当时，，②
①-②，得，
∴，
又，∴是首项为1，公比为3的等比数列，
∴.
（2）由（1）知，，
∴，③
∴，④
③-④，得
，
∴.
17．（2025高三下·辽宁沈阳·专题练习）已知是等差数列，，，数列的前项和为且满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.65
【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）讨论是否为后根据裂项相消化简，求出公差的值，再求等差数列的通项公式即可；对于数列，利用其前项和为，可写，两式作差即可得到 是等比数列并求出其公比，根据当时，，得及公比即可求出等比数列通项.
（2）写出的通项，再判断的正负，即可得到哪一项最大，即可求出的最大值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
当时，则，与矛盾，不合题意；
当时，
，
解，所以，即．
当时，，得.
当时，①，②，
①－②得，即，即，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．即.
（2）由（1）知：，则，
当时，；时，.
所以.
所以当时，有最大值．
18．（2025高三下·云南·阶段练习）设正项数列的前项和为，满足.
(1)求；
(2)求证：数列为等差数列；
(3)求数列的前100项的和.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)10
【难度】0.65
【知识点】判断等差数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据数列前项和与的关系式，通过代入不同的值来求解数列的首项和第二项.
（2）主要依据数列前项和与的关系，通过作差、变形等操作，推导出数列的性质.
（3）根据已知条件通过完全平方公式变形得到的表达式，再通过一元二次方程求根公式求出的表达式，最后利用数列的特点进行求和.
【详解】（1）当时，，整理得，
又，所以.
当时，即，
解得，又，
所以.
（2），
，
上述两式相减，得
，
，
，
，
数列为等差数列，首项为2，公差为4.
（3））由（2）得：
，
，
，
，由求根公式得，
，
，
.
19．（2025高三下·海南·阶段练习）如果（，）项数列，满足，，，则称数列是项“数列”.
(1)若数列既是项“数列”又是等比数列，求数列；
(2)已知数列是4项“数列”，记.求的分布列及期望；
(3)分别就及回答下列问题：是否存在2025项“数列”，满足？如果存在，请给出一个符合条件的数列；否则，请说明理由.
【答案】(1)1，2，4
(2)分布列见解析，1
(3)存在，举例见解析
【难度】0.4
【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、写出等比数列的通项公式、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）根据数列定义及等比数列计算得出；
（2）根据新定义得出分布列，再应用数学期望公式计算即可；
（3）假设存在2025项“数列”，满足，由，应用累加计算，分，分别计算求解.
【详解】（1）因为数列是项“数列”，
则由，得，或，
又由条件知是等比数列，故，
再由，得，或0，又是等比数列，所以，
所以数列1，2，4满足题设条件.
而由，得，或1，这时1，2，4，7与1，2，4，1都不是等比数列，
所以满足条件的数列只有一个，即1，2，4.
（2）数列是4项“数列”有如下8个：1，2，4，7；1，2，4，1；1，2，0，3；1，2，0，；1，0，2，5；1，0，2，；1，0，，1；1，0，，.
所以分布列如下表：
1 3 5 7
.
（3）若存在2025项“数列”，满足，
由，，
得，，，，，
上述2024式累加得：.
当时，这样的数列不存在.
对任意，，因为，所以与同奇同偶，
所以，与同奇同偶，
而为奇数，所以为奇数，故.
当时，这样的数列存在.
因为，
而，，
所以，
故取2025项“数列”如下：，，，，，.
此时.
故满足条件的2025项“数列”存在.

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