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【北京卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第3~4题
一、原题3
1．如图，一个正方形水池的四周恰好被4 个正 n边形地板砖铺满，则n 等于(　　).
A．4 B．6 C．8 D．10
二、变式1基础
2．如图，、分别切于A、B两点，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．六边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
4． 正六边形的内角和是（　　）
A．360° B．540° C．720° D．900°
三、变式2巩固
5．如图，边长相等的正五边形、正六边形的一边重合，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．一个多边形内角和是1080°，则这个多边形的边数为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．一个正多边形的每一个外角都是，则它的内角和的度数是（　　）
A． B． C． D．
四、变式3提高
8．如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的度数为（　　）
A．27° B．45° C．54° D．55°
9．如图，蜜蜂的蜂巢是由一个个小小的蜂房构成，每一个蜂房的外形都是一个正多边形，则该正多边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，是正五边形的外接圆，点P为上的一点， ，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
五、原题4
11．文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚.若从一套盲盒（共4个盲盒，其中笔、墨、纸、砚盲盒各一个)中随机选1个，则恰好抽中笔的概率是（　　)
A． B． C． D．
六、变式1（基础）
12．如图是一个可以自由转动的、质地均匀的转盘，该转盘被分成个大小相同的扇形，在上面依次写上数字，，，，任意转动转盘次，当转盘停止转动后（指针恰好停在两个扇形的交界处时，当作指向右边的扇形），指针指向奇数的概率是（　　）
A． B． C． D．
13．在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
14．为培养学生的艺术素养，学校专门开设了四门美术类校本课程：素描、国画、折纸、陶艺。小欣同学决定从这四门课程中随机选择一门进行学习（每门课程被选中的可能性相同），则她恰好选择素描课程的概率是（　　）。
A． B． C． D．1
七、变式2（巩固）
15．在六张卡片上分别写有，，3.1415，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
16． 小明准备在编程、书法、篮球三门选修课中随机选择一门参加，选到“篮球”的概率是（　　）
A． B． C． D．
17．一个不透明的口袋中装有若干个除颜色外其它都相同的小球，已知口袋中只装有2个白球，且从中摸出一个球恰好是白球的概率为 ，那么口袋中小球的总数为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
八、变式3（提高）
18．把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按照同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀，从三堆图片中随机各抽出一张，求这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（　　）
A． B． C． D．
19．红星学校在日本战败投降周年纪念日这天举行了“铭记历史，警钟长鸣”主题教育活动，学校需要从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名同学作为“勿忘历史”和“奋进新征程”两个栏目的宣传大使，则恰好选中乙为“勿忘历史”栏目宣传大使、丙为“奋进新征程”栏目宣传大使的概率（　　）
A． B． C． D．
20．小亮设计了一个“配绿色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的扇形．游戏者同时转动两个转盘（规定：指针恰好停在分界线上，则重新转一次），如果转盘A指针指向了黄色，转盘B指针指向了蓝色，那么他就赢了，因为黄色和蓝色在一起配成了绿色．这个游戏中游戏者获胜的概率是（　　）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得：n=8
故答案为：C.
【分析】根据正多边形性质即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接，由题意，得：，
∴，
∴；
故选C
【分析】连接，根据切线性质可得，根据四边内角和定理可得∠AOB，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得，
当时，
，
故选：A．
【分析】
设这个多边形的边数为n，根据n边形的内角和等于，当时计算即可．
4．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据多边形的内角和公式可知，正六边形的内角和为（6-2）×180°=720°.
故答案为：C.
【分析】本题考查多边形内角和公式（n-2）×180°（n≥3且n为正整数）.将n=6代入公式即可求解.
5．【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正五边形的内角，正六边形的内角，
故．
故答案为：B．
【分析】本题考查正多边形内角和公式的应用以及角的和差运算，解题的核心是先求出两种正多边形的内角，再通过角的关系计算∠1。首先回忆正多边形内角和公式为（n为边数），分别将正五边形的边数5和正六边形的边数6代入公式，算出正五边形内角为，正六边形内角为；观察图形可知∠1是正六边形内角与正五边形内角的差值，用正六边形的内角减去正五边形的内角，即可得到∠1的度数。
6．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设多边形的边数为，则：
解得：，
∴ 这个多边形的边数为 8.
故答案为：B
【分析】根据多边形内角和公式列方程解出即可.
7．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的每一个外角都是，
∴多边形的边数为：，
∴该多边形的内角和为：．
故选：C．
【分析】
由多边形的外角和是可求得正多边形的边数，再利用内角和公式计算即可．
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由折叠知，∠BAM=∠EAM=∠BAE，∠BAF=∠B'AF=∠BAM，∠AFB=∠AFB'，
∵正五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠B=∠BAE=540°÷5=108°，
∴∠BAM=∠BAE=54°，
∴∠BAF=∠BAM=27°，
∴∠AFB=180°-∠B-∠BAF=180°-108°-27°=45°，
∴∠AFB'=45°，
故答案为：B.
【分析】根据翻折的性质，得到角的倍数关系，再根据正多边形的内角和公式，得到内角度数，最后根据三角形内角和定理计算答案即可
9．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由图可知：该图形是正六边形，
内角和为：，
故答案为：B．
【分析】
先观察图形判断该正多边形的边数为6，然后利用正多边形的内角和公式进行计算即可解答．
10．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质；圆内接正多边形；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：多边形是正五边形，
，
，
，
而四边形ABCP是的内接四边形，
；
故答案为：C．
【分析】本题先根据正多边形内角和计算公式，变形求出正多边形一个内角为。因为是正五边形，将n=5代入即可求出，进而结合角的和差计算得到，然后结合圆内接四边形性质，即对角互余，列式计算即可求出答案。
11．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从一套盲盒套装中随机选一个，恰好选中笔的概率为．
故答案为：B．
【分析】根据概率公式计算概率即可．
12．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：转盘被分成 4 个大小相同的扇形，数字分别是 2，5，6，3，所以所有可能的结果数为 4。其中的奇数为 5 和 3，共 2 个，即符合条件的结果数为 2。根据概率公式，指针指向奇数的概率为．
故答案为：B。
【分析】先明确转盘被等分为 4 个扇形，总结果数为 4；再确定其中奇数的个数，最后用奇数个数除以总个数得到概率。
13．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，白球个数占球总数的，
故随机摸出一个球为白球的概率是．
故答案为：A．
【分析】根据概率公式，用袋中白色小球的个数比上袋中小球的总个数即可.
14．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得恰好选择素描课程的概率
故答案为：A
【分析】根据概率公式即可求出答案.
15．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】解：在，，3.1415，，0，六个数中，
无理数的有，共2个，
∴从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是.
故答案为：B．
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，据此首先确定哪些是无理数，再根据概率的公式，用无理数的个数比上这组数据的总个数计算即可．
16．【答案】B
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵小明准备在编程、书法、篮球三门选修课中随机选择一门参加，
∴选到“篮球”的概率为，
故答案为：B.
【分析】本题是一个古典概型的问题，已知有“编程、书法、篮球”3门选修课，小明随机选1门，所以所有可能的选择结果一共有3种，且每种选择的可能性相等，题目要求选到“篮球”，符合这个条件的情况只有1种，故根据概率公式.
17．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设口袋中小球共有x个，
根据题意得到
解得x=8，
经检验知x=8是方程的解，
所以口袋中小球共有8个.
故答案为：B .
【分析】设口袋中小球共有x个，根据概率公式得到 ，然后求出x即可.
18．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：三张图片上、中、下三段分边记为A、a、1；B、b、2；C、c、3．
画树状图为：
共有27种等可能的结果，其中这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果数为3，
∴P；
故答案为：C．
【分析】根据随机事件的概率可知，当事件有两种及其以上可用列举法和树状图法表示出所有等可能的结果，由于 三张图片难以区分，因此可将上、中、下三段分边记为A、a、1；B、b、2；C、c、3．先画树状图展示27种等可能的结果，再找出这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果数，然后根据概率公式P=计算即可．
19．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表格为：
勿忘历史
奋进新征程 甲 乙 丙 丁，
甲
（乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙）
（丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙）
（丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁）
注意：（乙，丙）和（丙，乙）不一样．（乙，丙）表示乙是“勿忘历史”栏目宣传大使，丙是“奋进新征程”栏目宣传大使．（丙，乙）表示丙是“勿忘历史”栏目宣传大使，乙是“奋进新征程”栏目宣传大使．
故符合条件的只有（乙，丙），概率为，
故答案为：A．
【分析】首先用列表法分析所有可能的结果，进而得出所关注的结果，根据概率计算公式，即可得出答案。
20．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 红 黄
白 （红，白） （黄，白）
蓝 （红，蓝） （黄，蓝）
粉 （红，粉） （黄，粉）
共有6种等可能的结果，其中转盘A转出了黄色，转盘B转出了蓝色的结果有1种，
这个游戏中游戏者获胜的概率是，
故选：D．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表格的方法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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